（江蘇專版）2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第1部分 知識專題突破 專題限時集訓(xùn)10 平面解析幾何

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1、 專題限時集訓(xùn)(十)　平面解析幾何 (對應(yīng)學(xué)生用書第103頁) (限時：120分鐘) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分，請把答案填寫在題中橫線上．) 1．(廣東省汕頭市2017屆高三上學(xué)期期末)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝________. 【導(dǎo)學(xué)號：56394076】 －　[由題意，知圓心為(1,4)，則有＝1，解得a＝－.] 2．(中原名校豫南九校2017屆第四次質(zhì)量考評)若直線x＋ay－2＝0與以A(3,1)，B(1,2)為端點(diǎn)的線段沒有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． (－∞，－1)

2、∪　[直線x＋ay－2＝0過定點(diǎn)C(2,0)，所以－∈(kCB，kCA)＝(－2,1)?a∈(－∞，－1)∪.] 3．(中原名校豫南九校2017屆第四次質(zhì)量考評)機(jī)器人“海寶”在某圓形區(qū)域表演“按指令行走”，如圖10－13所示，“海寶”從圓心T出發(fā)，先沿北偏西 圖10－13 θ方向行走13米至點(diǎn)A處，再沿正南方向行走14米至點(diǎn)B處，最后沿正東方向行走至點(diǎn)C處，點(diǎn)B，C都在圓T上，則在以線段BC中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，正東方向?yàn)閤軸正方向，正北方向?yàn)閥軸正方向的直角坐標(biāo)系中，圓T的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． x2＋(y－9)2＝225　[TB2＝TA2＋AB2－2TA·ABcos A＝1

3、69＋196－2×13×14×＝225，OT＝14－13×cos θ＝9，∴圓T方程為x2＋(y－9)2＝225.] 4．(江蘇省南京市2017屆高考三模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓O：x2＋y2＝1，圓M：(x＋a＋1)2＋(y－2a)2＝1(a為實(shí)數(shù))．若圓O和圓M上分別存在點(diǎn)P，Q，使得∠OQP＝30°，則a的取值范圍為________． 　[由題意，圓M：(x＋a＋1)2＋(y－2a)2＝1(a為實(shí)數(shù))，圓心為M(－a－1,2a)， 從圓M上的點(diǎn)向圓上的點(diǎn)連線成角，當(dāng)且僅當(dāng)兩條線均為切線時才是最大的角，OP＝1. ∵圓O和圓M上分別存在點(diǎn)P，Q，使得∠OQP＝30°， ∴|

4、OM|≤2， ∴(a＋1)2＋4a2≤4， ∴－1≤a≤.] 5．(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知直線l：mx＋y－2m－1＝0，圓C：x2＋y2－2x－4y＝0，當(dāng)直線l被圓C所截得的弦長最短時，實(shí)數(shù)m＝________. －1　[由C：x2＋y2－2x－4y＝0得(x－1)2＋(y－2)2＝5， ∴圓心坐標(biāo)是C(1,2)，半徑是， ∵直線l：mx＋y－2m－1＝0過定點(diǎn)P(2,1)，且在圓內(nèi)， ∴當(dāng)l⊥PC時，直線l被圓x2＋y2－2x－4y＝0截得的弦長最短， ∴－m·＝－1，∴m＝－1.] 6．(2017·江蘇省泰州市高考數(shù)學(xué)一模)在平面直角坐標(biāo)

5、系xOy中，已知B，C為圓x2＋y2＝4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，且AB⊥AC，則線段BC的長的取值范圍為________． [－，＋]　[在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知B，C為圓x2＋y2＝4上兩點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，且AB⊥AC，如圖所示，當(dāng)BC⊥OA時，|BC|取得最小值或最大值． 由可得B(－，1)或(，1)， 由可得C(1，)或(1，－)， 解得BCmin＝＝－. BCmax＝＝＋.] 7．(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky－2＝0相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)k變化時，點(diǎn)P到直線x－y－4＝0的距離的最大

6、值為________． 3　[∵直線l1：kx－y＋2＝0與直線l2：x＋ky－2＝0的斜率乘積為k×＝－1(k＝0時，兩條直線也相互垂直)，并且兩條直線分別經(jīng)過定點(diǎn)：M(0,2)，N(2,0)． ∴兩條直線的交點(diǎn)在以MN為直徑的圓上．并且kMN＝－1，可得MN與直線x－y－4＝0垂直． ∴點(diǎn)M到直線x－y－4＝0的距離d＝＝3為最大值．] 8．(2017·江蘇省蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市高考數(shù)學(xué)二模)已知直線2x－y＝0為雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線，則該雙曲線的離心率為________． 　[根據(jù)題意，雙曲線的方程為：－＝1(a＞0，b＞0)， 其漸近線方程為：y＝±x，

