天津市青光中學(xué)高二數(shù)學(xué) 232雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)課件

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1、 2.3.2雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì) 一、知識(shí)再現(xiàn)一、知識(shí)再現(xiàn) 前面我們學(xué)習(xí)了橢圓前面我們學(xué)習(xí)了橢圓 的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)：的簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)： 范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率. 我們來共同回顧一下橢圓我們來共同回顧一下橢圓 x2/a2+y2/b2=1(ab0) 幾何性質(zhì)的具體內(nèi)容及其研究方法幾何性質(zhì)的具體內(nèi)容及其研究方法.12222byax12222byax 橢 圓標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1(ab0) 幾何 圖形 范圍 對(duì)稱性 頂點(diǎn)a、b、c的含義離心率e定義B2B1yxA2A1 0F1F2x|x |a 、|y | b x2/ a2 1 、y 2/ b

2、2 1中心對(duì)稱，軸對(duì)稱 -x代x、-y代yA1(-a,0 ) , A2(a,0)B1(0-b ) , B2(0,b)分別令x=0，y=0a (長(zhǎng)半軸長(zhǎng)) c（半焦距長(zhǎng)）b（短半軸長(zhǎng)) a2=b2+c2焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 e=c/a 0eb0)x2/a2-y2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形范圍 對(duì)稱性頂點(diǎn) a,b,c的含義離心率e的定義x2 /a2 1 、y 2/ b2 1 -x代x、-y代y分別令x=0，y=0 x a 或 x -a中心對(duì)稱，軸對(duì)稱A1(-a,0 ) 、A2(a,0)a （實(shí)半軸長(zhǎng)實(shí)半軸長(zhǎng)）c （半焦距長(zhǎng)）半焦距長(zhǎng)） b （虛半軸長(zhǎng)虛半軸長(zhǎng)） a2=c2-b2焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的

3、比 e=c/a e1a (長(zhǎng)半軸長(zhǎng)長(zhǎng)半軸長(zhǎng)) c（半焦距長(zhǎng)）半焦距長(zhǎng)）b（短半軸長(zhǎng)短半軸長(zhǎng)) a2=b2+c2焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 e=c/a 0e0,b0) y2/a2-x2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形 范圍x a 或 x -a 對(duì)稱性中心對(duì)稱，軸對(duì)稱 頂 點(diǎn)a、b、c的含義 離心率e焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比 e=c/a e1 y a 或 y -a中心對(duì)稱，軸對(duì)稱A1(0,-a ) , A2(0,a)A1(- a, 0) , A2(a, 0)a（實(shí)半軸長(zhǎng)） c（半焦距長(zhǎng)） b（虛半軸長(zhǎng)） a2=c2-b2a （實(shí)半軸長(zhǎng)） c（半焦距長(zhǎng)）b （虛半軸長(zhǎng)） a2=c2-b2焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比 e=c/

4、a e1 yx oA2A1 B1B2F1 F2yF2A2A1B2 0 xF1x=ax=-ay=ay=-a B1 四、四、讓我們來討論讓我們來討論 雙曲線的頂點(diǎn)就是雙曲線與坐標(biāo)軸的雙曲線的頂點(diǎn)就是雙曲線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，你認(rèn)為對(duì)嗎？討論并給出答案交點(diǎn)，你認(rèn)為對(duì)嗎？討論并給出答案.yF2B1A2A1B2 0 xF1五、讓我們共同分析五、讓我們共同分析 例例1、求雙曲線、求雙曲線 9y2-16x2=144的實(shí)半軸長(zhǎng)和的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率虛半軸長(zhǎng)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率. 分析：分析： 化為標(biāo)準(zhǔn)方程：化為標(biāo)準(zhǔn)方程： y2/16-x2/9=1 確定焦點(diǎn)位置：在確定焦點(diǎn)位置：在y軸上軸上 找出找

5、出a、b的值：的值：a=4,b=3 代入關(guān)系式代入關(guān)系式c2=a2+b2=25 、e=c/a=5/4 寫出結(jié)果：寫出結(jié)果：a=4,b=3,F1(0, 5),F2(0,-5),e=5/4. 六、練一練六、練一練 求下列雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)及頂點(diǎn)坐標(biāo)求下列雙曲線的實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)及頂點(diǎn)坐標(biāo). (1)x2-4y2=16 (2) x2/49-y2/25=-1 解答：（解答：（1）a=4,b=2,A1(-4,0),A2(4,0) （2）a=5,b=7,A1(0,-5),A2(0,5)請(qǐng)思考：請(qǐng)思考：如若求半焦距長(zhǎng)和離心率呢？如若求半焦距長(zhǎng)和離心率呢？ 小結(jié)：關(guān)鍵在于求實(shí)半軸小結(jié)：關(guān)鍵在于求實(shí)半軸

