高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷文數(shù)文檔：第一部分 考點(diǎn)十二 數(shù)列綜合問題

考點(diǎn)十二數(shù)列綜合問題一、選擇題1若數(shù)列an滿足an1an(1)n·n，則數(shù)列an的前20項(xiàng)的和為()A100 B100 C110 D110答案A解析由an1an(1)n·n，得a2a11，a3a43，a5a65，a19a2019，an的前20項(xiàng)的和為a1a2a19a201319×10100.2(2019·遼寧葫蘆島二模)九連環(huán)是我國(guó)從古至今廣泛流傳的一種益智游戲，它用九個(gè)圓環(huán)相連成串，以解開為勝據(jù)明代楊慎丹鉛總錄記載：“兩環(huán)互相貫為一，得其關(guān)捩，解之為二，又合而為一”在某種玩法中，用an表示解下n(n9，nN*)個(gè)圓環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)，an滿足a11，且an則解下4個(gè)環(huán)所需的最少移動(dòng)次數(shù)為()A7 B10 C12 D22答案A解析依題意a42a312(2a22)122(2a11)217，故選A.3(2019·西藏拉薩中學(xué)第二次月考)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a11，an13Sn(n1)，則a6()A3×44 B3×441 C44 D441答案A解析由an13Sn得an3Sn1(n2)，兩式相減得an1an3(SnSn1)3an，則an14an(n2)，又a11，a23S13a13，ana2qn23×4n2(n2)，即a63×44，故選A.4等差數(shù)列an中，a1a2，a2a54，設(shè)bnan，x表示不超過x的最大整數(shù)，0.80，2.12，則數(shù)列bn的前8項(xiàng)和S8()A24 B20 C16 D12答案C解析由已知可得an1(n1)×nb1b2b31，b4b52，b6b7b83S816.5已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a12，an1an，若數(shù)列的前n項(xiàng)和為5，則n()A35 B36 C120 D121答案C解析用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和因?yàn)閍n1an，所以aa4，所以數(shù)列a是首項(xiàng)為4，公差為4的等差數(shù)列，所以a4n，因?yàn)閿?shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，所以an2，所以××()，所以Sn×()()()()×(1)5，解得n120，故選C.6(2019·安徽宣城第二次調(diào)研)已知正項(xiàng)等比數(shù)列an滿足a9a82a7，若存在兩項(xiàng)am，an，使得aman2a，則的最小值為()A2 B. C3 D3答案C解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q(q0)，a9a82a7，a7q2a7q2a7，q2q20，q2或q1(舍去)，存在兩項(xiàng)am，an使得aman2a，aqm1n12a，2mn22，mn21，mn3，×(mn)×93，當(dāng)且僅當(dāng)m1，n2時(shí)等號(hào)成立故選C.7(2019·浙江三校聯(lián)考二)已知數(shù)列an滿足a1a>0，an1atan(nN*)，若存在實(shí)數(shù)t，使an單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()A(0,1) B(1,2) C(2,3) D(3,4)答案A解析由an單調(diào)遞增，得an1atan>an，又a1a>0，則an>0，所以t>an1(nN*)n1時(shí)，t>a1.n2時(shí)，t>a2ta1，即(a1)t<(a1)(a1)若a1，式不成立，不符合題意；若a>1，式等價(jià)于ta1，與式矛盾，不符合題意排除B，C，D，故選A.8已知數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*)，且對(duì)任意nN*都有<t，則t的取值范圍為()A. B.C. D.答案D解析數(shù)列an滿足a1a2a3an2n2(nN*)，當(dāng)n1時(shí)，a12；當(dāng)n2時(shí)，a1a2a3an12(n1)2，可得an22n1，數(shù)列為等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為.<，對(duì)任意nN*都有<t，t的取值范圍為.二、填空題9(2019·河北唐山二模)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足a11，an·an23an1(nN*)，則a5·a2019_.答案27解析由an·an23an1知n2，an1·an13an，兩式相乘得an1·an29，又an2·an59，得an1an5，則數(shù)列周期為6，又a1a49，則a49，故a5·a2019a5·a6×3363a5·a33a427.10已知an(nN*)，設(shè)am為數(shù)列an的最大項(xiàng)，則m_.答案8解析因?yàn)楹瘮?shù)y在(，5)，(5，)上單調(diào)遞減，結(jié)合該函數(shù)圖象可得a8>a9>>1>a1>a2>>a7，即a8為數(shù)列an的最大項(xiàng)，故m8.11(2019·湖南株洲二模)已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a14,4Sna1a2an1(n1)，則an_.答案解析當(dāng)n2時(shí)，由4Sna1a2an1，得4Sn1a1a2an，4Sn4Sn1an1，即4anan1，4(n2)，又4S14a1a1a2，a14，a212，當(dāng)n2時(shí)，an12×4n23×4n1.又a14，不滿足上式，所以所求通項(xiàng)公式為an12(2019·山東聊城三模)我國(guó)古代的洛書中記載著世界上最古老的一個(gè)幻方：如圖，將1,2，9填入3×3的方格內(nèi)，使三行、三列和兩條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)字之和都等于15.