2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題1.6 解析幾何（講）理

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1、 專(zhuān)題1.6 解析幾何 考向一 直線(xiàn)與圓 【高考改編☆回顧基礎(chǔ)】 1.【直線(xiàn)垂直的位置關(guān)系及直線(xiàn)的點(diǎn)斜式方程】【2016·天津卷改編】過(guò)原點(diǎn)且與直線(xiàn)2x＋y＝0垂直的直線(xiàn)方程為_(kāi)_______． 【答案】y＝x 【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)2x＋y＝0的斜率為－2，所以所求直線(xiàn)的斜率為，所以所求直線(xiàn)方程為y＝x. 2.【弦長(zhǎng)問(wèn)題】【2016·全國(guó)卷Ⅰ改編】設(shè)直線(xiàn)y＝x＋2與圓C：x2＋y2－2y－2＝0相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________． 【答案】2 3.【直線(xiàn)與圓，圓與圓的位置關(guān)系】【2016·山東卷改編】已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)

2、截直線(xiàn)x＋y＝0所得線(xiàn)段的長(zhǎng)度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是________． 【答案】相交 【解析】由垂徑定理得2＋()2＝a2，解得a2＝4，∴圓M：x2＋(y－2)2＝4，∴圓M與圓N的圓心距d＝＝.∵2－1<<2＋1，∴兩圓相交． 4.【橢圓的幾何性質(zhì)、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系】【2017課標(biāo)3，改編】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線(xiàn)段A1A2為直徑的圓與直線(xiàn)相切，則C的離心率為 . 【答案】 【解析】 故填. 【命題預(yù)測(cè)☆看準(zhǔn)方向】 從近五年的高考試題來(lái)看,高考的重點(diǎn)是求圓的方程、求與圓有關(guān)的軌跡

3、方程、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)問(wèn)題、切線(xiàn)問(wèn)題、圓與圓的位置關(guān)系,圓與圓錐曲線(xiàn)的交匯問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),經(jīng)常以選擇題、解答題的形式出現(xiàn).另外，從高考試題看，涉及直線(xiàn)、圓的問(wèn)題有與圓錐曲線(xiàn)等綜合命題趨勢(shì).復(fù)習(xí)中應(yīng)注意圍繞圓的方程、直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等,其中經(jīng)?？疾榈氖菆A與圓位置關(guān)系中的動(dòng)點(diǎn)軌跡,直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系中的弦長(zhǎng)問(wèn)題、切線(xiàn)問(wèn)題、參數(shù)的取值范圍等. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2018屆北京豐臺(tái)二中高三上學(xué)期期中】已知點(diǎn)及圓． （Ⅰ）設(shè)過(guò)的直線(xiàn)與圓交于， 兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求以為直徑的圓的方程． （Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)與圓交于， 兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)，垂直平分弦？

4、若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1) (2) 不存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直平分弦． 【解析】試題分析：（1）由利用兩點(diǎn)間的距離公式求出圓心C到P的距離，再根據(jù)弦長(zhǎng)|MN|的一半及半徑，利用勾股定理求出弦心距d，發(fā)現(xiàn)|CP|與d相等，所以得到P為MN的中點(diǎn)，所以以MN為直徑的圓的圓心坐標(biāo)即為P的坐標(biāo)，半徑為|MN|的一半，根據(jù)圓心和半徑寫(xiě)出圓的方程即可；（2）把已知直線(xiàn)的方程代入到圓的方程中消去y得到關(guān)于x的一元二次方程，因?yàn)橹本€(xiàn)與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，所以得到△＞0，列出關(guān)于a的不等式，求出不等式的解集即可得到a的取值范圍，利用反證法證明證明即可． （Ⅱ）把直線(xiàn)

5、及代入圓的方程，消去，整理得： ， 由于直線(xiàn)交圓于， 兩點(diǎn)， 故，即，解得． 則實(shí)數(shù)的取值范圍是． 設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在， 由于垂直平分弦，故圓心必在直線(xiàn)上， 所以的斜率，所以， 由于， 故不存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)垂直平分弦． 【趁熱打鐵】【2018屆江蘇省興化市楚水實(shí)驗(yàn)學(xué)校、黃橋中學(xué)、口岸中學(xué)三校高三12月聯(lián)考】經(jīng)過(guò)點(diǎn)且圓心是直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_________． 【答案】 【解析】直線(xiàn)與直線(xiàn)的交點(diǎn)為 即圓心為，因?yàn)閳A經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以半徑為2，故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為 故答案為 【例2】已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(0，2)，B(2，0)，圓C的圓心在圓x2＋y2＝2的內(nèi)

6、部，且直線(xiàn)3x＋4y＋5＝0被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2.點(diǎn)P為圓C上異于A(yíng)，B的任意一點(diǎn)，直線(xiàn)PA與x軸交于點(diǎn)M，直線(xiàn)PB與y軸交于點(diǎn)N. (1)求圓C的方程； (2)若直線(xiàn)y＝x＋1與圓C交于A(yíng)1，A2兩點(diǎn)，求·； (3)求證：|AN|·|BM|為定值． 【答案】(1)x2＋y2＝4.(2)3.(3)證明：見(jiàn)解析. (2)將y＝x＋1代入x2＋y2＝4得2x2＋2x－3＝0. 設(shè)A1(x1，y1)，A2(x2，y2)， 則x1＋x2＝－1，x1x2＝－. ∴·＝(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝x1x2－2(x1＋x2)＋4＋(x1＋1)(x2＋1)＝2x1x2－(x1＋

