高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷文數(shù)文檔：第一部分 考點(diǎn)十六 直線與圓錐曲線綜合問題 Word版含解析

考點(diǎn)十六直線與圓錐曲線綜合問題一、選擇題1(2019·安徽蕪湖模擬)已知雙曲線1(a>0，b>0)的離心率為，右焦點(diǎn)到一條漸近線的距離為，則此雙曲線的焦距等于()A. B2 C3 D6答案B解析由題意得焦點(diǎn)F(c,0)到漸近線bxay0的距離為db，即b，又，c2a2b2，可解得c，該雙曲線的焦距為2c2，故選B.2拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸；反之，平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)若拋物線y24x的焦點(diǎn)為F，一平行于x軸的光線從點(diǎn)M(3,1)射出，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)A反射后，再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出，則直線AB的斜率為()A. B C± D答案B解析由題意可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0,1)，代入y24x得124x0，x0，又焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)，所以kABkAF，故選B.3(2019·河南安陽二模)已知雙曲線1(a>0，b>0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，直線xa與雙曲線的一條漸近線的交點(diǎn)為B.若BFA30°，則雙曲線的離心率為()A. B. C2 D3答案C解析由題意可得A(a,0)，雙曲線的漸近線方程為ay±bx0，不妨設(shè)B點(diǎn)為直線xa與yx的交點(diǎn)，則B點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，因?yàn)锳BFA，BFA30°，所以tanBFA，解得e2，故選C.4(2019·四川五校聯(lián)考)已知橢圓C：1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為P，直線l：4x3y0與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)若|AF|BF|6，點(diǎn)P到直線l的距離不小于，則橢圓C的離心率的取值范圍是()A. B.C. D.答案C解析如圖所示，設(shè)F為橢圓的左焦點(diǎn)，連接AF，BF，則四邊形AFBF是平行四邊形，可得6|AF|BF|AF|AF|2a，得a3，取P(0，b)，由點(diǎn)P到直線l的距離不小于，可得，解得|b|2.所以e ，故選C.5已知圓O：x2y24，從圓上任意一點(diǎn)P向y軸作垂線段PP1(P1在y軸上)，點(diǎn)M在直線PP1上，且向量2，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程是()A4x216y21 B16x24y21C.1 D.1答案D解析由題可知P是MP1的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M(x，y)，P(x0，y0)，P1(0，y0)，則又xy4，故2y24，即1.故選D.6(2019·安徽皖南八校第三次聯(lián)考)已知F是橢圓C：1的右焦點(diǎn)，P為橢圓C上一點(diǎn)，A(1,2)，則|PA|PF|的最大值為()A4 B4 C4 D4答案D解析如圖，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為F，則|PF|PF|2，又F(1,0)，|AF|2，|PA|PF|2|PA|PF|，根據(jù)圖形可以看出|PA|PF|AF|，當(dāng)P在線段AF的延長線上時(shí)，|PA|PF|最大，為|AF|2，|PA|PF|的最大值為224，故選D.7已知拋物線y24x上有10個(gè)不同的點(diǎn)，坐標(biāo)分別為P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，P10(x10，y10)，且橫坐標(biāo)x1，x2，x3，x10成等差數(shù)列，x2，x9為方程x25x60的兩個(gè)根，拋物線的焦點(diǎn)為F，則|FP1|FP2|FP10|的值為()A20 B30 C25 D35答案D解析由x2，x9為方程x25x60的兩個(gè)根，可知x2x95，x1x2x1025，|FP1|FP2|FP10|x1x2x101035.8已知拋物線y2x，點(diǎn)A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，且直線AB與x軸交于點(diǎn)(a,0)，若AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A1，) B(1，)C(，1) D(，1答案B解析設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0>y2)，直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為xmya，由得y2mya0，則y1y2m，y1y2a，又因?yàn)锳OB為銳角，所以·x1x2y1y2(y1y2)2y1y2>0，因?yàn)閥1y2<0，所以y1y2<1，即a>1.