7、 又由其一條漸近線的方程為：2x－y＝0，即y＝x，則有＝， 則其離心率e2＝＝＝1＋＝，則有e＝.] 9．(河北省唐山市2017屆高三年級期末)設(shè)F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，經(jīng)過F1的直線交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，若△F2AB是面積為4的等邊三角形，則橢圓C的方程為________． 【導(dǎo)學(xué)號：56394077】 ＋＝1　[由題意，知|AF2|＝|BF2|＝|AB|＝|AF1|＋|BF2|，?、? 又由橢圓的定義知，|AF2|＋|AF1|＝|BF2|＋|BF1|＝2a，?、? 聯(lián)立①②，解得|AF2|＝|BF2|＝|AB|＝a，|AF1|＝|BF1|＝a

8、，所以S△F2AB＝|AB||AF2|sin 60°＝4，所以a＝3，|F1F2|＝|AB|＝2，所以c＝，所以b2＝a2－c2＝6，所以橢圓C的方程為＋＝1.] 10．(江蘇省南通市如東高中2017屆高三上學(xué)期第二次調(diào)研)若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為3，其漸近線與圓x2＋y2－6y＋m＝0相切，則m＝________. 8　[∵雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為3， ∴c＝3a，∴b＝2a，取雙曲線的漸近線y＝2x. ∵雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線與x2＋y2－6y＋m＝0相切， ∴圓心(0,3)到漸近線的距離d＝r， ∴＝，∴m＝8.] 11．(

9、四川省涼山州2017屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測)已知雙曲線x2－y2＝1，點(diǎn)F1，F(xiàn)2為其兩個焦點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線上一點(diǎn)，若∠F1PF2＝60°，則三角形F1PF2的面積為________ 　[S△F1PF2＝＝＝.] 12．(2017·江蘇省鹽城市高考數(shù)學(xué)二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點(diǎn)，PA⊥l，A為垂足．若直線AF的斜率k＝－，則線段PF的長為________． 6　[∵拋物線方程為y2＝6x， ∴焦點(diǎn)F(1.5,0)，準(zhǔn)線l方程為x＝－1.5， ∵直線AF的斜率為－， 直線AF的方程為y＝－(x－1.5)， 當(dāng)x＝－1

10、.5時，y＝3， 由可得A點(diǎn)坐標(biāo)為(－1.5,3)， ∵PA⊥l，A為垂足， ∴P點(diǎn)縱坐標(biāo)為3，代入拋物線方程，得P點(diǎn)坐標(biāo)為(4.5,3)， ∴|PF|＝|PA|＝4.5－(－1.5)＝6.] 13．(廣西南寧、梧州2017屆高三畢業(yè)班摸底聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過F1且與x軸垂直的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，直線AF2與橢圓的另一個交點(diǎn)為C，若S△ABC＝3S△BCF2，則橢圓的離心率為________． 　[設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)， 由x＝－c，代入橢圓方程可得y＝±，可設(shè)A，C(x，y)，S△ABC＝3S

11、△BCF2， 可得＝2，即有＝2(x－c，y)，即2c＝2x－2c，－＝2y， 可得x＝2c，y＝－，代入橢圓方程可得，＋＝1， 由e＝，b2＝a2－c2，即有4e2＋＝1，解得e＝.] 14．(四川省2016年普通高考適應(yīng)性測試)如圖10－14，A1，A2為橢圓 圖10－14 ＋＝1的長軸的左、右端點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，S，Q，T為橢圓上不同于A1，A2的三點(diǎn)，直線QA1，QA2，OS，OT圍成一個平行四邊形OPQR，則|OS|2＋|OT|2＝________. 14　[設(shè)Q(x，y)，T(x1，y1)，S(x2，y2)，QA1，QA2斜率為k1，k2，則OT，OS斜率為k1，

12、k2，且k1k2＝·＝＝－， 所以O(shè)T2＝x＋y＝x＋kx＝，同理OS2＝，因此|OT|2＋|OS|2＝＋＝＋＝＋＝＝14.] 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．) 15．(本小題滿分14分)已知直線l：4x＋3y＋10＝0，半徑為2的圓C與l相切，圓心C在x軸上且在直線l的右上方． (1)求圓C的方程； (2)過點(diǎn)M(1,0)的直線與圓C交于A，B兩點(diǎn)(A在x軸上方)，問在x軸正半軸上是否存在定點(diǎn)N，使得x軸平分∠ANB？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：56394078】 [解]　 (1)設(shè)圓心C(a,0

