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1、目 錄
線性方程的邊界齊次化 1
摘 要 1
Abstract 1
第一章 引 言 2
第二章 波動方程和熱傳導方程的邊界齊次化 2
2.1 第一類非齊次邊界條件的齊次化 2
2.1.1 考察波動方程 2
2.1.2 考察熱傳導問題 6
2.2 第二類非齊次邊界條件 8
2.3 第三類非齊次邊界條件的齊次化 10
第三章 總結 13
參考文獻 14
致謝 15
線性方程的邊界齊次化
摘 要：分離變量法是線性偏微分方程求解中的一種普遍而重要的方法，而用分離變量法解方程時，我們需要將非齊次邊界條件齊次化。本文將以波動方程和拋物方程為例，分別在第一
2、邊界條件、第二邊界條件、第三邊界條件下，討論這些非齊次邊界條件的齊次化過程。
關鍵詞：分離變量法;非齊次邊界條件;齊次化
On the homogeneity of boundary conditions for linear partial differential equations
School of Mathematics and Computer Science
Abstract: The method of variables separation is one of very efficient methods to solve linear partia
3、l differential equations. When we adopt this method, we have to make the boundary conditions homogeneous. This paper will focus on the hyperbolic equations and parabolic equations and discuss how to make the corresponding boundary conditions homogeneous. In particular, the boundary conditions consid
4、ered in the present paper include the first and second boundary conditions, the third boundary condition.
Keywords: variables separation method; inhomogeneous boundary conditions; homogeneity of boundary conditions.
第一章 引 言
微積分產(chǎn)生以后，人們就開始把力學的一些問題，歸結為偏微分方程進行研究。對它們進行了定量的分析，而變量分離法是對其進行
5、定量分析的一種重要工具。應用分離變量法解定解問題, 其核心是由泛定方程和定解條件通過變量分離能提出固有值問題。這就要求泛定方程和邊界條件是齊次的,因此將非齊次邊界條件齊次化就成為需要解決的重要問題。
第二章 波動方程和熱傳導方程的邊界齊次化
2.1 第一類非齊次邊界條件的齊次化
2.1.1 考察波動方程
泛定方程
邊界條件
初始條件
先找一個任意函數(shù)，滿足非齊次邊界條件，即
,
找函數(shù)最簡單的選取方法是寫成X的線性函數(shù),可以解得，
所以
設
，
代入定解問題轉為求解的如下定解問題：
于是關于的定解問題是齊次邊界條件的定解
6、問題。
對于熱傳導方程的定解問題
可以令
選取使
即
易見，可造
由
知
與無關，故
例1、設彈簧一端固定，一端在外力作用下作周期振動，此時定解問題歸結為
求解此問題。
解：邊值條件是非齊次的，首先將邊值條件齊次化，
取
，
則滿足
，
令
代入原定解問題，則滿足
滿足第一類齊次邊界條件，其相應固有函數(shù)為
，
故設
將方程中非齊次項及初始條件中按展成級數(shù)，
得
其中
其中
將(2)代入問題(1)，得
解方程，得
7、通解
由初始值，得
所以
因此所求解為
2.1.2 考察熱傳導問題
在研究熱傳導、擴散等現(xiàn)象，都會遇到拋物型方程，即熱傳導方程。
這里邊值函數(shù)函數(shù)為，可采用下述方法將它延拓到區(qū)間中去。
對任意固定的,將視為平面上的兩個點，只要用光滑曲線將這兩個點連接起來，就實現(xiàn)了的邊界值的延拓，而連接兩點的光滑曲線就是所求的函數(shù)，顯然，取為直線最簡單。由直線的兩點式方程得到
，
特別地，若
，
則的物理意義就是穩(wěn)定溫度分布。
例2、將如下定解問題化為邊界條件為齊次的定界問題
8、
解：邊界條件為非齊次的邊界條件，由于是線性的，故可利用疊加原理，通過選取輔助函數(shù)。設
要使
只要
解得：
故
，
再作未知函數(shù)的變換
，
則問題轉化為其次邊界條件的初邊值問題。
2.2 第二類非齊次邊界條件
考察定解問題中邊界條件均為第二類非齊次邊界條件的情形,
即
同樣找一個任意函數(shù)使它滿足
，
說明在任意時刻，在邊界和處的斜率不相同。因此就不是簡單的線性函數(shù)，此時最簡單的應為關于的二次函數(shù)著手，設
其中
所以
，
于是
。
對于方程
令
選取，使
即
可令
代入上式得
例3、一均
9、勻桿長為，一端受縱向壓力，另一端受縱向力作用，求解桿的穩(wěn)恒縱振動。
解：設為縱振動位移，則定解問題為
其中為桿的橫截面積，均為常數(shù)，
本問題中，
，
于是
設
，
代入定解問題中得
至此已使邊界條件齊次化。
2.3 第三類非齊次邊界條件的齊次化
考察定解問題
令
則由（4）、（5）兩式可得
將和延拓到區(qū)間0
10、
要解（7）式，必須利用線性問題疊加原理，引入輔助函數(shù)將問題化為關于的非齊次邊界條件定解問題。為此設
（8）
將（8）式代入（7），要求滿足其次邊界條件，得到
（9）
結合（8）、（9）式，可得輔助函數(shù)滿足的方程為
（10）
則可以是關于x的一次多項式，即
（11）
代入（10）得
解得為
（12）
11、
代入（11）式可確定輔助函數(shù)V（x,t）,結合（7）、（8）式，的定解問題為
即完成了邊界條件齊次化。
15
15
第三章 總結
以上便是對非齊次邊界條件的邊界齊次化的討論，分別給出了第一非齊次邊界條件、第二非齊次邊界條件、第三非齊次邊界條件的邊界其次化過程，其中是以波動方程以及熱傳導方程為例的。而三種非齊次邊界條件的邊界齊次化過程的核心，都是要找到一個輔助函數(shù)滿足其對應的非齊次邊界條件，找到了這個函數(shù)，三種非齊次邊界條件的邊界齊次化過程就迎刃而解了。
參考文獻：
[1]數(shù)學物理方程（第二版）.谷超豪等著. 高等教育出版社出版
[2]數(shù)學物理方法. 吳崇試著.
12、 北京大學出版社
[3]天津科技大學學報.丁玉梅著.1672-6510{2006}01-0084-02.
[4]平頂山學院學報.車行，龍姝明著.1673-1670{2011}02-0006-04.
[5]非齊次邊界條件.王芝威著.致謝
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線性方程的邊界齊次化數(shù)學畢業(yè)論文
