2018年高考數學二輪復習 指導三 回扣溯源、查缺補漏、考前提醒名師導學案 文

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1、 指導三 回扣溯源、查缺補漏、考前提醒 專題研讀　解決“會而不對，對而不全”問題是決定高考成敗的關鍵，高考數學考試中出現錯誤的原因很多，其中錯解類型主要有：知識性錯誤，審題或忽視隱含條件錯誤，運算錯誤，數學思想、方法運用錯誤，邏輯性錯誤，忽視等價性變形錯誤等.下面我們分幾個主要專題對易錯的知識點和典型問題進行剖析，為你提個醒，力爭做到“會而對，對而全”. 溯源回扣一　集合與常用邏輯用語 1.描述法表示集合時，一定要理解好集合的含義——抓住集合的代表元素.如：{x|y＝lg x}——函數的定義域；{y|y＝lg x}——函數的值域；{(x，y)|y＝lg x}——函數圖象上的點集.

2、 [回扣問題1]　集合A＝{x|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，則A∩B＝________. 解析　A＝R，B表示直線x－y＝1上的點集，∴A∩B＝?. 答案　? 2.遇到A∩B＝?時，你是否注意到“極端”情況：A＝?或B＝?；同樣在應用條件A∪B＝B?A∩B＝A?A?B時，不要忽略A＝?的情況. [回扣問題2]　設集合A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx－1＝0}，若A∩B＝B，則實數m組成的集合是____________. 解析　由題意知集合A＝{2，3}，由A∩B＝B知B?A. ①當B＝?時，即方程mx－1＝0無解，此時m＝0符合已知條件； ②當B≠

3、?時，即方程mx－1＝0的解為2或3，代入得m＝或. 綜上，滿足條件的m組成的集合為. 答案　 3.注重數形結合在集合問題中的應用，列舉法常借助Venn圖解題，描述法常借助數軸來運算，求解時要特別注意端點值. [回扣問題3]　已知全集I＝R，集合A＝{x|y＝}，集合B＝{x|0≤x≤2}，則(?IA)∪B等于(　　) A.[1，＋∞) B.(1，＋∞) C.[0，＋∞) D.(0，＋∞) 解析　A＝(－∞，1]，B＝[0，2]，∴?IA＝(1，＋∞)，則(?IA)∪B＝[0，＋∞). 答案　C 4.“否命題”是對原命題“若p，則q”既否定其條件，又否定其結論；而“命題p

4、的否定”即：非p，只是否命題p的結論. [回扣問題4]　已知實數a，b，若|a|＋|b|＝0，則a＝b.該命題的否命題是________，命題的否定是________. 答案　已知實數a，b，若|a|＋|b|≠0，則a≠b 已知實數a，b，若|a|＋|b|＝0，則a≠b 5.要弄清先后順序：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”則是指A能推出B，且B不能推出A. [回扣問題5]　(2017·天津卷)設x∈R，則“2－x≥0”是 “|x－1|≤1”的(　　) A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也

5、不必要條件 解析　由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得－1≤x－1≤1，即0≤x≤2，當x≤2時不一定有x≥0，而當0≤x≤2時一定有x≤2，∴“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分條件. 答案　B 6.含有量詞的命題的否定，不僅是把結論否定，而且要改寫量詞，全稱量詞變?yōu)榇嬖诹吭~，存在量詞變?yōu)槿Q量詞. [回扣問題6]　命題p：?x∈R，ex－x－1>0，則綈p是________. 解析　“?”變?yōu)椤?”，并將結論否定，∴綈p：?x0∈R，ex0－x0－1≤0. 答案　?x0∈R，ex0－x0－1≤0 7.存在性或恒成立問題求參數范圍時，常與補集思想聯合應用，即

6、體現了正難則反思想. [回扣問題7]　若存在a∈[1，3]，使得不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立，則實數x的取值范圍是________. 解析　“存在a∈[1，3]，使不等式ax2＋(a－2)x－2>0成立”的否定是“對任意a∈[1，3]，不等式ax2＋(a－2)x－2≤0成立”，即(x2＋x)a－2x－2≤0對a∈[1，3]恒成立，設f(a)＝(x2＋x)a－2x－2，其中a∈[1，3]. 若f(a)≤0，則解得－1≤x≤. 故要使原不等式成立，則x>或x<－1. 答案　(－∞，－1)∪ 溯源回扣二　函數與導數 1.求函數的定義域，關鍵是依據含自變量x的代數式有意義來列出