7、x2)＋5＝－3＋1＋5＝3. (3)證明：當(dāng)直線(xiàn)PA的斜率不存在時(shí)，|AN|·|BM|＝8. 當(dāng)直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB的斜率都存在時(shí)，設(shè)P(x0，y0)， 直線(xiàn)PA的方程為y＝x＋2，令y＝0得M. 直線(xiàn)PB的方程為y＝(x－2)，令x＝0得N. ∴|AN|·|BM|＝＝4＋4 ＝ 4 ＋ 4· ＝ 4 ＋ 4· ＝ 4 ＋ 4× ＝ 8， 故|AN|·|BM|為定值8. 【趁熱打鐵】(1)已知圓C的方程為x2＋y2＋8x＋15＝0，若直線(xiàn)y＝kx－2上至少存在一點(diǎn)，使得以該點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓與圓C有公共點(diǎn)，則k的取值范圍為_(kāi)_______________． (2)已知

8、圓C：x2＋y2－ax＋2y－a＋4＝0關(guān)于直線(xiàn)l1：ax＋3y－5＝0對(duì)稱(chēng)，過(guò)點(diǎn)P(3，－2)的直線(xiàn)l2與圓C交于A(yíng)，B兩點(diǎn)，則弦長(zhǎng)|AB|的最小值為_(kāi)_______________． 【答案】(1)－≤k≤0　(2)2. (2)圓C：x2＋y2－ax＋2y－a＋4＝0，其圓心C為，半徑r＝. ∵圓C關(guān)于直線(xiàn)l1：ax＋3y－5＝0對(duì)稱(chēng)，∴－3－5＝0， 解得a＝±4. 當(dāng)a＝－4時(shí)，半徑小于0，不合題意，舍去． ∴a＝4，則圓心C為(2，－1)，半徑r＝. 由|PC|＝<，可知點(diǎn)P在圓內(nèi)，則當(dāng)弦長(zhǎng)|AB|最小時(shí)，直線(xiàn)l2與PC所在直線(xiàn)垂直． 此時(shí)圓心C到直線(xiàn)l2的距離

9、d＝|PC|＝， 弦長(zhǎng)|AB|＝2＝2， 即所求最小值為2. 【方法總結(jié)☆全面提升】 1.要注意幾種直線(xiàn)方程的局限性,點(diǎn)斜式、斜截式方程要求直線(xiàn)不能與x軸垂直,兩點(diǎn)式方程要求直線(xiàn)不能與坐標(biāo)軸垂直,而截距式方程不能表示過(guò)原點(diǎn)的直線(xiàn),也不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線(xiàn). 2.求解與兩條直線(xiàn)平行或垂直有關(guān)的問(wèn)題時(shí),主要是利用兩條直線(xiàn)平行或垂直的充要條件,即若斜率存在時(shí),“斜率相等”或“互為負(fù)倒數(shù)”;若出現(xiàn)斜率不存在的情況,可考慮用數(shù)形結(jié)合的方法去研究. 3.求圓的方程一般有兩類(lèi)方法: (1)幾何法,通過(guò)圓的性質(zhì)、直線(xiàn)與圓、圓與圓的位置關(guān)系,求得圓的基本量和方程; (2)代數(shù)法,即用待定系數(shù)

10、法先設(shè)出圓的方程,再由條件求得各系數(shù). 4.直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系: (1)代數(shù)法．將圓的方程和直線(xiàn)的方程聯(lián)立起來(lái)組成方程組，利用判別式Δ來(lái)討論位置關(guān)系：Δ>0?相交；Δ＝0?相切；Δ<0?相離； (2)幾何法．把圓心到直線(xiàn)的距離d和半徑r的大小加以比較：dr?相離． 優(yōu)先選用幾何法. 5.處理有關(guān)圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題求解方法： (1)根據(jù)平面幾何知識(shí)構(gòu)建直角三角形，把弦長(zhǎng)用圓的半徑和圓心到直線(xiàn)的距離表示，l＝2(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，r為圓的半徑，d為圓心到直線(xiàn)的距離)． (2)根據(jù)公式：l＝|x1－x2|求解(其中l(wèi)為弦長(zhǎng)，x1，x2為直線(xiàn)與圓相交所得交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，k

11、為直線(xiàn)的斜率)． (3)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，用兩點(diǎn)間距離公式求解． 【規(guī)范示例☆避免陷阱】 【典例】已知過(guò)原點(diǎn)的動(dòng)直線(xiàn)l與圓相交于不同的兩點(diǎn)A,B. ①求圓的圓心坐標(biāo). ②求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程. ③是否存在實(shí)數(shù)k,使得直線(xiàn)L:y=k(x-4)與曲線(xiàn)C只有一個(gè)交點(diǎn)?若存在,求出k的取值范圍;若不存在,說(shuō)明理由. 【規(guī)范解答】: ①由,得(x-3)2+y2=4, 從而可知圓C1的圓心坐標(biāo)為(3,0). ②設(shè)線(xiàn)段AB的中點(diǎn)M(x,y), 由弦的性質(zhì)可知C1M⊥AB,即C1M⊥OM. 故點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)C1為直徑的圓, 該圓的圓心為C,半徑r=|OC1|=3=,其方程為+

