2018年秋九年級數(shù)學下冊 第二十七章 相似練習 (新版)新人教版
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1、第二十七章 相似 27.1 圖形的相似 01 基礎題 知識點1 相似圖形 形狀相同的圖形叫做相似圖形. 1.下列選項中,哪個才是相似圖形的本質屬性(C) A.大小不同 B.大小相同 C.形狀相同 D.形狀不同 2.下列各組圖形相似的是(B) 知識點2 比例線段 對于四條線段a,b,c,d,如果其中兩條線段的比(即它們長度的比)與另兩條線段的比相等,如=,我們就說這四條線段成比例. 3.下列各線段的長度成比例的是(D) A.2 cm,5 cm,6 cm,8 cm B.1 cm,2 cm,3 cm,4 cm C.3 cm,6
2、cm,7 cm,9 cm D.3 cm,6 cm,9 cm,18 cm 4.(常州中考)在比例尺為1∶40 000的地圖上,某條道路的長為7 cm,則該道路的實際長度是2.8km. 知識點3 相似多邊形 兩個邊數(shù)相同的多邊形,如果它們的角分別相等,邊成比例,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.相似多邊形的對應角相等,對應邊成比例. 如:兩個大小不同的四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1中,若∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,∠D=∠D1,那么四邊形ABCD和四邊形A1B1C1D1相似. 5.兩個相似多邊形一組對應邊分別為3 cm,
3、4.5 cm,那么它們的相似比為(A) A. B. C. D. 6.如下的各組多邊形中,相似的是(B) A.(1)(2)(3) B.(2)(3) C.(1)(3) D.(1)(2) 7.在一張復印出來的紙上,一個多邊形的一條邊由原圖中的2 cm變成了6 cm,這次復印的放縮比例是1∶3. 8.如圖所示是兩個相似四邊形,求邊x、y的長和α的大?。? 解:∵兩個四邊形相似, ∴==,即==. ∴x=24,y=28.∵∠B=∠B′=73°, ∴α=360°-∠A-∠D-∠B=83°. 易錯點 沒有分情況討論導致漏解 9.已知三條
4、線段的長分別為1 cm、2 cm、 cm,如果另外一條線段與它們是成比例線段,那么另外一條線段的長為__cm,2__cm或__cm. 02 中檔題 10.下列說法: ①放大(或縮小)的圖片與原圖片是相似圖形; ②比例尺不同的中國地圖是相似圖形; ③放大鏡下的五角星與原來的五角星是相似圖形; ④放電影時膠片上的圖象和它映射到屏幕上的圖象是相似圖形; ⑤平面鏡中,你的形象與你本人是相似的. 其中正確的說法有(D) A.2個 B.3個 C.4個 D.5個 11.如圖,正五邊形FGHMN與正五邊形ABCDE相似,若AB∶FG=2∶3,則下列結論正確的
5、是(B) A.2DE=3MN B.3DE=2MN C.3∠A=2∠F D.2∠A=3∠F 12.如圖所示,兩個等邊三角形,兩個矩形,兩個正方形,兩個菱形各成一組,每組中的一個圖形在另一個圖形的內部,對應邊平行,且對應邊之間的距離都相等,那么兩個圖形不相似的一組是(B) 13.如圖所示,它們是兩個相似的平行四邊形,根據(jù)條件可知,α=125°,m=12. 14.如圖,左邊格點圖中有一個四邊形,請在右邊的格點圖中畫出一個與該四邊形相似的圖形,要求大小與左邊四邊形不同. 解:如圖所示. 15.為了鋪設一矩形場地,特意選擇某地磚進行密鋪,為了使每一部分都鋪成如圖
6、所示的形狀,且由8塊地磚組成,問: (1)每塊地磚的長與寬分別為多少? (2)這樣的地磚與所鋪成的矩形地面是否相似?試明你的結論. 解:(1)設矩形地磚的長為a cm,寬為b cm,由題圖可知4b=60,即b=15.因為a+b=60,所以a=60-b=45,所以矩形地磚的長為45 cm,寬為15 cm. (2)不相似.理由:因為所鋪成矩形地面的長為2a=2×45=90(cm),寬為60 cm,所以==,而==,≠,即所鋪成的矩形地面的長與寬和地磚的長與寬不成比例.所以它們不相似. 03 綜合題 16.(教材9下P28習題T6變式)如圖:矩形ABCD的長AB=30,寬BC=
7、20. (1)如圖1,若沿矩形ABCD四周有寬為1的環(huán)形區(qū)域,圖中所形成的兩個矩形ABCD與A′B′C′D′相似嗎?請說明理由; (2)如圖2,x為多少時,圖中的兩個矩形ABCD與A′B′C′D′相似? 解:(1)不相似, AB=30,A′B′=28,BC=20,B′C′=18, 而≠, 故矩形ABCD與矩形A′B′C′D′不相似. (2)矩形ABCD與A′B′C′D′相似, 則=或=. 則:=,或=. 解得x=1.5或9, 故當x=1.5或9時,矩形ABCD與A′B′C′D′相似. 27.2 相似三角形 27.2.1 相似三角形的判定 第1課時 平行線分線段成
8、比例 01 基礎題 知識點1 相似三角形的定義和相似比 如果兩個三角形的三個角分別相等,三條邊成比例,我們就說這兩個三角形相似.相似三角形對應邊的比叫做相似比.相似用符號“∽”表示. 如圖,在△ABC和△A1B1C1中,如果∠A=∠A1,∠B=∠B1,∠C=∠C1,==,那么△ABC∽△A1B1C1. 1.如圖所示,△ADE∽△ACB,∠AED=∠B,那么下列比例式成立的是(A) A.== B.= C.== D.== 2.兩個三角形相似,且相似比k=1,則這兩個三角形全等. 知識點2 平行線分線段成比例 (1
