《新人教a版高中數(shù)學(xué)(選修4-5)《用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式》word教案2篇》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《新人教a版高中數(shù)學(xué)(選修4-5)《用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式》word教案2篇(6頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
4.2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
課前導(dǎo)引
情景導(dǎo)入
觀察下列式子:1+,1+,…,則可以猜想的結(jié)論為:__________
考注意到所給出的不等式的左右兩邊分子、分母與項(xiàng)數(shù)n的關(guān)系,則容易得出結(jié)論:1+…+.
這個(gè)不等式成立嗎?如何證明呢?
知識(shí)網(wǎng)絡(luò)
證明不等式是數(shù)學(xué)歸納法的重要應(yīng)用之一,在利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),要注意利用不等式的傳遞性.證明不等式的其他常用方法,如比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法等也是證明P(k+1)成立的基本方法.〔這里的P(k+1)是n=k+1時(shí)不等式成立〕
使用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí)除了以上方法外,還要注意發(fā)現(xiàn)或
2、設(shè)法創(chuàng)設(shè)歸納假設(shè)與n=k+1時(shí)命題之間的聯(lián)系,充分利用這樣的聯(lián)系來(lái)證明n=k+1時(shí)命題成立.
課堂導(dǎo)學(xué)
三點(diǎn)剖析
一、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧(一)
【例1】 對(duì)于n∈N,證明>1.
證明:當(dāng)n=1時(shí),左邊=>1=右邊;
設(shè)n=k時(shí),有>1;
當(dāng)n=k+1時(shí),左邊
>1=右邊.
所以對(duì)一切自然數(shù)n不等式均成立.
溫馨提示
解此題的關(guān)鍵是湊出歸納假設(shè)的形式,這里要把握不等式左邊式子的結(jié)構(gòu)特征,明確從n=k到n=k+1增減的項(xiàng).
各個(gè)擊破
類題演練1
對(duì)于n∈N,試比較2n與n2的大小.
解析:
先驗(yàn)算n=1時(shí),2n>n2,n=2和n=
3、4時(shí),2n=n2,n=3時(shí),2nn2,猜測(cè)對(duì)n≥5有2n>n2.
用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:
(1)當(dāng)n=5時(shí),已證.
(2)設(shè)當(dāng)n=k(k≥5)時(shí),2k>k2且k2>2k+1.
當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1=2·2k>2k2>k2+2k+1=(k+1)2,
即n=k+1時(shí)成立.
由(1)、(2),知猜測(cè)正確.
變式提升1
求證:1+.
證明:用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)n=1時(shí),顯然不等式成立.
根據(jù)歸納假設(shè),當(dāng)n=k時(shí),命題成立,即
1+.①
要證明n=k+1時(shí),命題也成立,即
1+.②
要用①來(lái)證明②,事實(shí)上,對(duì)不等式①兩邊加上(),就湊好了不等
4、式②的左邊.接下來(lái),只需證≥.③
③式左邊共有2k項(xiàng),且最小,故,這就證明了③式成立.
綜上,知不等式成立.
二、利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的技巧(二)
【例2】 已知n是大于1的自然數(shù),求證:
(1+)(1+)(1+)…(1+)>.
證明:假設(shè)n=k(k≥2)時(shí),原不等式成立,即(1+)(1+)(1+)…(1+)>.
則當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=(1+)(1+)(1+)…(1+)·()> ·(1+)=().現(xiàn)在關(guān)鍵證()>,直接證較繁,下面用分析法證之.
欲證()>,即證,只需證2k+1++2>2k+3,即>0.這顯然是成立的,故當(dāng)n=k+1時(shí),原不等式成立.
綜上,當(dāng)n為大于1
5、的自然數(shù)時(shí),原不等式成立.
溫馨提示
用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),從P(k)到P(k+1)的過(guò)渡往往用到不等式的傳遞性,即要證n=k+1時(shí)不等式成立〔不妨用A(k+1)≥B(k+1)表示〕,需n=k時(shí),A(k)≥B(k)成立,然后有A(k+1)=A(k)+C(k)≥B(k)+C(k),
類題演練2
在數(shù)列{an}中,|an|<2,且an+1an-2an+1+2an<0,
求證:an>(n∈N).
證明:∵|an|<2,
∴-20.
由題設(shè)an+1(2-an)>2an,則an+1>.
1°當(dāng)n=1時(shí),由|an|<2,得a1>-2=成立.
2°假設(shè)當(dāng)n=k
6、時(shí),有ak>成立.(下證ak+1>成立)
設(shè)f(x)=,易知f(x)在(-2,2)內(nèi)是單調(diào)遞增的,又ak+1>f(ak),由歸納假設(shè),可知ak>,
∴ak+1>f(ak)>f()=,即當(dāng)n=k+1時(shí),ak+1>成立.故對(duì)任意n∈N,an>成立.
變式提升2
設(shè)a,b∈R*,n∈N*,求證:≥()n.
證明:①n=1時(shí),左邊=右邊=,原不等式成立.
②設(shè)n=k時(shí),原不等式成立,即≥()k成立.
