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1、高等數(shù)學講義高等數(shù)學第五章不定積分第五章不定積分1. 不定積分的概念不定積分的概念1. 原函數(shù)與不定積分原函數(shù)與不定積分的一個原函數(shù)。為那么稱均有點使得在該區(qū)間內(nèi)任意一函數(shù)函數(shù)，如果存在是定義在某個區(qū)間內(nèi)的已知定義)()()()()()(. 1xfxFxfxFxxFxf。一個原函數(shù)，那么為的如果記作：的不定積分，的全體原函數(shù)稱為函數(shù)定義cxFdxxfxfxFdxxfxfxf)()()()(,)()()(. 2高等數(shù)學講義高等數(shù)學) 1(11) 11ucxudxxuu(*)ln1)2cxdxxcedxexx)3caadxaxxln)4cxxdxcossin)5cxxdxsincos)6cxxdx
2、tansec)72cxxdxcotcsc)82dxxfdxxfdxfdxxf)()(,)()() 1cxfxdfcxfdxxf)()(,)()()22. 不定積分的簡單性質和基本積分表不定積分的簡單性質和基本積分表性質性質基本積分表基本積分表dxxgdxxfdxxgxf)()()()()3dxxfkdxxkf)()()4高等數(shù)學講義高等數(shù)學cxxdxxsectansec)9cxxdxxcsccotcsc)10cxdxxarcsin11)112(*) arcsin1)1222caxdxxacxdxxarctan11)132(*) arctan11)1422caxadxxa(*)ln211)152
3、2caxaxadxax高等數(shù)學講義高等數(shù)學cchxshxdx)16cshxchxdx)17xxxxxxxx1) 1(1) )(ln()(ln01ln0時，當，時當dxxx1. 124例其余(*)待后再推導高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxx2sin. 32例xdx2tan. 2例高等數(shù)學講義高等數(shù)學2. 換元積分法換元積分法xdx2cos2. 3 求例1. 第一類換元積分法第一類換元積分法高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxex22. 3 求例dxx)21cos(. 2 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxax221. 4 求例，又稱為“湊微分法”稱為第一類換元積分法，的變量代換的積分方法這種令則如果定理uxcxFdxx
4、xfcuFduuf)()()()()()(. 1高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxa221. 5 求例dxxa221. 6 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學xdxtan. 7 求例xdxcot. 8 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學xdxsec. 9 求例xdxcsc.10 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxxcos.11 求例dxx3)53(.12求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學2. 第二類換元積分法第二類換元積分法積分法。換元的積分方法稱為第二類利用變量代換)(tx的反函數(shù)。為其中，那么如果，單調且連續(xù)可導，設定理)()()()()()()(0)()(. 211txxtcxdxxfctdtttfttx高等數(shù)學講義高等數(shù)學dx
5、ax221.14 求例dxax221.13 求例dxxa22.15 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxx11.162求例dxxx )4(1.176求例dxex11.18 求例 dxex2.19 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxaxx2.21 求例dxxx31.20 求例dxxx322)1 (.22 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學3. 分部積分法分部積分法兩邊積分得所以由于vuuvvuuvvuuv)()(dxxuxvxvxudxxvxu)()()()()( )(分部積分公式也可寫成利用分部積分公式計算函數(shù)積分的方法稱為分部積分法。(*)vduuvudv公式(*)稱為分部積分公式(*)較簡單時可用較困難而積分
6、當積分vduudv高等數(shù)學講義高等數(shù)學xdxln.1 求例xdxxcos. 4 求例dxexx2. 5 求例xdxarcsin. 2 求例xdxarctan. 3 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學xdxxarctan. 7 求例dxx2)(arcsin. 8 求例xdxexcos. 9求例xdxx ln. 63求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學一般公式cbxbbxabaebxdxeaxaxsincoscos22cbxbbxabaebxdxeaxaxcossinsin22xdx3sec.10 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxax22.11 求例)( sin.13為正整數(shù)求例nxdxInndxax22.12 求例高等數(shù)
7、學講義高等數(shù)學)()(1.1422為正整數(shù)求例ndxaxJnn高等數(shù)學講義高等數(shù)學4. 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分本節(jié)將說明任何有理函數(shù)的積分必是初等函數(shù)在微分學中任意初等函數(shù)的導數(shù)仍是初等函數(shù)。但在積分學中則不同。均不是初等函數(shù)。、等，、如一些簡單的初等函數(shù)，dxedxxxexxxx22sinsin高等數(shù)學講義高等數(shù)學1. 有理函數(shù)有理函數(shù)為真分式。為多項式，其中而)()()()()()()(xPxQxMxPxQxMxR的函數(shù)稱為有理函數(shù)。形如：nnnnmmmmbxbxbxbaxaxaxaxPxNxR 11101110)()()(的積分。主要是求真分式所以有理函數(shù)的積分，)()(xPxQ高
