2018屆高考數(shù)學(xué)（理）二輪復(fù)習(xí)講學(xué)案：考前專題3 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第2講 三角變換與解三角形.doc

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1、第2講三角變換與解三角形正弦定理、余弦定理以及解三角形問(wèn)題是高考的必考內(nèi)容，主要考查：1邊和角的計(jì)算2三角形形狀的判斷3面積的計(jì)算4有關(guān)參數(shù)的范圍問(wèn)題由于此內(nèi)容應(yīng)用性較強(qiáng)，與實(shí)際問(wèn)題結(jié)合起來(lái)進(jìn)行命題將是今后高考的一個(gè)關(guān)注點(diǎn)，不可輕視熱點(diǎn)一三角恒等變換1三角求值“三大類型”“給角求值”“給值求值”“給值求角”2三角函數(shù)恒等變換“四大策略”(1)常值代換：特別是“1”的代換，1sin2cos2tan 45等(2)項(xiàng)的分拆與角的配湊：如sin22cos2(sin2cos2)cos2，()等(3)降次與升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次(4)弦、切互化：一般是切化弦例1(1)(2017貴陽(yáng)市

2、第一中學(xué)適應(yīng)性考試)已知sin 2cos ，則tan 2等于()A. BC. D答案C解析sin 2cos ，sin24sin cos 4cos2，即2sin 24，化簡(jiǎn)得4sin 23cos 2，tan 2，故選C.(2)已知sin ，sin()，均為銳角，則角等于()A. B.C. D.答案C解析因?yàn)?，均為銳角，所以.又sin()，所以cos().又sin ，所以cos ，所以sin sin()sin cos()cos sin().所以.思維升華(1)三角變換的關(guān)鍵在于對(duì)兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等變換公式的熟記和靈活應(yīng)用，要善于觀察各個(gè)角之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)題目所給

3、條件與恒等變換公式的聯(lián)系，公式的使用過(guò)程要注意正確性，要特別注意公式中的符號(hào)和函數(shù)名的變換，防止出現(xiàn)“張冠李戴”的情況(2)求角問(wèn)題要注意角的范圍，要根據(jù)已知條件將所求角的范圍盡量縮小，避免產(chǎn)生增解跟蹤演練1(1)(2017河北省衡水中學(xué)三調(diào))若，且3cos 2sin，則sin 2的值為()A B. C D.答案C解析由3cos 2sin()，可得3(cos2sin2)(cos sin )，于是3(cos sin )，所以12sin cos ，所以sin 2，故選C.(2)(2017屆山東省師大附中模擬)已知sincos ，則cos_.答案解析sincos cos sin cos sin，si

4、n.則cos12sin2.熱點(diǎn)二正弦定理、余弦定理1正弦定理：在ABC中，2R(R為ABC的外接圓半徑)變形：a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，sin A，sin B，sin C，abcsin Asin Bsin C等2余弦定理：在ABC中，a2b2c22bccos A.變形：b2c2a22bccos A，cos A.例2(2017全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin Acos A0，a2，b2.(1)求c；(2)設(shè)D為BC邊上一點(diǎn)，且ADAC，求ABD的面積解(1)由已知可得tan A，所以A.在ABC中，由余弦定理，得284c24ccos ，即

5、c22c240，解得c6(舍去)或c4.所以c4.(2)由題設(shè)可得CAD，所以BADBACCAD.故ABD的面積與ACD的面積的比值為1.又ABC的面積為42sinBAC2，所以ABD的面積為.思維升華關(guān)于解三角形問(wèn)題，一般要用到三角形的內(nèi)角和定理，正弦、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，常見的三角變換方法和原則都適用，同時(shí)要注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”，這是使問(wèn)題獲得解決的突破口跟蹤演練2(2017廣西陸川縣中學(xué)知識(shí)競(jìng)賽)在銳角ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且滿足acos C(2bc)cos A.(1)求角A；(2)若a7，ABC的面積SABC10，求bc的值

6、解(1)由acos C(2bc)cos A，得sin Acos C(2sin Bsin C)cos A，即sin Acos Ccos Asin C2sin Bcos A，即sin(AC)2sin Bcos A，即sin B2sin Bcos A.sin B0，cos A，而0A0，xR)，且函數(shù)yf(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為.(1)求 的值及f(x)的對(duì)稱軸方程；(2)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若f(A)，sin C，a，求b 的值.解(1)f(x)cos xcos2x sin xcos xcos2x sin 2x(1cos 2x) sin 2xcos

