《高等數(shù)學(xué)：第三章 習(xí)題課》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第三章 習(xí)題課（49頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、2洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則Rolle定理定理LagrangeLagrange中值中值定理定理常用常用的的泰勒公式泰勒公式型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 CauchyCauchy中值定理中值定理TaylorTaylor中值定理中值定理xxF )()()(bfaf 0 ngfgf1 fgfggf1111 取取對(duì)對(duì)數(shù)數(shù)令令gfy 單調(diào)性單調(diào)性, ,極值與最值極值與最值, ,凹凸性凹凸性, ,拐點(diǎn)拐點(diǎn), ,函數(shù)函數(shù)圖形的描繪圖形的描繪; ;曲率曲率; ;求根方法求根方法. .導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容31 1、羅爾中值定理、羅爾中值定理羅爾羅爾（R Rolleolle）定
2、理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且在區(qū)間端且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即點(diǎn)的函數(shù)值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零， 即即0)( f 42 2、拉格朗日中值定理、拉格朗日中值定理拉格朗日拉格朗日（LagrangeLagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那那末在末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)
3、內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .).10()(0 xxxfy.的的精精確確表表達(dá)達(dá)式式增增量量 y 有限增量公式有限增量公式.53 3、柯西中值定理、柯西中值定理柯西柯西（CauchyCauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xF在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開(kāi)區(qū)間在開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xF在在),(ba內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少有一點(diǎn)有一點(diǎn))(ba , ,使等式使等式)()()()()()( FfbFaFbfaf成立成立. .推論推論.)
4、(,)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)IxfIxf64 4、洛必達(dá)法則、洛必達(dá)法則定義定義 這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再這種在一定條件下通過(guò)分子分母分別求導(dǎo)再求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱(chēng)為洛必達(dá)法則求極限來(lái)確定未定式的值的方法稱(chēng)為洛必達(dá)法則.型未定式型未定式型及型及 00.10型未定式型未定式000,1 ,0 ,0.2 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將其它類(lèi)型未定式化為洛必達(dá)法則可解決將其它類(lèi)型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類(lèi)型的類(lèi)型 .),00()( 注意：注意：洛必達(dá)法則的使用條件洛必達(dá)法則的使用條件.7泰勒泰勒(Taylor
5、)(Taylor)中值定理中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在含有在含有0 x的某個(gè)開(kāi)區(qū)間的某個(gè)開(kāi)區(qū)間),(ba內(nèi)具有直到內(nèi)具有直到)1( n階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù), ,則則當(dāng)當(dāng)x在在),(ba內(nèi)時(shí)內(nèi)時(shí), , )(xf可以表示為可以表示為)(0 xx 的一的一個(gè)個(gè)n次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng)次多項(xiàng)式與一個(gè)余項(xiàng))(xRn之和之和: :)()(!)()(!2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxfnnn 5 5、泰勒中值定理、泰勒中值定理)()()!1()()(010)1(之間之間與與在在其中其中xxxxnfxRnnn 8 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式)()!