7、相應的不等式(組)求解，如開偶次方根，被開方數一定是非負數；對數式中的真數是正數；列不等式時，應列出所有的不等式，不應遺漏. [回扣問題1]　函數f(x)＝ln＋x的定義域為(　　) A.(0，＋∞) B.(1，＋∞) C.(0，1) D.(0，1)∪(1，＋∞) 解析　要使函數有意義，應有則 解得x>1. 答案　B 2.求解與函數、不等式有關的問題(如求值域、單調區(qū)間、判斷奇偶性、解不等式等)，要注意定義域優(yōu)先的原則. [回扣問題2]　(2017·全國Ⅱ卷改編)函數f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調增區(qū)間是________. 解析　要使函數有意義，則x2－2x－8>

8、0，解得x<－2或x>4，結合二次函數、對數函數的單調性和復合函數同增異減的原則得函數的單調增區(qū)間為(4，＋∞). 答案　(4，＋∞) 3.定義域必須關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要條件，為此確定函數的奇偶性時，務必先判定函數定義域是否關于原點對稱.函數y＝f(x)為奇函數，但不一定有f(0)＝0成立. [回扣問題3]　函數f(x)＝的奇偶性是______. 解析　由1－x2>0且|x－2|－2≠0，知f(x)的定義域為(－1，0)∪(0，1)，關于原點對稱，則f(x)＝， 又f(－x)＝＝－f(x)， ∴函數f(x)為奇函數. 答案　奇函數 4.理清函數奇偶性的性質. (

9、1)f(x)是偶函數?f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； (2)f(x)是奇函數?f(－x)＝－f(x)； (3)定義域含0的奇函數滿足f(0)＝0. [回扣問題4]　已知f(x)為偶函數，它在[0，＋∞)上是減函數，若f(lg x)>f(1)，則x的取值范圍是________. 解析　因為f(x)為偶函數，所以f(lg x)＝f(|lg x|)， 從而由f(lg x)>f(1)，得f(|lg x|)>f(1)， 又因為f(x)在[0，＋∞)上是減函數， 所以|lg x|<1，即－1

10、“函數f(x)滿足f(x)＝f(a＋x)(a>0)，則f(x)是周期為a的周期函數”得： (1)函數f(x)滿足－f(x)＝f(a＋x)，則f(x)是周期T＝2a的周期函數； (2)若f(x＋a)＝(a≠0)成立，則T＝2a； (3)若f(x＋a)＝－(a≠0)恒成立，則T＝2a； (4)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)成立，則T＝2a. [回扣問題5]　對于函數f(x)定義域內任意的x，都有f(x＋2)＝－，若當2

11、 6.求函數單調區(qū)間時，多個單調區(qū)間之間不能用符號“∪”和“或”連接，可用“和”連接，或用“，”隔開.單調區(qū)間必須是“區(qū)間”，而不能用集合或不等式代替. [回扣問題6]　函數f(x)＝x3－3x的單調增區(qū)間是________. 解析　由f′(x)＝3x2－3>0，得x>1或x<－1. 答案　(－∞，－1)和(1，＋∞) 7.圖象變換的幾個注意點. (1)混淆平移變換的方向與單位長度. (2)區(qū)別翻折變換：f(x)→|f(x)|與f(x)→f(|x|). (3)兩個函數圖象的對稱. ①函數y＝f(x)與y＝－f(－x)的圖象關于原點成中心對稱. ②函數y＝f(x)與y＝f(－

12、x)的圖象關于直線x＝0(y軸)對稱；函數y＝f(x)與函數y＝－f(x)的圖象關于直線y＝0(x軸)對稱. [回扣問題7]　(2016·全國Ⅲ卷)函數y＝sin x－cos x的圖象可由函數y＝2sin x的圖象至少向右平移________個單位長度得到. 解析　y＝sin x－cos x＝2sin. ∴y＝2sin x的圖象向右平移個單位， 得y＝2sin 的圖象. 答案　 8.不能準確理解基本初等函數的定義和性質.如函數y＝ax(a>0，a≠1)的單調性忽視字母a的取值討論，忽視ax>0；對數函數y＝logax(a>0，a≠1)忽視真數與底數的限制條件. [回扣問題8]　