12、y2=,即x2+y2-3x=0. 又因?yàn)辄c(diǎn)M為線(xiàn)段AB的中點(diǎn),所以點(diǎn)M在圓C1內(nèi),所以<2. 又x2+y2-3x=0,所以x> 易知x≤3,所以

13、.涉及直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系時(shí),應(yīng)多考慮圓的幾何性質(zhì),利用幾何法進(jìn)行運(yùn)算求解往往會(huì)減少運(yùn)算量. 考向二 橢圓、雙曲線(xiàn)、拋物線(xiàn) 【高考改編☆回顧基礎(chǔ)】 1.【橢圓的方程及其幾何性質(zhì)】【2017·江蘇卷改編】橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，橢圓的半焦距為c且a2＝4c，則橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)___________． 【答案】＋＝1　 【解析】因?yàn)闄E圓E的離心率為，所以e＝＝，又a2＝4c, 所以a＝2，c＝1，于是b＝＝， 因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是＋＝1. 2．【雙曲線(xiàn)的方程及其幾何性質(zhì)】【2017·全國(guó)卷Ⅲ】雙曲線(xiàn)－＝1(a＞0)的一條漸近線(xiàn)方程為y＝x，則a＝____

14、____. 【答案】 【解析】令－＝0，得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，∵雙曲線(xiàn)－＝1(a>0)的一條漸近線(xiàn)方程為y＝x，∴a＝5. 3. 【拋物線(xiàn)方程及其幾何性質(zhì)】【2017課標(biāo)1，改編】已知F為拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線(xiàn)l1，l2，直線(xiàn)l1與C交于A(yíng)、B兩點(diǎn)，直線(xiàn)l2與C交于D、E兩點(diǎn)，則|AB|+|DE|的最小值為 . 【答案】16 【命題預(yù)測(cè)☆看準(zhǔn)方向】 從近五年的高考試題來(lái)看,圓錐曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)等是高考考查的重點(diǎn),也是高考命題的基本元素.考查的角度有:對(duì)圓錐曲線(xiàn)的定義的理解及定義的應(yīng)用,求圓錐曲線(xiàn)

15、的標(biāo)準(zhǔn)方程,求圓錐曲線(xiàn)的離心率以及向量、直線(xiàn)、圓錐曲線(xiàn)的小綜合. 考查的重點(diǎn)是依據(jù)圓錐曲線(xiàn)的幾何性質(zhì)求離心率;根據(jù)圓錐曲線(xiàn)的定義求標(biāo)準(zhǔn)方程；圓錐曲線(xiàn)與向量的小綜合;兩種圓錐曲線(xiàn)間的小綜合;直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的小綜合;圓錐曲線(xiàn)的綜合應(yīng)用等. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2017課標(biāo)II，理9】若雙曲線(xiàn)（，）的一條漸近線(xiàn)被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】 【趁熱打鐵】【2018屆吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三上第五次月考（一模

16、）】F1，F(xiàn)2分別是雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，過(guò)F1的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的左、右兩支分別交于A(yíng)、B兩點(diǎn)．若△ABF2是等邊三角形，則該雙曲線(xiàn)的離心率為 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】設(shè)，則， 由余弦定理得 選D. 【例2】【2017課標(biāo)II，理】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：上，過(guò)M作x軸的垂線(xiàn)，垂足為N，點(diǎn)P滿(mǎn)足。 (1) 求點(diǎn)P的軌跡方程； (2)設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)上，且。證明：過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l過(guò)C的左焦點(diǎn)F。 【答案】(1) 。 (2)證明略。 【解析】 （2）由題意知.設(shè),則 ， 。 由得，又由（1）知，故 . 所

17、以，即.又過(guò)點(diǎn)P存在唯一直線(xiàn)垂直于OQ，所以過(guò)點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)過(guò)C的左焦點(diǎn)F. 【趁熱打鐵】如圖,拋物線(xiàn).點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線(xiàn)C2上,過(guò)點(diǎn)M作C1的切線(xiàn),切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O).當(dāng)時(shí),切線(xiàn)MA的斜率為. (1)求p的值; (2)當(dāng)點(diǎn)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線(xiàn)段AB的中點(diǎn)N的軌跡方程(當(dāng)A,B重合于點(diǎn)O時(shí),中點(diǎn)為O). 【答案】(1)p=2.(2)x2=y. 【解析】(1)因?yàn)閽佄锞€(xiàn)C1:x2=4y上任意一點(diǎn)(x,y)的切線(xiàn)斜率為y'=,且切線(xiàn)MA的斜率為-,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為,所以切線(xiàn)MA的方程為y=-(x+1)+. 因?yàn)辄c(diǎn)M(1-,y0)在切線(xiàn)MA及

