基本不等式均值不等式實用教案

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1、 預習：（1）弄清概念：算術(shù)平均數(shù)，幾何(j h)平均數(shù) （2）兩個非負數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)與幾何(j h)平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系呢？ （3）如何證明基本不等式 教學目標： 推導并掌握兩個非負數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何(j h)平均數(shù)這個重要定理；了解均值不等式在證明不等式中的簡單應(yīng)用。 教學重點： 推導并掌握兩個非負數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何(j h)平均數(shù)這個重要定理；了解均值不等式在證明不等式中的簡單應(yīng)用。第1頁/共19頁第一頁，共20頁。ICM2002會標(hu bio)趙爽：弦圖第2頁/共19頁第二頁，共20頁。ADBCEFGHab22ab猜想出不等式： 一般地，對于任

2、意實數(shù)a、b，有當且僅當a=b時，等號成立。222abab新授：ABCDE(FGH)ab第3頁/共19頁第三頁，共20頁。 如果如果a，bR， 那么那么a2+b22ab（當且僅當（當且僅當a=b時，等號成立）時，等號成立）證明：證明：(不等式證明的基本不等式證明的基本(jbn)方法方法 比較法（作差、作商比較法（作差、作商法）法）)1指出指出(zh ch)定理適用范圍：定理適用范圍： Rba,2強調(diào)強調(diào)(qing dio)取取“=”的條件：的條件： ba 定理定理1（重要不等式）：（重要不等式）：第4頁/共19頁第四頁，共20頁。2適用的范圍適用的范圍(fnwi)：a, b 為非負數(shù)為非負數(shù).

3、 注意：注意：1語言語言(yyn)表述：兩個表述：兩個非負數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的非負數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。幾何平均數(shù)。稱稱2ab為為a，b的算術(shù)平均數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，稱稱ab的幾何平均數(shù)。的幾何平均數(shù)。為為a，b（當且僅當（當且僅當a=b時，等式成立）時，等式成立） 如果如果a, b都是非負數(shù)都是非負數(shù)，那么，那么abba2定理(dngl)2（基本不等式）：3.取“=”的條件：ba 第5頁/共19頁第五頁，共20頁。2ab把把看做兩個看做兩個正數(shù)正數(shù)a，b的等差中項，的等差中項，ab看做看做正數(shù)正數(shù)a，b的等比中項，的等比中項，那么那么(n me)上面不等式可以敘上面不等式

4、可以敘述為：述為： 兩個兩個(lin )正數(shù)的等差中項不小于它正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項。們的等比中項。 還有沒有其它的證明方法證明上面還有沒有其它的證明方法證明上面(shng min)的基本不等式呢的基本不等式呢?第6頁/共19頁第六頁，共20頁。abba22)()(2122baba0)(212ba時，取等號即當且僅當baba,證法(zhn f)1：比較法（作差、作商法(shn f)）第7頁/共19頁第七頁，共20頁。證法證法(zhn f)2：幾何直觀解：幾何直觀解釋釋令正數(shù)令正數(shù)a，b為兩條線段的長，用幾何作圖的方為兩條線段的長，用幾何作圖的方法，作出長度為法，作出長度為 和和 的

5、兩條線段，然的兩條線段，然后后(rnhu)比較這兩條線段的長。比較這兩條線段的長。2abab具體具體(jt)作圖如作圖如下：下：（1）作線段）作線段AB=a+b，使，使AD=a，DB=b,（2）以）以AB為直徑作半圓為直徑作半圓O；（3）過）過D點作點作CDAB于于D，交半圓于點，交半圓于點C第8頁/共19頁第八頁，共20頁。（4）連接）連接(linji)AC，BC，CA，則，則2abOCCDab當當ab時，時，OCCD，即，即2abab當當a=b時，時，OC=CD，即，即2abab第9頁/共19頁第九頁，共20頁。例1、已知x,y都是正數(shù)(zhngsh)，求證：（1） （2）2yxxy證明(

6、zhngmng)（2）22yxyxxyxy當且僅當x=y時，等號成立(chngl)。因為x,y都是正數(shù)21xx第10頁/共19頁第十頁，共20頁。注意(zh y)運用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系證明不等式，關(guān)鍵是揭示已知條件與目標不等式的運算結(jié)構(gòu)(jigu)特征，找出差異，并將其與基本不等式的運算結(jié)構(gòu)(jigu)進行類比，選擇相應(yīng)的基本不等式化異為同轉(zhuǎn)化證明 .第11頁/共19頁第十一頁，共20頁。證明(zhngmng):例2 a,b都是正數(shù)，abbaab2求證：時，等號成立）當且僅當式知均為正數(shù)，由基本不等baabababbaabba(222,第12頁/共19頁第十二頁，共20頁。練習(

7、linx)1的大小均為非負數(shù)數(shù)，試比較設(shè)2,)2(,222bababa時，等號成立當且僅當為正數(shù)，推廣：babababa22,22第13頁/共19頁第十三頁，共20頁。第14頁/共19頁第十四頁，共20頁。NoImage( ,)2a baba b R222 ( ,)ababab R一、知識點：重要不等式:基本不等式:二、思想(sxing)方法與技巧：數(shù)形結(jié)合思想(sxing)，化歸思想(sxing)等第15頁/共19頁第十五頁，共20頁。閱讀(yud)周報第7期第一版預習3.2節(jié)基本(jbn)不等式的應(yīng)用作業(yè)本上1.已知, ,a b cR 求證： 222abcabbcca2.abcaccbba

8、cba8)()(,都是正數(shù)，求證：已知第16頁/共19頁第十六頁，共20頁。1.已知, ,a b cR 求證： 222abcabbcca證： 以上(yshng)三式相加： 222abcabbcca 當且僅當a=b=c時等號成立(chngl)第17頁/共19頁第十七頁，共20頁。證明(zhngmng):當且僅當a=b=c時等號成立(chngl)2abcaccbbacba8)()(,都是正數(shù)，求證：已知第18頁/共19頁第十八頁，共20頁。謝謝您的觀看(gunkn)！第19頁/共19頁第十九頁，共20頁。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)預習：（1）弄清概念：算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)。了解均值不等式在證明不等式中的簡單應(yīng)用。猜想出不等式： 一般地，對于任意實數(shù)a、b，有。如果a，bR，。2適用的范圍：a, b 為非負數(shù).。看做正數(shù)(zhngsh)a，b的等比中項，。兩個正數(shù)(zhngsh)的等差中項不小于它們的等比中項。（3）過D點作CDAB于D，交半圓于點C。（4）連接AC，BC，CA，則。當ab時，OCCD，即。運用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大。例2 a,b都是正數(shù)(zhngsh)，第二十頁，共20頁。