二、填空題9已知直角坐標(biāo)系中A(2,0)，B(2,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PA|PB|，則點(diǎn)P的軌跡方程為_，軌跡為_答案x2y212x40一個(gè)圓解析設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)閨PA|PB|，所以，整理得x2y212x40，軌跡為一個(gè)圓10已知P為橢圓1(a>b>0)上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左、右焦點(diǎn)，F(xiàn)1PF2取最大值時(shí)cosF1PF2，則橢圓的離心率為_答案解析易知F1PF2取最大值時(shí)，點(diǎn)P為橢圓1與y軸的交點(diǎn)，由余弦定理及橢圓的定義得2a24c2，即ac，所以橢圓的離心率e.11已知拋物線：y28x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為K，點(diǎn)P在上且|PK|PF|，則PKF的面積為_答案8解析由已知得，F(xiàn)(2,0)，K(2,0)，過P作PM垂直于準(zhǔn)線，M為垂足，則|PM|PF|，又|PK|PF|，所以|PM|MK|PF|，所以PFx軸，PFK的高等于|PF|，不妨設(shè)P(m2,2m)(m>0)，則m224，解得m，故PFK的面積S4×2××8.12(2019·山東濰坊三模)已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，左頂點(diǎn)為A，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交C的右支于M，N兩點(diǎn)，且線段AM的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)N，則C的離心率為_答案解析由題意得A(a,0)，F(xiàn)(c,0)，另一個(gè)焦點(diǎn)F(c,0)，由對(duì)稱性知，|AM|AN|，又因?yàn)榫€段AM的垂直平分線經(jīng)過點(diǎn)N，則|AN|MN|，可得AMN是正三角形，如圖所示，連接MF，則|AF|MF|ac，由圖象的對(duì)稱性可知，MAFNAFMAN30°，又因?yàn)锳MF是等腰三角形，則AFM120°，在MFF中，|FF|2|FM|22|FF|FM|cos120°|FM|2(|FM|2a)2，即4c2(ac)22×2c(ac)×(3ac)2，整理得3c2ac4a20，即(ca)(3c4a)0，則3c4a0，故e.三、解答題13(2019·全國卷)已知曲線C：y，D為直線y上的動(dòng)點(diǎn)，過D作C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B.(1)證明：直線AB過定點(diǎn)(2)若以E為圓心的圓與直線AB相切，且切點(diǎn)為線段AB的中點(diǎn)，求該圓的方程解(1)證明：設(shè)D，A(x1，y1)，則x2y1.由于yx，所以切線DA的斜率為x1，故x1.整理得2tx12y110.設(shè)B(x2，y2)，同理可得2tx22y210.故直線AB的方程為2tx2y10.所以直線AB過定點(diǎn).(2)由(1)得直線AB的方程為ytx.由可得x22tx10.于是x1x22t，y1y2t(x1x2)12t21.設(shè)M為線段AB的中點(diǎn)，則M.由于，而(t，t22)，與向量(1，t)平行，所以t(t22)t0.解得t0或t±1.當(dāng)t0時(shí)，|2，所求圓的方程為x224；當(dāng)t±1時(shí)，|，所求圓的方程為x222.14(2019·湖北武漢5月模擬)如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C：1(a>b>0)的焦距等于其長半軸長，M，N為橢圓C的上、下頂點(diǎn)，且|MN|2.(1)求橢圓C的方程；(2)過點(diǎn)P(0,1)作直線l交橢圓C于異于M，N的A，B兩點(diǎn)，直線AM，BN交于點(diǎn)T.求證：點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為定值3.解(1)由題意可知2ca,2b2，又a2b2c2，則b，c1，a2，故橢圓C的方程為1.(2)證明：由題意知直線l的斜率存在，設(shè)其方程為ykx1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x20)，由得(4k23)x28kx80，所以x1x2，x1x2，且x1x2kx1x2，又lBN：y·x，lAM：y·x，由得·，故·，整理得，故y×××3.故點(diǎn)T的縱坐標(biāo)為3.