9、)兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段成比例. 如圖1,直線l1∥l2∥l3,分別交直線m,n于點A,B,C,D,E,F(xiàn),則=,=,=. 圖1 圖2 (2)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應線段成比例. 如圖2,在△ABC中,DE∥BC,DE分別交AB,AC于點D,E,則=,=,=. 3.(杭州中考)如圖,已知a∥b∥c,直線m分別交直線a,b,c于點A,B,C,直線n分別交直線a,b,c于點D,E,F(xiàn).若=,則=(B) A. B. C. D.1 4.(成都中考)如圖,在△ABC中,DE∥BC
10、,AD=6,DB=3,AE=4,則EC的長為(B) A.1 B.2 C.3 D.4 知識點3 相似三角形判定的預備定理 平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似. 如圖2,在△ABC中,DE∥BC,DE分別交AB,AC于點D,E,則△ADE∽△ABC. 5.(貴陽中考)如圖,在△ABC中,DE∥BC,=,BC=12.則DE的長是(B) A.3 B.4 C.5 D.6 第5題圖 第6題圖 6.如圖,點E,F(xiàn)分別在△ABC的邊AB,AC上,且EF∥BC,點M在邊BC上,AM與EF
11、交于點D,則圖中相似三角形共有(B) A.4對 B.3對 C.2對 D.1對 02 中檔題 7.(上海中考)如圖,已知在△ABC中,點D,E,F(xiàn)分別是邊AB,AC,BC上的點,DE∥BC,EF∥AB,且AD∶DB=3∶5,那么CF∶CB等于(A) A.5∶8 B.3∶8 C.3∶5 D.2∶5 第7題圖 第8題圖 8.如圖,AB∥CD∥EF,則圖中相似三角形有(B) A.4對 B.3對 C.2對 D.1對 9.(遵義中考)如圖,△ABC中,E是BC中點,AD是∠BAC的平分線,EF∥AD交AC
12、于點F.若AB=11,AC=15,則FC的長為(C) A.11 B.12 C.13 D.14 10.如圖,在△ABC中,點D,E分別為AB,AC的中點,連接DE,線段BE,CD相交于點O,若OD=2,則OC=4. 第10題圖 第11題圖 11.(六盤水中考)如圖,在?ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,在BA的延長線上取一點E,連接OE交AD于點F,若CD=5,BC=8,AE=2,則AF=. 12.在△ABC中,AB=6,AC=9,點D在邊AB所在的直線上,且AD=2,過點D作DE∥BC交邊AC所在直線于點E,則CE的長為6或12. 13.中國高鐵
13、近年來用震驚世界的速度不斷發(fā)展,已成為當代中國一張耀眼的“國家名片”,修建高鐵時常常要逢山開道、遇水搭橋,如圖,某高鐵在修建時需打通一直線隧道MN(M、N為山的兩側),工程人員為了計算M、N兩點之間的直線距離,選擇作MN的平行線BC,并測得AM=900米, AB=30米,BC=45米,求直線隧道MN的長. 解:∵BC∥MN, ∴△ABC∽△AMN. ∴=,即=. ∴MN=1 350米 答: 直線隧道MN的長為1 350米. 14.如圖,延長正方形ABCD的一邊CB至E,ED與AB相交于點F,過F作FG∥BE交AE于G,求證:GF=FB. 證明:∵GF∥AD, ∴=.
14、 又FB∥DC,∴=. 又AD=DC,∴=. ∴GF=FB. 03 綜合題 15.如圖,AD∥EG∥BC,EG分別交AB,DB,AC于點E,F(xiàn),G,已知AD=6,BC=10,AE=3,AB=5,求EG,F(xiàn)G的長. 解:∵在△ABC中,EG∥BC, ∴△AEG∽△ABC, ∴=. ∵BC=10,AE=3,AB=5, ∴=,∴EG=6. ∵在△BAD中,EF∥AD, ∴△BEF∽△BAD,∴=. ∵AD=6,AE=3,AB=5, ∴=.∴EF=. ∴FG=EG-EF=. 第2課時 相似三角形的判定定理1,2 01
15、 基礎題 知識點1 相似三角形的判定定理1 三邊成比例的兩個三角形相似. 如圖,已知△ABC和△DEF中,==,則△ABC∽△DEF. 1.將一個三角形的各邊長都縮小后,得到的三角形與原三角形(A) A.一定相似 B.一定不相似 C.不一定相似 D.無法確定 2.若△ABC各邊分別為AB=10 cm,BC=8 cm,AC=6 cm,△DEF的兩邊為DE=5 cm,EF=4 cm,則當DF=3cm時,△ABC∽△DEF. 3.試判斷圖中的兩個三角形是否相似,并說明理由. 解:相似.理由如下: 在Rt△ABC中,BC===1.8, 在Rt
16、△DEF中, DF===4.8, ∴===, ∴△ABC∽△DEF. 4.(教材9下P42例3變式)(佛山中考)網(wǎng)格圖中每個方格都是邊長為1的正方形.若A,B,C,D,E,F(xiàn)都是格點,試說明△ABC∽△DEF. 證明:∵AC=,BC==,AB=4,DF==2,EF==2,ED=8, ∴===. ∴△ABC∽△DEF. 知識點2 相似三角形的判定定理2 兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似. 如圖,已知△ABC和△DEF中,∠A=∠D,且=,則△ABC∽△DEF. 5.能判定△ABC∽△A′B′C′的條件是(B) A.= B.=且∠
17、A=∠A′ C.=且∠B=∠C′ D.=且∠B=∠B′ 6.如圖,已知△ABC,則下列4個三角形中,與△ABC相似的是(C) 7.如圖AB與CD相交于點O,OA=3,OB=5,OD=6,當OC=時,△AOC∽△BOD. 8.如圖,點C,D在線段AB上,∠A=∠B,AE=3,AD=2,BC=3,BF=4.5,DE=5,求CF的長. 解:∵==,=,∴=. 又∵∠A=∠B,∴△AED∽△BFC, ∴=.∴=. ∴CF=. 易錯點 對應邊沒有確定時容易漏解 9.(隨州中考)在△ABC中,AB=6,AC=5,點D在邊AB上,且AD=2,點E在邊AC上,當AE