13、函數y＝loga|x|的增區(qū)間為________________________________. 答案　當a>1時，函數的增區(qū)間為(0，＋∞)； 當0

14、 B.2 C.3 D.4 解析　由|x－2|－ln x＝0，得ln x＝|x－2|.在同一坐標系內作y＝ln x與y＝|x－2|的圖象(圖略)，有兩個交點. ∴f(x)＝|x－2|－ln x在定義域內有兩個零點. 答案　B 11.混淆y＝f(x)在某點x0處的切線與y＝f(x)過某點x0的切線，導致求解失誤. [回扣問題11]　(2017·天津卷)已知a∈R，設函數f(x)＝ax－ln x的圖象在點(1，f(1))處的切線為l，則l在y軸上的截距為________. 解析　f(1)＝a，切點為(1，a).f′(x)＝a－，則切線的斜率為f′(1)＝a－1，切線方程為y－a＝

15、(a－1)(x－1)，令x＝0得出y＝1，故l在y軸上的截距為1. 答案　1 12.利用導數判斷函數的單調性：設函數y＝f(x)在某個區(qū)間內可導，如果f′(x)>0，那么f(x)在該區(qū)間內為增函數；如果f′(x)<0，那么f(x)在該區(qū)間內為減函數；如果在某個區(qū)間內恒有f′(x)＝0，那么f(x)在該區(qū)間內為常函數. 注意　如果已知f(x)為減函數求參數取值范圍，那么不等式f′(x)≤0恒成立，但要驗證f′(x)是否恒等于0，增函數亦如此. [回扣問題12]　若函數f(x)＝ax3－x2＋x－5在R上是增函數，則a的取值范圍是________. 解析　f(x)＝ax3－x2＋x－5的

16、導函數f′(x)＝3ax2－2x＋1. 由f′(x)≥0在R上恒成立，得解得a≥. 當a＝時，f′(x)＝(x－1)2≥0，當且僅當x＝1時取等號，∴a≥. 答案　 13.對于可導函數y＝f(x)，錯以為f′(x0)＝0是函數y＝f(x)在x＝x0處有極值的充分條件. [回扣問題13]　若函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處有極小值10，則a＋b＝________. 解析　由題意知，f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 解得或經驗證，當a＝4，b＝－11時，滿足題意；當a＝－3，b＝3時，f′(x)＝3(x－1)2≥0恒成立，不滿足題意，舍去. 答案?。? 溯源回扣三

17、　三角函數與平面向量 1.三角函數值是比值，是一個實數，這個實數的大小和點P(x，y)在終邊上的位置無關，只由角α的終邊位置決定. [回扣問題1]　已知角α的終邊經過點P(3，－4)，則sin α＋cos α的值為________. 解析　由三角函數定義，sin α＝－，cos α＝， ∴sin α＋cos α＝－. 答案?。? 2.求y＝Asin(ωx＋φ)的單調區(qū)間時，要注意ω，A的符號.若ω<0時，應先利用誘導公式將x的系數轉化為正數后再求解；在書寫單調區(qū)間時，不能弧度和角度混用，需加2kπ時，不要忘掉k∈Z，所求區(qū)間一般為閉區(qū)間. [回扣問題2]　函數y＝sin的遞減區(qū)間是

18、________. 解析　y＝－sin， 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得kπ－≤x≤kπ＋π，k∈Z. 答案　(k∈Z) 3.在三角函數求值中，忽視隱含條件的制約導致增解. [回扣問題3]　已知cos α＝，sin(α＋β)＝，0<α<，0<β<，則cos β＝________. 解析　∵0<α<且cos α＝