6、12()1(! 5! 3sin221253 nnnxonxxxxx)()!2()1(! 6! 4! 21cos22642nnnxonxxxxx )(1)1(32)1ln(1132 nnnxonxxxxx)(1112nnxoxxxx )(!)1()1(! 2)1(1)1(2nnmxoxnnmmmxmmmxx 96 6、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理定理.,)(0)(),(2,)(0)(),(1.),(,)(00上單調(diào)減少上單調(diào)減少在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在上單調(diào)增加；上單調(diào)增加；在在，那末函數(shù)，那末函數(shù)內(nèi)內(nèi)如果在如果在可導(dǎo)可導(dǎo)內(nèi)內(nèi)上連續(xù)，在上連續(xù)，在在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)baxfyxfbab
7、axfyxfbababaxfy (1) 函數(shù)單調(diào)性的判定法函數(shù)單調(diào)性的判定法10.)()(,)()(,;)()(,)()(,),(,),()(000000000的一個(gè)極小值的一個(gè)極小值是函數(shù)是函數(shù)就稱(chēng)就稱(chēng)均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)極大值的一個(gè)極大值是函數(shù)是函數(shù)就稱(chēng)就稱(chēng)均成立均成立外外除了點(diǎn)除了點(diǎn)任何點(diǎn)任何點(diǎn)對(duì)于這鄰域內(nèi)的對(duì)于這鄰域內(nèi)的的一個(gè)鄰域的一個(gè)鄰域如果存在著點(diǎn)如果存在著點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)的一個(gè)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)是是內(nèi)有定義內(nèi)有定義在區(qū)間在區(qū)間設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xfxfxfxfxxxxfxfxfxfxxxbaxbaxf 定義
8、定義(2) 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法11 設(shè)設(shè))(xf在在點(diǎn)點(diǎn)0 x處處具具有有導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù),且且在在0 x處處取取得得極極值值,那那末末必必定定0)(0 xf.定理定理( (必要條件必要條件) )定義定義.)()0)(的駐點(diǎn)的駐點(diǎn)做函數(shù)做函數(shù)叫叫的實(shí)根的實(shí)根即方程即方程使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)使導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)xfxf 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值極值,使函數(shù)取得使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值的點(diǎn)稱(chēng)為極值點(diǎn)極值點(diǎn).極值是函數(shù)的局部性概念極值是函數(shù)的局部性概念: :極大值可能小于極小極大值可能小于極小值值,極小值可能大于極大值極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為駐點(diǎn)和不
9、可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱(chēng)為臨界點(diǎn)臨界點(diǎn). .12(1)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx, 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值.(2)如果如果),(00 xxx 有有; 0)( xf而而),(00 xxx 有有0)( xf，則，則)(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值.(3)如果當(dāng)如果當(dāng)),(00 xxx 及及),(00 xxx時(shí)時(shí), )(xf符符 號(hào)相同號(hào)相同,則則)(xf在在0 x處無(wú)極值處無(wú)極值.定理定理( (第一充分條件第一充分條件) ) 設(shè)設(shè))(xf在在0 x處具有二階導(dǎo)數(shù)處具有二階導(dǎo)數(shù),且且0)(0 xf, 0)(0 xf,
