2018屆高考數(shù)學(xué)（理）二輪復(fù)習(xí)講學(xué)案：考前專題3 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第2講 三角變換與解三角形.doc

第2講三角變換與解三角形正弦定理、余弦定理以及解三角形問題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1邊和角的計算2三角形形狀的判斷3面積的計算4有關(guān)參數(shù)的范圍問題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強，與實際問題結(jié)合起來進行命題將是今后高考的一個關(guān)注點，不可輕視熱點一三角恒等變換1三角求值“三大類型”“給角求值”“給值求值”“給值求角”2三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45°等(2)項的分拆與角的配湊：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦例1(1)(2017·貴陽市第一中學(xué)適應(yīng)性考試)已知sin 2cos ，則tan 2等于()A. BC. D答案C解析sin 2cos ，sin24sin ·cos 4cos2，即2sin 24×，化簡得4sin 23cos 2，tan 2，故選C.(2)已知sin ，sin()，均為銳角，則角等于()A. B.C. D.答案C解析因為，均為銳角，所以<<.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin()××.所以.思維升華(1)三角變換的關(guān)鍵在于對兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過程要注意正確性，要特別注意公式中的符號和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況(2)求角問題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解跟蹤演練1(1)(2017·河北省衡水中學(xué)三調(diào))若，且3cos 2sin，則sin 2的值為()A B. C D.答案C解析由3cos 2sin()，可得3(cos2sin2)(cos sin )，于是3(cos sin )，所以12sin cos ，所以sin 2，故選C.(2)(2017屆山東省師大附中模擬)已知sincos ，則cos_.答案解析sincos cos sin cos sin，sin.則cos12sin2.熱點二正弦定理、余弦定理1正弦定理：在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin A，sin B，sin C，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccos A.變形：b2c2a22bccos A，cos A.例2(2017·全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點，且ADAC，求ABD的面積解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理，得284c24c·cos ，即c22c240，解得c6(舍去)或c4.所以c4.(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD的面積與ACD的面積的比值為1.又ABC的面積為×4×2sinBAC2，所以ABD的面積為.思維升華關(guān)于解三角形問題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問題獲得解決的突破口跟蹤演練2(2017·廣西陸川縣中學(xué)知識競賽)在銳角ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足acos C(2bc)cos A.(1)求角A；(2)若a7，ABC的面積SABC10，求bc的值解(1)由acos C(2bc)cos A，得sin Acos C(2sin Bsin C)cos A，即sin Acos Ccos Asin C2sin Bcos A，即sin(AC)2sin Bcos A，即sin B2sin Bcos A.sin B0，cos A，而0<A<，A.(2)由SABC10，得bcsin 10，bc40.a7，b2c22bccos 49，即b2c289，于是(bc)2892×40169，bc13(舍負). 熱點三解三角形與三角函數(shù)的綜合問題解三角形與三角函數(shù)的綜合是近幾年高考的熱點，主要考查三角形的基本量，三角形的面積或判斷三角形的形狀例3(2017屆湖北省穩(wěn)派教育質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)cos x·sincos2x(>0，xR)，且函數(shù)yf(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為.(1)求 的值及f(x)的對稱軸方程；(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若f(A)，sin C，a，求b 的值.解(1)f(x)cos xcos2x sin xcos xcos2x sin 2x(1cos 2x) sin 2xcos 2xsin，由函數(shù)yf(x)圖象的一個對稱中心到最近的對稱軸的距離為，得T，求得1.當1時，f(x)sin.由2xk(kZ)，求得x(kZ)即f(x)的對稱軸方程為x(kZ)(2)由(1)知f(A)sin，即sin.所以2A2k或2A2k，kZ，解得Ak或Ak，kZ，又A(0，)，所以A.由sin C，C(0，)，sin A知，C<，求得cos C.所以sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，又a，由正弦定理得b.思維升華解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對最值或范圍問題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來求跟蹤演練3(2017屆青島市統(tǒng)一質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)sincosmsin 2x(mR)，f 2.(1)求m的值；(2)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b2，f ，ABC的面積是，求ABC的周長解(1)f 2，f sincosmsinsin cos 2，解得m1.(2)由(1)知f(x)sincossin 2xsin 2xcos cos 2xsin cos 2xcos sin 2xsin sin 2xcos 2xsin 2x2sin，f 2sin.0<B<，<B<，B，則B.又SABCacsin Bac，ac4.b2a2c22accos B(ac)23ac4，(ac)241216，ac4，ABC的周長為abc6.真題體驗1(2017·山東改編)在ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若ABC為銳角三角形，且滿足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，則下列等式成立的是_(填序號)a2b; b2a; A2B; B2A.答案解析等式右邊sin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)sin Acos Csin(AC)sin Acos Csin B，等式左邊sin B2sin Bcos C，sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B.由cos C0，得sin A2sin B.根據(jù)正弦定理，得a2b.2(2017·北京)在平面直角坐標系xOy中，角與角均以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對稱若sin ，cos()_.答案解析由題意知2k(kZ)，2k(kZ)，又sin ，cos()cos cos sin sin cos2sin22sin212×1.3(2017·江蘇)若tan，則tan _.答案解析方法一tan.6tan 61tan (tan 1)，tan .方法二tan tan.4(2017·浙江)已知ABC，ABAC4，BC2.點D為AB延長線上一點，BD2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC_.