7、 2xsin，由函數(shù)yf(x)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心到最近的對(duì)稱軸的距離為，得T，求得1.當(dāng)1時(shí)，f(x)sin.由2xk(kZ)，求得x(kZ)即f(x)的對(duì)稱軸方程為x(kZ)(2)由(1)知f(A)sin，即sin.所以2A2k或2A2k，kZ，解得Ak或Ak，kZ，又A(0，)，所以A.由sin C，C(0，)，sin A知，C，求得cos C.所以sin Bsin(AC)sin Acos Ccos Asin C，又a，由正弦定理得b.思維升華解三角形與三角函數(shù)的綜合題，要優(yōu)先考慮角的范圍和角之間的關(guān)系；對(duì)最值或范圍問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的值域來(lái)求跟蹤演練3(2017屆青島市統(tǒng)一質(zhì)量檢測(cè)

8、)已知函數(shù)f(x)sincosmsin 2x(mR)，f2.(1)求m的值；(2)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若b2，f，ABC的面積是，求ABC的周長(zhǎng)解(1)f2，fsincosmsinsin cos 2，解得m1.(2)由(1)知f(x)sincossin 2xsin 2xcos cos 2xsin cos 2xcos sin 2xsin sin 2xcos 2xsin 2x2sin，f2sin.0B，B，B，則B.又SABCacsin Bac，ac4.b2a2c22accos B(ac)23ac4，(ac)241216，ac4，ABC的周長(zhǎng)為abc6.真題體驗(yàn)1(20

9、17山東改編)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若ABC為銳角三角形，且滿足sin B(12cos C)2sin Acos Ccos Asin C，則下列等式成立的是_(填序號(hào))a2b; b2a; A2B; B2A.答案解析等式右邊sin Acos C(sin Acos Ccos Asin C)sin Acos Csin(AC)sin Acos Csin B，等式左邊sin B2sin Bcos C，sin B2sin Bcos Csin Acos Csin B.由cos C0，得sin A2sin B.根據(jù)正弦定理，得a2b.2(2017北京)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角與角均

10、以O(shè)x為始邊，它們的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱若sin ，cos()_.答案解析由題意知2k(kZ)，2k(kZ)，又sin ，cos()cos cos sin sin cos2sin22sin2121.3(2017江蘇)若tan，則tan _.答案解析方法一tan.6tan 61tan (tan 1)，tan .方法二tan tan.4(2017浙江)已知ABC，ABAC4，BC2.點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD2，連接CD，則BDC的面積是_，cosBDC_.答案解析依題意作出圖形，如圖所示，則sinDBCsinABC.由題意知ABAC4，BCBD2，則sinABC，cosABC，所以SBDCBCBD

11、sinDBC22.因?yàn)閏osDBCcosABC，所以CD.由余弦定理，得cosBDC.押題預(yù)測(cè)1在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知cos A，sin Bcos C，并且a，則ABC的面積為_押題依據(jù)三角形的面積求法較多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此題很好地體現(xiàn)了綜合性考查的目的，也是高考的重點(diǎn)答案解析因?yàn)?A0)的最小正周期為.(1)求的值；(2)在ABC中，sin B，sin A，sin C成等比數(shù)列，求此時(shí)f(A)的值域押題依據(jù)三角函數(shù)和解三角形的交匯點(diǎn)命題是近幾年高考命題的趨勢(shì)，本題綜合考查了三角變換、余弦定理和三角函數(shù)的值域，還用到數(shù)列、基本不等式等

12、知識(shí)，對(duì)學(xué)生能力要求較高解(1)f(x)sin 2x(cos 2x1)sin，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的周期為T，所以.(2)由(1)知f(x)sin，易得f(A)sin.因?yàn)閟in B，sin A，sin C成等比數(shù)列，所以sin2Asin Bsin C，所以a2bc，所以cos A(當(dāng)且僅當(dāng)bc時(shí)取等號(hào))因?yàn)?A，所以0A，所以3A，所以sin1，所以1sin，所以函數(shù)f(A)的值域?yàn)?A組專題通關(guān)1(2017貴陽(yáng)市第一中學(xué)適應(yīng)性考試)已知在ABC中，A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若a，c3，cos A，則b等于()A. B.C2 D3答案C解析由余弦定理知，a2b2c22bccos A，可得

13、10b292b3 , b2b10，所以(b2)(b)0，解得b2(舍負(fù))，故選C.2tan 70tan 50tan 70tan 50的值等于()A. B.C D答案D解析因?yàn)閠an 120，即tan 70tan 50tan 70tan 50.3(2017荊、荊、襄、宜四地七校聯(lián)考)已知為第四象限角，sin cos ，則tan 的值為()A B. C D.答案C解析由sin cos 平方，得12sin cos 2sin cos (sin cos )212sin cos .因?yàn)闉榈谒南笙藿?，所以sin 0，sin cos ，因此sin ，cos ，tan ，故選C.4(2017合肥一模)ABC的內(nèi)