10、 那末那末(1)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極大值處取得極大值;(2)當(dāng)當(dāng)0)(0 xf時(shí)時(shí), 函數(shù)函數(shù))(xf在在0 x處取得極小值處取得極小值.定理定理( (第二充分條件第二充分條件) )13求極值的步驟求極值的步驟: :);()1(xf 求導(dǎo)數(shù)求導(dǎo)數(shù);0)()2(的根的根求駐點(diǎn)，即方程求駐點(diǎn)，即方程 xf;,)()()3(判斷極值點(diǎn)判斷極值點(diǎn)該點(diǎn)的符號(hào)該點(diǎn)的符號(hào)在在在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)或在駐點(diǎn)左右的正負(fù)號(hào)或檢查檢查xfxf .)4(求極值求極值14步驟步驟: :1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)
11、點(diǎn)的函數(shù)值,比比較大小較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就那個(gè)小那個(gè)就是最小值是最小值;注意注意: :如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就則這個(gè)極值就是最值是最值.(最大值或最小值最大值或最小值)(3) 最大值、最小值問(wèn)題最大值、最小值問(wèn)題15實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意實(shí)際問(wèn)題求最值應(yīng)注意: :1)建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值求最值;（或最小）值（或最?。┲岛瘮?shù)值即為所求的最大函數(shù)值即為所求的最大點(diǎn)，則該點(diǎn)的點(diǎn)，則該點(diǎn)的若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐(4) 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)定義定義;),()(,2)()()2(,),(
12、,),()(212121內(nèi)的圖形是凹的內(nèi)的圖形是凹的在在那末稱(chēng)那末稱(chēng)恒有恒有兩點(diǎn)兩點(diǎn)內(nèi)任意內(nèi)任意如果對(duì)如果對(duì)內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在設(shè)設(shè)baxfxfxfxxfxxbabaxf 16;),()(,2)()()2(,),(212121內(nèi)的圖形是凸的內(nèi)的圖形是凸的在在那末稱(chēng)那末稱(chēng)恒有恒有內(nèi)任意兩點(diǎn)內(nèi)任意兩點(diǎn)如果對(duì)如果對(duì)baxfxfxfxxfxxba ;)(,)(,)(),(,)(的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹在在那末稱(chēng)那末稱(chēng)的的或凸或凸內(nèi)的圖形是凹內(nèi)的圖形是凹且在且在內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在如果如果baxfbabaxf17定理定理1 1;,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),(,)(上的圖
13、形是凸的上的圖形是凸的在在則則上的圖形是凹的上的圖形是凹的在在則則內(nèi)內(nèi)若在若在導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有二階內(nèi)具有二階在在上連續(xù)上連續(xù)在在如果如果baxfxfbaxfxfbababaxf 連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱(chēng)為連續(xù)曲線上凹凸的分界點(diǎn)稱(chēng)為曲線的拐點(diǎn)曲線的拐點(diǎn).18利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第一步第二步第二步 確定函數(shù)確定函數(shù))(xfy 的定義域的定義域,對(duì)函數(shù)進(jìn)行對(duì)函數(shù)進(jìn)行奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討奇偶性、周期性、曲線與坐標(biāo)軸交點(diǎn)等性態(tài)的討論論,求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù))(xf和二階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù))(xf; 求求出出方方程程0)( xf和和0)(
