高考數(shù)學(xué)大二輪專題復(fù)習(xí)沖刺方案理數(shù)創(chuàng)新版文檔：題型1 第4講 不等式、線性規(guī)劃 Word版含解析

第4講不等式、線性規(guī)劃考情分析不等式的性質(zhì)、求解、證明及應(yīng)用是每年高考必考的內(nèi)容，對不等式的考查一般以選擇題、填空題為主(1)主要考查不等式的求解、利用基本不等式求最值及線性規(guī)劃問題(2)不等式的相關(guān)知識可以滲透到高考的各個知識領(lǐng)域，往往作為解題工具與數(shù)列、函數(shù)、向量相結(jié)合，在知識的交匯處命題，難度中檔，在解答題中，特別是在解析幾何中利用不等式求最值、范圍或在解決導(dǎo)數(shù)問題時利用不等式進行求解，難度偏高.熱點題型分析熱點1不等式的性質(zhì)及解法 1.利用不等式的性質(zhì)比較大小要注意特殊值法的應(yīng)用.2.一元二次不等式的解法先化為一般形式ax2bxc0(a0)，再求相應(yīng)一元二次方程ax2bxc0(a0)的根，最后根據(jù)相應(yīng)二次函數(shù)圖象與x軸的位置關(guān)系，確定一元二次不等式的解集.3.簡單分式不等式的解法(1)>0(<0)f(x)g(x)>0(<0)；(2)0(0) 1.已知a>b>0，給出下列四個不等式：a2>b2；2a>2b1；>；a3b3>2a2b.其中一定成立的不等式為()A B C D答案A解析解法一：由a>b>0可得a2>b2，所以成立；由a>b>0可得a>b1，而函數(shù)f(x)2x在R上是增函數(shù)，f(a)>f(b1)，即2a>2b1，所以成立；a>b>0，>，()2()222b2()>0，>，所以成立；若a3，b2，則a3b335,2a2b36，有a3b3<2a2b，所以不成立故選A解法二：令a3，b2，可以得到a2>b2，2a>2b1，>均成立，而a3b3>2a2b不成立，故選A2.函數(shù)f(x)的定義域為()A0,3 B(0,3)C(，03，) D(，0)(3，)答案A解析要使函數(shù)f(x) 有意義，則3xx20，即x23x0x(x3)0，解得0x3，故選A3.不等式1的解集為()Ax|x<1或x3 Bx|1x3Cx|1<x3 Dx|1<x<3答案C解析由1，移項得10，即0，解得1<x3，故選C(1)判斷不等式是否成立，需要利用性質(zhì)推理判斷，也經(jīng)常采用特值法進行驗證或舉出反例，如第1題中對于a與ab或者ab與0的大小判斷易出錯，利用不等式的性質(zhì)ab0，abbb0，即ab0.(2)解一元二次不等式要注意二次項系數(shù)的正負，通常先把系數(shù)化正再求解，不等式的解集要寫成集合或區(qū)間的形式如第2題易忽略二次項系數(shù)為負，由3xx20得出選項C(3)解不等式時同解變形出錯，第3題易出現(xiàn)的問題有兩個方面：一是錯用不等式的性質(zhì)直接把不等式化為2x4x1求解；二是同解變形過程中忽視分母不為零的限制條件，導(dǎo)致增解.熱點2基本不等式及其應(yīng)用 1.利用基本不等式求最大值、最小值的基本法則(1)如果x>0，y>0，xyp(定值)，當(dāng)xy時，xy有最小值2.(簡記：積定和最小)(2)如果x>0，y>0，xys(定值)，當(dāng)xy時，xy有最大值s2.(簡記：和定積最大)2.利用基本不等式解決條件最值問題的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或乘積為定值，主要有兩種思路：(1)通過變形直接利用基本不等式解決.(2)對條件變形，根據(jù)已知條件和基本不等式的“需求”尋找“結(jié)合點”，通過“1”的代換、添項、分離常數(shù)等手段使之能運用基本不等式常見的轉(zhuǎn)化方法有：若1，則mxny(mxny)·1(mxny)·manb2(字母均為正數(shù))；xxaaa2(x>a，b>0). 1.下列結(jié)論正確的是()A當(dāng)x>0且x1，lg x2B<1(xR)C當(dāng)x>0時，2D當(dāng)0<x2時，x無最大值答案C解析對于A，當(dāng)0<x<1時，lg x<0，不等式不成立；對于B，當(dāng)x0時，有1，不等式不成立；對于C，當(dāng)x>0時，22，當(dāng)且僅當(dāng)x1時等號成立；對于D，當(dāng)0<x2時，yx單調(diào)遞增，所以當(dāng)x2時，取得最大值，最大值為.故選C2.已知0<x<1，則x(43x)取得最大值時x的值為_.答案解析x(43x)·(3x)(43x)·2，當(dāng)且僅當(dāng)3x43x，即x時，取等號所以x(43x)的最大值為，取得最大值時x的值為.3.設(shè)x>1，則函數(shù)y的最小值為_.答案9解析x>1，x1>0，yx15259，當(dāng)且僅當(dāng)x1，即x1時取“”(由于x>1，故x3舍去)，y的最小值為9.4.