甘肅省蘭州一中高三上學(xué)期期中考試 理科數(shù)學(xué)試題及答案

蘭州一中2015-2016-1學(xué)期高三年級期中考試試題數(shù) 學(xué) (理)說明：本試卷分第卷（選擇題）和第卷（非選擇題）兩部分，其中第卷第2224題為選考題，其它題為必考題.考生作答時，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效.滿分150分，考試時間120分鐘，考試結(jié)束后，只交答題卡.第I卷(共60分)一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1. 已知集合A=則（CRA）B= ( )ABC D2若，則 ( )AB C D3設(shè)曲線y在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線axy30垂直，則a等于 ( )A2 B C. 2 D4. 已知函數(shù)f(x)=，則f = ( ) A B- C1 D -15下列說法中，正確的是 ( )A命題“若a<b,則am2<bm2”的否命題是假命題B設(shè)a ,b為兩個不同的平面，直線lÌa，則“l(fā)b ”是 “ab ” 成立的充分不必要條件C命題“存在xÎR，x2-x>0”的否定是“對任意xÎR，x2-x<0”D已知xÎR，則“x>1”是“x>2”的充分不必要條件6. 已知角的終邊過點(diǎn)P(8m，6sin 30°)，且cos ，則m的值為 ( )A B. C D. 7在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若，則等于 ( )A1 B. C. D. 8已知yf(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x(0,2)時，f(x)lnxax(a>)，當(dāng)x(2,0)時，f(x)的最小值為1，則a ( ) A-1 B1 C De29若將函數(shù)ytan(>0)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)ytan的圖象重合，則的最小值為 ( )A. B. C. D. 10設(shè)函數(shù)f(x)x29ln x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1<a2 Ba4 Ca2 D0<a311. 設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對稱,相鄰兩個對稱中心之間的距離為,則 ( )Af(x)的圖象過點(diǎn)(0,) B. f(x)在,上是減函數(shù)C. f(x)的一個對稱中心是(,0)D. 將f(x)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象12已知f(x)x36x29xabc，a<b<c,且f(a)f(b)f(c)0. 下列說法中正確的是( )Af(0) f(1)>0 Bf(0)f(3)>0 Cf(0)f(2)>0 Df(0)f(3)<0第卷(共90分)二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13設(shè)向量a(1，2)，b(m，1)，如果向量a2b與2ab平行，則a·b 14如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M恰好取自陰影部分的概率是 15已知0<<<<，且cos(-)，sin(-)，則cos() =_16設(shè)函數(shù)f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍為_三、解答題（本大題共6小題，共70分）17（本小題滿分12分）在ABC中，已知asinA-csinC=(a-b)sinB, ABC外接圓的半徑為.（1）求C； （2）求ABC的面積S的最大值. 18.（本小題滿分12分） 在三棱錐M-ABC中,AB=2AC=2，MA=MB=，AB=4AN，ABAC，平面MAB平面ABC，S為BC的中點(diǎn).(1) 證明：CMSN；(2) 求SN與平面CMN所成角的大小.19(本小題滿分12分) 某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實(shí)踐，對 歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組25,30)1200.6第二組30,35)195p第三組35,40)1000.5第四組40,45)a0.4第五組45,50)300.3第六組150.3(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；(2)從，使 2(x1)<(x2)成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分.答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.22.（本小題滿分10分）選修41:幾何證明選講 如圖，AB是O的一條切線，切點(diǎn)為B，直線ADE，CFD，CGE都是O的割線，已知AC=AB.(1) 若CG=1，CD=4，求的值; (2) 求證：FG/AC. 23（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓C的方程為r=6sinq.（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)P（1,2）,設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B求PA+PB的最小值24（本小題滿分10分）選修45：不等式選講設(shè)不等式2<|x1|x2|<0的解集為M，a，bM.(1)證明：;(2)比較|14ab|與2|ab|的大小，并說明理由蘭州一中2015-2016-1學(xué)期期中考試參考答案高三數(shù)學(xué)（理）一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1. 