18、拋物線(xiàn)C2上, 于是y0=-(2-)+=-,① y0=-=-.② 由①②得p=2. (2)設(shè)N(x,y),A,B,x1≠x2,由N為線(xiàn)段AB中點(diǎn), 知x=,③ y=.④ 切線(xiàn)MA的方程為y=(x-x1)+,⑤ 切線(xiàn)MB的方程為y=(x-x2)+.⑥ 由⑤⑥得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為x0=,y0=. 因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在C2上,即=-4y0, 所以x1x2=-.⑦ 由③④⑦得x2=y,x≠0. 當(dāng)x1=x2時(shí),A,B重合于原點(diǎn)O,AB中點(diǎn)N為O,坐標(biāo)滿(mǎn)足x2=y. 因此線(xiàn)段AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=y. 【例3】【2017課標(biāo)3，理20】已知拋

19、物線(xiàn)C：y2=2x，過(guò)點(diǎn)（2,0）的直線(xiàn)l交C與A,B兩點(diǎn)，圓M是以線(xiàn)段AB為直徑的圓. （1）證明：坐標(biāo)原點(diǎn)O在圓M上； （2）設(shè)圓M過(guò)點(diǎn)，求直線(xiàn)l與圓M的方程. 【答案】(1)證明略； (2)直線(xiàn) 的方程為 ，圓 的方程為 . 或直線(xiàn) 的方程為 ，圓 的方程為 . 【解析】 所以 ，解得 或 . 當(dāng) 時(shí)，直線(xiàn) 的方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 . 當(dāng) 時(shí)，直線(xiàn) 的方程為 ，圓心 的坐標(biāo)為 ，圓 的半徑為 ，圓 的方程為 . 【趁熱打鐵】【2018屆廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個(gè)頂點(diǎn)分別為x軸正半軸上的

20、某點(diǎn)滿(mǎn)足. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在圓上,且在第一象限,過(guò)作圓的切線(xiàn)交橢圓于,求證:△的周長(zhǎng)是定值． 【答案】(1) (2)見(jiàn)解析 【解析】試題分析： (1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為可知，可得橢圓方程;(2)法一:設(shè)，結(jié)合橢圓方程可得，在圓中, 是切點(diǎn), ，同理可得,則易得結(jié)論;法二:設(shè) 的方程為，聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，再求出，則結(jié)論易得. 試題解析： (1)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為,可知, . 因此橢圓的方程是. (2)方法1:設(shè),則, =, ∵,∴, 在圓中, 是切點(diǎn), ∴==, ∴, 同理,∴, 因

21、此△的周長(zhǎng)是定值． 方法2:設(shè)的方程為, 由,得, 設(shè),則, ∴== = , ∵與圓相切,∴,即, ∴, ∵, ∵,∴, 同理可得, ∴, 因此△的周長(zhǎng)是定值． 【方法總結(jié)☆全面提升】 1.涉及橢圓(或雙曲線(xiàn))兩焦點(diǎn)距離的問(wèn)題或焦點(diǎn)弦問(wèn)題以及到拋物線(xiàn)焦點(diǎn)(或準(zhǔn)線(xiàn))距離的問(wèn)題,可優(yōu)先考慮圓錐曲線(xiàn)的定義.求圓錐曲線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)“先定型,后計(jì)算”,即首先確定是何種曲線(xiàn),焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上,然后利用條件求a,b,p的值. 2.求橢圓、雙曲線(xiàn)的離心率問(wèn)題,關(guān)鍵是首先根據(jù)已知條件確定a,b,c的關(guān)系,然后將b用a,c代換,求e= 的值;另外要注意雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)與離心率的

22、關(guān)系.圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)常與等差數(shù)列、等比數(shù)列、三角函數(shù)、不等式等問(wèn)題聯(lián)系在一起,一般先利用條件轉(zhuǎn)化為單一知識(shí)點(diǎn)的問(wèn)題再求解. 3.求曲線(xiàn)的軌跡方程時(shí),先看軌跡的形狀是否預(yù)知,若能依據(jù)條件確定其形狀,可用定義法或待定系數(shù)法求解;若動(dòng)點(diǎn)P與另一動(dòng)點(diǎn)Q有關(guān),點(diǎn)Q在已知曲線(xiàn)上運(yùn)動(dòng),可用代入法求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;否則用直接法求解. 4.涉及圓錐曲線(xiàn)的焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)三角形問(wèn)題,常結(jié)合定義、正弦定理、余弦定理等知識(shí)解決. 5.涉及垂直問(wèn)題可結(jié)合向量的數(shù)量積解決. 6.解決直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)位置關(guān)系問(wèn)題，主要有方程組法，和“點(diǎn)差法”．對(duì)于弦中點(diǎn)問(wèn)題常用“根與系數(shù)的關(guān)系”或“點(diǎn)差法”求解，在使用根與系數(shù)的關(guān)系時(shí)