13、)，則＝2?a＝0或a＝－5(舍)． 所以圓C：x2＋y2＝4. 6分 (2)存在．當(dāng)直線AB⊥x軸時，x軸平分∠ANB.當(dāng)直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，N(t,0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得(k2＋1)x2－2k2x＋k2－4＝0， 8分 所以x1＋x2＝，x1x2＝. 若x軸平分∠ANB，則kAN＝－kBN?＋＝0?＋＝0?2x1x2－(t＋1)(x1＋x2)＋2t＝0?－＋2t＝0?t＝4， 所以當(dāng)點(diǎn)N為(4,0)時，x軸平分∠ANB. 14分 16．(本小題滿分14分)(2017·江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)如圖1

14、0－15， 圖10－15 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，C為橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點(diǎn)． (1)若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，求a，b的值； (2)設(shè)A為橢圓的左頂點(diǎn)，B為橢圓上一點(diǎn)，且＝，求直線AB的斜率． [解]　(1)由題意可知：橢圓的離心率e＝＝＝，則＝，① 由點(diǎn)C在橢圓上，將代入橢圓方程，＋＝1，② 解得：a2＝9，b2＝5， ∴a＝3，b＝， 6分 (2)法一：由(1)可知：＝，則橢圓方程：5x2＋9y2＝5a2， 設(shè)直線OC的方程為x＝my(m＞0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)， 消去x整理得5m2y2＋9y2＝5a2，

15、∴y2＝，由y2＞0，則y2＝， 由＝，則AB∥OC，設(shè)直線AB的方程為x＝my－a， 由整理得(5m2＋9)y2－10amy＝0， 由y1＞0得y1＝， 10分 由＝，則(x1＋a，y1)＝， 則y2＝2y1， 則＝2×(m＞0)， 解得m＝， 則直線AB的斜率＝； 14分 法二：由(1)可知：橢圓方程5x2＋9y2＝5a2，則A(－a,0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)， 由＝，則(x1＋a，y1)＝，則y2＝2y1， 10分 由B，C在橢圓上， ∴，解得 則直線直線AB的斜率k＝＝. 直線AB的斜率為. 14分 17．(本小題滿分14分)(河南省豫北名

16、校聯(lián)盟2017屆高三年級精英對抗賽) 已知點(diǎn)P是橢圓C上任一點(diǎn)，點(diǎn)P到直線l1：x＝－2的距離為d1，到點(diǎn)F(－1,0)的距離為d2，且＝.直線l與橢圓C交于不同兩點(diǎn)A、B(A，B都在x軸上方)，且∠OFA＋∠OFB＝180°. 圖10－16 (1)求橢圓C的方程； (2)當(dāng)A為橢圓與y軸正半軸的交點(diǎn)時，求直線l方程； (3)對于動直線l，是否存在一個定點(diǎn)，無論∠OFA如何變化，直線l總經(jīng)過此定點(diǎn)？若存在，求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． [解]　(1)設(shè)P(x，y)，則d1＝|x＋2|，d2＝， ∴＝＝，化簡，得＋y2＝1， ∴橢圓C的方程為＋y2＝1. 3分

17、 (2)A(0,1)，F(xiàn)(－1,0)，∴kAF＝＝1， 又∵∠OFA＋∠OFB＝180°，∴kBF＝－1，BF：y＝－1(x＋1)＝－x－1. 代入＋y2＝1解得 (舍) ∴B， 6分 kAB＝＝，∴AB：y＝x＋1.即直線l方程為y＝x＋1. 7分 (3)∵∠OFA＋∠OFB＝180°，∴kAF＋kBF＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB方程為y＝kx＋b. 代入＋y2＝1，得x2＋2kbx＋b2－1＝0. 9分 ∴x1＋x2＝－，x1x2＝， ∴kAF＋kBF＝＋＝＋ ＝＝0， ∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1) ＝2kx1

18、x2＋(k＋b)(x1＋x2)＋2b ＝2k×－(k＋b)×＋2b＝0， ∴b－2k＝0，12分 ∴直線AB方程為y＝k(x＋2)， ∴直線l總經(jīng)過定點(diǎn)M(－2,0). 14分 18．(本小題滿分16分)(江蘇省南京市、鹽城市2017屆高三第一次模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓O：x2＋y2＝b2經(jīng)過橢圓E：＋＝1(0＜b＜2)的焦點(diǎn)． (1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)直線l：y＝kx＋m交橢圓E于P，Q兩點(diǎn)，T為弦PQ的中點(diǎn)，M(－1,0)，N(1,0)，記直線TM，TN的斜率分別為k1，k2，當(dāng)2m2－2k2＝1時，求k1·k2的值． 圖10－17 [解]　