一般地，將連續(xù)的正整數(shù)1,2,3，n2填入n×n個(gè)方格中，使得每行、每列和兩條對(duì)角線上的數(shù)字之和都相等，這個(gè)正方形叫做n階幻方記n階幻方的對(duì)角線上的數(shù)字之和為Nn，如圖三階幻方的N315，那么N9的值為_答案369解析根據(jù)題意可知，幻方對(duì)角線上的數(shù)成等差數(shù)列，N3×(123456789)15，N4×(12345678910111213141516)34，N5×(12345678910111213141516171819202122232425)65，Nn×(12345n2)×，故N99×41369.三、解答題13(2019·遼寧丹東質(zhì)量測(cè)試二)數(shù)列an中，a11，an1an2n1.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和解(1)因?yàn)閍n1an2n1，所以當(dāng)n2時(shí)，an(anan1)(an1an2)(a2a1)a113(2n1)n2.由于a11滿足ann2，所以所求an的通項(xiàng)公式為ann2.(2)因?yàn)閎n，所以數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tnb1b2bn.14(2019·山東煙臺(tái)適應(yīng)性練習(xí))已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2an2(nN*)，bn是等差數(shù)列，且a3b42b1，b6a4.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列(1)nb的前2n項(xiàng)和T2n.解(1)Sn2an2，當(dāng)n1時(shí)，得a12，當(dāng)n2時(shí)，Sn12an12，作差得an2an1(n2)，所以數(shù)列an是以2為首項(xiàng)，公比為2的等比數(shù)列，所以an2n.設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d，由a3b42b1，b6a4，所以83db1,165db1，所以d3，b11，所以bn3n2.(2)T2n(bb)(bb)(bb)3(b1b2)3(b3b4)3(b2n1b2n)3(b1b2b2n)，又因?yàn)閎n3n2，則T2n3×3n13×(2n)218n23n. 一、選擇題1已知數(shù)列bn滿足b11，b24，bn2bncos2，則該數(shù)列的前23項(xiàng)的和為()A4194 B4195 C2046 D2047答案A解析由題意，得當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn22bn，數(shù)列為以2為公比的等比數(shù)列，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn2bn1，數(shù)列為以1為公差的等差數(shù)列，S23(b1b3b23)(b2b4b22)11×4×1212144554194.2(2019·浙江金華十校模擬)等差數(shù)列an，等比數(shù)列bn，滿足a1b11，a5b3，則a9能取到的最小整數(shù)是()A1 B0 C2 D3答案B解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，由a1b11，a5b3，可得14dq2，則a918d12(q21)2q21>1，可得a9能取到的最小整數(shù)是0，故選B.3中國(guó)歷法推測(cè)遵循以測(cè)為輔、以算為主的原則，例如周髀算經(jīng)和易經(jīng)里對(duì)二十四節(jié)氣的晷(gu)影長(zhǎng)的記錄中，冬至和夏至的晷影長(zhǎng)是實(shí)測(cè)得到的，其他節(jié)氣的晷影長(zhǎng)則是按照等差數(shù)列的規(guī)律計(jì)算得出的，下表為周髀算經(jīng)對(duì)二十四節(jié)氣晷影長(zhǎng)的記錄，其中115.1寸表示115寸1分(1寸10分)已知易經(jīng)中記錄的冬至晷影長(zhǎng)為130.0寸，夏至晷影長(zhǎng)為14.8寸，那么易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)應(yīng)為()A72.4寸 B81.4寸 C82.0寸 D91.6寸答案C解析設(shè)晷影長(zhǎng)為等差數(shù)列an，公差為d，a1130.0，a1314.8，則130.012d14.8，解得d9.6，a6130.09.6×582.0，易經(jīng)中所記錄的驚蟄的晷影長(zhǎng)是82.0寸4已知數(shù)列an滿足an若對(duì)于任意的nN*都有an>an1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A. B. C. D.答案D解析對(duì)于任意的nN*都有an>an1，數(shù)列an單調(diào)遞減，即<a<1.又由題意知a9<a8，即×92<a87，解得a>，故<a<1.5已知數(shù)列an的首項(xiàng)a11，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足2an1Sn2(nN*)，則滿足<<的n的最大值為()A9 B8 C7 D6答案A解析由2an1Sn2得2(Sn1Sn)Sn2，即Sn1Sn1，Sn12(Sn2)，且S12a121，所以Sn2n1，Sn2n1，所以1n，即<n<，4n9，所以n的最大值為9，故選A.6(2019·陜西西安4月聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)，若等比數(shù)列an滿足a1a20191，則f(a1)f(a2)f(a3)f(a2019)()A2019 B. C2 D.