一、選擇題1已知F1，F(xiàn)2是雙曲線1(a>0，b>0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1作垂直于x軸的直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，ABF2是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是()A(1,2) B(1，) C(1,5) D(，)答案B解析利用雙曲線的幾何性質(zhì)求解由等腰ABF2是銳角三角形可得AF2F1<45°，即|AF1|<|F1F2|，所以|AF1|<|F1F2|2c，所以b2c2a2<4a2，離心率e<，又雙曲線的離心率e>1，所以離心率e的取值范圍是(1，)，故選B.2已知橢圓C：1，若直線l經(jīng)過M(0,1)，與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，且，則直線l的方程為()Ay±x1 By±x1Cy±x1 Dy±x1答案B解析依題意，設(shè)直線l：ykx1，點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)則由消去y，整理得(9k25)x218kx360，(18k)24×36×(9k25)>0，由此解得k±，即直線l的方程為y±x1，選B.3已知雙曲線E：1，直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則l的方程為()A4xy10 B2xy0C2x8y70 Dx4y30答案C解析依題意，設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有兩式相減得，即×.又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是，因此x1x22×1，y1y2(1)×22，即直線AB的斜率為，直線l的方程為y1，即2x8y70，選C.4雙曲線1(a>0，b>0)的兩條漸近線將平面劃分為“上、下、左、右”四個(gè)區(qū)域(不含邊界)，若點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線的離心率e的取值范圍是()A. B.C. D.答案B解析依題意，雙曲線1的漸近線方程為y±x，且“右”區(qū)域由不等式組所確定，又點(diǎn)(2,1)在“右”區(qū)域內(nèi)，于是有1<，即>，因此題中的雙曲線的離心率e，選B.5設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若|PF1|PF2|6a，且PF1F230°，則雙曲線C的漸近線方程是()A.x±y0 Bx±y0Cx±2y0 D2x±y0答案A解析因?yàn)镻為右支上一點(diǎn)，由雙曲線的定義，可得|PF1|PF2|2a，又|PF1|PF2|6a，解得，|PF1|4a，|PF2|2a，且|F1F2|2c，又PF1F230°，由余弦定理，可得cos30°.則有c23a22ac，即ca，則ba，則雙曲線的漸近線方程為y±x±x，故選A.6P是雙曲線C：y21右支上一點(diǎn)，直線l是雙曲線C的一條漸近線，P在l上的射影為Q，F(xiàn)1是雙曲線C的左焦點(diǎn)，則|PF1|PQ|的最小值為()A1 B2C4 D21答案D解析設(shè)F2是雙曲線C的右焦點(diǎn)，因?yàn)閨PF1|PF2|2，所以|PF1|PQ|2|PF2|PQ|，顯然當(dāng)F2，P，Q三點(diǎn)共線且P在F2，Q之間時(shí)，|PF2|PQ|最小，且最小值為F2到直線l的距離易知l的方程為y或y，F(xiàn)2(，0)，可求得F2到l的距離為1，故|PF1|PQ|的最小值為21.選D.7(2019·五省名校聯(lián)考)在直角坐標(biāo)系xOy中，F(xiàn)是橢圓C：1(a>b>0)的左焦點(diǎn)，A，B分別為左、右頂點(diǎn)，過點(diǎn)F作x軸的垂線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，連接PB交y軸于點(diǎn)E，連接AE交PQ于點(diǎn)M，若M是線段PF的中點(diǎn)，則橢圓C的離心率為()A. B.C. D.答案C解析如圖，連接BQ，則由橢圓的對(duì)稱性易得PBFQBF，EABEBA，所以EABQBF，所以MEBQ，因?yàn)镻MEPQB，所以，因?yàn)镻BFEBO，所以，從而有，又因?yàn)镸是線段PF的中點(diǎn)，所以e，故選C.8已知拋物線x28y，過點(diǎn)P(b,4)作該拋物線的切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，若直線AB恒過定點(diǎn)，則該定點(diǎn)為()A(4,0) B(3,2) C(0，4) D(4,1)答案C解析設(shè)A，B的坐標(biāo)為(x1，y1)，(x2，y2)，y，y，PA，PB的方程分別為yy1(xx1)，yy2(xx2)，由y1，y2得yxy1，yxy2，因?yàn)榍芯€PA，PB都過點(diǎn)P(b,4)，所以4by1,4by2，故可知過A，B兩點(diǎn)的直線方程為4xy，當(dāng)x0時(shí)，y4，所以直線AB恒過點(diǎn)(0，4)二、填空題9(2019·河北唐山一模)已知拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)M(2,0)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，若OABF(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，則|AB|_.