19、(1)因0＜b＜2，所以橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上，又圓O：x2＋y2＝b2經(jīng)過橢圓E的焦點(diǎn)，所以橢圓的半焦距c＝b， 所以2b2＝4，即b2＝2，所以橢圓E的方程為＋＝1. 6分 (2)法一：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(x0，y0)， 聯(lián)立消去y，得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0， 10分 所以x1＋x2＝－，又2m2－2k2＝1，所以x1＋x2＝－， 所以x0＝－，y0＝m－k·＝， 則k1·k2＝·＝＝＝－. 16分 法二：設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(x0，y0)，則 兩式作差，得＋＝0， 10分 又x1＋x2＝2x0，y1＋y2＝2

20、y0， ∴＋y0(y1－y2)＝0， ∴＋＝0， 又P(x1，y1)，Q(x2，y2)在直線y＝kx＋m上， ∴＝k， ∴x0＋2ky0＝0，① 又T(x0，y0)在直線y＝kx＋m上，∴y0＝kx0＋m，② 由①②可得x0＝－，y0＝.16分 以下同方法一． 19．(本小題滿分16分)(四川省涼山州2017屆高中畢業(yè)班第一次診斷性檢測)設(shè)橢圓E：＋＝1(a>b>0)的離心率為，E上一點(diǎn)P到右焦點(diǎn)距離的最小值為1. (1)求橢圓E的方程； (2)過點(diǎn)(0,2)的直線交橢圓E于不同的兩點(diǎn)A，B，求·的取值范圍. 【導(dǎo)學(xué)號：56394079】 [解]　(1)由題意得＝，

21、且a－c＝1，∴a＝2，c＝1， 故b2＝a2－c2＝3， ∴橢圓的方程為＋＝1. 4分 (2)①當(dāng)k不存在時，A(0，－)，B(0，)， 6分 ∴·＝(0，－)·(0，)＝－3； ②當(dāng)k存在時，設(shè)直線方程為y＝kx＋2，則有 整理得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0， ∴x1＋x2＝－，x1x2＝，(i) 10分 又·＝x1x2＋y1y2 ＝x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2) ＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4 ＝1＋－＋4 ＝－3＋，(ⅱ) Δ＝256k2－16(4k2＋3)>0，從而k2>，(ⅲ) 14分 (ⅲ)代入(ⅱ)中·≤－3＋＝，

22、 ∴·∈. 16分 20．(本小題滿分16分)(江蘇省泰州中學(xué)2017屆高三上學(xué)期第二次月考)已知平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)兩個定點(diǎn)A(1,0)、B(4,0)，滿足PB＝2PA的點(diǎn)P(x，y)形成的曲線記為Γ. (1)求曲線Γ的方程； (2)過點(diǎn)B的直線l與曲線Γ相交于C、D兩點(diǎn)，當(dāng)△COD的面積最大時，求直線l的方程(O為坐標(biāo)原點(diǎn))； (3)設(shè)曲線Γ分別交x、y軸的正半軸于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是曲線Γ位于第三象限內(nèi)一段上的任意一點(diǎn)，連接QN交x軸于點(diǎn)E、連接QM交y軸于F.求證：四邊形MNEF的面積為定值． [解]　(1)由題設(shè)知2＝，兩邊化簡得x2＋y2＝4， ∴點(diǎn)P的軌跡Γ的方程為x

23、2＋y2＝4. 3分 (2)由題意知OS＝＝的斜率一定存在，設(shè)l：y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0， ∵原點(diǎn)到直線l的距離d＝，CD＝2， ∴S△COD＝CD·d＝≤＝2. 6分 當(dāng)且僅當(dāng)d2＝2時，取得“＝”，d2＝2＜r2＝4， ∴當(dāng)d2＝2時，此時，＝2?k2＝?k＝±. ∴直線l的方程為y＝±(x－4)． (3)設(shè)SMNEF＝S△MNE＋S△MEF＝ME·NF， 設(shè)Q(x0，y0)，E(e,0)，F(xiàn)(0，f )(其中x0＜0，y0＜0，x＋y＝4)， 8分 則QM：y＝(x－2)，令x＝0得f ＝， ∴NF＝2－＝. QN：y＝x＋2，令y＝0得e＝， 12分 ∴ME＝2－＝. ∴SMNEF＝ME·NF＝··＝2·＝2·＝2·＝4(定值). 16分 12