19、案　 4.已知三角形兩邊及一邊對角，利用正弦定理解三角形時，注意解的個數討論，可能有一解、兩解或無解.在△ABC中，A>B?sin A>sin B. [回扣問題4]　在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c且a＝1，c＝.若C＝，則角A＝________. 解析　由正弦定理得＝，即sin A＝＝. 又a0，且a，b不同向；故a·b>0是θ為銳角的必要不充分條件；當θ為鈍角時，a·b<0，且a，b不反向，故a·b<0是θ為鈍角的必要不充分條件. [回扣問題5]　

20、已知向量a＝(2，1)，b＝(λ，1)，λ∈R，設a與b的夾角為θ.若θ為銳角，則λ的取值范圍是____________. 解析　因為θ為銳角， 所以0

21、 答案　直角三角形 溯源回扣四　數列與不等式 1.已知數列的前n項和Sn求an，易忽視n＝1的情形，直接用Sn－Sn－1表示.事實上，當n＝1時，a1＝S1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1. [回扣問題1]　已知數列{an}對任意的n∈N*都滿足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8－5n，則數列{an}的通項公式為________. 解析　當n≥2時，由于a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝8－5n， 那么a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2an－1＝8－5(n－1)， 兩式對應相減可得2n－1an＝8－5n－[8－5(n－1)]＝－5，所以an＝－. 而當n＝1

22、時，a1＝3≠－＝－5，所以數列{an}的通項公式為an＝ 答案　an＝ 2.等差數列中不能熟練利用數列的性質轉化已知條件，并靈活整體代換進行基本運算.如等差數列{an}與{bn}的前n項和分別為Sn和Tn，已知＝，求時，無法正確賦值求解. [回扣問題2]　等差數列{an}，{bn}的前n項和分別為Sn，Tn，且＝，則＝________. 解析　由等差數列的性質，＝＝＝＝＝. 答案　 3.運用等比數列的前n項和公式時，易忘記分類討論.一定分q＝1和q≠1兩種情況進行討論. [回扣問題3]　設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S3＋S6＝S9，則公比q＝________. 解析

23、　(1)當q＝1時，顯然S3＋S6＝S9成立. (2)當q≠1時，由S3＋S6＝S9， 得＋＝. 由于1－q3≠0，得q6＝1，∴q＝－1. 答案　1或－1 4.利用等差數列定義求解問題時，易忽視an－an－1＝d(常數)中，n≥2，n∈N*的限制，類似地，在等比數列中，＝q(常數且q≠0)，忽視n∈N*的條件限制. [回扣問題4]　(2015·安徽卷改編)已知數列{an}中，a1＝a2＝1，an＋1＝an＋(n≥2)，則數列{an}的前9項和等于________. 解析　由a2＝1，an＋1＝an＋(n≥2)，∴數列{an}從第2項起是公差為的等差數列，∴S9＝a1＋a2＋a3

24、＋…＋a9 ＝1＋8a2＋×＝23. 答案　23 5.解形如一元二次不等式ax2＋bx＋c>0時，易忽視系數a的討論導致漏解或錯解，要注意分a>0，a<0進行討論. [回扣問題5]　若不等式x2＋x－10對x∈R恒成立. (1)當m2－1＝0且m＋1＝0，不等式恒成立，∴m＝－1. (2)當m2－1≠0時，則 即所以m>或m<－1. 綜合(1)(2)知，m的取值范圍為(－∞，－1]∪. 答案　(－∞，－1]∪ 6.容易忽視使用基本不等式求最值的條件

25、，即“一正、二定、三相等”導致錯解，如求函數f(x)＝＋的最值，就不能利用基本不等式求解最值. [回扣問題6]　已知a>0，b>0，a＋b＝1，則y＝＋的最小值是________. 解析　∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴y＝·(a＋b)＝5＋＋≥9，當且僅當b＝2a時等號成立. 答案　9 7.求解線性規(guī)劃問題時，不能準確把握目標函數的幾何意義導致錯解，如是指已知區(qū)域內的點(x，y)與點(－2，2)連線的斜率，而(x－1)2＋(y－1)2是指已知區(qū)域內的點(x，y)到點(1，1)的距離的平方等. [回扣問題7]　(2016·江蘇卷)已知實數x，y滿足則x2＋y2的取值范圍是______

