2018屆中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 專題23 三角形初步試題（A卷含解析）

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1、 三角形初步 一、選擇題 1. （ 山東省棗莊市，4，3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，E為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，則∠D等于（ ） A．15° B．17.5° C．20° D．22.5° A B D C E 【答案】A． 【逐步提示】本題考查了三角形的一個(gè)外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出角與角之間的聯(lián)系．根據(jù)角平分線的性質(zhì)可以得到∠ABC與∠DBE、∠ACE與∠DCE的關(guān)系，再結(jié)合∠DCE－∠DBE＝∠D ，∠ACE－∠ABC＝∠A，即可找出∠D

2、與∠A的關(guān)系． 【詳細(xì)解答】解：∵∠ABC與∠ACE的平分線相交于點(diǎn)D，∴∠DBE＝∠ABC，∠DCE＝∠ACE，又∵∠DCE－∠DBE＝∠D，∠ACE－∠ABC＝∠A，∴∠D＝∠A＝×30°＝15° ，故選擇A . 【解后反思】本題解題的關(guān)鍵是：找到已知角平分線的條件中所涉及的角，與已知角和要求的角之間的聯(lián)系，從而正確求解．在求角度問題時(shí)，常常要用到三角形內(nèi)角和等于180°，或三角形外角等于不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和的性質(zhì)，在求角度問題時(shí)有時(shí)應(yīng)用外角的性質(zhì)進(jìn)行運(yùn)算更簡(jiǎn)單便捷. 【關(guān)鍵詞】角的平分線 ；三角形的外角和；整體思想 2. （四川達(dá)州，8，3分）如圖，將一張等邊三角形紙

3、片沿中位線剪成4個(gè)小三角形，稱為第一次操作；然后將其中的一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到7個(gè)小三角形，稱為第二次操作；再將其中的一個(gè)三角形按同樣方式再剪成4個(gè)小三角形，共得到10個(gè)小三角形，稱為第三次操作；.根據(jù)以上操作，若要得到100個(gè)小三角形，則需要操作的次數(shù)是 A.25 B.33 C.34 D.50 第8題圖 【答案】B 【逐步提示】本題考查了規(guī)律探索型問題以及方程思想，解題的關(guān)鍵是要能通過特殊情況歸納出一般規(guī)律．解題思路是：設(shè)需要操作的次數(shù)為n，根據(jù)圖形探索規(guī)律，用含n的代數(shù)式表示出n次操作得到的三角形的個(gè)數(shù)，然后列出方程即可求解． 【詳細(xì)解答】解

4、：設(shè)要得到100個(gè)小三角形需要操作的次數(shù)為n，根據(jù)題意得，3n+1=100，解得n=33.故選擇B. 【解后反思】1．規(guī)律探索問題是指由幾個(gè)特殊的結(jié)論，通過類比、猜想、推理等一系列的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，探求一般性的規(guī)律．解題時(shí)，要善于分析給出的材料信息，理清題目的條件與結(jié)論之間的聯(lián)系，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、比較、歸納，作出符合一定規(guī)律與事實(shí)的推測(cè)性猜想，并能驗(yàn)證規(guī)律的合理性、正確性，一般有如下兩種類型： （1）與數(shù)、式有關(guān)的規(guī)律探索：利用已有的一些已知數(shù)或算式之間的關(guān)系，預(yù)測(cè)問題的變化趨勢(shì)，進(jìn)而猜想、歸納出一般性的規(guī)律． （2）與圖形有關(guān)的規(guī)律探索：從一些特殊的圖形變化中發(fā)現(xiàn)不變的因素或按規(guī)律變化的

5、因素，即從圖形的變化特點(diǎn)尋求規(guī)律，并推廣到一般情況． 2．方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想，所謂方程思想是指從分析問題的數(shù)量關(guān)系入手，將問題中的已知量和未知量之間的數(shù)量關(guān)系，通過適當(dāng)設(shè)元建立方程（組），然后通過解方程（組）使問題得到解決的思維方式． 【關(guān)鍵詞】規(guī)律探索型問題；方程與函數(shù)思想 3. （ 四川省廣安市，8，3分）下列說法： ①三角形的三條高一定都在三角形內(nèi)； ②有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形； ③有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形； ④兩邊及一角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等； ⑤一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形． 其中正確的個(gè)數(shù)有（ ） A．1個(gè)