18、=或時,以A,D,E為頂點的三角形與△ABC相似. 02 中檔題 10.(貴陽中考)如圖,在方格紙中,△ABC和△EPD的頂點均在格點上,要使△ABC∽△EPD,則點P所在的格點為(C) A.P1 B.P2 C.P3 D.P4 11.如圖,在△ABC中,點P在AB上,下列四個條件:①AP∶AC=AC∶AB;②AC2=AP·AB;③AB·CP=AP·CB.其中能滿足△APC和△ACB相似的條件有(B) A.1個 B.2個 C.3個 D.0個 第11題圖 第12題圖 12.如圖,已知∠DAB=∠CAE,請補充一個條件:=,
19、使△ABC∽△ADE. 13.如圖,AB∥DE,AC∥DF,BC∥EF,求證:△DEF∽△ABC. 證明:∵AB∥DE, ∴△ODE∽△OAB. ∴=. ∵BC∥EF, ∴△OEF∽△OBC. ∴==. ∵AC∥DF, ∴△ODF∽△OAC. ∴=. ∴==. ∴△DEF∽△ABC. 14.如圖,在△ABC中,AB=AC,D為CB延長線上一點,E為BC延長線上一點,且滿足AB2=DB·CE.求證:△ADB∽△EAC. 證明:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB. ∴∠ABD=∠ACE. ∵AB2=DB·CE,∴=. 又AB=AC,∴=. ∴△A
20、DB∽△EAC. 15.如圖,正方形ABCD中,P是BC上的點,且BP=3PC,Q是CD的中點,求證:△ADQ∽△QCP. 證明:設正方形的邊長為4a,則AD=CD=BC=4a. ∵Q是CD的中點,BP=3PC, ∴DQ=CQ=2a,PC=a. ∴==. 又∵∠D=∠C=90°, ∴△ADQ∽△QCP. 03 綜合題 16.(宿遷中考改編)如圖, AD∥BC,∠ABC=90°,AB=8,AD=3,BC=4,點P為AB邊上一動點,若△PAD與△PBC是相似三角形,則滿足條件的點P的個數(shù)是(C) A.1 B.2 C.3 D.4 第
21、3課時 相似三角形的判定定理3 01 基礎題 知識點1 相似三角形的判定定理3 兩角分別相等的兩個三角形相似. 如圖,已知△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠B=∠E,則△ABC∽△DEF. 1.下列各組圖形中有可能不相似的是(A) A.各有一個角是45°的兩個等腰三角形 B.各有一個角是60°的兩個等腰三角形 C.各有一個角是105°的兩個等腰三角形 D.兩個等腰直角三角形 2.已知△ABC中,∠A=40°,∠B=75°,下圖各三角形中與△ABC相似的是△EFD,△HGK. 3.如圖,銳角三角形ABC的邊AB,
22、AC上的高線EC,BF相交于點D,請寫出圖中的兩對相似三角形答案不唯一,如△BDE∽△CDF,△ABF∽△ACE等.(用相似符號連接) 4.如圖,點B、D、C、F在一條直線上,且AB∥EF,AC∥DE,求證:△ABC∽△EFD. 證明:∵AB∥EF,AC∥DE, ∴∠B=∠F,∠ACB=∠EDF. ∴△ABC∽△EFD. 5.如圖,∠1=∠2,∠C=∠D.求證:△ABC∽△AED. 證明:∵∠1=∠2, ∴∠1+∠CAD=∠2+∠CAD, 即∠BAC=∠EAD. 又∵∠C=∠D, ∴△ABC∽△AED. 知識點2 斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似
23、 斜邊和一條直角邊成比例的兩個直角三角形相似. 如圖,在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中,∠C=90°,∠C′=90°,=,則Rt△ABC∽Rt△A′B′C′. 6.在△ABC和△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,AC=12,AB=15,A′C′=8,則當A′B′=10時,△ABC∽△A′B′C′. 7.一個直角三角形的一條直角邊長和斜邊長分別為8 cm和15 cm,另一個直角三角形的一條直角邊長和斜邊長分別是6 cm和 cm,這兩個直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形. 8.一個直角三角形的兩邊長分別為3和6,另一個直角三角形的兩邊長分別為2和4,那么這
24、兩個直角三角形不一定(填“一定”“不一定”或“一定不”)相似. 易錯點 對應角沒有確定時容易漏解 9.如圖,在平面直角坐標系中有兩點A(6,0),B(0,3),如果點C在x軸上(C與A不重合),當點C的坐標為(-,0),(,0),(-6,0)時,△BOC與△AOB相似. 02 中檔題 10.如圖,在△ABC中,點D,E分別在AB,AC邊上,DE∥BC,且∠DCE=∠B.那么下列判斷中,錯誤的是(D) A.△ADE∽△ABC B.△ADE∽△ACD C.△DEC∽△CDB D.△ADE∽△DCB 第10題圖 第11題圖 11.(本溪中
25、考)如圖,已知△ABC和△ADE均為等邊三角形,點D在BC上,DE與AC相交于點F,AB=9,BD=3,則CF等于(B) A.1 B.2 C.3 D.4 12.如圖,已知:∠ACB=∠ABD=90°,AB=,AC=2,求AD的長為多少時,圖中兩直角三角形相似? 解:①若△ABC∽△ADB, 則=.∴AD=3; ②若△ABC∽△DAB, 則=.∴AD=3. 綜上所述,當AD=3或3時,兩直角三角形相似. 13.(畢節(jié)中考改編)如圖,在?ABCD中,過點A作AE⊥DC,垂足為E,連接BE,F(xiàn)為BE上一點,且∠AFE=∠D.求證:△ABF∽△BEC. 證