26、__. 解析　作滿足條件的可行域如圖中陰影部分所示. d＝可以看作坐標原點O與可行域內的點(x，y)之間的距離.數形結合，知d的最大值是OA的長，d的最小值是點O到直線2x＋y－2＝0的距離. 由得A(2，3)， ∴dmax＝|OA|＝＝，dmin＝＝. 則d2的最小值為，最大值為13， ∴x2＋y2的取值范圍是. 答案　 8.對于通項公式中含有(－1)n的一類數列，在求Sn時，切莫忘記討論n的奇偶性；遇到已知an＋1－an－1＝d或＝q(n≥2)，求{an}的通項公式，要注意分n的奇偶性討論. [回扣問題8]　(2015·山東卷改編)若an＝2n－1，且bn＝(－1)n

27、－1，則數列{bn}的前n項和Tn＝________. 解析　bn＝(－1)n－1＝(－1)n－1. 當n為偶數時，Tn＝－＋－…＋－， ∴Tn＝1－＝. 當n為奇數時，Tn＝－＋－…－＋， ∴Tn＝1＋＝， 故Tn＝ 答案　Tn＝ 9.求解不等式、函數的定義域、值域時，其結果一定要用集合或區(qū)間表示，另外一元二次不等式的解集表示形式受到二次項系數符號的影響. [回扣問題9]　已知關于x的不等式ax2＋bx＋c<0的解集是，則ax2－bx＋c>0的解集為________. 解析　∵ax2＋bx＋c<0的解集為， ∴a<0，且＝1，－＝－， ∴b＝a，c＝a，故ax2－bx

28、＋c>0化為ax2－ax＋a>0， 由于a<0，得x2－x＋1<0，解之得

29、　在坐標系中標出已知的四個點，根據三視圖的畫圖規(guī)則判斷三棱錐的正視圖為④，俯視圖為②，D正確. 答案　D 2.易混淆幾何體的表面積與側面積的區(qū)別，幾何體的表面積是幾何體的側面積與所有底面面積之和，不能漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時，易漏掉體積公式中的系數. [回扣問題2]　(2017·鄭州質檢)某幾何體的三視圖如圖所示，其中側視圖為半圓，則該幾何體的體積V＝________. 解析　該幾何體為半個圓錐，由三視圖知，圓錐的高h＝＝2， 因此V＝××2×π·12＝π. 答案　π 3.不清楚空間線面平行與垂直關系中的判定定理和性質定理，忽視判定定理和性質定理中的條件，導致判斷出錯

30、.如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結論，這是因為忽視面面垂直的性質定理中m?α的限制條件. [回扣問題3]　已知m，n是不同的直線，α，β，γ是不同的平面.給出下列命題： ①若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥α或n⊥β. ②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，則m∥n. ③若m不垂直于α，則m不可能垂直于α內的無數條直線. ④若α∩β＝m，n∥m，且n?α，n?β，則n∥α，且n∥β. ⑤若m，n為異面直線，則存在平面α過m且使n⊥α.其中正確的命題序號是________. 解析?、馘e誤.如正方體中面ABB′A′⊥面ADD′A′，交線為AA′. 直線AC⊥A

31、A′，但AC不垂直面ABB′A′，同時AC也不垂直面ADD′A′； ②正確.實質上是兩平面平行的性質定理. ③錯誤.在上面的正方體中，A′C不垂直于平面A′B′C′D′，但與B′D′垂直.這樣A′C就垂直于平面A′B′C′D′內與直線B′D′平行的無數條直線. ④正確.利用線面平行的判定定理即可. ⑤正確.如正方體中AA′?平面AA′D′D，而CD⊥平面AA′D′D，且AA′與CD異面. 答案?、冖堍? 4.忽視三視圖的實、虛線，導致幾何體的形狀結構理解錯誤. [回扣問題4]　如圖，一個簡單凸多面體的三視圖的外輪廓是三個邊長為1的正方形，則此多面體的體積為____________.