答案A解析f(x)，f(x)f2.a1a20191，f(a1)f(a2019)2，an為等比數(shù)列，則a1a2019a2a2018a1009a1011a1.f(a2)f(a2018)f(a1009)f(a1011)2，f(a1010)1，即f(a1)f(a2)f(a3)f(a2019)2×100912019.7(2019·江西新八校聯(lián)考二)設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知(a20171)20192019a2017(a20171)20212000，(a20201)20192019a2020(a20201)20212038，則S4036()A2020 B2038 C4034 D4036答案D解析由(a20171)20192019a2017(a20171)20212000得(a20171)20192019(a20171)(a20171)202119，由(a20201)20192019a2020(a20201)20212038得(a20201)20192019(a20201)(a20201)202119，令f(x)x20192019xx2021，則式即為f(a20171)19，式即為f(a20201)19，又f(x)f(x)0，即f(x)是奇函數(shù)，則(a20171)(a20201)0，即a2017a20202，S40362018(a1a4036)2018(a2017a2020)4036.故選D.8(2019·廣東韶關(guān)模擬)已知數(shù)列an滿足a1a2a3ann2n(nN*)，設(shè)數(shù)列bn滿足bn，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn，若Tn<(nN*)恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B.C. D.答案D解析因?yàn)閍1a2a3ann2n，所以當(dāng)n2時(shí)，a1a2a3an1(n1)2(n1)，則an2n，故an2n2(a12滿足此式)，所以bn，則Tn，由于Tn<(nN*)恒成立，故<，整理得>，因?yàn)閥在nN*上單調(diào)遞減，故當(dāng)n1時(shí)，max，所以>，故選D.二、填空題9(2019·遼寧沈陽(yáng)質(zhì)量監(jiān)測(cè)三)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn2n1，則數(shù)列bna7an6的最小值為_答案6解析由Sn2n1，得a1S11，當(dāng)n2時(shí)，anSnSn12n12n112n1，a11適合上式，an2n1.則bna7an62，當(dāng)an4時(shí)，(bn)min26.10(2019·遼寧沈陽(yáng)東北育才學(xué)校第八次模擬)已知數(shù)列an中，a11，Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且對(duì)任意的r，tN*，都有2，則an_.答案2n1解析若rn，tn1，nN*，則，令Snn2k，Sn1(n1)2k，則a1S1k1，Snn2，Sn1(n1)2，an1Sn1Sn(n1)2n22n12(n1)1，an2n1，經(jīng)驗(yàn)證，n1時(shí)，滿足an2n1，所以an2n1.11已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列an為，若Sk14，則ak_.答案解析因?yàn)?，所以?shù)列，是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以該數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn1.令Tn14，解得n7，所以ak.12(2019·河北衡水四月大聯(lián)考)歷史上數(shù)列的發(fā)展折射出許多有價(jià)值的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)時(shí)代的進(jìn)步起了重要的作用，比如意大利數(shù)學(xué)家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：即1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233，.即F(1)F(2)1，F(xiàn)(n)F(n1)F(n2)(n3，nN*)，此數(shù)列在現(xiàn)代物理、準(zhǔn)晶體結(jié)構(gòu)及化學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，若此數(shù)列被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列bn，又記數(shù)列cn滿足c1b1，c2b2，cnbnbn1(n3，nN*)，則c1c2c3c2019的值為_答案3解析記“兔子數(shù)列”為an，則數(shù)列an每個(gè)數(shù)被4整除后的余數(shù)構(gòu)成一個(gè)新的數(shù)列bn為1,1,2,3,1,0,1,1,2,3,1,0，可得數(shù)列bn構(gòu)成一周期為6的數(shù)列，由題意得數(shù)列cn為1,1,1,1，2，1,1,0,1,1，2，1,1,0,1,1，2，1，觀察數(shù)列cn可知該數(shù)列從第三項(xiàng)開始后面所有的數(shù)列構(gòu)成一周期為6的數(shù)列，且每一周期的所有項(xiàng)的和為0，所以c1c2c3c2019(c1c2)(c3c2018)c20191113.三、解答題13(2019·河北石家莊二中二模)已知等比數(shù)列an滿足an<an1，a2a3a428，且a32是a2，a4的等差中項(xiàng)(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)若bnanlogan，Snb1b2bn，求Sn.解(1)設(shè)等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1，公比為q.依題意得2(a32)a2a4，代入a2a3a428，得a38.因此a2a420，即有解得或又an<an1，數(shù)列an單調(diào)遞增，則故an2n.(2)bn2nlog2nn·2n，Sn1×22×223×23n×2n，2Sn1×222×233×24(n1)×2nn×2n1，得Sn222232nn·2n1n·2n12n1n·2n12(1n)2n12.14(2019·河北廊坊期中聯(lián)合調(diào)研)已知數(shù)列an滿足a12a23a3nan2.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)bn，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和Tn.解(1)a12a23a3nan2，當(dāng)n1時(shí)，a12；當(dāng)n2，a12a23a3(n1)·an12，nan2，可得an，又當(dāng)n1時(shí)也成立，an.(2)bn，bn，Tn.