26、明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB∥CD,AD∥BC,AD=BC. ∴∠D+∠C=180°,∠ABF=∠BEC. 又∵∠AFB+∠AFE=180°,且∠AFE=∠D, ∴∠C=∠AFB. 又∵∠ABF=∠BEC, ∴△ABF∽△BEC. 14.(濱州中考改編)如圖,矩形ABCD中,AB=20,BC=10,點P為AB邊上一動點,DP交AC于點Q. (1)求證:△APQ∽△CDQ; (2)P點從A點出發(fā)沿AB邊以每秒1個單位長度的速度向B點移動,移動時間為t秒.當t為何值時,DP⊥AC? 解:(1)證明:∵四邊形ABCD是矩形, ∴AB∥CD. ∴△APQ∽
27、△CDQ. (2)當DP⊥AC時,∠QCD+∠QDC=90°. ∵∠ADQ+∠QDC=90°,∴∠DCA=∠ADP. 又∵∠ADC=∠DAP=90°, ∴△ADC∽△PAD. ∴=,∴=,解得PA=5. ∴t=5. 03 綜合題 15.如圖,在△ABC中,AD、BF分別是BC,AC邊上的高,過點D作AB的垂線交AB于點E,交BF于點G,交AC的延長線于點H,求證:DE2=EG·EH. 證明:∵AD、BF分別是BC、AC邊上高, ∴∠ADB=∠BED=90°. ∴∠EBD+∠EDB=∠EDB+∠ADE. ∴∠EBD=∠EDA. ∴△AED∽△DEB. ∴DE
28、2=AE·BE. 又∵∠HFG=90°,∠BGE=∠HGF, ∴∠EBG=∠H. ∵∠BEG=∠HEA=90°, ∴△BEG∽△HEA. ∴=,即EG·EH=AE·BE. ∴DE2=EG·EH. 27.2.2 相似三角形的性質 01 基礎題 知識點1 相似三角形性質定理1 相似三角形對應高的比、對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比. 如圖,已知△ABC∽△A1B1C1,其相似比為k,AD和A1D1分別是BC和B1C1邊上的高,CF和C1F1分別是AB和A1B1邊上的中線,BE和B1E1分別是∠ABC和∠A1B1C1的平
29、分線,則===k. 1.(蘭州中考)已知△ABC∽△DEF,若△ABC與△DEF的相似比為,則△ABC與△DEF對應中線的比為(A) A. B. C. D. 2.若△ABC∽△A′B′C′,AB=16 cm,A′B′=4 cm,AD平分∠BAC,A′D′平分∠B′A′C′,A′D′=3 cm,則AD=12cm. 3.已知:△ABC∽△A′B′C′,AB=4 cm,A′B′=10 cm,AE是△ABC的一條高,AE=4.8 cm.求△A′B′C′中對應高線A′E′的長. 解:∵△ABC∽△A′B′C′, ∴=.∴=. ∴A′E′=12 cm. 知識點
30、2 相似三角形性質定理2 相似三角形周長的比等于相似比. 若△ABC∽△A′B′C′,相似比為k,則△ABC與△A′B′C′的周長比為k. 4.若△ABC∽△A′B′C′,相似比為1∶3,則△ABC與△A′B′C′周長的比為(A) A.1∶3 B.3∶1 C.1∶9 D.9∶1 5.如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,DE∥BC,且AD=AB,則△ADE的周長與△ABC的周長的比為1∶3. 知識點3 相似三角形性質定理3 相似三角形面積的比等于相似比的平方. 若△ABC∽△A′B′C′,相似比為k,則△ABC與△A′B′C
31、′的面積比為k2. 6.(黔西南中考)已知△ABC∽△A′B′C′,且=,則S△ABC∶S△A′B′C′為(C) A.1∶2 B.2∶1 C.1∶4 D.4∶1 7.(廣東中考)若兩個相似三角形的周長比為2∶3,則它們的面積比是4∶9. 8.(懷化中考)如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,AC上的中點,則S△ADE∶S△ABC=1∶4. 第8題圖 第9題圖 9.(濱州中考)如圖,平行于BC的直線DE把△ABC分成的兩部分面積相等,則=. 10.某小區(qū)廣場有兩塊相似三角形的草坪,相似比為2∶3,面積差是30 m2,則小區(qū)廣場兩塊相似三角形的草坪
32、面積分別是24__m2、54__m2. 02 中檔題 11.(湘西中考)如圖,在?ABCD中,E是AD邊上的中點,連接BE,并延長BE交CD延長線于點F,則△EDF與△BCF的周長之比是(A) A.1∶2 B.1∶3 C.1∶4 D.1∶5 第11題圖 第12題圖 12.(黔西南中考)如圖,在△ABC中,點D在AB上,BD=2AD,DE∥BC交AC于點E,則下列結論不正確的是(D) A.BC=3DE B.= C.△ADE∽△ABC D.S△ADE=S△ABC 13.已知△ABC與△A′B′C′中,∠C=∠C′=90°,
33、∠A=∠A′,BC=6,AC=8,A′B′=20,則△A′B′C′的斜邊上的高為. 14.在△ABC中,AB=9,AC=12,BC=18,D為AC上一點,AD=4,在AB上取一點E,得到△ADE,若這兩個三角形相似,則它們的周長之比是4∶9或1∶3. 15.如圖,在△ABC中,D,E分別是△ABC的AB,AC邊上的點,DE∥BC,CF,EG分別是△ABC與△ADE的中線,已知AD∶DB=4∶3,AB=18 cm,EG=4 cm,求CF的長. 解:∵AD∶DB=4∶3, ∴AD∶AB=4∶7. ∵DE∥BC, ∴△ABC∽△ADE. ∵CF,EG分別是△ABC與△ADE的中線,