14、 xf 在在函函數(shù)數(shù)定定義義域域內(nèi)內(nèi)的的全全部部實(shí)實(shí)根根，用用這這些些根根同同函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)或或?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在的的點(diǎn)點(diǎn)把把函函數(shù)數(shù)的的定定義義域域劃劃分分成成幾幾個(gè)個(gè)部部分分區(qū)區(qū)間間.(5) 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪19第三步第三步 確定在這些部分區(qū)間內(nèi)確定在這些部分區(qū)間內(nèi))(xf和和)(xf的符的符號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹號(hào)，并由此確定函數(shù)的增減性與極值及曲線的凹凸與拐點(diǎn)凸與拐點(diǎn)（可列表進(jìn)行討論） ；可列表進(jìn)行討論） ；第四步第四步 確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢(shì)他變化趨勢(shì);第五步第五步 描描出出與與方
15、方程程0)( xf和和0)( xf的的根根對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的曲曲線線上上的的點(diǎn)點(diǎn)，有有時(shí)時(shí)還還需需要要補(bǔ)補(bǔ)充充一一些些點(diǎn)點(diǎn)，再再綜綜合合前前四四步步討討論論的的結(jié)結(jié)果果畫(huà)畫(huà)出出函函數(shù)數(shù)的的圖圖形形.20.1.120dxyds 弧微分弧微分.lim.200dsdKs 曲率曲率.)1(232yyk (6) 弧微分弧微分 曲率曲率 曲率圓曲率圓 曲率的計(jì)算公式曲率的計(jì)算公式21.),(,.1,).0(),()(處的曲率圓處的曲率圓稱(chēng)此圓為曲線在點(diǎn)稱(chēng)此圓為曲線在點(diǎn)如圖如圖圓圓為半徑作為半徑作為圓心為圓心以以使使取一點(diǎn)取一點(diǎn)在凹的一側(cè)在凹的一側(cè)處的曲線的法線上處的曲線的法線上在點(diǎn)在點(diǎn)處的曲率為處的曲率為在點(diǎn)在
16、點(diǎn)設(shè)曲線設(shè)曲線MDkDMDMkkyxMxfy 定義定義,是是曲曲率率中中心心D.是曲率半徑是曲率半徑 .1,1 kk曲率圓曲率圓.3022求極限、1210)sin(coslim) 1 (xxxxx )sinln(cos102limxxxxxexxxxxxe2cossinsin0lim201sincoslimxxxxxe)()(1ln(lim0)(xfxfxf21e二、典型例題二、典型例題23)11(lim)2(exxxxtettttx101)1 (lim)1 ()1ln()1 ()1 (lim210tttttttt20)1ln()1 (limttttetttet2)1ln(11lim02e24
17、)0()1arctan(arctanlim)3(2ananann)1(11lim22nanann 之間）之間）與與在在（1nana 221) 1(lim annnna21arctanarctanlimxxbxax原式原式另解：另解：利用落必達(dá)法則利用落必達(dá)法則tx125(4)(4).)1(51lim520 xxxx 求極限求極限解解. 2的次數(shù)為的次數(shù)為分子關(guān)于分子關(guān)于 x515)51(51xx )()5()151(51! 21)5(51122xoxx )(2122xoxx )1()(21 lim2220 xxoxxxx 原式原式.21 )(0! 2) 1(1)1 (22xxxx 26.,12
18、2拐點(diǎn)區(qū)間凹凸極值的單調(diào)區(qū)間、求函數(shù)xxxy解解:)1(定義域定義域, 1 x), 1()1 , 1()1,( 即即222) 1(11xxy,)1()3(2222 xxx, 0 y令令. 3, 0, 3 x得得222) 1()3(2 xxxy,)1(1)1(133 xx27, 0 y令令. 0 x得可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)得可能拐點(diǎn)的橫坐標(biāo), 1 xyy不存在的點(diǎn)為不存在的點(diǎn)為、干個(gè)區(qū)間，列表討論干個(gè)區(qū)間，列表討論這些點(diǎn)將定義域分成若這些點(diǎn)將定義域分成若28x)3,( )1 , 0()1, 3( 3 )0 , 1( y y y 1 0 極大值極大值0拐點(diǎn)拐點(diǎn)00 x31y y y 極小值極小值0 )3