23、，要注意使用條件Δ≥0，在用“點(diǎn)差法”時(shí)，要檢驗(yàn)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)是否相交． 【規(guī)范示例☆避免陷阱】 【典例】【2016·乙卷】設(shè)圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為A，直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)B(1,0)且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點(diǎn)，過(guò)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E. (Ⅰ)證明|EA|＋|EB|為定值，并寫(xiě)出點(diǎn)E的軌跡方程； (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E的軌跡為曲線(xiàn)C1，直線(xiàn)l交C1于M，N兩點(diǎn)， 過(guò)B且與l垂直的直線(xiàn)與圓A交于P，Q兩點(diǎn)，求 四邊形MPNQ面積的取值范圍． 【規(guī)范解答】(Ⅰ)圓A整理為(x＋1)2＋y2＝16，圓心A(－1,0)，1分 如圖， 因?yàn)锽E∥AC，則∠ACB＝∠EBD，

24、由|AC|＝|AD|， 則∠ADC＝∠ACD，所以∠EBD＝∠EDB， 則|EB|＝|ED|，1分 所以|EA|＋|EB|＝|AE|＋|ED|＝|AD|＝4. 所以E的軌跡為一個(gè)橢圓，1分 a＝2，c＝1，方程為＋＝1(y≠0).1分 (Ⅱ)C1：＋＝1；設(shè)l：x＝my＋1， 因?yàn)镻Q⊥l，設(shè)PQ：y＝－m(x－1)，聯(lián)立l與橢圓C1， 得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0； 則|MN|＝|yM－yN| ＝＝；2分 圓心A到PQ距離d＝＝， 所以|PQ|＝2＝2 ＝，2分, 所以SMPNQ＝|MN|·|PQ|＝·· ＝ 2分 ＝24∈[12,8).

25、2分 【反思提升】處理有關(guān)圓錐曲線(xiàn)與圓相結(jié)合的問(wèn)題,要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識(shí)的應(yīng)用,如直徑對(duì)的圓心角為直角,構(gòu)成了垂直關(guān)系;弦心距、半徑、弦長(zhǎng)的一半構(gòu)成直角三角形.利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題,往往使問(wèn)題簡(jiǎn)化.. 【誤區(qū)警示】第(Ⅰ)問(wèn)得分點(diǎn)及說(shuō)明 得分點(diǎn) 1．寫(xiě)出圓心坐標(biāo)得1分． 2．得出EB＝ED，得1分． 3．根據(jù)橢圓定義判斷點(diǎn)E的軌跡是橢圓，得1分． 4．得出橢圓方程，得1分． 踩點(diǎn)說(shuō)明 1．只要得出橢圓方程正確，得4分，忽略y≠0扣1分． 2．只要正確判斷出點(diǎn)E的軌跡是橢圓，得3分． 3．若只有橢圓方程，而沒(méi)有解答過(guò)程，得2分． 第(Ⅱ)問(wèn)得分點(diǎn)及說(shuō)

26、明 5．根據(jù)弦長(zhǎng)公式整理得出弦長(zhǎng)|MN|得2分 6．得出弦長(zhǎng)|PQ|得2分． 7.列出面積表達(dá)式，得2分． 8．求出面積的范圍，得2分． 踩點(diǎn)說(shuō)明 1．結(jié)果正確，有過(guò)程得滿(mǎn)分． 2．兩個(gè)弦長(zhǎng)|MN|，|PQ|只要結(jié)果正確，每個(gè)得2分． 3．直線(xiàn)方程和橢圓方程聯(lián)立，給1分． 4．寫(xiě)對(duì)弦長(zhǎng)公式，給1分． 5．寫(xiě)出點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式正確，給1分． 考向三 圓錐曲線(xiàn)的熱點(diǎn)問(wèn)題 【高考改編☆回顧基礎(chǔ)】 1．【直線(xiàn)、圓、橢圓的位置關(guān)系及過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】【2017·全國(guó)卷Ⅱ改編】設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)M在橢圓C：＋y2＝1上，P在圓x2＋y2＝2上，設(shè)點(diǎn)Q在直線(xiàn)x＝－3上，且·＝1，則過(guò)

27、點(diǎn)P且垂直于OQ的直線(xiàn)l ________(填“經(jīng)過(guò)”或“不經(jīng)過(guò)”)C的左焦點(diǎn)F. 【答案】經(jīng)過(guò) 2. 【直線(xiàn)與橢圓的位置關(guān)系及定值問(wèn)題】【2016·山東卷改編】如圖13-1，已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，過(guò)動(dòng)點(diǎn)M(0，m)(00，y0>0)． 由M(0，m)，可得P(x0，2m)，Q(x0，－2m)， 所以直線(xiàn)PM的斜率

28、k＝＝， 直線(xiàn)QM的斜率k′＝＝－. 此時(shí)＝－3，所以為定值－3. 3.【直線(xiàn)與拋物線(xiàn)的位置關(guān)系及范圍問(wèn)題】【2017·浙江卷改編】已知拋物線(xiàn)x2＝y(tǒng)，點(diǎn)A，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)P(x，y)，則直線(xiàn)AP斜率的取值范圍為_(kāi)_______________ . 【答案】 (－1，1) 【解析】設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為k，則k＝＝x－.因?yàn)椋?x<，所以直線(xiàn)AP斜率的取值范圍是(－1，1)． 【命題預(yù)測(cè)☆看準(zhǔn)方向】 直線(xiàn)與橢圓、拋物線(xiàn)的位置關(guān)系是高考的重點(diǎn),常常與平面向量、三角函數(shù)、函數(shù)的性質(zhì)、不等式等知識(shí)交匯命題. 直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)相交,求其弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、定點(diǎn)、定值、最值、面積、對(duì)稱(chēng)、參數(shù)范圍、存在性