6、 B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】A 【逐步提示】本題考查了三角形的中線、高線、角平分線的概念，矩形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定，平行四邊形的判定等，解題的關(guān)鍵是掌握這些概念、定理等． 因?yàn)橹苯侨切闻c鈍角三角形的三條高不都在三角形內(nèi)，故①錯(cuò)；至少有三個(gè)角是直角的四邊形是才是矩形，故②錯(cuò)；③是菱形的定義，正確；滿足④的條件時(shí)有可能形成“邊邊角”的情況，故錯(cuò)誤；等腰梯形滿足“一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等”，但它不是平行四邊形，故⑤錯(cuò)誤． 【詳細(xì)解答】解：只有③正確，故選擇A. 【解后反思】要理解三角形“三線”的概念，掌握三角形、平行四邊形、矩形、菱

7、形的判定方法，這是正確解題的基礎(chǔ)．能畫圖舉反例，以排除不符合條件情形，也是解這類題的基本功，要多思考，勤積累．類似的問題還有： 判斷下列說法是否正確： （1）一組對(duì)邊相等且一組對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形. 解：錯(cuò)誤．如圖1，作△ABC，使AB＝AC，在BC上取一點(diǎn)D（D點(diǎn)不與B、C重合且BD≠CD），連接AD.再以A為頂點(diǎn)，AD為一邊，作∠EAD，使∠EAD＝∠ADC，且AE＝DC，連接DE. 由上述畫圖方法，可知△ADC≌△DAE（SAS）. 所以DE＝AC＝AB，∠AED ＝∠C＝∠B. 即四邊形ABCD有一組對(duì)邊相等（DE＝AB）、一組對(duì)角相等（∠AED＝∠B），但卻不是平

8、行四邊形（另一組對(duì)邊AE和BD不平行也不相等）. （2）一組對(duì)邊相等，且一條對(duì)角線平分另一條對(duì)角線的四邊形是平行四邊形. 解：錯(cuò)誤．如圖2，畫兩條相交直線，交點(diǎn)為O，在其中一條直線上截取OA＝OC，分別過A、C兩點(diǎn)向另一條直線作垂線，垂足分別為E、F.在線段OF上取一點(diǎn)D（D點(diǎn)不與O、F重合），連接CD.再在線段OE的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)B，使EB＝FD，連接AB. 由上述畫圖方法，易知△COF≌△AOE（AAS），則CF＝AE，由“SAS”可判定△CFD≌△AEB，則CD＝AB.連接AD、BC，則四邊形ABCD滿足條件，卻不是平行四邊形. （3）一組對(duì)角相等，且連接這一組對(duì)角的頂點(diǎn)

9、的對(duì)角線被另一條對(duì)角線平分的四邊形是平行四邊形. 解：錯(cuò)誤．如圖，畫一個(gè)“箏形”ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC且AO≠OC，則該“箏形”滿足條件，但它不是平行四邊形. 【關(guān)鍵詞】 中線、高線、角平分線；矩形的判定；菱形的判定；全等三角形的判定；平行四邊形的判定 4. （ 四川樂山，3，3分）如圖2，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線，若∠B=35°，∠ACE=60°，則∠A= ( )． A．35° B．95° C．85° D．75° 【答案】C． 【逐步提示】CE是∠ACD的平分線，并且是△ABC的外角，根據(jù)“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和

10、”求解． 【詳細(xì)解答】解：∵CE是∠ACD的平分線，∴∠ACD=60°×2=120°，又∵∠ACD是△ABC的外角，∴∠ACD=∠A+∠B，∴∠A =∠ACD-∠B=120°-35°=85°，故選擇C． 【解后反思】三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．求一個(gè)角的度數(shù)：（1）當(dāng)問題以三角形為背景時(shí)，可利用三角形的內(nèi)角和定理和推論解決；（2）當(dāng)問題中含有平行線時(shí)，可利用平行線的性質(zhì)將其轉(zhuǎn)化為其它角；即“兩直線平行可得：同位角相等、內(nèi)錯(cuò)角相等、同旁內(nèi)角互補(bǔ)”根據(jù)角平分線的性質(zhì)求相應(yīng)角的角度． 【關(guān)鍵詞】三角形的內(nèi)角和；角的平分線 二、填空題 1. （ 四川省廣安市，12，3分）

