2018年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第二部分 專(zhuān)題一 函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、不等式 第5講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、不等式的綜合問(wèn)題課時(shí)規(guī)范練 理

第5講 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)零點(diǎn)、不等式的綜合問(wèn)題一、選擇題1若不等式2xln xx2ax3恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，0)B(，4C(0，) D4，)解析：條件可轉(zhuǎn)化為a2ln xx恒成立設(shè)f(x)2ln xx，則f(x)(x0)當(dāng)x(0，1)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)minf(1)4.所以a4.答案：B2(2017·貴陽(yáng)聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?，4，部分對(duì)應(yīng)值如下表：x10234f(x)12020f(x)的導(dǎo)函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示當(dāng)1a2時(shí)，函數(shù)yf(x)a的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A1 B2C3 D4解析：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)圖象知2是函數(shù)的極小值點(diǎn)，函數(shù)yf(x)的大致圖象如圖所示由于f(0)f(3)2，1a2，所以yf(x)a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4.答案：D3(2017·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷)若函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，且滿足f(x)xf(x)0，則()A3f(1)f(3) B3f(1)f(3)C3f(1)f(3) Df(1)f(3)解析：由于f(x)xf(x)，則0恒成立，因此在R上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，即3f(1)f(3)答案：B4(2014·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)ax33x21，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0，且x00，則a的取值范圍是()(導(dǎo)學(xué)號(hào) 55410101)A(2，) B(1，)C(，2) D(，1)解析：由題意知a0，f(x)3ax26x，令f(x)0，解得x0或x.當(dāng)a0時(shí)，x(，0)，f(x)0，x，f(x)0，x，f(x)0，且f(0)10，故f(x)有小于0的零點(diǎn)，不滿足當(dāng)a0時(shí)，需使x00且唯一，只需f0，則a24，所以a2.答案：C5(2017·佛山調(diào)研)已知yf(x)為R上的連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，且xf(x)f(x)0，則函數(shù)g(x)xf(x)1(x0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A0 B1C0或1 D無(wú)數(shù)個(gè)解析：由g(x)xf(x)10得，xf(x)1(x0)，設(shè)h(x)xf(x)，則h(x)f(x)xf(x)，因?yàn)閤f(x)f(x)0，所以h(x)0，即函數(shù)在(0，)上為增函數(shù)，因?yàn)閔(0)0·f(0)0，所以當(dāng)x0時(shí)，h(x)h(0)0，故h(x)1無(wú)解，故函數(shù)g(x)xf(x)1(x0)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0個(gè)答案：A二、填空題6做一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形水桶，若要使其體積是27 dm3，且用料最省，則圓柱的底面半徑為_(kāi)dm.解析：設(shè)圓柱的底面半徑為R dm，母線長(zhǎng)為l dm，則VR2l27，所以l，要使用料最省，只需使圓柱形水桶的表面積最小S表R22RlR22·，所以S表2R.令S表0，得R3，則當(dāng)R3時(shí)，S表最小答案：37(2017·長(zhǎng)沙調(diào)研)定義域?yàn)镽的可導(dǎo)函數(shù)yf(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)，滿足f(x)f(x)，且f(0)1，則不等式1的解集為_(kāi)解析：構(gòu)造函數(shù)g(x)，則g(x).