34、 ∴=.∴=. ∴CF=7 cm. 16.如圖,?ABCD中,AE∶EB=2∶3,DE交AC于點F. (1)求證:△AEF∽△CDF; (2)求△AEF與△CDF的周長之比; (3)如果△CDF的面積為20 cm2,求△AEF的面積. 解:(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴DC∥AB. ∴△AEF∽△CDF. (2)∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴DC=AB. ∵AE∶EB=2∶3,設AE=2k,則BE=3k,DC=5k. 又∵△AEF∽△CDF, ∴==. ∴△AEF與△CDF的周長之比為2∶5. (3)∵△AEF∽△CDF, ∴=
35、()2. ∵=,△CDF的面積為20 cm2, ∴△AEF的面積為 cm2. 03 綜合題 17.如圖,在△ABC中,DF∥EG∥BC,且AD=DE=EB,△ABC被DF、EG分成三部分,且三部分面積分別為S1,S2,S3,求S1∶S2∶S3的值. 解:∵DF∥EG∥BC, ∴△ADF∽△AEG∽△ABC. 又∵AD=DE=EB, ∴三個三角形的相似比是1∶2∶3. ∴面積的比是1∶4∶9. 設△ADF的面積是a,則△AEG與△ABC的面積分別是4a,9a, ∴S2=3a,S3=5a,則S1∶S2∶S3=1∶3∶5. 小專題15 相似三角形的基本模型(教材
36、變式) 模型1 X字型及其變形 (1)如圖1,對頂角的對邊平行,則△ABO∽△DCO; (2)如圖2,對頂角的對邊不平行,且有另一對角相等,則△ABO∽△CDO. 教材母題1:(教材九下P58復習題T9)如圖,AD⊥BC,垂足為D,BE⊥AC,垂足為E,AD與BE相交于點F,連接ED.你能在圖中找出一對相似三角形,并說明相似的理由嗎? 解:△AEF∽△BDF. 理由:∵AD⊥BC,BE⊥AC, ∴∠AEF=∠BDF=90°. 又∵∠AFE=∠BFD, ∴△AEF∽△BDF. 1.(恩施中考)如圖,在?AB
37、CD中,AC與BD交于點O,E為OD的中點,連接AE并延長交DC于點F,則DF∶FC等于(D) A.1∶4 B.1∶3 C.2∶3 D.1∶2 2.如圖,在四邊形ABCD中,AB∥CD,對角線AC與BD相交于點O.找出圖中的相似三角形,并說明理由. 解:△ABO∽△CDO.理由如下: ∵AB∥CD, ∴∠OCD=∠OAB, ∠ODC=∠OBA. ∴△ABO∽△CDO. 模型2 A字型及其變形 (1)如圖1,公共角的對邊平行,則△ADE∽△ABC; (2)如圖2,公共角的對邊不平行,且有另一對角相等,則△ADE∽△ABC; (3)如圖
38、3,公共角的對邊不平行,兩個三角形有一條公共邊,且有另一對角相等,則△ACD∽△ABC. 教材母題2:(教材九下P35例2)如圖,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8.E是AC上一點,AE=5,ED⊥AB,垂足為D.求AD的長. 解:∵ED⊥AB, ∴∠EDA=90°. 又∠C=90°,∠A=∠A, ∴△AED∽△ABC. ∴=. ∴AD===4. 3.如圖,點D是△ABC的邊AC的上一點,且∠ABD=∠C.如果=,求的值. 解:∵∠DAB=∠BAC,∠ABD=∠C, ∴△DAB∽△BAC. ∴==. ∴AB2=AD·AC. ∵=,∴
39、設AD=a(a>0),則CD=3a. ∴AB2=a(a+3a)=4a2.∴AB=2a. ∴===. 模型3 雙垂直型 直角三角形被斜邊上的高分成兩個直角三角形與原三角形相似,即△ACD∽△ABC∽△CBD. 教材母題3:(教材九下P36練習T2)如圖,Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高.求證: (1)△ACD∽△ABC; (2)△CBD∽△ABC. 證明:(1)∵Rt△ABC中,CD是斜邊AB上的高, ∴∠ACB=∠ADC=90°. 又∵∠CAD=∠BAC, ∴△ACD∽△ABC. (2)∵∠ACB=∠CDB=90°, ∠ABC=∠CBD, ∴△C
40、BD∽△ABC. 4.如圖,在Rt△ABC中,CD⊥AB,D為垂足,且AD=3,AC=3,則斜邊AB的長為(B) A.3 B.15 C.9 D.3+3 模型4 M字型及其變形 (1)如圖1,Rt△ABD與Rt△BCE的斜邊互相垂直,則有△ABD∽△CEB; (2)如圖2,點B,C,E在同一條直線上,∠ABC=∠ACD,則再已知一組條件,可得△ABC與△DCE相似. 教材補充:如圖,AB⊥BD,ED⊥BD,C是線段BD的中點,且AC⊥CE.已知ED=1,BD=4,求AB的長. 解:∵AB⊥BD,ED⊥BD, ∴∠B=∠D=90°, ∠AC
41、B+∠A=90°. ∵AC⊥CE, ∴∠ACB+∠ECD=90°. ∴∠A=∠ECD. ∴△ABC∽△CDE. ∴=. 又∵C是線段BD的中點,ED=1,BD=4, ∴AB=4. 5.(宿遷中考)如圖,在△ABC中,AB=AC,點E在邊BC上移動(點E不與點B,C重合),滿足∠DEF=∠B,且點D,F(xiàn)分別在邊AB,AC上. (1)求證:△BDE∽△CEF; (2)當點E移動到BC的中點時,求證:FE平分∠DFC. 解:(1)證明:∵AB=AC, ∴∠B=∠C. ∵∠BDE=180°-∠B-∠DEB,∠CEF=180°-∠DEF-∠DEB,且∠DEF
42、=∠B, ∴∠BDE=∠CEF. ∴△BDE∽△CEF. (2)∵△BDE∽△CEF,∴=. ∵點E是BC的中點,∴BE=CE.∴=. ∵∠DEF=∠B=∠C,∴△DEF∽△ECF. ∴∠DFE=∠CFE,即FE平分∠DFC. 小專題16 相似三角形的性質與判定 類型1 利用相似三角形求線段長 1.(寧夏中考)如圖,在△ABC中,AB=6,點D是AB的中點,過點D作DE∥BC,交AC于點E,點M在DE上,且ME=DM.當AM⊥BM時,則BC的長為8. 第1題圖 第2題圖 2.如圖,已知菱形BEDF內接于△ABC,點E,D,