29、問(wèn)題等是高考的熱點(diǎn),常用到一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.預(yù)測(cè)2018年應(yīng)側(cè)重直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、定點(diǎn)問(wèn)題、 定值問(wèn)題、最值問(wèn)題、范圍問(wèn)題、探索性問(wèn)題等. 【典例分析☆提升能力】 【例1】【2017浙江，21】（本題滿(mǎn)分15分）如圖，已知拋物線(xiàn)，點(diǎn)A，，拋物線(xiàn)上的點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作直線(xiàn)AP的垂線(xiàn)，垂足為Q． （Ⅰ）求直線(xiàn)AP斜率的取值范圍； （Ⅱ）求的最大值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 【解析】 試題解析： （Ⅰ）設(shè)直線(xiàn)AP的斜率為k，則，∵，∴直線(xiàn)AP斜率的取值范圍是． （Ⅱ）聯(lián)立直線(xiàn)AP與BQ的方程 解得點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)是，因?yàn)閨PA|== |PQ|= ，所以|PA||

30、PQ|= 令，因?yàn)?，所?f(k)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，因此當(dāng)k=時(shí)，取得最大值． 【趁熱打鐵】【2018屆河南省鄭州市高三第一次質(zhì)量檢測(cè)（模擬）】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，以為直徑的圓與直線(xiàn)相切. （1）求橢圓的離心率； （2）如圖，過(guò)作直線(xiàn)與橢圓分別交于兩點(diǎn)，若的周長(zhǎng)為，求的最大值. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】試題分析： （1）有直線(xiàn)和圓相切得到關(guān)于的關(guān)系式，整理可得，從而可得．（2）根據(jù)三角形的周長(zhǎng)可得，故，可得橢圓的方程．分直線(xiàn)斜率存在和不存在兩種情況分別求得的值，可得最大值是． 試題解析： （1）由題意， 即 ∴， ． （2）因?yàn)槿?/p>

31、角形的周長(zhǎng)為， 所以 ∴， ∴橢圓方程為，且焦點(diǎn)， ①若直線(xiàn)斜率不存在，則可得軸，方程為 解方程組可得或． ∴， ∴， 故. ②若直線(xiàn)斜率存在，設(shè)直線(xiàn)的方程為， 由消去整理得 ， 設(shè)， 則 ∴ ∵， ∴可得， 綜上可得． 所以最大值是. 【例2】【2018屆廣西柳州市高三上摸底】已知拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，且拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為5. （1）求該拋物線(xiàn)的方程； （2）已知拋物線(xiàn)上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)的兩條弦和，且，判斷直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)？并說(shuō)明理由. 【答案】（1）.（2） 【解析】試題分析：(1)求出拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)坐

32、標(biāo),結(jié)合題意列關(guān)于p的等式求p,則拋物線(xiàn)方程可求; (2)由(1)求出M的坐標(biāo),設(shè)出直線(xiàn)DE的方程 ,聯(lián)立直線(xiàn)方程和拋物線(xiàn)方程,化為關(guān)于y的一元二次方程后D,E兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積,利用 得到t與m的關(guān)系,進(jìn)一步得到DE方程,由直線(xiàn)系方程可得直線(xiàn)DE所過(guò)定點(diǎn). （2）由（1）可得點(diǎn)，可得直線(xiàn)的斜率不為0， 設(shè)直線(xiàn)的方程為： ， 聯(lián)立，得， 則①. 設(shè)，則. ∵ 即，得： ， ∴，即或， 代人①式檢驗(yàn)均滿(mǎn)足， ∴直線(xiàn)的方程為： 或. ∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)（定點(diǎn)不滿(mǎn)足題意，故舍去）. 【趁熱打鐵】【2018屆云南省昆明一中高三第一次摸底】已知?jiǎng)狱c(diǎn)滿(mǎn)足： .

33、 （1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程； （2）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)與曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)為（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），證明：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo). 【答案】（1）；（2）直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn) ，證明見(jiàn)解析. 試題解析：（1）由已知，動(dòng)點(diǎn)到點(diǎn)， 的距離之和為， 且，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓，而， ，所以， 所以，動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程： . （2）設(shè)， ，則，由已知得直線(xiàn)的斜率存在，設(shè)斜率為，則直線(xiàn)的方程為： 由　得， 所以， ， 直線(xiàn)的方程為： ，所以， 令，則， 所以直線(xiàn)與軸交于定點(diǎn).　　　　　　

