第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

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1、 第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系 現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用．本節(jié)將對一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述． 一、一元二次方程的根的判斷式 一元二次方程，用配方法將其變形為： (1) 當(dāng)時，右端是正數(shù)．因此，方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根： (2) 當(dāng)時，右端是零．因此，方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根： (3) 當(dāng)時，右端是負(fù)數(shù)．因此，方程沒有實(shí)數(shù)根． 由于可以用的取值情況來判定一元二次方程的根的情況．因此，把叫做一元二次方程的

2、根的判別式，表示為： 【例1】不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個數(shù)： (1) (2) (3) 解：(1) ，∴ 原方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根． (2) 原方程可化為： ，∴ 原方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根． (3) 原方程可化為： ，∴ 原方程沒有實(shí)數(shù)根． 說明：在求判斷式時，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式． 【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的范圍： (1) 方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； (2) 方程有兩個相等的實(shí)數(shù)根 (3)方程有實(shí)數(shù)根； (4) 方程無實(shí)數(shù)根． 解： (1) ； (2) ；

3、 (3) ； (4) ． 【例3】已知實(shí)數(shù)、滿足，試求、的值． 解：可以把所給方程看作為關(guān)于的方程，整理得： 由于是實(shí)數(shù)，所以上述方程有實(shí)數(shù)根，因此： ， 代入原方程得：． 綜上知： 二、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 一元二次方程的兩個根為： 所以：， 定理：如果一元二次方程的兩個根為，那么： 說明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系由十六世紀(jì)的法國數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)，所以通常把此定理稱為”韋達(dá)定理”．上述定理成立的前提是． 【例4】若是方程的兩個根，試求下列各式的值： (1) ； (2) ； (3) ； (4) ． 分析：本題若直接用求

4、根公式求出方程的兩根，再代入求值，將會出現(xiàn)復(fù)雜的計(jì)算．這里，可以利用韋達(dá)定理來解答． 解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得： (1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形： ，，， ，， 等等．韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想． 【例5】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值． (1) 方程兩實(shí)根的積為5； (2) 方程的兩實(shí)根滿足． 分析：(1) 由韋達(dá)定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論． 解：(1) ∵方程兩實(shí)根的積為5 ∴ 所以，當(dāng)時，方程兩實(shí)根的積為5． (2) 由得知： ①當(dāng)

5、時，，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故； ②當(dāng)時，，由于 ，故不合題意，舍去． 綜上可得，時，方程的兩實(shí)根滿足． 說明：根據(jù)一元二次方程兩實(shí)根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實(shí)根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足． 【例6】已知是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根． (1) 是否存在實(shí)數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由． (2) 求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值． 解：(1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使成立． ∵ 一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根 ∴ ， 又是一元二次方程的兩個實(shí)數(shù)根 ∴ ∴ ，但．

6、 ∴不存在實(shí)數(shù)，使成立． (2) ∵ ∴ 要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到， 要使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值為． 說明：(1) 存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在． (2) 本題綜合性較強(qiáng)，要學(xué)會對為整數(shù)的分析方法． 練 習(xí) A 組 1．一元二次方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是( ) A． B． C． D． 2．若是方程的兩個根，則的值為( ) A． B． C． D． 3．已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線交于O點(diǎn)，且

7、OA、OB的長分別是關(guān)于的方程的根，則等于( ) A． B． C． D． 4．若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是( ) A． B． C． D．大小關(guān)系不能確定 5．若實(shí)數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為( ) A． B． C． D． 6．如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是 ______ 7．已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 _______ ． 8．若方程的兩根之差為1，則的值是 _____ ． 9．設(shè)是方程的兩實(shí)根，是關(guān)于的方程的兩實(shí)根，則= _____ ，= _____ ．

8、 10．已知實(shí)數(shù)滿足，則= _____ ，= _____ ，= _____ ． 11．對于二次三項(xiàng)式，小明得出如下結(jié)論：無論取什么實(shí)數(shù)，其值都不可能等于10．您是否同意他的看法？請您說明理由． 12．若，關(guān)于的方程有兩個相等的的正實(shí)數(shù)根，求的值． 13．已知關(guān)于的一元二次方程． (1) 求證：不論為任何實(shí)數(shù)，方程總有兩個不相等的實(shí)數(shù)根； (2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值． 14．已知關(guān)于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長． (1) 取何值時，方程存在兩個正實(shí)數(shù)根？ (2) 當(dāng)矩形的對角線長是時，求的值． B 組 1．已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實(shí)數(shù)根．

9、 (1) 求的取值范圍； (2) 是否存在實(shí)數(shù)，使方程的兩實(shí)根互為相反數(shù)？如果存在，求出的值；如果不存在，請您說明理由． 2．已知關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根的平方和等于11．求證：關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)根． 3．若是關(guān)于的方程的兩個實(shí)數(shù)根，且都大于1． (1) 求實(shí)數(shù)的取值范圍； (2) 若，求的值． 第三講 一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系習(xí)題答案 A組 1． B 2． A 3．A 4．A 5．A 6． 7． 3 8． 9或 9． 10． 11．正確 12．4 13． 14． B組 1． (2) 不存在 2． (1)當(dāng)時，方程為，有實(shí)根；(2) 當(dāng)時，也有實(shí)根． 3．(1) ； (2) ．