11、如圖，直線l1∥l2，若∠1＝130°，∠2＝60°，則∠3＝___________． 1 2 3 l1 l2 第12題圖 【答案】70° 【逐步提示】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角定理、對(duì)頂角性質(zhì)等，解題的關(guān)鍵是掌握這些性質(zhì)．如圖，由“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”可得∠4＝∠1．由三角形外角定理，可得∠4＝∠2＋∠5，由對(duì)頂角相等，可得∠5＝∠3，綜合以上結(jié)論，可得∠3＝∠1－∠2． 【詳細(xì)解答】解：∵l1∥l2，∴∠4＝∠1．∵∠4＝∠2＋∠5，∠5＝∠3，∴∠4＝∠2＋∠3．∴∠1＝∠2＋∠3．∴∠3＝∠1－∠2＝130°－60°＝70°．故答案為70°.

12、【解后反思】有關(guān)平行線的求角問題，常常要利用平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和或外角定理、對(duì)頂角性質(zhì)實(shí)現(xiàn)角的轉(zhuǎn)化，使所求的角與已知角從間接聯(lián)系變?yōu)橹苯勇?lián)系，從而得解．相關(guān)知積為： （1）平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)． （2）三角形的內(nèi)角和等于180°；三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和． （3）對(duì)頂角相等． 【關(guān)鍵詞】 平行線的性質(zhì)；三角形的外角定理；對(duì)頂角性質(zhì) 2. （ 四川省內(nèi)江市，26，12分） 問題引入： （1）如圖①，在△ABC中，點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn)，若∠A＝α，則∠BOC＝__________

13、__（用α表示）; 如圖②，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，則∠BOC＝____________（用α表示）. 拓展研究： （2）如圖③，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，猜想∠BOC＝____________（用α表示），并說明理由. （3）BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，請(qǐng)猜想∠BOC＝____________ . 【逐步提示】本題屬于規(guī)律探究題，要求學(xué)生根據(jù)題意，結(jié)合圖形，從探究的角度出發(fā)，利用三角形內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角的定義、角平分線的定義等知識(shí)，分別求出

14、∠BOC. （1）如圖①，利用三角形內(nèi)角和證得∠BOC＝90°＋∠α.；如圖②，同理證得∠BOC＝120°＋∠α； （2）如圖③，利用三角形內(nèi)角和與鄰補(bǔ)角的定義證得∠BOC＝120°－∠α； （3）同理，證得∠BOC＝. 【詳細(xì)解答】解：（1）如圖①，在△ABC中， ∵點(diǎn)O是∠ABC和∠ACB平分線的交點(diǎn)， ∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB. ∵∠A＝α， ∴∠BOC＝180°－（∠ABC＋∠ACB） ＝180°－（180°－∠A） ＝180°－（180°－∠α） ＝180°－90°＋∠α ＝90°＋∠α. 如圖②，∵∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，

15、∠A＝α， ∴∠BOC＝180°－（∠ABC＋∠ACB） ＝180°－（180°－∠A） ＝180°－（180°－∠α） ＝180°－60°＋∠α ＝120°＋∠α. 故答案為90°＋∠α，120°＋∠α. （2）如圖③，∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α， ∴∠BOC＝180°－（∠DBC＋∠ECB） ＝180°－[360°－（∠ABC＋∠ACB）] ＝180°－[360°－（180°－∠A）] ＝180°－（180°＋∠α） ＝180°－60°－∠α ＝120°－∠α. 故答案為120°－∠α. （3）∵∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，

16、∠A＝α， ∴∠BOC＝180°－（∠DBC＋∠ECB） ＝180°－ [360°－（∠ABC＋∠ACB）] ＝180°－ [360°－（180°－∠A）] ＝180°－（180°＋∠α） ＝×180°－∠α. ＝ 故答案為. 【解后反思】通過解題我們得到關(guān)于三角形內(nèi)、外角等分線有如下規(guī)律： 規(guī)律1：BO、CO分別是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB，∠A＝α，則∠BOC＝； 規(guī)律2：BO、CO分別是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分線，它們交于點(diǎn)O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，則∠BOC＝. 【關(guān)鍵詞】 三角形的內(nèi)角和；規(guī)律探索；鄰補(bǔ)角；角的平分線 6