43、F分別在AB,AC和BC上.若AB=15 cm,BC=12 cm,則菱形的邊長為cm. 3.如圖,在△ABC中,AB=AC,點D,E分別在邊BC,AB上,且∠ADE=∠B.如果DE∶AD=2∶5,BD=3,那么AC=. 第3題圖 第4題圖 4.(深圳中考)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,在Rt△MPN中,∠MPN=90°,點P在AC上,PM交AB于點E,PN交BC于點F,當PE=2PF時,AP=3. 5.如圖,在△ABC中,點D是BA邊延長線上一點,過點D作DE∥BC,交CA延長線于點E,點F是DE延長線上一點,連接AF. (1)如果=,DE=6,求邊B
44、C的長; (2)如果∠FAE=∠B,F(xiàn)A=6,F(xiàn)E=4,求DF的長. 解:(1)∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC. ∴=. ∵DE=6, ∴BC=9. (2)∵∠FAE=∠B,∠B=∠D, ∴∠EAF=∠D. ∵∠F=∠F, ∴△FAE∽△FDA. ∴=. ∴DF==9. 類型2 利用相似三角形求角度 6.如圖,A,B,C,P四點均在邊長為1的小正方形網(wǎng)格格點上,則∠BAC的度數(shù)是135°. 第6題圖 第7題圖 7.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,D為CB延長線上一點,E為BC延長線上一點,且AB2=BD·CE.若∠BAC=40°,則∠DAE
45、=110°. 類型3 利用相似三角形求比值 8.如圖,AB∥DC,AC與BD交于點E,EF∥DC交BC于點F,CE=5,CF=4,AE=BC,則等于(B) A. B. C. D. 9.如圖,D,E分別是△ABC的邊AB,BC上的點,且DE∥AC,AE,CD相交于點O.若S△DOE∶S△COA=1∶25,則S△BDE與S△CDE的比是(B) A.1∶3 B.1∶4 C.1∶5 D.1∶25 第9題圖 第10題圖 10.(桂林中考)如圖,在矩形ABCD中,對角線AC,BD交于點O,過點A作EA⊥CA交DB的延長線
46、于點E.若AB=3,BC=4,則的值為. 類型4 利用相似三角形證明等積式與比例式 11.如圖,在△ABC中,D,E分別是AB,AC上的點,且BD=2AD,CE=2AE.求證: (1)△ADE∽△ABC; (2)DF·BF=EF·CF. 證明:(1)∵BD=2AD,CE=2AE, ∴AB=3AD,AC=3AE. ∴==. ∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ABC. (2)∵==, ∴DE∥BC. ∴△DEF∽△CBF. ∴=. ∴DF·BF=EF·CF. 12.如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于點D,E為AC的中點,ED,CB的延長線交
47、于點F.求證:=. 證明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB, ∴∠A+∠ACD=∠ACD+∠BCD,∠ACB=∠BDC=90°. ∴∠A=∠BCD. ∴△ABC∽△CBD. ∴=,即=. 又∵E為AC中點, ∴AE=CE=ED. ∴∠A=∠EDA. ∵∠EDA=∠BDF, ∴∠FCD=∠BDF. 又∠F為公共角, ∴△FDB∽△FCD. ∴=. ∴=. 類型5 利用相似求點的坐標 13.如圖,在平面直角坐標系xOy中,A(-4,0),B(0,2),連接AB并延長到C,連接CO.若△COB∽△CAO,則點C的坐標為(B) A.(1,) B.(,)
48、 C.(,2) D.(,2) 第13題圖 第14題圖 14.如圖,已知直線y=-x+2與x軸交于點A,與y軸交于點B,在x軸上有一點C,使B,O,C三點構成的三角形與△AOB相似,則點C的坐標為(-4,0)或(4,0)或(-1,0)或(1,0). 27.2.3 相似三角形應用舉例 01 基礎題 知識點1 利用相似三角形測量物高 1.為了加強視力保護意識,小明要在書房里掛一張視力表.由于書房空間狹小,他想根據(jù)測試距離為5 m的大視力表制作一個測試距離為3 m的小視力表.如圖,如果大視力表中“E”的高度是3.5 cm,那么小視力
49、表中相應“E”的高度是(D) A.3 cm B.2.5 cm C.2.3 cm D.2.1 cm 第1題圖 第2題圖 2.小明在測量樓高時,先測出樓房落在地面上的影長BA為15米(如圖),然后在A處樹立一根高2米的標桿,測得標桿的影長AC為3米,則樓高為10米. 3.如圖是一束平行的陽光從教室窗戶射入的平面示意圖,光線與地面所成角∠AMC=30°,在教室地面的影長MN=2米.若窗戶的下檐到教室地面的距離BC=1米,則窗戶的上檐到教室地面的距離AC為3米. 第3題圖 第4題圖 4.(黔南中考)如圖是小
50、明設計用手電來測量都勻南沙洲古城墻高度的示意圖,點P處放一水平的平面鏡,光線從點A出發(fā)經過平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處,已知AB⊥BD,CD⊥BD,且測得AB=1.2米,BP=1.8米,PD=12米,那么該古城墻的高度是8米(平面鏡的厚度忽略不計). 知識點2 利用相似三角形測量寬度 5.(北京中考)如圖,為估算某河的寬度,在河對岸邊選定一個目標點A,在近岸取點B,C,D,使得AB⊥BC,CD⊥BC,點E在BC上,并且點A,E,D在同一條直線上.若測得BE=20 m,EC=10 m,CD=20 m,則河的寬度AB等于(B) A.60 m B.40 m C.30