32、 解析　由三視圖可知，幾何體為正方體截去兩個三棱錐后的部分，因為V正方體＝1，V三棱錐＝×13×＝，因此，該多面體的體積V＝1－×2＝. 答案　 5.注意圖形的翻折與展開前后變與不變的量以及位置關系.對照前后圖形，弄清楚變與不變的元素后，再立足于不變的元素的位置關系與數量關系去探求變化后的元素在空間中的位置與數量關系. [回扣問題5]　(2017·廣州模擬)如圖①，在平面四邊形ABCD中，已知∠A＝45°，∠C＝90°，∠ADC＝105°，AB＝BD，現將四邊形ABCD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BDC(如圖②)，設點E， F分別為棱AC，AD的中點. (1)求證：DC⊥平

33、面ABC； (2)設CD＝a，求三棱錐A－BFE的體積. (1)證明　在題圖①中，AB＝BD，且∠A＝45°， ∴∠ADB＝45°，∠ABD＝90°，則AB⊥BD. 在題圖②中，∵平面ABD⊥平面BDC，且平面ABD∩平面BDC＝BD，AB?平面ABD， ∴AB⊥底面BDC，且CD?平面BDC， ∴AB⊥CD. 又∠DCB＝90°，∴DC⊥BC，且AB∩BC＝B， ∴DC⊥平面ABC. (2)解　∵E，F分別為AC，AD的中點，∴EF∥CD， 又由(1)知，DC⊥平面ABC， ∴EF⊥平面ABC， ∴VA－BFE＝VF－AEB＝S△AEB·FE. 在題圖①中，∵∠AD

34、C＝105°， ∴∠BDC＝60°，∠DBC＝30°， 由CD＝a得，BD＝2a，BC＝a，EF＝CD＝a， ∴S△ABC＝AB·BC＝·2a·a＝a2， ∴S△AEB＝a2. ∴VA－BFE＝·a2·a＝a3. 溯源回扣六　平面解析幾何 1.不能準確區(qū)分直線傾斜角的取值范圍以及斜率與傾斜角的關系，導致由斜率的取值范圍確定傾斜角的范圍時出錯. [回扣問題1]　直線xcos θ＋y－2＝0的傾斜角的范圍是________. 解析　tan α＝k＝－，知－≤k≤， ∴0≤θ≤或≤θ<π. 答案　∪ 2.易忽視直線方程的幾種形式的限制條件，如根據直線在兩坐標軸上的截距相等設方

35、程時，忽視截距為0的情況. [回扣問題2]　已知直線過點P(1，5)，且在兩坐標軸上的截距相等，則此直線的方程為________. 解析　當截距為0，則直線方程為y＝5x，當截距不是0時，設直線方程為x＋y＝a，將P(1，5)坐標代入方程，得a＝6.∴所求方程為5x－y＝0或x＋y－6＝0. 答案　5x－y＝0或x＋y－6＝0 3.求兩條平行線之間的距離時，易忽視兩直線x，y的系數相等的條件，而直接代入公式d＝，導致錯誤. [回扣問題3]　直線3x＋4y＋5＝0與6x＋8y－7＝0的距離為________. 解析　將3x＋4y＋5＝0化為6x＋8y＋10＝0，∴兩平行線間的距離d＝

36、＝. 答案　 4.兩圓的位置關系可根據圓心距與半徑的關系判定，在兩圓相切的關系中，誤認為相切為兩圓外切，忽視相內切的情形；求圓的切線方程時，易忽視斜率不存在的情形. [回扣問題4]　(1)若點P(1，2)在以坐標原點為圓心的圓上，則該圓在點P處的切線方程為________. (2)雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左焦點為F1，頂點為A1，A2，P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1，A1A2為直徑的兩圓的位置關系為________. 解析　(1)以原點O為圓心的圓過點P(1，2)，∴圓的方程為x2＋y2＝5. ∵kOP＝2，∴切線的斜率k＝－. ∴切線方程為y－2＝－(x－

37、1)，即x＋2y－5＝0. (2)設線段PF1的中點為P0，雙曲線的右焦點為F2，則|OP0|＝|PF2|， 由雙曲線定義，|PF1|－|PF2|＝2a， ∴|OP0|＝|PF1|－a＝R－r，因此兩圓內切. 答案　(1)x＋2y－5＝0　(2)內切 5.易混淆橢圓的標準方程與雙曲線的標準方程，尤其是方程中a，b，c三者之間的關系，導致計算錯誤. [回扣問題5]　(2015·廣東卷)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的離心率e＝，且其右焦點為F2(5，0)，則雙曲線C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析　∵e＝＝，F2(5，0)，