答案解析依題意作出圖形，如圖所示，則sinDBCsinABC.由題意知ABAC4，BCBD2，則sinABC，cosABC，所以SBDCBC·BD·sinDBC×2×2×.因為cosDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.押題預(yù)測1在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，則ABC的面積為_押題依據(jù)三角形的面積求法較多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此題很好地體現(xiàn)了綜合性考查的目的，也是高考的重點答案解析因為0<A<，cos A，所以sin A.又cos Csin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin Ccos Csin C，結(jié)合sin2Ccos2C1，得sin C，cos C.于是sin Bcos C.由a及正弦定理，得c.故ABC的面積Sacsin B.2已知函數(shù)f(x)sin x·cos xcos2x(>0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，求此時f(A)的值域押題依據(jù)三角函數(shù)和解三角形的交匯點命題是近幾年高考命題的趨勢，本題綜合考查了三角變換、余弦定理和三角函數(shù)的值域，還用到數(shù)列、基本不等式等知識，對學(xué)生能力要求較高解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin，因為函數(shù)f(x)的周期為T，所以.(2)由(1)知f(x)sin，易得f(A)sin.因為sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(當且僅當bc時取等號)因為0<A<，所以0<A，所以<3A，所以<sin1，所以1<sin，所以函數(shù)f(A)的值域為.A組專題通關(guān)1(2017·貴陽市第一中學(xué)適應(yīng)性考試)已知在ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a，c3，cos A，則b等于()A. B.C2 D3答案C解析由余弦定理知，a2b2c22bccos A，可得10b292·b·3· , b2b10，所以(b2)(b)0，解得b2(舍負)，故選C.2tan 70°tan 50°tan 70°tan 50°的值等于()A. B.C D答案D解析因為tan 120°，即tan 70°tan 50°tan 70°tan 50°.3(2017·荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)已知為第四象限角，sin cos ，則tan 的值為()A B. C D.答案C解析由sin cos 平方，得12sin cos 2sin cos (sin cos )212sin cos .因為為第四象限角，所以sin <0，cos >0，sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故選C.4(2017·合肥一模)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cos C，bcos Aacos B2，則ABC的外接圓的面積為()A4 B8C9 D36答案C解析bcos Aacos B2，b·a·2，c2，由cos C，得sin C，2R6，R3，S×329，故選C.5若sin 2，sin()，且，則的值是()A. B.C.或 D.或答案A解析sin 2，cos 2且，又sin()，cos()，sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2××，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2××，又，故選A.6(2017·全國)已知，tan 2，則cos_.答案解析coscos cos sin sin (cos sin )又由，tan 2知，sin ，cos ，cos×.7(2017屆湖南省百所重點中學(xué)階段性診斷)我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章卷五“田域類”里有一個題目：“問有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知為田幾何”這道題講的是有一個三角形沙田，三邊分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計算，則該沙田的面積為_平方千米.答案21解析設(shè)ABC的對應(yīng)邊邊長分別為a13里，b14里，c15里，cos Csin CS×13×14××250 00021×106(平方米)21(平方千米)8. (2017·河南省息縣第一高級中學(xué)階段測試)如圖，在平面四邊形ABCD中，AD1，CD2，AC，cosBAD，sinCBA，則BC的長為_答案3解析因為cosBAD，故sinBAD，在ADC中運用余弦定理，可得 cosCAD，則sinCAD，所以sinBACsin(BADCAD)××，在ABC中運用正弦定理，可得BC××3.9(2017·全國)ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC面積為2，求b.解(1)由題設(shè)及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)或cos B.故cos B.(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)362××4，所以b2.10(2017·浙江省“超級全能生”聯(lián)考)已知f(x)sin(x) 滿足f f(x)，若其圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)(1)求f(x)的解析式；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(2ca)cos Bbcos A，求f(A)的取值范圍解(1)f f(x)，f(x)f f(x)，T，2，則f(x)的圖象向左平移個單位長度后得到的函數(shù)為g(x)sin，而g(x)為奇函數(shù)，則有k，kZ，而|<，則有，從而f(x)sin.(2)(2ca)cos Bbcos A，由正弦定理得2sin Ccos Bsin(AB)sin C，又C，sin C0，cos B，B.ABC是銳角三角形，CA<，<A<，0<2A<，sin(0,1，f(A)sin(0,1B組能力提高11(2017屆合肥教學(xué)質(zhì)量檢測)在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，若a，則b2c2的取值范圍是()A. B. C. D.答案C解析(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，A，BC.又ABC為銳角三角形，<B<，由正弦定理2，得b2sin B，c2sin C，b2c24(sin2Bsin2C)442cos，又<B<，可得b2c2(5,6故選C.12(2017·湖北省黃岡市質(zhì)量檢測)已知2sin 1cos ，則tan 等于()A或0 B.或0C D.答案A解析因為2sin 1cos ，所以4sin cos12sin2，解得sin0或2cossin ，tan0或2，又tan ，當tan0時，tan 0；當tan 2時，tan ，故選A.13(2017屆河南省新鄉(xiāng)市模擬)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，cos C，且acos Bbcos A2，則ABC面積的最大值為_答案解析由題設(shè)及余弦定理，可得ab2c2，又由余弦定理可得22a2b22ab×，即a2b2ab4，又因為a2b22ab，所以ab42abab，當且僅當ab時取等號，由cos C，可得sin C，所以三角形的面積SABCabsin C×abab×.14(2017屆南京市、鹽城市模擬)如圖，在ABC中，D為邊BC上一點，AD6，BD3，DC2.(1)若ADBC，求BAC的大小；(2)若ABC，求ADC的面積解 (1)設(shè)BAD，DAC.因為ADBC，AD6，BD3，DC2，所以tan ，tan ，所以tanBACtan()1.又BAC(0，)，所以BAC. (2)設(shè)BAD.在ABD中，ABC，AD6，BD3.由正弦定理得，解得sin .因為ADBD，所以為銳角，從而cos .因此sinADCsinsin cos cos sin .ADC的面積S×AD×DC·sinADC×6×2×(1)