51、m D.20 m 第5題圖 第6題圖 6.如圖,為了測量一池塘的寬DE,在岸邊找到一點C,測得CD=30 m,在DC的延長線上找一點A,測得AC=5 m,過點A作AB∥DE交EC的延長線于B,測出AB=6 m,則池塘的寬DE為(C) A.25 m B.30 m C.36 m D.40 m 7.(教材9下P40例6變式)如圖,一條河的兩岸有一段是平行的,在河的南岸邊每隔5米有一棵樹,在北岸邊每隔60米有一根電線桿.小麗站在離南岸邊15米的點P處看北岸,發(fā)現(xiàn)北岸相鄰的兩根電線桿恰好被南岸的兩棵樹遮住,并且在這兩棵樹之間還有三棵樹,則河寬為
52、30米. 第7題圖 第8題圖 8.如圖,測量小玻璃管口徑的量具ABC,AB的長為30 cm,AC被分為60等份.如果小玻璃管口DE正好對著量具上20等份處(DE∥AB),那么小玻璃管口徑DE是20cm. 02 中檔題 9.如圖,鐵道口的欄桿短臂OA長1 m,長臂OB長8 m.當短臂外端A下降0.5 m時,長臂外端B升高(B) A.2 m B.4 m C.4.5 m D.8 m 第9題圖 第10題圖 10.如圖,已知零件的外徑為25 mm,現(xiàn)用一個交叉卡鉗(兩條尺長AC和BD相等,OC=OD)
53、量零件的內孔直徑AB.若OC∶OA=1∶2,量得CD=10 mm,則零件的厚度x=2.5mm. 11.(遵義中考)“今有邑,東西七里,南北九里,各開中門,出東門一十五里有木,問:出南門幾何步而見木?”這段話摘自《九章算術》,意思是說:如圖,矩形ABCD,東邊城墻AB長9里,南邊城墻AD長7里,東門點E,南門點F分別是AB,AD的中點,EG⊥AB,F(xiàn)H⊥AD,EG=15里,HG經過A點,則FH=1.05里. 12.(陜西中考)某市為了打造森林城市,樹立城市新地標,實現(xiàn)綠色、共享發(fā)展理念,在城南建起了“望月閣”及環(huán)閣公園,小亮、小芳等同學想用一些測量工具和所學的幾何知識測量“望月閣”的
54、高度,來檢驗自己掌握知識和運用知識的能力.他們經過觀察發(fā)現(xiàn),觀測點與“望月閣”底部間的距離不易測得,因此經過研究需要兩次測量,于是他們首先用平面鏡進行測量,方法如下:如圖,小芳在小亮和“望月閣”之間的直線BM上平放一平面鏡,在鏡面上做了一個標記,這個標記在直線BM上的對應位置為點C.鏡子不動,小亮看著鏡面上的標記,他來回走動,走到點D時,看到“望月閣”頂端點A在鏡面中的像與鏡面上的標記重合.這時,測得小亮眼睛與地面的高度ED=1.5米,CD=2米;然后,在陽光下,他們用測影長的方法進行了第二次測量,方法如下:如圖,小亮從D點沿DM方向走了16米,到達“望月閣”影子的末端F點處,此時,測得小亮身
55、高FG的影長FH=2.5米,F(xiàn)G=1.65米. 如圖,已知AB⊥BM,ED⊥BM,GF⊥BM,其中,測量時所使用的平面鏡的厚度忽略不計,請你根據(jù)題中提供的相關信息,求出“望月閣”的高AB的長度. 解:由題意,得∠ABC=∠EDC=∠GFH=90°,∠ACB=∠ECD, ∠AFB=∠GHF. ∴△ABC∽△EDC, △ABF∽△GFH. ∴=,=. ∴=,=. 解得AB=99. ∴“望月閣”的高AB為99米. 03 綜合題 13.(紹興中考)課本中有一道作業(yè)題: 如圖,有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120 mm,高AD=80 mm.要把它加工成正方
56、形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上.問加工成的正方形零件的邊長是多少mm? 小穎解得此題的答案為48 mm,小穎善于反思,她又提出了如下的問題. (1)如果原題中要加工的零件是一個矩形,且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成,如圖1,此時,這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少mm?請你計算; (2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形,如圖2,這樣,此矩形零件的兩條邊長就不能確定,但這個矩形面積有最大值,求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長. 解:(1)設矩形的邊長PN=2y mm,則PQ=y(tǒng) mm,由條件可得△APN∽△ABC, ∴=,即=. 解
57、得y=. ∴PN=×2=(mm). 答:這個矩形零件的兩條邊長分別為mm, mm. (2)設PN=x mm,由條件可得△APN∽△ABC, ∴=.即=. 解得PQ=80-x. ∴S=PN·PQ=x(80-x) =-x2+80x =-(x-60)2+2 400. ∴S的最大值為2 400 mm2,此時PN=60 mm,PQ=80-×60=40(mm). 27.3 位似 第1課時 位似圖形的概念及畫法 01 基礎題 知識點1 位似圖形及位似中心 兩個多邊形不僅相似,而且對應頂點的連線相交于一點,像這樣的兩個圖形叫做位似
58、圖形,這點叫做位似中心. 1.下圖中的兩個圖形不是位似圖形的是(D) 2.圖中的兩個四邊形是位似圖形,它們的位似中心是(D) A.點M B.點N C.點O D.點P 知識點2 位似圖形的性質 3.兩個圖形中,對應點到位似中心的線段比為2∶3,則這兩個圖形的相似比為(A) A.2∶3 B.4∶9 C.∶ D.1∶2 4.如圖,兩個位似圖形△ABO和△A′B′O,且AB∥A′B′,若OA∶OA′=3∶1,則正確的是(A) A.AB∶A′B′=3∶1 B.AA′∶BB′=AB∶A′B′ C.OA∶OB′=2∶1 D.∠A=∠B′