(2018·江蘇高考)在ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，ABC120°，ABC的平分線交AC于點D，且BD1，則4ac的最小值為_.答案9解析由題意可知，SABCSABDSBCD，由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得acsin120°a×1×sin60°c×1×sin60°，化簡得acac，1，因此4ac(4ac)5529，當(dāng)且僅當(dāng)c2a3時取等號，則4ac的最小值為9.(1)利用均值不等式求解最值時，要注意三個條件，即“一正各項都是正數(shù)；二定和或積為定值；三等能取到使等號成立的值”，這三個條件缺一不可.(2)第2題易出錯的地方是：不會“湊”，不能根據(jù)函數(shù)解析式的特征適當(dāng)變形湊出兩式之和為定值；第3題是分子展開后不能變形湊出兩式之積為定值第4題利用“1”的代換或配湊使和為定值或積為定值時，代數(shù)式的變形要注意保持等價.熱點3簡單的線性規(guī)劃問題 1.解決線性規(guī)劃問題的一般步驟(1)畫出可行域；(2)根據(jù)線性目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其取得最優(yōu)解的點；(3)求出目標(biāo)函數(shù)的最大值和最小值.2.常見代數(shù)式的幾何意義(1)zAxBy表示與直線yx在y軸上的截距成比例的數(shù)；(2)z(xa)2(yb)2區(qū)域內(nèi)動點(x，y)與定點(a，b)的距離的平方；(3)z表示區(qū)域內(nèi)動點(x，y)與定點(a，b)連線的斜率.3.求解線性規(guī)劃中含參問題的基本方法(1)首先把不含參數(shù)的平面區(qū)域確定好；(2)把參數(shù)當(dāng)成常數(shù)用，根據(jù)線性規(guī)劃問題的求解方法求出最優(yōu)解，代入目標(biāo)函數(shù)確定最值，通過構(gòu)造方程或不等式求解參數(shù)的值或取值范圍.4.解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答. 題型1已知約束條件，求目標(biāo)函數(shù)的最值1.(2019·全國卷)若變量x，y滿足約束條件則z3xy的最大值是_.答案9解析作出已知約束條件對應(yīng)的可行域(圖中陰影部分)，由圖易知，當(dāng)直線y3xz過點C時，z最小，即z最大.由解得即C點坐標(biāo)為(3,0)，故zmax3×309.2.(2019·晉城一模)若x，y滿足約束條件則zx2y24x6y13的最小值為_.答案解析畫出不等式組表示的可行域(如圖陰影部分所示)，由于zx2y24x6y13(x2)2(y3)2，故z表示可行域內(nèi)的點A(x，y)與定點P(2,3)間距離的平方，即z|PA|2.由圖形可得|PA|的最小值即為點P(2，3)到直線xy40的距離d，所以zmind2.第1、2題易錯在不能準確把握目標(biāo)函數(shù)z的幾何意義而不知如何變形.題型2已知目標(biāo)函數(shù)的最值求參數(shù)1.(2019·華南師大附中一模)已知a>0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a()A B C1 D2答案A解析由約束條件畫出可行域(如圖所示三角形及其內(nèi)部)由得B(1，2a)當(dāng)直線2xyz0過點B時，z2xy取得最小值，所以12×12a，解得a，故選A2.已知x，y滿足約束條件若zaxy的最大值為4，則a()A3 B2 C2 D3答案B解析不等式組在直角坐標(biāo)系中所表示的平面區(qū)域如圖中的陰影部分所示，若zaxy的最大值為4，則yaxz截距的最大值為4.若a<0，則不滿足條件；若a>0，當(dāng)a<1，即a>1時，x2，y0是最優(yōu)解，此時a2；當(dāng)a>1，即0<a<1時，x1，y1是最優(yōu)解，此時a3>1(舍)故選B第1題易在分析動直線的位置時出錯，忽略直線ya(x3)恒過定點(3,0)而不好確定可行域；第2題需明確目標(biāo)函數(shù)中z與直線yaxz截距最值相同，易忽視關(guān)于a的正負討論而漏解或錯解.題型3線性規(guī)劃的實際應(yīng)用(2019·黃岡聯(lián)考)一個小型加工廠用一臺機器生產(chǎn)甲、乙兩種桶裝飲料，生產(chǎn)一桶甲飲料需要白糖4千克，果汁18千克，用時3小時；生產(chǎn)一桶乙飲料需要白糖1千克，果汁15千克，用時1小時現(xiàn)庫存白糖10千克，果汁66千克，生產(chǎn)一桶甲飲料利潤為200元，生產(chǎn)一桶乙飲料利潤為100元，在使用該機器用時不超過9小時的條件下，生產(chǎn)甲、乙兩種飲料利潤之和的最大值為_.答案600解析設(shè)生產(chǎn)甲、乙兩種飲料分別為x桶、y桶，利潤為z元，則得即目標(biāo)函數(shù)z200x100y.