∵a,b∈R+,∴·≥成立.
∴要證明n=k+1時(shí)原不等式成立,即證明k+1成立.
只需證明:成立.
只需證明:ak+1+bk+1≥abk+akb成立.
下面證明:ak+1+bk+1
7、≥abk+akb成立.
不妨設(shè)a≥b>0,則ak+1+bk+1-abk-akb=(ak-bk)(a-b)≥0.
∴ak+1+bk+1≥abk+akb成立.
故n=k+1時(shí)原不等式成立.
由①②,可知對(duì)于任何n∈N*,原不等式成立.
三、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的點(diǎn)問(wèn)題
【例3】 證明n為一切自然數(shù)時(shí),(1+2+…+n)·(1++…+)≥n2.
證明:
先看下面的證明
(1)n=1時(shí),左邊=右邊=1,命題正確.
(2)假設(shè)n=k(k∈N且k≥1)命題正確,即(1+2+…+k)·(1++…+)≥k2,則n=k+1時(shí),
左邊=[1+2+…+k+(k+1)][1++…+]=(1+2+
8、…+k)·(1++…+)
++(k+1)·(1++…+)+1≥k2+k+(k+1)(1++…+)+1,
∵1++…+≥1+,
∴左邊≥k2+k+(k+1)(1+)+1
=k2+2k+1+≥k2+2k+1=(k+1)2.
∴n=k+1時(shí)命題正確.
綜合(1)、(2),知n為一切自然數(shù)時(shí)命題正確.
初看“證明”天衣無(wú)縫,仔細(xì)推敲便會(huì)發(fā)現(xiàn)“證明”中的“奠基”只是不中用的拉郎配.歸納步的證明用了結(jié)論“1++…+≥1+”,此結(jié)論成立的前提條件是k≥2,即歸納步建立的自動(dòng)遞推機(jī)制只能在n≥2(n∈N)的范圍內(nèi)行使遞推職能,其得以起動(dòng)的初始條件是n=2時(shí)命題正確.因此數(shù)學(xué)歸納法的奠基應(yīng)是n=2
9、時(shí)命題正確的驗(yàn)證,n=1時(shí)的驗(yàn)證只是對(duì)命題的補(bǔ)充證明,并非為奠基.該命題嚴(yán)格的證明過(guò)程應(yīng)該是:
(1)n=1,2時(shí)命題正確,
(2)n≥2時(shí),用數(shù)學(xué)歸納法證明
假設(shè)n=k(k∈N且k≥2)時(shí)命題正確,證明n=k+1時(shí)命題也正確.
綜合(1)、(2),知n為一切自然數(shù)時(shí)命題正確.
溫馨提示
對(duì)于一個(gè)n≥n0(n∈N)的真命題,如果用數(shù)學(xué)歸納法證明,第一步總是n=n0時(shí)命題正確的驗(yàn)證.這種想法是不對(duì)的,到底“奠基”步中從哪個(gè)數(shù)字開(kāi)始,要看問(wèn)題的條件.
類題演練3
若ai>0(i=1,2,…,n),且a1+a2+…+an=1,
求證:a12+a22+…+an2≥(n∈N且n≥2).
10、
證明:(1)n=2時(shí),∵a1+a2=1,∴a12+a22=a12+(1-a1)2=2(a1-)2+≥.
∴n=2時(shí)命題正確.
(2)假設(shè)n=k(k≥2)時(shí)命題正確,即如果a1+a2+…+ak=1且ai>0(i=1,2,…,k),
那么a12+a22+…+ak2≥,則n=k+1時(shí),
∵a1+a2+…+ak+ak+1=1,
∴a1+a2+…+ak=1-ak+1.
∵0
11、
下面只要證明(1-ak+1)2+ak+12≥,
即證(k+1)2ak+12-2(k+1)ak+1+1≥0,
即證[(k+1)ak+1-1]2≥0,∴上式成立.
故n=k+1時(shí)命題正確.
變式提升3
設(shè)x>0,x≠1,求證:
(1+xn)(1+x)n>2n+1xn(n∈N).
證明:(1)n=1時(shí),左邊=(1+x)2,右邊=4x,
∵(1+x)2-4x=(1-x)2>0,
∴(1+x)2>4x.∴n=1時(shí)命題正確.
(2)假設(shè)n=k(k∈N且k≥1)時(shí)命題正確,即(1+xk)(1+x)k>2k+1xk,則n=k+1時(shí),(1+xk+1)(1+x)k+1-2k+2xk+1=(1+xk+1)(1+x)k+1-2x·2k+1xk>(1+xk+1)(1+x)k+1-2x(1+xk)(1+x)k
=(1+x)k[(1+x)(1+xk+1)-2x(1+xk)]
=(1+x)k(1+x+xk+1+xk+2-2x-2xk+1)
=(1+x)k(1-x)(1-xk+1),
∵x>0且x≠1,
∴1-x與1-xk+1同號(hào).
∴(1+x)k·(1-x)(1-xk+1)>0.
∴(1+xk+1)(1+x)k+1>2(k+1)+1xk+1.
∴n=k+1時(shí)命題正確.
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