59、 5.如圖,△DEF與△ABC是位似圖形,點O是位似中心,點D,E,F(xiàn)分別是OA,OB,OC的中點,則△DEF與△ABC的面積比是(C) A.1∶6 B.1∶5 C.1∶4 D.1∶2 6.如圖,以點O為位似中心,將五邊形ABCDE放大后得到五邊形A′B′C′D′E′,已知OA=10 cm,OA′=20 cm,則五邊形ABCDE的周長與五邊形A′B′C′D′E′的周長的比值是1∶2. 7.如圖,△ABC與△A′B′C′是位似圖形,且位似比是1∶2,若AB=2 cm,則A′B′=4cm,并在圖中畫出位似中心O. 解:如圖所示. 知識點3 位似圖形的畫法 8
60、.如圖,以O為位似中心,將四邊形ABCD縮小為原來的一半. 解:圖略. 9.如圖,邊長為1的正方形網(wǎng)格紙中,△ABC為格點三角形(頂點都在格點上).在網(wǎng)格紙中,以O為位似中心畫出△ABC的一個位似圖形△A′B′C′,使△ABC與△A′B′C′的相似比為1∶2.(不要求寫畫法) 解:如圖所示.(只需畫出一個符合條件的△A′B′C′) 02 中檔題 10.如圖,三個正六邊形全等,其中成位似圖形關系的有(D) A.0對 B.1對 C.2對 D.3對 11.(東營中考)下列關于位似圖形的表述: ①相似圖形一定是位似圖形,位似圖形一定是相似圖形; ②位似圖形
61、一定有位似中心; ③如果兩個圖形是相似圖形,且每組對應點的連線所在的直線都經過同一個點,那么,這兩個圖形是位似圖形; ④位似圖形上任意兩點與位似中心的距離之比等于位似比. 其中正確命題的序號是(A) A.②③ B.①② C.③④ D.②③④ 12.如圖,四邊形ABCD與四邊形AEFG是位似圖形,且AC∶AF=2∶3,則下列結論不正確的是(B) A.四邊形ABCD與四邊形AEFG是相似圖形 B.AD與AE的比是2∶3 C.四邊形ABCD與四邊形AEFG的周長比是2∶3 D.四邊形ABCD與四邊形AEFG的面積比是4∶9 第12題圖 第13
62、題圖 13.如圖,O點是△ABC與△D1E1F1的位似中心,△ABC的周長為1.若D1,E1,F(xiàn)1分別是線段OA、OB、OC的中點,則△D1E1F1的周長為;若OD2=OA,OE2=OB,OF2=OC,則△D2E2F2的周長為;…若ODn=OA,OEn=OB,OFn=OC,則△DnEnFn的周長為.(用正整數(shù)n表示) 14.如圖,圖中的小方格都是邊長為1的正方形,△ABC與△A′B′C′是以點O為位似中心的位似圖形,它們的頂點都在小正方形的頂點上. (1)畫出位似中心O; (2)求出△ABC與△A′B′C′的相似比; (3)以點O為位似中心,再畫一個△A1B1C1,使它與△ABC的相
63、似比等于1.5. 解:(1)位似中心O的位置如圖所示. (2)∵=, ∴△ABC與△A′B′C′的相似比為1∶2. (3)如圖所示. 03 綜合題 15.如圖,已知B′C′∥BC,C′D′∥CD,D′E′∥DE. (1)求證:四邊形BCDE位似于四邊形B′C′D′E′; (2)若=3,S四邊形BCDE=20,求S四邊形B′C′D′E′. 解:(1)證明:∵B′C′∥BC,C′D′∥CD,D′E′∥DE, ∵======, ∠AB′C′=∠ABC,∠AC′B′=∠ACB,∠AC′D′=∠ACD, ∠AD′C′=∠ADC,∠AD′E′=∠ADE,∠AE′D′=
64、∠AED. ∴∠AC′B′+∠AC′D′=∠ACB+∠ACD, ∠AD′C′+∠AD′E′=′ADC+′ADE, 即∠B′C′D′=∠BCD,∠C′D′E′=∠CDE. ∵=,∠B′AE′=∠BAE, ∴△B′AE′∽△BAE. ∴=,∠AE′B′=∠AEB,∠AB′E′=∠ABE. ∴===, ∠AB′C′-∠AB′E′=∠AB ∠AE′D′-∠AE′B′=∠AED-∠AEB, 即∠E′B′C′=∠EBC,∠B′E′D′=∠BED. ∴四邊形BCDE與四邊形B′C′D′E′是相似圖形. 又∵四邊形BCDE與四邊形B′C′D′E′對應頂點相交于一點A, ∴四邊形BCD
65、E位似于四邊形B′C′D′E′. (2)∵=3,∴=. ∴四邊形BCDE與四邊形B′C′D′E′位似之比為. ∵S四邊形BCDE=20, ∴S四邊形B′C′D′E′==20×=. 第2課時 平面直角坐標系中的位似 01 基礎題 知識點1 位似圖形的坐標變化規(guī)律 一般地,在平面直角坐標系中,如果以原點為位似中心,新圖形與原圖形的相似比為k,那么與原圖形上的點(x,y)對應的位似圖形上的點的坐標為(kx,ky)或(-kx,-ky). 1.如圖,在平面直角坐標系中,以原點為位似中心,將△AOB擴大到原來的2倍,得到△OA′B′.若點
66、A的坐標是(1,2),則點A′的坐標是(C) A.(2,4) B.(-1,-2) C.(-2,-4) D.(-2,-1) 第1題圖 第2題圖 2.(武漢中考)如圖,線段AB兩個端點的坐標分別為A(6,6),B(8,2),以原點O為位似中心,在第一象限內將線段AB縮小為原來的后得到線段CD,則端點C的坐標為(A) A.(3,3) B.(4,3) C.(3,1) D.(4,1) 3.如圖,在平面直角坐標系中,以點O為位似中心,將△OCD放大得到△OAB,點C,D的坐標分別為(2,1),(2,0),且△OCD與△OAB的面積之比為1∶4,則點A的坐標為(C) A.(8,4) B.(8,2) C.(4,2) D.(4,8) 第3題圖 第4題圖 4.(教材9下P50練習T2變式)如圖,正方形OABC與正方形ODEF是位似圖形,O為位似中心,相似比為1∶,點A的坐標為(1,0),則E點的坐標為(C) A.(,0) B.(,) C.(,) D.(2,2) 5.某
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