38、 ∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9， ∴雙曲線C的標準方程為－＝1. 答案　C 6.利用橢圓、雙曲線的定義解題時，要注意兩種曲線的定義形式及其限制條件.如在雙曲線的定義中，有兩點是缺一不可的：其一，絕對值；其二，2a<|F1F2|.如果不滿足第一個條件，動點到兩定點的距離之差為常數，而不是差的絕對值為常數，那么其軌跡只能是雙曲線的一支. [問題回扣6]　已知平面內兩定點A(0，1)，B(0，－1)，動點M到兩定點A，B的距離之和為4，則動點M的軌跡方程是________. 解析　因為|MA|＋|MB|＝4>|AB|， 所以點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓， 因此a＝2，c＝

39、1，則b2＝＝3， 所以點M的軌跡方程為＋＝1. 答案?。? 7.由圓錐曲線方程討論幾何性質時，易忽視討論焦點所在的坐標軸導致漏解. [回扣問題7]　已知橢圓＋＝1的離心率等于，則m＝________. 解析　當焦點在x軸上，則a＝2，c＝， ∴＝，則m＝1. 當焦點在y軸上，則a＝，c＝， ∴＝，則m＝16. 答案　1或16 8.直線與圓錐曲線相交的必要條件是它們構成的方程組有實數解，消元后得到的方程中要注意：二次項的系數是否為零，判別式Δ≥0的限制.尤其是在應用根與系數的關系解決問題時，必須先有“判別式Δ≥0”；在求交點、弦長、中點、斜率、對稱或存在性問題都應在“Δ>

40、0”下進行. [回扣問題8]　(2017·西安調研)已知橢圓W：＋＝1(a>b>0)的焦距為2，過右焦點和短軸一個端點的直線的斜率為－1，O為坐標原點. (1)求橢圓W的方程； (2)設斜率為k的直線l與W相交于A，B兩點，記△AOB面積的最大值為Sk，證明：S1＝S2. (1)解　由題意，得W的半焦距c＝1，右焦點F(1，0)，上頂點M(0，b). ∴直線MF的斜率kMF＝＝－1，解得b＝1. 由a2＝b2＋c2，得a2＝2. ∴橢圓W的方程為＋y2＝1. (2)證明　設直線l的方程為y＝kx＋m，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程組 得(1＋2k2)x2＋4km

41、x＋2m2－2＝0， ∴Δ＝16k2－8m2＋8>0.① 由根與系數的關系，得x1＋x2＝，x1x2＝. ∴|AB|＝ ＝， ∵原點O到直線y＝kx＋m的距離d＝， ∴S△AOB＝|AB|d＝，當k＝1時，S△AOB＝ ， ∴當m2＝時，S△AOB有最大值S1＝，驗證滿足①式，當k＝2時， S△AOB＝， ∴當m2＝時，S△AOB的最大值S2＝，驗證①式成立.因此S1＝S2. 溯源回扣七　概率與統(tǒng)計 1.混淆頻率分布條形圖和頻率分布直方圖，誤把頻率分布直方圖縱軸的幾何意義當成頻率，導致樣本數據的頻率求錯. [回扣問題1]　從某校高三年級隨機抽取一個班，對該班50名學生

42、的高校招生檢驗表中視力情況進行統(tǒng)計，其結果的頻率分布直方圖如圖所示.若某高校A專業(yè)對視力的要求在0.9以上，則該班學生中能報A專業(yè)的人數為________. 解析　該班學生視力在0.9以上的頻率為(1.00＋0.75＋0.25)×0.2＝0.40，所以能報A專業(yè)的人數為50×0.40＝20. 答案　20 2.在獨立性檢驗中，K2＝(其中n＝a＋b＋c＋d)所給出的檢驗隨機變量K2的觀測值k，并且k的值越大，說明“X與Y有關系”成立的可能性越大，可以利用數據來確定“X與Y有關系”的可信程度. [回扣問題2]　為了解某班學生喜愛打籃球是否與性別有關，對該班50名學生進行了問卷調查，得到