34、　　　 【例3】【2018屆廣東省仲元中學(xué)、中山一中等七校高三第二次聯(lián)考】已知橢圓的上、下、左、右四個(gè)頂點(diǎn)分別為x軸正半軸上的某點(diǎn)滿(mǎn)足. (1)求橢圓的方程; (2)設(shè)該橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn)在圓上,且在第一象限,過(guò)作圓的切線(xiàn)交橢圓于,求證:△的周長(zhǎng)是定值． 【答案】(1) (2)見(jiàn)解析 【解析】試題分析： (1) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為可知，可得橢圓方程;(2)法一:設(shè)，結(jié)合橢圓方程可得，在圓中, 是切點(diǎn), ，同理可得,則易得結(jié)論;法二:設(shè) 的方程為，聯(lián)立橢圓方程,由根與系數(shù)的關(guān)系式,結(jié)合弦長(zhǎng)公式求出，再求出，則結(jié)論易得. 試題解析： (1)設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為,可知, .

35、 因此橢圓的方程是. (2)方法1:設(shè),則, =, ∵,∴, 在圓中, 是切點(diǎn), ∴==, ∴, 同理,∴, 因此△的周長(zhǎng)是定值． 方法2:設(shè)的方程為, 由,得, 設(shè),則, ∴== = , ∵與圓相切,∴,即, ∴, ∵, ∵,∴, 同理可得, ∴, 因此△的周長(zhǎng)是定值． 【趁熱打鐵】【2018屆福建省泉州市高三1月檢查】已知橢圓的離心率為，上頂點(diǎn)為. 點(diǎn)在上，點(diǎn)， 的最大面積等于. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若直線(xiàn)與交于另一點(diǎn)，直線(xiàn)分別與軸交于點(diǎn)，試判斷是否為定值. 【答案】（1）（2） 【解析】試題分析： 運(yùn)用題設(shè)條件建立方程求解； 直

36、線(xiàn)的方程為，聯(lián)立方程組，解，求得直線(xiàn)， 的方程，解得， 的坐標(biāo)，計(jì)算出結(jié)果。 解析：（Ⅰ）由題意，可得的最大面積為，即.……① 又……②　 ……③　 聯(lián)立①②③，解得， ， 故的方程.　 （Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)的方程為， ， .　 聯(lián)立方程組消去，得， 整理，得， 由韋達(dá)定理，得， 又直線(xiàn)的方程為，所以， 直線(xiàn)的方程為，所以， 所以　 ， 即為定值.　 【例4】已知橢圓C的焦點(diǎn)坐標(biāo)是F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，過(guò)點(diǎn)F2垂直于長(zhǎng)軸的直線(xiàn)l交橢圓C于B，D兩點(diǎn)，且|BD|＝3. (1)求橢圓C的方程； (2)是否存在過(guò)點(diǎn)P(2,1)的直線(xiàn)l1與橢圓C相交于

37、不同的兩點(diǎn)M，N，且滿(mǎn)足·＝？若存在，求出直線(xiàn)l1的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】(1)＋＝1.(2)存在直線(xiàn)l1滿(mǎn)足條件，其方程為y＝x. 【解析】　(1)設(shè)橢圓的方程是＋＝1(a>b>0)，由題可知c＝1， 因?yàn)閨BD|＝3，所以＝3， 又a2－b2＝1，所以a＝2，b＝， 所以橢圓C的方程為＋＝1. 所以(x1－2)(x2－2)(1＋k2)＝， 即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k2)＝， 所以(1＋k2)＝＝， 解得k＝±.因?yàn)閗>－，所以k＝， 故存在直線(xiàn)l1滿(mǎn)足條件，其方程為y＝x. 【趁熱打鐵】如圖，圓： ． （1）若圓與軸相切，求圓的

38、方程； （2）求圓心的軌跡方程； （3）已知，圓與軸相交于兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)）．過(guò)點(diǎn)任作一條直線(xiàn)與圓： 相交于兩點(diǎn)．問(wèn)：是否存在實(shí)數(shù)，使得？若存在，求出實(shí)數(shù)的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【答案】（1）；（2）（3）存在，使得 （2）求圓心點(diǎn)坐標(biāo)為，則 圓心點(diǎn)的軌跡方程為 （3）令，得，即所以 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，當(dāng)直線(xiàn)AB與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線(xiàn)AB的方程為， 代入得， ，設(shè)從而 因?yàn)? 而 因?yàn)?，所以，即，得? 當(dāng)直線(xiàn)AB與軸垂直時(shí)，也成立．故存在，使得 【方法總結(jié)☆全面提升】 1.圓錐曲線(xiàn)中求最值或范圍問(wèn)題的方法 若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立

39、目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值．常從以下幾個(gè)方面考慮： ①利用判別式來(lái)構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍； ②利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是在兩個(gè)參數(shù)之間建立等量關(guān)系； ③利用隱含或已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍； ④利用基本不等式求出參數(shù)的取值范圍； ⑤利用函數(shù)的值域的求法，確定參數(shù)的取值范圍． 2.定點(diǎn)問(wèn)題的求法 解題的關(guān)鍵在于尋找題中用來(lái)聯(lián)系已知量和未知量的垂直關(guān)系、中點(diǎn)關(guān)系、方程、不等式，然后將已知量和未知量代入上述關(guān)系，通過(guò)整理、變形轉(zhuǎn)化為過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)系、曲線(xiàn)系來(lái)解決． 3. 定值問(wèn)題的求法 解這類(lèi)問(wèn)題常通過(guò)取參數(shù)和特殊值先