14、角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若cos C，bcos Aacos B2，則ABC的外接圓的面積為()A4 B8C9 D36答案C解析bcos Aacos B2，ba2，c2，由cos C，得sin C，2R6，R3，S329，故選C.5若sin 2，sin()，且，則的值是()A. B.C.或 D.或答案A解析sin 2，cos 2且，又sin()，cos()，sin()sin()2sin()cos 2cos()sin 2，cos()cos()2cos()cos 2sin()sin 2，又，故選A.6(2017全國(guó))已知，tan 2，則cos_.答案解析coscos cos sin si

15、n (cos sin )又由，tan 2知，sin ，cos ，cos.7(2017屆湖南省百所重點(diǎn)中學(xué)階段性診斷)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作數(shù)書九章卷五“田域類”里有一個(gè)題目：“問(wèn)有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里里法三百步欲知為田幾何”這道題講的是有一個(gè)三角形沙田，三邊分別為13里，14里，15里，假設(shè)1里按500米計(jì)算，則該沙田的面積為_平方千米.答案21解析設(shè)ABC的對(duì)應(yīng)邊邊長(zhǎng)分別為a13里，b14里，c15里，cos Csin CS1314250 00021106(平方米)21(平方千米)8. (2017河南省息縣第一高級(jí)中學(xué)階段測(cè)試)如圖，在平面

16、四邊形ABCD中，AD1，CD2，AC，cosBAD，sinCBA，則BC的長(zhǎng)為_答案3解析因?yàn)閏osBAD，故sinBAD，在ADC中運(yùn)用余弦定理，可得 cosCAD，則sinCAD，所以sinBACsin(BADCAD)，在ABC中運(yùn)用正弦定理，可得BC3.9(2017全國(guó))ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知sin(AC)8sin2.(1)求cos B；(2)若ac6，ABC面積為2，求b.解(1)由題設(shè)及ABC，得sin B8sin2，故sin B4(1cos B)上式兩邊平方，整理得17cos2B32cos B150，解得cos B1(舍去)或cos B.故cos B.

17、(2)由cos B，得sin B，故SABCacsin Bac.又SABC2，則ac.由余弦定理及ac6，得b2a2c22accos B(ac)22ac(1cos B)3624，所以b2.10(2017浙江省“超級(jí)全能生”聯(lián)考)已知f(x)sin(x) 滿足ff(x)，若其圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為奇函數(shù)(1)求f(x)的解析式；(2)在銳角ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(2ca)cos Bbcos A，求f(A)的取值范圍解(1)ff(x)，f(x)ff(x)，T，2，則f(x)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度后得到的函數(shù)為g(x)sin，而g(x)為奇函數(shù)，則有k，

18、kZ，而|，則有，從而f(x)sin.(2)(2ca)cos Bbcos A，由正弦定理得2sin Ccos Bsin(AB)sin C，又C，sin C0，cos B，B.ABC是銳角三角形，CA，A，02A，sin(0,1，f(A)sin(0,1B組能力提高11(2017屆合肥教學(xué)質(zhì)量檢測(cè))在銳角ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且滿足(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，若a，則b2c2的取值范圍是()A. B. C. D.答案C解析(ab)(sin Asin B)(cb)sin C，由正弦定理得(ab)(ab)(cb)c，即b2c2a2bc，cos A，A，

19、BC.又ABC為銳角三角形，B，由正弦定理2，得b2sin B，c2sin C，b2c24(sin2Bsin2C)442cos，又B，可得b2c2(5,6故選C.12(2017湖北省黃岡市質(zhì)量檢測(cè))已知2sin 1cos ，則tan 等于()A或0 B.或0C D.答案A解析因?yàn)?sin 1cos ，所以4sin cos12sin2，解得sin0或2cossin ，tan0或2，又tan ，當(dāng)tan0時(shí)，tan 0；當(dāng)tan 2時(shí)，tan ，故選A.13(2017屆河南省新鄉(xiāng)市模擬)在ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別是a，b，c，cos C，且acos Bbcos A2，則ABC面積的最大值

20、為_答案解析由題設(shè)及余弦定理，可得ab2c2，又由余弦定理可得22a2b22ab，即a2b2ab4，又因?yàn)閍2b22ab，所以ab42abab，當(dāng)且僅當(dāng)ab時(shí)取等號(hào)，由cos C，可得sin C，所以三角形的面積SABCabsin Cabab.14(2017屆南京市、鹽城市模擬)如圖，在ABC中，D為邊BC上一點(diǎn)，AD6，BD3，DC2.(1)若ADBC，求BAC的大??；(2)若ABC，求ADC的面積解 (1)設(shè)BAD，DAC.因?yàn)锳DBC，AD6，BD3，DC2，所以tan ，tan ，所以tanBACtan()1.又BAC(0，)，所以BAC. (2)設(shè)BAD.在ABD中，ABC，AD6，BD3.由正弦定理得，解得sin .因?yàn)锳DBD，所以為銳角，從而cos .因此sinADCsinsin cos cos sin .ADC的面積SADDCsinADC62(1)