8、等數(shù)學講義高等數(shù)學2. 部分分式部分分式jiljjllkikkqxpxqxpxqxpxaxaxaxbxP)()()()()()()(22221122102121 且其中jkqpkk, 2 , 1042 nlllkkkji )(22121為待定系數(shù)。其中kAAA,21 kkkaxAaxAaxAaxxQ)()()()(221 分分式為真分式時，可如下部當kaxxQ)()() 1在復數(shù)域內(nèi)，如果 P(x)為 n 次多項式，則高等數(shù)學講義高等數(shù)學均為待定系數(shù)。、其中), 2 , 1(kiBAii 可如下部分分式為真分式時當 )04()()()222qpqpxxxQkkkkkqpxxBxAqpxxBxA
9、qpxxBxAqpxxxQ)()()()(222222112 高等數(shù)學講義高等數(shù)學化為部分分式。將真分式例33) 1(1. 1xxx高等數(shù)學講義高等數(shù)學化為部分分式。將真分式例2223)2(2. 2xxx化為部分分式。將真分式例222) 1(1. 3xx高等數(shù)學講義高等數(shù)學3. 有理函數(shù)的積分有理函數(shù)的積分dxaxA) 1dxaxAk )()2dxqpxxBAx2)3dxqpxxBAxk)()42caxAdxaxAln這四種類型的積分分別為：任何有理函數(shù)的積分都可化為整式和真分式的積分，而真分式的積分通過部分分式后可化為下列四種類型的積分：高等數(shù)學講義高等數(shù)學caxkAdxaxAkk1)(1)
10、 1()()4()2()2()2()(22222pqpxpxdApBqpxxqpxxdAdxqpxxApBpxAdxqpxxBAx22)2()2(2qpxxdxApBdxqpxxpxA22)2(22高等數(shù)學講義高等數(shù)學cpqpxpqApBqpxxA42arctan41)2(ln2222kkauduApBqpxxkA)()2()(1(122212dxqpxxBAxk)(2kkpqpxpxdApBqpxxqpxxdA)4()2()2()2()()(22222求得。式后一項積分可由遞推公nnauduJ)(22高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxxxxxxI3234123. 4 求例dxxxx2243. 52求
11、例dxxxdxxxdxxxdxx1111,1,11. 63333求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxx527)1 (. 8 利用多種解法計算例dxxxdxxxdxxxdxx1111,1,11. 74242424求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學4. 可化為有理函數(shù)的積分可化為有理函數(shù)的積分22122sec2tan22cos2sin2sinttxxxxx則1) 三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式的積分三角函數(shù)有理式是指三角函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算所構成的函數(shù)，可簡記為 R(sin x,cos x)dxxxR)cos,(sin下面來討論tx2tan：作萬能置換令高等數(shù)學講義高等數(shù)學2222112sin2coscos
12、ttxxx212tdtdxdttRtdtttttRdxxxR)(12)11,12()cos,(sin12222因此三角函數(shù)有理式的積分是初等函數(shù)的有理函數(shù)。為其中ttR)(1高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxsin451. 1 求例dxxxxcos1sinsin1. 2 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxxsin1sin1. 3 求例dxxbxacossin1. 4 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxbaxxRn),() 1 (dttandxabtxtbaxnnn1,則令dttRdttantabtRdxbaxxRnnn)(),(),(11故2) 簡單無理函數(shù)的積分簡單無理函數(shù)的積分高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxdcx
13、baxxRn),()2(nnnctabdtxtdcxbax則令,dttctabcadndxnn12dttRdxdcxbaxxRn)(),(1故高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxxx11. 5 求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學123. 62xxxdx求例高等數(shù)學講義高等數(shù)學 第五章重點練習題第五章重點練習題dxxx31. 1dxxx22)11(. 2dxxxcossin1. 33計算下列不定積分高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxxsincos1. 4dxex11. 5 ) 1(. 64xxdxdxxarctan. 7dxxx2sin2tan1. 8高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxxxxcos1sin.11dxxxx431. 92dxxxx2412.10dxexxxcos1sin1.12高等數(shù)學講義高等數(shù)學dxeexxarctan.14dxxx2arcsin.15dxxxx221arcsin.13
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