19、, 1(), 3( 3xy極大值極大值, 323 3xy極小值極小值, 323).0 , 0(拐點(diǎn)為拐點(diǎn)為29 3、判斷方程 有幾個(gè)實(shí)根。 )0( aaxex解：令 axexfx)(0)(),1 ()(xfxexfx由由則則得唯一駐點(diǎn) 1x)(,0)(,1xfxfx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)單調(diào)增加； )(,0)(,1xfxfx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)單調(diào)減少 的的極極大大值值是是故故)() 1 (1xfaef若 ，方程無(wú)實(shí)根。 0) 1 (,1fea則則xyo 若 ， 0) 1 (,1fea則則0)(lim,)(limaxfxfxx又又所以原方程僅有兩個(gè)實(shí)根。 若 方程有唯一實(shí)根。 0) 1 (,1fea則則30、不等式
20、的證明：4(1)利用微分中值定理。 ,),()()(,內(nèi)取得最大值內(nèi)取得最大值在在且且上上設(shè)在設(shè)在例例axfMxfa001 證明證明Maaff)()(0證明證明內(nèi)取得最大值內(nèi)取得最大值且在且在上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在因?yàn)橐驗(yàn)?,(,)(aaxf00所以最大值點(diǎn)一定是駐點(diǎn)， .)(),(00cfac使使即存在一點(diǎn)即存在一點(diǎn)用拉格朗日中值定理用拉格朗日中值定理上對(duì)上對(duì)在在)(,xfc0)()()(001 cffcf ),(c01 用拉格朗日中值定理用拉格朗日中值定理上對(duì)上對(duì)在在)(,xfac)()()(cafcfaf 2 ),(ac2 31(2).利用函數(shù)單調(diào)性 2例例.abbaeab，證明，證明設(shè)設(shè)證明
21、：證明：;lnlnbaabbaab，只需證，只需證要證要證0)(,lnln)(afaxxaaxxf令令)(01ln)(axxaxaaxf時(shí)單調(diào)增加，時(shí)單調(diào)增加，在在axxf)()()(10 f cf 即即)()()(2 fcaaf )()()()()(210 fcafcaff MaMcacM)(320)()(afbfab時(shí)，有時(shí)，有于是當(dāng)于是當(dāng);lnlnbaab即即.abba (3).利用函數(shù)的極值與最值3例例 設(shè) ,且0 1 ，證明0 x .1 xx證明：作函數(shù) ,)(xxxf ),1()(11 xxxf令 , 得 ; 0)( xf1x當(dāng) 時(shí) ，；當(dāng) 時(shí)， ； 10 x0)( xf1x0)(
22、 xf33 故在 處取得極大值 ;1x 1) 1 (f因?yàn)樵趨^(qū)間上只有一個(gè)極大值，而無(wú)極小值， 故極大值就是最大值， 因此當(dāng) 時(shí)， 0 x 1)(xf 1xx(4).利用函數(shù)的凹凸性. 例4 設(shè) 為正實(shí)數(shù)，試證ba,babababa)2(證明：只要證明 2ln)(lnlnbababbaa342ln2)lnln(21bababbaa即即證證明明作函數(shù) xxxfln)()0(x01)(ln1)( xxfxxf是凹函數(shù), )(xfy 所以對(duì)任意 有 , 0,ba)2(2)()(bafbfaf,2ln2)lnln(21bababbaababababa)2(所所以以35（5）利用泰勒公式5例例 設(shè) ,
23、且 ,證明 . 1)(lim0 xxfx0)( xfxxf)( 證明：由條件知 0)0(f1)(lim0)0()(lim)0(00 xxfxfxffxx由泰勒公式22)()0()0()(xfxffxf 在 與 之間 0 x)(22 fxx xxfxf )(0)(，365、設(shè)函數(shù))(xf,)(,Mxfba）內(nèi)可導(dǎo)，且）內(nèi)可導(dǎo)，且在（在（上有界。上有界。在在證明證明),()(baxf，證明：取定一點(diǎn)證明：取定一點(diǎn)),(0bax ),(0baxx的任一點(diǎn)的任一點(diǎn)對(duì)異于對(duì)異于)()()(00 xxfxfxf 之間之間與與在在0 xx )()()(00 xxfxfxf 00)()(xxfxf )()(0
24、abMxf)()(0abMxfK取?。╞a,)(Kxf376 設(shè)實(shí)數(shù)naaa,10滿足下述等式01210naaan證明方程010nnxaxaa在 ( 0 , 1) 內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 .證證: 令,)(10nnxaxaaxF則可設(shè)121012)(nnxnaxaxaxF,0) 1 ()0( FF）內(nèi)可導(dǎo)，）內(nèi)可導(dǎo)，上連續(xù)，在（上連續(xù)，在（在在且且10 1 , 0)(xF由羅爾定理可知存在一點(diǎn), ) 1 , 0(,0)( F使使010nnxaxaa即即在 ( 0 , 1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 .38內(nèi)可導(dǎo)，且上連續(xù)，在在、設(shè)) 1 , 0( 1 , 0)(7xf）使）使（證明至少存在一點(diǎn)證明至少存在一
