首屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競(jìng)賽(高二年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題).doc

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首屆全國(guó)中學(xué)生數(shù)理化學(xué)科能力競(jìng)賽 高二數(shù)學(xué)學(xué)科能力解題技能初賽試題 總分 試卷說(shuō)明：1、本試卷共計(jì)15題，滿(mǎn)分為120分 2、考試時(shí)間為120分鐘 本題得分 評(píng)卷人 一、選擇題（每小題5分，共30分） 1．已知，則集合C的元素個(gè)數(shù)為（ ） （A） （B） （C） （D） 2．曲線的對(duì)稱(chēng)軸之間距離的最小值為（ ） （A） （B） （C） （D） 3．設(shè)點(diǎn)為△ABC的邊上的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則△ABP與△APC的面積之比為（ ） (A) (B) (C) (D) 4．如果關(guān)于x的方程至少有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ） （A） ]（B） （C） （D） 5．設(shè)實(shí)數(shù)滿(mǎn)足條件，則的最大值為（ ） （A）23 （B）25 （C） （D）5 6．已知對(duì)于任意的，有，則（ ） （A）2008 （B）2009 (C) 2010 （D）2011 本題得分 評(píng)卷人 二、填空題（每小題5分，共30分） 7．已知均為質(zhì)數(shù),且滿(mǎn)足,則 ． 8．已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為13，14，15. 有4個(gè)半徑同為的圓、、、放在 △ABC內(nèi)，并且圓與邊、相切，圓與邊、相切，圓與邊、相切，圓與圓、、相切，則 . 9．若不等式對(duì)任意正整數(shù)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 10．函數(shù)在R是減函數(shù)，且不等式恒成立，則與的大小關(guān)系是 . 11．已知函數(shù)同時(shí)滿(mǎn)足以下三個(gè)條件： （1）存在反函數(shù)； （2）點(diǎn)在函數(shù)的圖象上； （3）函數(shù)的反函數(shù)為． 則的前項(xiàng)和= ． 12．若表示不超過(guò)的最大整數(shù)（如等），則 ＝____________________． 本題得分 評(píng)卷人 三、解答題 13．（本小題滿(mǎn)分20分） 在數(shù)列中，已知． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)且的前項(xiàng)和為，求證：． 14．（本小題滿(mǎn)分20分） 已知是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，求三元方程的所有解. 15．（本小題滿(mǎn)分20分） 有一個(gè)的長(zhǎng)方體盒子，另有一個(gè) 的長(zhǎng)方體盒子， 其中均為正整數(shù)()，并且前者的容積 是后者一半，求的最大值．