由題意得g(x)0恒成立，所以函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞減又g(0)1，所以1，即g(x)1，所以x0，所以不等式的解集為(0，)答案：(0，)8(2017·德州二模)若對(duì)任意的xD，均有g(shù)(x)f(x)h(x)成立，則稱(chēng)函數(shù)f(x)為函數(shù)g(x)到函數(shù)h(x)在區(qū)間D上的“任性函數(shù)”已知函數(shù)f(x)kx，g(x)x22x，h(x)(x1)(ln x1)，且f(x)是g(x)到h(x)在區(qū)間1，e上的“任性函數(shù)”，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_(導(dǎo)學(xué)號(hào) 54850101)解析：依題意，x1，e，x22xkx(x1)(ln x1)恒成立所以x2k(ln x1)在x1，e上恒成立又yx2在1，e上是增函數(shù)，所以(x2)maxe2，則ke2.設(shè)(x)(ln x1)，x1，e則(ln x1)0，所以(x)在1，e上是增函數(shù)，則(x)min(1)2.所以k2，由知，當(dāng)e2k2時(shí)，x22xkx(x1)(ln x1)在x1，e上恒成立答案：e2，2三、解答題9(2017·貴陽(yáng)質(zhì)檢)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求函數(shù)f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))；(3)求證：ln .(1)解：f(x)ln x1ln x，f(x)的定義域?yàn)?0，)因?yàn)閒(x)，所以f(x)00x1，f(x)0x1.所以f(x)1ln x在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減(2)解：由(1)得f(x)在上單調(diào)遞增，在(1，e上單調(diào)遞減，所以f(x)在上的最大值為f(1)1ln 10.又f1eln 2e，f(e)1ln e，且ff(e)所以f(x)在上的最小值為f2e.所以f(x)在上的最大值為0，最小值為2e.(3)證明：要證ln ，即證2ln x 1，即證1ln x0.由(1)可知，f(x)1ln x在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以f(x)在(0，)上的最大值為f(1)11ln 10，即f(x)0，所以1ln x0恒成立，原不等式得證10(2017·西安調(diào)研)已知函數(shù)f(x)ln xx2(a1)x.(導(dǎo)學(xué)號(hào) 54850102)(1)若曲線yf(x)在x1處的切線方程為y2，求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若x0時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：(1)由已知得f(x)ax(a1)，則f(1)0.而f(1)ln 1(a1)1，所以曲線yf(x)在x1處的切線方程為y1.所以12，解得a2.所以f(x)ln xx23x，f(x)2x3.由f(x)2x30，得0x或x1，由f(x)2x30，得x1，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1，)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)若，則x(a1)，即在區(qū)間(0，)上恒成立設(shè)h(x)，則h(x)，由h(x)0，得0xe，所以h(x)在(0，e)上單調(diào)遞增，由h(x)0，得xe，所以h(x)在(e，)上單調(diào)遞減所以h(x)的最大值為h(e)e，所以e，故a2e1.從而實(shí)數(shù)a的取值范圍為a|a2e111(2017·沈陽(yáng)質(zhì)檢)函數(shù)f(x)axxln x在x1處取得極值(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若yf(x)m1在定義域內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：(1)f(x)aln x1，f(1)a10，解得a1，當(dāng)a1時(shí)，f(x)xxln x，即f(x)ln x，令f(x)0，解得x1；令f(x)0，解得0x1.所以f(x)在x1處取得極小值，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，1)(2)yf(x)m1在(0，)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為f(x)m1在(0，)內(nèi)有兩個(gè)不同的根，也可轉(zhuǎn)化為yf(x)與ym1的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)由(1)知，f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，f(x)minf(1)1，由題意得，m11即m2，當(dāng)0x1時(shí)，f(x)x(1ln x)0；當(dāng)x0且x0時(shí)，f(x)0；當(dāng)x時(shí)，顯然f(x)(或者舉例：當(dāng)xe2，f(e2)e20)如圖，由圖象可知，m10，即m1，故可得2m1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(2，1) 典例(本小題滿分12分)(2016·全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)(x2)exa(x1)2有兩個(gè)零點(diǎn)(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1，x2是f(x)的兩個(gè)零點(diǎn)，證明：x1x22.