25、點(diǎn)1 , 0, 0) 1 ( f)( f.)(2 f證證: : 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證.0)(2)( ff因此設(shè)輔助函數(shù). )()(2xfxx )(x 在 0 , 1 上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故至少存在一點(diǎn)使使) 1 ,0( .0)()(2)(2 ff)( f.)(2 f398 8)1 , 0(21)(:, 1)(),1 ()0(, 1 , 0)( xxfxfffxf證明且上二階可微在若函數(shù)證證, 100 x設(shè)設(shè)有有展展成成一一階階泰泰勒勒公公式式處處把把在在,)(xfx02000021)()()()(xxfxxxfxfxf 則則有有令令,10 xx201000210 xfxxfxff)()()()( 20
26、200012111)()()()(xfxxfxff )(1)(240202201012121)()()(xfxfxf ),()(10ff注意到注意到則有則有,)(1 xf2020012121)()(xxxf412120)(x,知知又又由由100 x,21210 x210)(xf于是有于是有.,可知命題成立可知命題成立的任意性的任意性由由0 x)()(12 41一、一、 選擇題：選擇題：1 1、 一元函數(shù)微分學(xué)的三個(gè)中值定理的結(jié)論都有一個(gè)一元函數(shù)微分學(xué)的三個(gè)中值定理的結(jié)論都有一個(gè)共同點(diǎn)，即共同點(diǎn)，即（ ）（A A） 它們都給出了點(diǎn)的求法它們都給出了點(diǎn)的求法 . .（B B） 它們都肯定了點(diǎn)一定存
27、在，且給出了求的它們都肯定了點(diǎn)一定存在，且給出了求的方法。方法。（C C） 它們都先肯定了它們都先肯定了 點(diǎn)一定存在，而且如果滿足點(diǎn)一定存在，而且如果滿足定理?xiàng)l件，就都可以用定理給出的公式計(jì)算的定理?xiàng)l件，就都可以用定理給出的公式計(jì)算的值值 . .（D D） 它們只肯定了的存在，卻沒(méi)有說(shuō)出的值是它們只肯定了的存在，卻沒(méi)有說(shuō)出的值是什么，也沒(méi)有給出求的方法什么，也沒(méi)有給出求的方法 . .測(cè)測(cè) 驗(yàn)驗(yàn) 題題D422 2、 若若)(xf在在),(ba可導(dǎo)且可導(dǎo)且)()(bfaf , ,則則（ ）（A A） 至少存在一點(diǎn)至少存在一點(diǎn)),(ba ，使，使0)( f；（B B） 一定不存在點(diǎn)一定不存在點(diǎn)),(
28、ba ，使，使0)( f；（C C） 恰存在一點(diǎn)恰存在一點(diǎn)),(ba ，使，使0)( f；（D D） 對(duì)任意的對(duì)任意的),(ba ，不一定能使，不一定能使0)( f . . 3 3已知已知)(xf在在,ba可導(dǎo)，且方程可導(dǎo)，且方程 f(x)f(x)=0=0 在在),(ba有有 兩個(gè)不同的根兩個(gè)不同的根 與與 ，那么在，那么在),(ba（） 0)( xf. .（A A） 必有；必有；（B B） 可能有；可能有；（C C） 沒(méi)有；沒(méi)有；（D D） 無(wú)法確定無(wú)法確定. .DA43 4 4、如果、如果)(xf在在,ba連續(xù)，在連續(xù)，在),(ba可導(dǎo)，可導(dǎo)，c為介于為介于 ba,之間的任一點(diǎn)，那么在之間
29、的任一點(diǎn)，那么在),(ba（ ）找到兩點(diǎn)）找到兩點(diǎn) 12, xx，使，使)()()()(1212cfxxxfxf 成立成立. . （A A）必能；）必能； （B B）可能；）可能； （C C）不能；）不能； （D D）無(wú)法確定能）無(wú)法確定能 . . 5 5、若、若)(xf在在,ba上連續(xù)，在上連續(xù)，在),(ba內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且 ),(bax 時(shí)，時(shí)，0)( xf，又，又0)( af, ,則則（ ）. .（A A） )(xf在在,ba上單調(diào)增加，且上單調(diào)增加，且0)( bf；（B B） )(xf在在,ba上單調(diào)增加，且上單調(diào)增加，且0)( bf；（C C） )(xf在在,ba上單調(diào)減少，且上