6、a的長(zhǎng)和虛半軸的長(zhǎng)和虛半軸b的長(zhǎng)，的長(zhǎng)，然后代入關(guān)系式然后代入關(guān)系式c2=a2+b2、e=c/a求半焦距求半焦距c的長(zhǎng)的長(zhǎng)及離心率及離心率.七、讓我們繼續(xù)研究七、讓我們繼續(xù)研究 請(qǐng)觀察雙曲線的圖象和矩形對(duì)角線請(qǐng)觀察雙曲線的圖象和矩形對(duì)角線,有何特征？有何特征？ 雙曲線雙曲線 x2/a2-y2/b2=1(a0、b0)的各支向外延伸的各支向外延伸時(shí)，與矩形的兩條對(duì)角線所在的直線逐漸接近時(shí)，與矩形的兩條對(duì)角線所在的直線逐漸接近.請(qǐng)思考：結(jié)論正確嗎請(qǐng)思考：結(jié)論正確嗎?F2 yB1A2A1B2 0 xF1 （一）、我們共同來設(shè)計(jì)一個(gè)方案：（一）、我們共同來設(shè)計(jì)一個(gè)方案：八、我們一起來證明八、我們一起來證

7、明 1、由雙曲線的對(duì)稱性我們只需研究第一象限的情形；、由雙曲線的對(duì)稱性我們只需研究第一象限的情形； 2、如何說明如何說明雙曲線雙曲線 x2/a2-y2/b2=1在第一象限內(nèi)與矩形的對(duì)角線所在第一象限內(nèi)與矩形的對(duì)角線所在的直線逐漸接近且不相交呢？在的直線逐漸接近且不相交呢？ M(x,y) Q Q（2）如何說明）如何說明|MQ|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0呢？呢？0 xyb ba aLN(x,YN(x,Y) )（3）如何證明）如何證明|MN|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0呢？我呢？我們可用方程的思想解決：們可用方程的思想解決： |MN|=Y- y，求出，求出M、N點(diǎn)坐標(biāo)即可點(diǎn)坐標(biāo)即可.為

8、此我們過點(diǎn)為此我們過點(diǎn)M作一條直線作一條直線L與與y軸平行，交軸平行，交矩形對(duì)角線與矩形對(duì)角線與N點(diǎn)，坐標(biāo)記為點(diǎn)，坐標(biāo)記為N（ x ，Y）.我我們需證明們需證明N點(diǎn)在點(diǎn)在M點(diǎn)上方，即證點(diǎn)上方，即證y Y.又又|MQ| |MN| ，所只需證明，所只需證明|MN|逐漸減小且逐漸減小且不等于不等于0即可即可.（1）我們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)雙曲線圖象上任取一點(diǎn)）我們?cè)诘谝幌笙迌?nèi)雙曲線圖象上任取一點(diǎn)M（x, y ），過），過M點(diǎn)向矩形的對(duì)角線點(diǎn)向矩形的對(duì)角線y=bx/a引垂線，垂足為引垂線，垂足為Q點(diǎn)。我們只需說點(diǎn)。我們只需說明明|MQ|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0即可即可.a a) )( (x xa a

9、x xa ab by y2 22 2x xa ab bY Y 2 22 2a ax xa ab by y2 2x xa a1 1x xa ab bx xa ab bY Y（二）、我們來證明二）、我們來證明 先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明這一部先取雙曲線在第一象限內(nèi)的部分進(jìn)行證明這一部分的方程可寫為分的方程可寫為0 xyN(x,YN(x,Y) ) Q QM(x,y)y yY YMNMN) )a ax x(x(xa ab b2 22 2) )a ax x(x(x) )a ax x)(x)(xa ax x(x(xa ab b2 22 22 22 22 22 2) )a ax x(x(xabab

10、2 22 2 在該式子中在該式子中x (xa)逐漸增大時(shí)，逐漸增大時(shí)， |MN|逐漸減小且不等于逐漸減小且不等于0.又又|MQ| |MN|，所以，所以|MQ|逐漸減小且不等逐漸減小且不等于于0.即雙曲線即雙曲線 x2/a2-y2/b2=1在第一象限內(nèi)與矩在第一象限內(nèi)與矩形的對(duì)角線所在的直線逐漸接近且不相交形的對(duì)角線所在的直線逐漸接近且不相交.在其在其它象限內(nèi)，我們可類似證明它象限內(nèi)，我們可類似證明. yN(x,YN(x,Y) )M(x,y)0 x Q Q （三）、請(qǐng)注意：（三）、請(qǐng)注意：1、當(dāng)焦點(diǎn)在、當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)也可類似證明具有同樣性質(zhì)；軸上時(shí)也可類似證明具有同樣性質(zhì)； 2、我們把兩條直線