已知集合A=則（CRA）B= ( )ABC D【答案】B【解析】，所以.2若，則 ( )AB C D【答案】A3設(shè)曲線y在點(diǎn)(3,2)處的切線與直線axy30垂直，則a等于 ( )A2 B C. 2 D【答案】C【解析】因為y的導(dǎo)數(shù)為y，所以曲線在(3,2)處的切線斜率為k，又直線axy30的斜率為a，所以a·()1，解得a2. 4. 已知函數(shù)f(x)=，則f = ( ) A B- C1 D -1【答案】D【解析】，所以.5下列說法中，正確的是 ( )A命題“若a<b,則am2<bm2”的否命題是假命題B設(shè)a ,b為兩個不同的平面，直線lÌa，則“l(fā)b ”是 “ab ” 成立的充分不必要條件C命題“存在xÎR，x2-x>0”的否定是“對任意xÎR，x2-x<0”D已知xÎR，則“x>1”是“x>2”的充分不必要條件【答案】B6. 已知角的終邊過點(diǎn)P(8m，6sin 30°)，且cos ，則m的值為 ( )A B. C D. 【答案】A【解析】(1)r，cos ，m>0，即m.7在ABC中，AB2，BC3，ABC60°，AD為BC邊上的高，O為AD的中點(diǎn)，若，則等于 ( )A1 B. C. D. 【答案】D【解析】， 2，即. 故.8已知yf(x)是奇函數(shù)，當(dāng)x(0,2)時，f(x)lnxax(a>)，當(dāng)x(2,0)時，f(x)的最小值為1，則a ( ) A-1 B1 C De2【答案】B【解析】f(x)是奇函數(shù)，f(x)在(0,2)上的最大值為1.當(dāng)x(0,2)時，f(x)a，令f(x)0得x，又a>，0<<2.當(dāng)x<時，f(x)>0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)x>時，f(x)<0，f(x)在(，2)上單調(diào)遞減，f(x)maxf()lna·1，解得a1.9若將函數(shù)ytan(>0)的圖象向右平移個單位長度后，與函數(shù)ytan的圖象重合，則的最小值為 ( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】函數(shù)ytan向右平移后得到解析ytantan.又因為ytan，令k，k(kZ)，由>0得的最小值為.10設(shè)函數(shù)f(x)x29ln x在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ()A1<a2 Ba4 Ca2 D0<a3【答案】A【解析】f(x)x29ln x，f(x)x(x>0)，當(dāng)x0時，0<x3，即在(0,3上f(x)是減函數(shù)，a1>0且a13，解得1<a2. 11. 設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線x=對稱,相鄰兩個對稱中心之間的距離為,則 ( )Af(x)的圖象過點(diǎn)(0,) B. f(x)在,上是減函數(shù)C. f(x)的一個對稱中心是(,0)D. 將f(x)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象【答案】C 12已知f(x)x36x29xabc，a<b<c,且f(a)f(b)f(c)0. 下列說法中正確的是 ( )Af(0) f(1)>0 Bf(0)f(3)>0 Cf(0)f(2)>0 Df(0)f(3)<0【答案】B 【解析】f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)<0，得1<x<3，由f(x)>0，得x<1或x>3，f(x)在區(qū)間(1,3)上是減函數(shù)，在區(qū)間(，1)，(3，)上是增函數(shù)又a<b<c，f(a)f(b)f(c)0，y極大值f(1)4abc>0，y極小值f(3)abc<0，0<abc<4. a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x1，x3為函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)，后一種情況不可能成立，如圖f(0)<0，f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0，正確結(jié)論的是B.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13設(shè)向量a(1，2)，b(m，1)，如果向量a2b與2ab平行，則a·b 【答案】【解析】a2b(12m，4)，2ab(2m，3)，由題意得3(12m)4(2m)0，則m，所以a·b1×2×1.14如圖所示，在邊長為1的正方形OABC中任取一點(diǎn)M，則點(diǎn)M恰好取自陰影部分的概率是 【答案】15已知0<<<<，且cos(-)，sin(-)，則cos() =_【答案】 【解析】0<<<<，<<，<<，sin，cos ，cos coscoscossinsin××，cos()2cos212×1.16設(shè)函數(shù)f(x)ln xax2bx，若x1是f(x)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍為_【答案】 (1，)【解析】f(x)的定義域為(0，)，f(x)axb，由f(1)0，得b1a.f(x)axa1.(1)若a0，當(dāng)0<x<1時，f(x)>0，f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>1時，f(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，所以x1是f(x)的極大值點(diǎn)(2)若a<0，由f(x)0，得x1或x.因為x1是f(x)的極大值點(diǎn)，所以>1，解得1<a<0.綜合(1),(2)得a的取值范圍是 (1，).三、解答題（本大題共6小題，共70分）17（本小題滿分12分）在ABC中，已知asinA-csinC=(a-b)sinB, ABC外接圓的半徑為.（1）求C； （2）求ABC的面積S的最大值. 