30、單調(diào)減少，且0)( bf；（D D） )(xf在在,ba上單調(diào)增加，但上單調(diào)增加，但)(bf的的 正負(fù)號(hào)無(wú)法確定正負(fù)號(hào)無(wú)法確定. .DD44 6 6、0)(0 xf是可導(dǎo)函數(shù)是可導(dǎo)函數(shù))(xf在在0 x點(diǎn)點(diǎn)處有極值的處有極值的（ ）. .（A A） 充分條件；充分條件；（B B） 必要條件必要條件（C C） 充要條件；充要條件；（D D） 既非必要又非充既非必要又非充 分分 條件條件. . 7 7、若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小、若連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小 值，則值，則（ ）. . （A A）極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值；）極大值一定是最大值，且極小值一定是
31、最小值； （B B）極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值；）極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值； （C C）極大值不一定是最大值，極小值也不一定是）極大值不一定是最大值，極小值也不一定是 最小值；最小值； （D D）極大值必大于極小值）極大值必大于極小值 . .BC45 8 8、若在、若在),(ba內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù))(xf的一階導(dǎo)數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)0)( xf， 二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)0)( xf, ,則函數(shù)則函數(shù))(xf在此區(qū)間內(nèi)在此區(qū)間內(nèi)( ( ). ).（A A） 單調(diào)減少，曲線是凹的；單調(diào)減少，曲線是凹的；（B B） 單調(diào)減少，曲線是凸的；單調(diào)減少，曲線是凸的；（C C） 單調(diào)增加，曲線
32、是凹的；單調(diào)增加，曲線是凹的；（D D） 單調(diào)增加，曲線是凸的單調(diào)增加，曲線是凸的. . 9 9、設(shè)、設(shè)0)(lim)(lim xFxfaxax，且在點(diǎn)，且在點(diǎn)a的某的某 鄰域中鄰域中（點(diǎn)（點(diǎn)a可除外） ，可除外） ，)(xf及及)(xF都存在，都存在， 且且0)( xF, ,則則)()(limxFxfax存在是存在是)()(limxFxfax 存在的存在的（ ）. . （A A）充分條件；）充分條件； （B B）必要條件；）必要條件； （C C）充分必要條件；）充分必要條件； （D D）既非充分也非必要條件）既非充分也非必要條件 . .DB46Ca2121e21不存在不存在47三、一個(gè)半徑為
33、三、一個(gè)半徑為R的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正圓錐體，問(wèn)圓錐的球內(nèi)有一個(gè)內(nèi)接正圓錐體，問(wèn)圓錐 體的高和底半徑成何比例時(shí)，圓錐體的體積最大？體的高和底半徑成何比例時(shí)，圓錐體的體積最大？四、若四、若0 x, ,試證試證xxxx )1ln(1. .五、設(shè)五、設(shè)dcxbxaxxf 23)(有拐點(diǎn)有拐點(diǎn)（1 1，2 2） ，） ， 并在該點(diǎn)有水平切線，并在該點(diǎn)有水平切線，)(xf交交x軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)（3 3，0 0） ，） ，求求)(xf. .六、確定六、確定cba,的值，使拋物線的值，使拋物線cbxaxy 2 與正弦曲線在點(diǎn)與正弦曲線在點(diǎn))1 ,2( 相切，并有相同的曲率相切，并有相同的曲率. .七、繪出函數(shù)七、繪
34、出函數(shù)2)1(4)(2 xxxf的圖形的圖形. .48八、設(shè)八、設(shè))(xf在在1 , 0上連續(xù)，在上連續(xù)，在(0,1)(0,1)內(nèi)可導(dǎo)，且內(nèi)可導(dǎo)，且1)1(, 0)0( ff, ,試證：對(duì)任意給定的正數(shù)試證：對(duì)任意給定的正數(shù)ba,在在)1 , 0(內(nèi)存在不同的內(nèi)存在不同的 ,，使，使bafbfa )()( . .49一、一、1 1、D D； 2 2、D D； 3 3、A A； 4 4、B B； 5 5、D D； 6 6、B B； 7 7、C C； 8 8、D D； 9 9、B B； 10 10、C.C.二、二、1 1、a21； 2 2、21e； 3 3、21； 4 4、不存在、不存在. .三、三、1:2. .五、五、49434341)(23 xxxxf. .六、六、8122122 xxy. .測(cè)驗(yàn)題答案測(cè)驗(yàn)題答案
高等數(shù)學(xué)：第三章 習(xí)題課