規(guī)范解答：(1)f(x)(x1)ex2a(x1)(x1)·(ex2a)(1分)設(shè)a0，則f(x)(x2)ex，f(x)只有一個(gè)零點(diǎn)(2分)設(shè)a0，則當(dāng)x(，1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增又f(1)e，f(2)a，取b滿足b0且bln ，則f(b)(b2)a(b1)2a0，故f(x)存在兩個(gè)零點(diǎn)設(shè)a0，由f(x)0得x1或xln(2a)若a，則ln(2a)1，故當(dāng)x(1，)時(shí)，f(x)0，因此f(x)在(1，)上單調(diào)遞增又當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)若a，則ln(2a)1，故當(dāng)x(1，ln(2a)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(ln(2a)，)時(shí)，f(x)0.因此f(x)在(1，ln(2a)內(nèi)單調(diào)遞減，在(ln(2a)，)上單調(diào)遞增(6分)又當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，所以f(x)不存在兩個(gè)零點(diǎn)綜上可知，a的取值范圍為(0，)(7分)(2)不妨設(shè)x1x2，由(1)知，x1(，1)，x2(1，)，(8分)2x2(，1)，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，所以x1x22等價(jià)于f(x1)f(2x2)，即f(2x2)0.由于f(2x2)x2e2x2a(x21)2，又f(x2)(x22)ex2a(x21)20，所以f(2x2)x2e2x2(x22)ex2.(10分)設(shè)g(x)xe2x(x2)ex，則g(x)(x1)·(e2xex)(11分)所以當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，而g(1)0，故當(dāng)x1時(shí)，g(x)0.從而g(x2)f(2x2)0，故x1x22.(12分)1牢記求導(dǎo)法則，正確求導(dǎo)：在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)類(lèi)解答題中，通常都會(huì)涉及求導(dǎo)，正確的求導(dǎo)是解題關(guān)鍵，因此要牢記求導(dǎo)公式，做到正確求導(dǎo)，如本題第(1)問(wèn)就涉及對(duì)函數(shù)的求導(dǎo)2注意利用第(1)問(wèn)的結(jié)果：在題設(shè)條件下，如果第(1)問(wèn)的結(jié)果第(2)問(wèn)能用得上，可以直接用，有些題目不用第(1)問(wèn)的結(jié)果甚至無(wú)法解決，如本題即是在第(1)問(wèn)的基本上求解3注意分類(lèi)討論：高考函數(shù)與導(dǎo)數(shù)解答題，一般都會(huì)涉及分類(lèi)討論，并且討論的步驟也是得分點(diǎn)，所以一定要重視分類(lèi)討論4寫(xiě)全得分關(guān)鍵：在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問(wèn)題中，求導(dǎo)的結(jié)果、分類(lèi)討論的條件、極值、最值、題目的結(jié)論等一些關(guān)鍵式子和結(jié)果都是得分點(diǎn)，在解答時(shí)一定要寫(xiě)清楚解題程序第一步，準(zhǔn)確求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)第二步，討論a的取值，分情況討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、從而判斷函數(shù)零點(diǎn)，確定a的取值范圍第三步，將結(jié)論x1x22轉(zhuǎn)化為判定f(2x2)0f(x1)第四步，構(gòu)造函數(shù)g(x)xe2x(x2)ex，判定x1時(shí)，g(x)0.第五步，寫(xiě)出結(jié)論，檢驗(yàn)反思，規(guī)范步驟跟蹤訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)aexln x，曲線yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線方程為ye(x1)2.(導(dǎo)學(xué)號(hào) 54850027)(1)求a，b；(2)證明：f(x)1.(1)解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)aexln xexex1ex1，由題意可得f(1)2，f(1)e.故a1，b2.(2)證明：由(1)知，f(x)exln xex1，從而f(x)1等價(jià)于xln xxex.設(shè)函數(shù)g(x)xln x，則g(x)1ln x.所以當(dāng)x時(shí)，g(x)0；當(dāng)x時(shí)，g(x)0，故g(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增從而g(x)在區(qū)間(0，)上的最小值為g.設(shè)函數(shù)h(x)xex，則h(x)ex(1x)所以當(dāng)x(0，1)時(shí)，h(x)0；當(dāng)x(1，)時(shí)，h(x)0.故h(x)在(0，1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，從而h(x)在(0，)上的最大值為h(1).綜上可知，當(dāng)x0時(shí)，g(x)h(x)，即f(x)1.9