作出可行域(如圖陰影部分所示)當(dāng)直線z200x100y經(jīng)過可行域上點B時，z取得最大值.解方程組得點B的坐標(biāo)(2,2)，故zmax200×2100×2600.(1)線性規(guī)劃的實質(zhì)是把代數(shù)問題幾何化，即數(shù)形結(jié)合的思想需要注意的是：一、準確無誤地作出可行域；二、畫目標(biāo)函數(shù)所對應(yīng)的直線時，要注意與約束條件中的直線的斜率進行比較，避免出錯；三、一般情況下，目標(biāo)函數(shù)的最大或最小會在可行域的端點或邊界上取得.(2)在解決線性規(guī)劃的應(yīng)用問題時要注意結(jié)合實際問題的實際意義，判斷所設(shè)未知數(shù)x，y的取值范圍，特別注意分析x，y是否是整數(shù)、是否是非負數(shù)等.真題自檢感悟1.(2019·全國卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，則()Aa<b<c Ba<c<b Cc<a<b Db<c<a答案B解析因為alog20.2<0，b20.2>1,0<c0.20.3<1，所以b>c>a.故選B2.(2017·全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最小值是()A15 B9 C1 D9答案A解析不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示.將目標(biāo)函數(shù)z2xy化為y2xz，作出直線y2x，并平移該直線，知當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點A(6，3)時，z有最小值，且zmin2×(6)315.故選A3.(2017·天津高考)已知函數(shù)f(x)設(shè)aR，若關(guān)于x的不等式f(x)在R上恒成立，則a的取值范圍是()A BC2，2 D答案A解析關(guān)于x的不等式f(x)在R上恒成立等價于f(x)af(x)，即f(x)af(x)在R上恒成立，令g(x)f(x).當(dāng)x1時，g(x)(x2x3)x232，當(dāng)x時，g(x)max；當(dāng)x1時，g(x)2，當(dāng)且僅當(dāng)，且x1，即x時，“”成立，故g(x)max2.綜上，g(x)max.令h(x)f(x)，當(dāng)x1時，h(x)x2x3x232，當(dāng)x時，h(x)min；當(dāng)x1時，h(x)x2，當(dāng)且僅當(dāng)，且x1，即x2時，“”成立，故h(x)min2.綜上，h(x)min2.故a的取值范圍為.故選A4.(2018·天津高考)已知a，bR，且a3b60，則2a的最小值為_.答案解析由a3b60可知a3b6，且2a2a23b，因為對于任意x,2x>0恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得，2a23b2 2 .當(dāng)且僅當(dāng)即時等號成立.綜上可得2a的最小值為.專題作業(yè)一、選擇題1.(2019·北京高考)若x，y滿足|x|1y，且y1，則3xy的最大值為()A7 B1 C5 D7答案C解析由|x|1y，且y1，得作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè)z3xy，則y3xz.作直線l0：y3x，并進行平移.顯然當(dāng)l0過點A(2，1)時，z取最大值，zmax3×215.故選C2.不等式0的解集為()ABC1，)D1，)答案A解析0解得即<x1.故選A3.(2017·山東高考)若ab0，且ab1，則下列不等式成立的是()Aalog2(ab)Blog2(ab)aCalog2(ab)Dlog2(ab)a答案B解析ab0，ab1，log2(ab)log2(2)1.a>b>0且ab1，a2>ab>b2，則a>1,0<b<1，于是2a>2，0<<，則<.aaa2a>ab>log2(ab)，<log2(ab)<a.故選Bab0，ab1，取a2，b，此時a4，log2(ab)log2511.3，log2(ab)a.故選B4.(2019·北京師范大學(xué)附中模擬)已知a>0，b>0，并且，成等差數(shù)列，則a9b的最小值為()A16 B9 C5 D4答案A解析，成等差數(shù)列，1.a9b(a9b)1010216，當(dāng)且僅當(dāng)且1，即a4，b時等號成立a9b的最小值為16，故選A5.已知函數(shù)f(x)x2的值域為(，0)(4，)，則a的值是()A B C1 D2答案C解析由題意可得a>0，當(dāng)x>0時，f(x)x222，當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號；當(dāng)x<0時，f(x)x222，當(dāng)且僅當(dāng)x時取等號，所以解得a1，故選C6.