答案解析如圖，拋物線C：y28x的焦點(diǎn)為F，經(jīng)過點(diǎn)M(2,0)的直線交C于A，B兩點(diǎn)，由OABF，得A是BM的中點(diǎn)，不妨設(shè)B(m，2)，可得A，可得2m4(m2)，解得m4，所以B(4,4)，A(1,2)，所以|AB| .10(2019·安徽合肥第二次教學(xué)質(zhì)量檢測)已知橢圓C：1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，P為橢圓C上一點(diǎn)，且F1PF2，若F1關(guān)于F1PF2平分線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓C上，則該橢圓的離心率為_答案解析F1關(guān)于F1PF2平分線的對(duì)稱點(diǎn)Q在橢圓C上，則|PF1|PQ|，F(xiàn)1PQ60°，F(xiàn)1PQ為正三角形，|F1Q|F1P|，又|F1Q|F2Q|F1P|F2P|2a，|F2Q|F2P|，所以PQx軸，設(shè)|PF2|t，則|PF1|2t，|F1F2|t，即即e.11已知雙曲線C：1(a>0，b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)M與雙曲線C的焦點(diǎn)不重合，點(diǎn)M關(guān)于F1，F(xiàn)2的對(duì)稱點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在雙曲線的右支上，若|AN|BN|12，則a_.答案3解析如圖，設(shè)MN的中點(diǎn)為P.F1為MA的中點(diǎn)，F(xiàn)2為MB的中點(diǎn)，|AN|2|PF1|，|BN|2|PF2|，又|AN|BN|12，|PF1|PF2|62a，a3.12已知M(5,0)，N(5,0)是平面上的兩點(diǎn)，若曲線C上至少存在一點(diǎn)P，使|PM|PN|6，則稱曲線C為“黃金曲線”下列五條曲線：1；y24x；1；1；x2y22x30.其中為“黃金曲線”的是_(寫出所有“黃金曲線”的序號(hào))答案解析由已知得，點(diǎn)P的軌跡是以M，N為焦點(diǎn)，實(shí)軸長2a6的雙曲線的右支，可得b2c2a2523216.則雙曲線的方程為1(x>0)對(duì)于，兩方程聯(lián)立，無解，則錯(cuò)誤；對(duì)于，解得x成立，成立；對(duì)于，兩方程聯(lián)立，無解，則錯(cuò)誤；對(duì)于，兩方程聯(lián)立，無解，則錯(cuò)誤；對(duì)于，消去y整理得25x218x1710，必有一個(gè)正根，成立故所有“黃金曲線”的序號(hào)為.三、解答題13(2019·全國卷)已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上的點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)(1)若POF2為等邊三角形，求C的離心率；(2)如果存在點(diǎn)P，使得PF1PF2，且F1PF2的面積等于16，求b的值和a的取值范圍解(1)連接PF1.由POF2為等邊三角形可知在F1PF2中，F(xiàn)1PF290°，|PF2|c，|PF1|c，于是2a|PF1|PF2|(1)c，故C的離心率為e1.(2)由題意可知，滿足條件的點(diǎn)P(x，y)存在當(dāng)且僅當(dāng)|y|·2c16，·1，1，即c|y|16，x2y2c2，1.由及a2b2c2得y2.又由知y2，故b4.由及a2b2c2得x2(c2b2)，所以c2b2，從而a2b2c22b232，故a4.當(dāng)b4，a4時(shí)，存在滿足條件的點(diǎn)P.所以b4，a的取值范圍為4，)14(2019·湖北四地七校期末)已知點(diǎn)F(0,1)，點(diǎn)A(x，y)(y0)為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，過A作x軸的垂線，垂足為B，滿足|AF|AB|1.(1)求曲線C的方程；(2)直線l與曲線C交于兩不同點(diǎn)P，Q(非原點(diǎn))，過P，Q兩點(diǎn)分別作曲線C的切線，兩切線的交點(diǎn)為M.設(shè)線段PQ的中點(diǎn)為N，若|FM|FN|，求直線l的斜率解(1)由|AF|AB|1得 |y|1，化簡得曲線C的方程為x24y.(2)由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)直線l的方程為ykxb，聯(lián)立x24y得x24kx4b0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則x1x24k，x1x24b，設(shè)N(xN，yN)，則xN2k，yN2k2b，又曲線C的方程為x24y，即y，y，過P點(diǎn)的切線斜率為，切線方程為yy1(xx1)，即yxx，同理，過Q點(diǎn)的切線方程為yxx，聯(lián)立兩切線方程可得xM2k，yMx1x2b，所以xMxN，又因?yàn)閨FM|FN|，所以MN中點(diǎn)縱坐標(biāo)為1，即2k2bb2，即k21，所以k±1，故直線l的斜率為k±1.