43、了如下的2×2列聯表： 分類 喜愛打籃球 不喜愛打籃球 合計 男生 20 5 25 女生 10 15 25 合計 30 20 50 則至少有________的把握認為喜愛打籃球與性別有關(請用百分數表示). 附：K2＝ P(K2≥k0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 解析　由列聯表，k＝≈8.333. 又P(K2≥7.879)＝0.005，且8.333>7.879， ∴至少有99.5%的把握認為喜愛籃球與性別

44、有關. 答案　99.5% 3.應用互斥事件的概率加法公式，一定要注意確定各事件是否彼此互斥，并且注意對立事件是互斥事件的特殊情況，但互斥事件不一定是對立事件，“互斥”是“對立”的必要不充分條件. [回扣問題3]　拋擲一枚骰子，觀察擲出的點數，設事件A為出現奇數點，事件B為出現2點，已知P(A)＝，P(B)＝，求出現奇數點或2點的概率之和為________. 解析　由互斥事件概率加法公式，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝. 答案　 4.混淆直線方程y＝ax＋b與回歸直線＝x＋系數的含義，導致回歸分析中致誤. [回扣問題4]　(2017·西安調研)為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支

45、出的關系，隨機調查了該社區(qū)5戶家庭，得到如下統(tǒng)計數據表： 收入x(萬元) 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出y(萬元) 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根據上表可得回歸直線方程＝x＋，其中＝0.76，＝－，據此估計，該社區(qū)一戶年收入為15萬元家庭的年支出為(　　) A.11.4萬元 B.11.8萬元 C.12.0萬元 D.12.2萬元 解析　由統(tǒng)計表，易得＝10，＝8， ∴＝8－0.76×10＝0.4.因此回歸直線方程為＝0.76x＋0.4， ∴當x＝15時，＝0.76×15＋0.4＝11.8(萬元). 答案　B 5.幾何概型

46、的概率計算中，幾何“測度”確定不準而導致計算錯誤. [回扣問題5]　在[－1，1]上隨機地取一個數k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________. 解析　由直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交， 得<3， ∴16k2<9，解得－

47、 由于z為純虛數，且a∈R， ∴≠0且＝0，則a＝－2. 答案?。? 2.復平面內，復數z＝a＋bi(a，b∈R)對應的點為Z(a，b)，不是Z(a，bi)；當且僅當O為坐標原點時，向量與點Z對應的復數相同. [回扣問題2]　(2016·北京卷改編)設a∈R，若復數z＝(1＋i)(a＋i)在復平面內對應的點位于虛軸上，則a＝________. 解析　z＝(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(a＋1)i，依題意，a－1＝0，則a＝1. 答案　1 3.類比推理易盲目機械類比，不要被表面的假象(某一點表面相似)迷惑，應從本質上類比. [回扣問題3]　圖①有面積關系：＝，則圖②有體積關

48、系：________. 答案?。? 4.反證法證明命題進行假設時，應將結論進行否定，特別注意“至少”“至多”的否定要全面. [回扣問題4]　用反證法證明命題：“已知a，b∈N，若ab可被5整除，則a，b中至少有一個能被5整除”時，反設正確的是(　　) A.a，b都不能被5整除 B.a，b都能被5整除 C.a，b中有一個不能被5整除 D.a，b中有一個能被5整除 解析　由反證法的定義得，反設即否定結論. 答案　A 5.控制循環(huán)結構的是計數變量和累加變量的變化規(guī)律以及循環(huán)結束的條件.在解答這類題目時，易混淆兩變量的變化次序，且容易錯誤判定循環(huán)體結束的條件. [回扣問題5]　(2017·全國Ⅲ卷)執(zhí)行下面的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數N的最小值為(　　) A.5 B.4 C.3 D.2 解析　若N＝2，第一次進入循環(huán)，t＝1≤2成立，S＝100，M＝－＝－10，t＝1＋1＝2≤2成立，第二次進入循環(huán)，此時S＝100－10＝90，M＝－＝1，t＝2＋1＝3≤2不成立，所以輸出S＝90<91成立，所以輸入的正整數N的最小值是2. 答案　D - 22 -