(2018·天津高考)已知alog2e，bln 2，clog，則a，b，c的大小關(guān)系為()Aa>b>c Bb>a>cCc>b>a Dc>a>b答案D解析由題意結(jié)合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可知，alog2e>1，bln 2(0,1)，cloglog23>log2e，據(jù)此可得，c>a>b.故選D7.已知x，y>0且x4y1，則的最小值為()A8 B9 C10 D11答案B解析x，y>0且x4y1，(x4y)54·52549，當(dāng)且僅當(dāng)4·即或(舍去)時等號成立故選B8.(2019·華大新高考聯(lián)盟模擬)若實數(shù)x，y滿足不等式組則x2y2的取值范圍是()A B0,2 C D0，答案B解析畫出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)，x2y2的幾何意義是陰影內(nèi)的點到原點的距離的平方，顯然O點為最小值點，而A(1,1)為最大值點，故x2y2的取值范圍是0,2故選B9若x，y滿足約束條件則的最大值為()A1 B1 C3 D0答案C解析作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率，由圖可知，點A(1,3)與原點連線的斜率最大，故的最大值為3.故選C10.若直線l：kxy10上不存在滿足不等式組的點(x，y)，則實數(shù)k的取值范圍為()A(，0BC(，0)D答案D解析實數(shù)x，y滿足對應(yīng)的可行域如圖中陰影部分：直線l：kxy10可化為ykx1，故直線l過定點C(0,1)，由圖可知，當(dāng)直線l過的交點A(1,1)時，k0；當(dāng)直線l過的交點B時，k.由此可知當(dāng)0<k<時，直線與不等式組無交點，即直線l上不存在滿足不等式組的點故選D11.若正數(shù)a，b滿足：1，則的最小值為()A16 B9 C6 D1答案C解析正數(shù)a，b滿足：1，a>1且b>1.1可變形為1，abab，abab0，(a1)(b1)1，a1，a1>0，9(a1)26，當(dāng)且僅當(dāng)9(a1)，即a時取“”，的最小值為6.故選C12.(2019·太原模擬)已知正數(shù)a，b滿足1，若不等式abx24x18m對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A3，) B(，3C(，6 D6，)答案D解析a>0，b>0，且1，ab(ab)·1010216，當(dāng)且僅當(dāng)，即a4，b12時等號成立，所以(ab)min16.若不等式abx24x18m對任意實數(shù)x恒成立，則x24x18m16，即mx24x2對任意實數(shù)x恒成立，x24x2(x2)266，m6.實數(shù)m的取值范圍是6，)故選D二、填空題13.已知實數(shù)x，y滿足如果目標(biāo)函數(shù)zxy的最小值為1，則實數(shù)m等于_.答案5解析繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖陰影部分所示(含邊界)，聯(lián)立直線方程可得交點坐標(biāo)為A，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點A處取得最小值，所以1，解得m5.14.(2017·江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是_.答案30解析一年的總運費為6×(萬元).一年的總存儲費用為4x萬元.總運費與總存儲費用的和為萬元.因為4x2 240，當(dāng)且僅當(dāng)4x，即x30時取得等號，所以當(dāng)x30時，一年的總運費與總存儲費用之和最小.15.(2019·衡水中學(xué)檢測)設(shè)滿足的實數(shù)x，y所在的平面區(qū)域為，則的外接圓方程是_.答案(x1)2(y3)210解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示則區(qū)域是四邊形ABCO(含內(nèi)部及邊界)易知BCAB，則外接圓的圓心為AC的中點，又A(0,6)，C(2,0)，則該四邊形外接圓的圓心為(1,3)，半徑r|AC|.故所求圓的方程為(x1)2(y3)210.16.若實數(shù)x，y滿足x2y21，則|2xy2|6x3y|的最小值是_.答案3解析x2y21表示圓x2y21及其內(nèi)部，易得直線6x3y0與圓相離，故|6x3y|6x3y，當(dāng)2xy20時，|2xy2|6x3y|x2y4，如下圖所示，可行域為小的弓形內(nèi)部，目標(biāo)函數(shù)zx2y4，則可知當(dāng)x，y時，zmin3，當(dāng)2xy20時，|2xy2|6x3y|83x4y，可行域為大的弓形內(nèi)部，目標(biāo)函數(shù)z83x4y，同理可知當(dāng)x，y時，zmin3，綜上所述，(|2xy2|6x3y|)min3.