【解析】 (1)依正弦定理，有再由余弦定理得又是三角形ABC內(nèi)角，. -6分(2) SABC= -10分 -12分18.（本小題滿分12分） 在三棱錐M-ABC中,AB=2AC=2，MA=MB=，AB=4AN，ABAC，平面MAB平面ABC，S為BC的中點(diǎn).(1) 證明：CMSN；(2) 求SN與平面CMN所成角的大小. 【解析】解法一：（1）取AB中點(diǎn)O，連接MO、CO、SOMA=MB，MOAB平面MAB平面ABC，平面MAB平面ABC=ABMO平面ABC -2分NOS和AOC都是等腰直角三角形AB=2AC=2，AB=4AN， AO=AC，NO=SO，AOC=45°，ONS=45°，COSN，CMSN. -6分（2）在MNC中， MN=, CN=, CM=，SMNC= -10分設(shè)S到平面MNC的距離為h，SN與平面CMN所成角為,VMNSC=VSNMC SNSC.MO=SMNC.h h= -11分sinq= SN與平面CMN所成角為 . -12分解法二：（1）證明：取AB中點(diǎn)O，連接MO、SO，MA=MB，MOAB， 平面MAB平面ABC，平面MAB平面ABC=AB, MO平面ABC，又SOAB ；如圖,可以以O(shè)為原點(diǎn)，以O(shè)B為x軸，以O(shè)S為y軸，以O(shè)M為z軸建立空間直角坐標(biāo)系， -2分各點(diǎn)坐標(biāo)如下：C(-1,1,0)、M(0,0,)、N(-,0,0)、S(0,0)=(1,-1,)，=(-,-,0)， -5分 , CMSN -6分（2）由題意知=(, -1, 0), =(, 0, )， -8分設(shè)平面CMN的法向量為=(x,y,z)，則，令y=1,得平面CMN的法向量為=(2,1,-2)， -10分設(shè)SN與平面CMN所成角為q，則sinq=|cos<,>|=，SN與平面CMN所成角為 -12分19(本小題滿分12分) 某班同學(xué)利用國慶節(jié)進(jìn)行社會實(shí)踐，對 歲的人群隨機(jī)抽取n人進(jìn)行了一次生活習(xí)慣是否符合低碳觀念的調(diào)查，若生活習(xí)慣符合低碳觀念的稱為“低碳族”，否則稱為“非低碳族”，得到如下統(tǒng)計表和各年齡段人數(shù)頻率分布直方圖：組數(shù)分組低碳族的人數(shù)占本組的頻率第一組25,30)1200.6第二組30,35)195p第三組35,40)1000.5第四組40,45)a0.4第五組45,50)300.3第六組150.3(1)補(bǔ)全頻率分布直方圖并求n、a、p的值；(2)從，使 2(x1)<(x2)成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍【解析】(1)函數(shù)的定義域為R，f(x), -1分1)當(dāng)a=0時，f(x)<0，f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是(，); 2)當(dāng)a<0時，由f(x)=0，得x=;f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是(，),單調(diào)遞減區(qū)間是(，+);3)當(dāng)0<a<1時，由f(x)=0，得x=;f(x) 的單調(diào)遞減區(qū)間是(，+),單調(diào)遞減區(qū)間是(，). -5分(2)假設(shè)存在x1，x2，使得2(x1)<(x2)成立，則2min<max.(x)xf(x)tf(x)ex，(x).當(dāng)t1時，(x)0，(x)在上單調(diào)遞減，2(1)<(0)，即t>3>1.當(dāng)t0時，(x)>0，(x)在上單調(diào)遞增，2(0)<(1)，即t<32e<0.當(dāng)0<t<1時，若x，(x)>0，(x)在(t，1上單調(diào)遞增，所以2(t)<max(0)，(1)，即2·<max1，(*), 由(1)知，g(t)2·在上單調(diào)遞減， 故2·2，而，所以不等式(*)無解綜上所述，存在t(，32e)(3，)，使得命題成立 -12分22.（本小題滿分10分）選修41:幾何證明選講 如圖，AB是O的一條切線，切點(diǎn)為B，直線ADE，CFD，CGE都是O的割線，已知AC=AB.(1) 若CG=1，CD=4，求的值; (2) 求證：FG/AC. 【解析】(1) 由題意可得：四點(diǎn)共圓，. .又，=4. -4分(2)因為AB為切線，AE為割線，AB2=AD·AE，又因為AC=AB，所以AD·AE=AC2，所以，又因為，所以，所以，又因為，所以，所以FG/AC -10分23（本小題滿分10分）選修44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），在極坐標(biāo)系（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，以x軸非負(fù)半軸為極軸）中，圓C的方程為r=6sinq.（1）求圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)P（1,2）,設(shè)圓C與直線l交于點(diǎn)A，B求PA+PB的最小值【解析】（1）由r=6sinq得r2=6rsinq.，化為直角坐標(biāo)方程為x2+y2=6y，即x2+(y-3)2=9. -4分（2）將l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得.由，故可設(shè)是上述方程的兩根，所以又直線過點(diǎn)，故結(jié)合t的幾何意義得= 所以PA+PB的最小值為 -10分24（本小題滿分10分）選修45：不等式選講設(shè)不等式2<|x1|x2|<0的解集為M，a，bM.(1)證明：;(2)比較|14ab|與2|ab|的大小，并說明理由【解析】(1)證明：記f(x)|x1|x2|由2<2x1<0，解得<x<， 則M.所以|a|b|<×× -5分(2)由(1)得a2<，b2<.因為|14ab|24|ab|2(18ab16a2b2)4(a22abb2)(4a21)(4b21)>0，所以|14ab|2>4|ab|2，故|14ab|>2|ab| -10分 ·28·