高中數(shù)學(xué) 第3講 柯西不等式與排序不等式 3 排序不等式課件 新人教A版選修4-5.ppt

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三排序不等式 1 了解排序不等式的數(shù)學(xué)思想和背景 2 了解排序不等式的結(jié)構(gòu)與基本原理 3 理解排序不等式的簡(jiǎn)單應(yīng)用 1 排序不等式的應(yīng)用 重點(diǎn) 2 排序不等式與不等式有關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用 難點(diǎn) 目標(biāo)定位 預(yù)習(xí)學(xué)案 a c d b 1 順序和 亂序和 反序和的概念設(shè)a1 a2 a3 an b1 b2 b3 bn為兩組實(shí)數(shù) c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 則稱ai與bi i 1 2 n 的相同順序相乘所得積的和 為順序和 稱 為亂序和 稱相反順序相乘所得積的和 為反序和 a1b1 a2b2 anbn a1c1 a2c2 ancn a1bn a2bn 1 anb1 2 排序不等式 排序原理 設(shè)a1 a2 an b1 b2 bn為兩組實(shí)數(shù) c1 c2 cn是b1 b2 bn的任一排列 則 當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an或b1 b2 bn時(shí) 反序和等于順序和 此不等式簡(jiǎn)記為 順序和 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 反序和 亂序和 1 已知兩組數(shù)a1 a2 a3 a4 a5 b1 b2 b3 b4 b5 其中a1 2 a2 7 a3 8 a4 9 a5 12 b1 3 b2 4 b3 6 b4 10 b5 11 將bi i 1 2 3 4 5 重新排列記為c1 c2 c3 c4 c5 則a1c1 a2c2 a5c5的最大值和最小值分別是 A 132 6B 304 212C 22 6D 21 36答案 B 3 已知兩組數(shù)1 2 3和4 5 6 若c1 c2 c3是4 5 6的一個(gè)排列 則1c1 2c2 3c3的最大值是 最小值是 解析 由反序和 亂序和 順序和知 順序和最大 反序和最小 故最大值為32 最小值為28 答案 3228 課堂學(xué)案 字母的大小順序已確定的不等式的證明 需對(duì)字母順序作出假設(shè)的不等式的證明 設(shè)x 0 求證 1 x x2 x2n 2n 1 xn 思路點(diǎn)撥 題中只給出了x 0 但對(duì)于x 1 x 1沒(méi)有明確 因而需要進(jìn)行分類討論 對(duì)所證不等式中的字母大小順序需要加以討論 用排序原理證明柯西不等式 定理 排序原理 設(shè)a1 a2 an b1 b2 bn為兩組實(shí)數(shù) c1 c2 cn為b1 b2 bn的任一排列 則有 a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn a1b1 a2b2 anbn 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an或b1 b2 bn 排序不等式的另一證明 證明 1 設(shè)Ck c1 c2 ck Bk b1 b2 bk 因?yàn)閎1 b2 bk 且 c1 c2 ck 是由 b1 b2 bn 中的k個(gè)元素構(gòu)成的子集 則Ck Bk k 1 2 n Cn Bn 因?yàn)閍k 1 ak 0 k 2 3 n 所以a1c1 a2c2 ancn a1C1 a2 C2 C1 an Cn Cn 1 C1 a1 a2 C2 a2 a3 Cn 1 an 1 an anCn B1 a1 a2 B2 a2 a3 Bn 1 an 1 an anBn a1B1 a2 B2 B1 an Bn Bn 1 a1b1 a2b2 anbn 即亂序和 順序和 2 由于b1 b2 bn 所以 b1 b2 bn 設(shè) c1 c2 cn為 b1 b2 bn的一個(gè)排列 由 1 的證明得a1 bn a2 bn 1 an b1 a1 c1 a2 c2 an cn 于是有a1bn a2bn 1 anb1 a1c1 a2c2 ancn 即反序和 亂序和 由 1 及 2 得反序和 亂序和 順序和 3 等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)a1 a2 an或b1 b2 bn 成立的證明和教科書(shū)上的證法相同