40、確定“定值”是多少，再進(jìn)行證明，或者將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式，再證明該式是與變量無(wú)關(guān)的常數(shù)． 特別提醒：解決定值問(wèn)題一定要分清哪些量為變量，哪些量為常量． 4. 求解存在性問(wèn)題時(shí)，通常的方法是首先假設(shè)滿(mǎn)足條件的幾何元素或參數(shù)值存在，然后利用這些條件并結(jié)合題目的其他已知條件進(jìn)行推理與計(jì)算，若不出現(xiàn)矛看，并且得到了相應(yīng)的幾何元素或參數(shù)值，就說(shuō)明滿(mǎn)足條件的幾何元素或參數(shù)值存在；若在推理與計(jì)算中出現(xiàn)了矛盾，則說(shuō)明滿(mǎn)足條件的幾何元素或參數(shù)值不存在，同時(shí)推理與計(jì)算的過(guò)程就是說(shuō)明理由的過(guò)程． 【規(guī)范示例☆避免陷阱】 【典例】【2017·全國(guó)卷Ⅰ】已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)，四點(diǎn)P1(1,1)，P2(

41、0,1)，P3（－1，），P4（1，）中恰有三點(diǎn)在橢圓C上． (1)求C的方程． (2)設(shè)直線(xiàn)l不經(jīng)過(guò)P2點(diǎn)且與C相交于A(yíng)，B兩點(diǎn)．若直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率的和為－1，證明：l過(guò)定點(diǎn)． 【規(guī)范解答】 (1)由于P3，P4兩點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，故由題設(shè)知橢圓C經(jīng)過(guò)P3，P4兩點(diǎn)． 又由＋＞＋知，C不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1， 所以點(diǎn)P2在C上.1分 因此解得 故C的方程為＋y2＝1.4分 (2)設(shè)直線(xiàn)P2A與直線(xiàn)P2B的斜率分別為k1，k2. 如果l與x軸垂直，設(shè)l：x＝t，由題設(shè)知t≠0，且|t|＜2，可得A，B的坐標(biāo)分別為（t，），（t，－）. 則k1＋k2＝－＝－1，得t＝2，不

42、符合題設(shè)． 2分 從而可設(shè)l：y＝kx＋m(m≠1)．將y＝kx＋m代入＋y2＝1得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0. 由題設(shè)可知Δ＝16(4k2－m2＋1)＞0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝－，x1x2＝.2分 而k1＋k2＝＋＝＋ ＝. 由題設(shè)k1＋k2＝－1，故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. 即(2k＋1)·＋(m－1)·＝0.解得k＝－.3分 當(dāng)且僅當(dāng)m＞－1時(shí)，Δ＞0， 于是l：y＝－x＋m，即y＋1＝－(x－2)， 所以l過(guò)定點(diǎn)(2，－1).1分 【反思提升】1.求解定點(diǎn)和定值問(wèn)題的基本思想

43、是一致的,定值是證明求解的一個(gè)量與參數(shù)無(wú)關(guān),定點(diǎn)問(wèn)題是求解的一個(gè)點(diǎn)(或幾個(gè)點(diǎn))的坐標(biāo),使得方程的成立與參數(shù)值無(wú)關(guān).解這類(lèi)試題時(shí)要會(huì)合理選擇參數(shù)(參數(shù)可能是直線(xiàn)的斜率、截距,也可能是動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)等),使用參數(shù)表達(dá)其中變化的量,再使用這些變化的量表達(dá)需要求解的解題目標(biāo).當(dāng)使用直線(xiàn)的斜率和截距表達(dá)直線(xiàn)方程時(shí),在解題過(guò)程中要注意建立斜率和截距之間的關(guān)系,把雙參數(shù)問(wèn)題化為單參數(shù)問(wèn)題解決. 2.證明直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)的基本思想是使用一個(gè)參數(shù)表示直線(xiàn)方程,根據(jù)方程的成立與參數(shù)值無(wú)關(guān)得出x,y的方程組,以方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)就是直線(xiàn)所過(guò)的定點(diǎn). 【誤區(qū)警示】1．正確使用圓錐曲線(xiàn)的定義：牢記圓錐曲線(xiàn)的定義及性質(zhì)，用解方程的方法求出a2、b2，如本題第(1)問(wèn)就涉及橢圓的性質(zhì)來(lái)判斷點(diǎn)在不在橢圓上． 2．注意分類(lèi)討論：當(dāng)用點(diǎn)斜式表示直線(xiàn)方程時(shí)，應(yīng)分直線(xiàn)的斜率存在和不存在兩種情況求解，易出現(xiàn)忽略斜率不存在的情況，導(dǎo)致扣分，如本題第(2)問(wèn)中首先要求出斜率不存在時(shí)的情況． 3．寫(xiě)全得分關(guān)鍵：在解析幾何類(lèi)解答題中，直線(xiàn)方程與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立后得到的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程得到的兩根之和與兩根之積，弦長(zhǎng)，目標(biāo)函數(shù)，……等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點(diǎn)，在解答時(shí)一定要寫(xiě)清楚． 34