11、、我們把兩條直線 y =bx /a 叫做雙曲線的叫做雙曲線的漸近線漸近線.3、當(dāng)焦點(diǎn)在、當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，漸，漸 近線方程為近線方程為y =bx /a ； 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為y2/a2- x2/b2=1(a0,b0)，漸近，漸近 線方程為線方程為y =ax /b .九、動(dòng)腦筋九、動(dòng)腦筋1 1、如何求雙曲線的漸近線？、如何求雙曲線的漸近線？ 例：例：求下列雙曲線求下列雙曲線 的漸近線的漸近線 （1 1） 9y2-16x2=144； （2 2） 9y2-16x2= -144 . 規(guī)律總結(jié)：規(guī)律總結(jié)：（1）求

12、矩形對(duì)角線所在的直線方程；）求矩形對(duì)角線所在的直線方程；解答：解答：（1）y=4x/3 ， （2）y=4x/30yb ba a （2）化成標(biāo)準(zhǔn)式后再將）化成標(biāo)準(zhǔn)式后再將1換成換成0或直接將常數(shù)項(xiàng)換為或直接將常數(shù)項(xiàng)換為0.2、雙曲線與其漸近線之間是否是一對(duì)一關(guān)系？、雙曲線與其漸近線之間是否是一對(duì)一關(guān)系？例：當(dāng)漸近線方程為例：當(dāng)漸近線方程為y=bx/a時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方時(shí)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方 程一定是程一定是x2/a2-y2/b2=1嗎？為什么？嗎？為什么？xy=bx/ay=-bx/a 3、類比作橢圓的簡(jiǎn)圖、類比作橢圓的簡(jiǎn)圖,如何較規(guī)范地作出如何較規(guī)范地作出雙曲線的圖形？雙曲線的圖形？ 例：畫出下列雙

13、曲線的圖形例：畫出下列雙曲線的圖形 （1） 9y2-16x2=144； （2） x2 -y2= 4 .注注:實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線實(shí)軸和虛軸等長(zhǎng)的雙曲線 叫做等軸雙曲線叫做等軸雙曲線.0yxM- 3 3 4 - 4十、讓我們來共同回顧十、讓我們來共同回顧 本節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了那些內(nèi)容：本節(jié)課我們共同學(xué)習(xí)了那些內(nèi)容： 橢圓 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2+y2/b2=1(ab0) x2/a2-y2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形 范圍|x |a 、|y | b x a 或 x -a對(duì)稱性中心對(duì)稱，軸對(duì)稱 中心對(duì)稱，軸對(duì)稱頂點(diǎn)A1(-a,0 ) , A2(a,0)B1(0-b ) , B2(0,b)

14、 A1(-a,0 ) 、 A2(a,0)a,b,c的含義a (長(zhǎng)半軸長(zhǎng)) c（半焦距長(zhǎng)）b（短半軸長(zhǎng)） a2=b2+c2a （實(shí)半軸長(zhǎng)）c （半焦距長(zhǎng)） b （虛半軸長(zhǎng)） a2=c2-b2離心率e定義焦距與長(zhǎng)軸長(zhǎng)的比 e=c/a 0e1B2B1yxA2A1 0F1F2yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a標(biāo)準(zhǔn)方程x2/a2-2/b2=1(a0,b0)y2/a2-x2/b2=1(a0、b0) 幾何 圖形 范圍 x a 或 x -a y a 或 y -a 對(duì)稱性 中心對(duì)稱，軸對(duì)稱中心對(duì)稱，軸對(duì)稱 頂 點(diǎn)A1(-a,0 ) , A2(a,0) A1(0,-a ) , A2(0,a)a、b、

15、c的含義a （實(shí)半軸長(zhǎng)） c（半焦距）b （虛半軸長(zhǎng)） a2=c2-b2a（實(shí)半軸長(zhǎng)） c（半焦距長(zhǎng)） b（虛半軸長(zhǎng)） a2=c2-b2 離心率e焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比 e=c/a e1焦距與實(shí)軸長(zhǎng)的比 e=c/a e1yF2B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a yx oA2A1 B1B2F1 F2 雙曲線的漸近線雙曲線的漸近線yF2 yx oA2A1 B1B2F1 F2 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 x2/a2-y2/b2=1(a0,b0)，漸，漸 近線方程為近線方程為y =bx /a ； 當(dāng)焦點(diǎn)在當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，方程為軸上時(shí)，方程為 y2/a2-x2/b2=1(a0,b0)，漸近，漸近 線方程為線方程為y =ax /b .B1A2A1B2 0 xF1X=aX=-a 1 1、離心率、離心率E E的變化對(duì)雙曲線圖形有何影響？的變化對(duì)雙曲線圖形有何影響？ 如何解釋？如何解釋？ 十一、課后請(qǐng)你思考題十一、課后請(qǐng)你思考題0yb ba aF1CF2x0ye1e2e3e4 2、 如圖，雙曲線和橢圓的離心率分別為如圖，雙曲線和橢圓的離心率分別為e1、e2、e3、e4, 試比較試比較e1、e2、e3、e4 的大小的大小.