2018年中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 知識點38 相似、位似及其應(yīng)用

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1、 知識點38 相似、位似及其應(yīng)用 一、選擇題 1. （2018山東濱州，6，3分）在平面直角坐標(biāo)系中，線段AB兩個端點的坐標(biāo)分別為A（6，8）、B（10，2）．若以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)將線段AB縮短為原來的后得到線段CD，則點A的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為（ ） A．（5，1） B．（4，3） C．（3，4） D．（1，5） 【答案】C 【解析】根據(jù)題意：點C的坐標(biāo)為(6×，8×)，即C(3，4)， 【知識點】以原點為位似中心的兩個位似圖形的坐標(biāo)特征 2. （2018四川瀘州，10題，3分）如圖4，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別在邊AD，C

2、D上，AF，BE相交于點G，若AE=3ED，DF=CF，則的值是（ ） A. B. C. 　 D. 第10題圖 【答案】C 【解析】因為正方形中，AE=3ED，DF=CF，所以設(shè)邊長為4a，則AE=3a，ED=a，DF=CF=2a，延長BE、CD交于點M，易得△ABE∽△MDE，可得MD=，因為△ABG∽△MFG，AB=4a，MF=，所以 第10題解圖 【知識點】相似三角形 3. （2018四川內(nèi)江，8，3）已知△ABC與△A1B1C1相似，且相似比為1：3，則△ABC與△A1B1C1的面積比為（ ）

3、 A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：9 【答案】D 【解題過程】解：∵△ABC∽△A1B1C1相似，∴＝()2＝．故選擇D． 【知識點】相似三角形的性質(zhì) 4. （2018山東濰坊，8，3分）在平面直角坐標(biāo)系中，點P（m，n）是線段AB上一點，以原點O為位似中心把△AOB放大到原來的兩倍，則點P的對應(yīng)點的坐標(biāo)為（ ） A．（2m，2n） B．（2m，2n）或（－2m，－2n） C．（，） D．（，）或（，） 【答案】B 【解析】當(dāng)放大后的△A′OB′

4、與△AOB在原點O同側(cè)時，點P對應(yīng)點坐標(biāo)為（2m，2n），當(dāng)放大后的△A′OB′與△AOB在原點O兩側(cè)時，點P對應(yīng)點坐標(biāo)為（－2m，－2n），故選擇B. 【知識點】圖形的位似 5. （2018四川省達(dá)州市，9，3分）如圖，E、F是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點，AE＝CF＝AC，連接DE、DF并延長，分別交AB、BC于點G、H，連接GH，則的值為（ ）． A． B． C． D．1 第9題圖 【答案】C． 【解析】如圖，過點H作HM∥AB交AD于M，連接MG． 設(shè)S平行四邊形ABCD＝1．∵AE＝CF＝AC， ∴S△ADE＝S△ADC＝S

5、平行四邊形ABCD＝，S△DEC＝． ∴S△AEG＝S△DEC＝． ∴S△ADG＝S△ADE＋S△AEG＝＋＝． ∵＝，∴S△AMG＝S△ADG＝． ∵＝，∴S△GBH＝2 S△AMG＝． ∴＝＝． 故選C. 【知識點】相似三角形的性質(zhì)；同底等高面積相等 6.（2018四川省南充市，第10題，3分）如圖，正方形的邊長為2，為的中點，連結(jié)，過點作于點，延長交于點，過點作于點，交于點，連接.下列結(jié)論正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【思路分析】1.利用平行四邊

6、形的判定和性質(zhì)，求得AH的值，再利用平行線分線段成比例，得到BG=EG，利用垂直平分線的性質(zhì)，可得CE=BC；2.根據(jù)角之間的關(guān)系，推出AE=EF，設(shè)AB=EF=x，進(jìn)而利用勾股定理求出EF的長度；3.利用∠7=∠1，易得cos∠CEP=cos∠1，在Rt△BDP中，求得cos∠CEP；4.在Rt△FAH中，利用勾股定理求出HF2，在Rt△CDF中，求得CF的長度，即可得證. 【解題過程】解：由BE⊥AP，BE⊥CH，可證AP∥CH，又∵CP∥AH，∴四邊形CPAH是平行四邊形，∴AH=CP=CD=1，∴BH=1，又∵BH=AH，GH∥AP，∴BG=EG，∴BC=CE=2，故A錯誤；∵CH∥

7、AP，∴∠2=∠4，∵∠2+∠1=90°，∠4+∠5=90°，∴∠1=∠5，由BC=CE，BG⊥CG，可知∠5=∠6，又∵CH∥AP，∴∠6=∠7=∠8，∴∠1=∠8，∴AF=EF，設(shè)AF=EF=x，則由勾股定理，可知CD2+DF2=CF2，即22+(2－x)2=(2+x)2，解得：x=，即EF=AF=，故B錯誤；在Rt△ADP中，AP==,由∠7=∠1，可得：cos∠CEP=cos∠1===，故C錯誤；在Rt△FAH中，AH=1，AF=，∴HF2=AH2+AF2=1+=，在Rt△CDF中，CD=2，DF=，∴CF===，∴CF?EF=×==HF2.故D選項正確.故選D. 【知識點】平行

8、線的性質(zhì)和判定；平行四邊形的判定；平行線分線段成比例；勾股定理；三角函數(shù) 7. （2018浙江紹興，7，3分）學(xué)校門口的欄桿如圖所示，欄桿從水平位置繞點旋轉(zhuǎn)到位置，已知，，垂足分別為，，，，，則欄桿端應(yīng)下降的垂直距離為（ ） （第7題圖） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由題意可知△ABO∽△CDO，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，，，，，，故選C。 【知識點】相似三角形的性質(zhì) 8. （2018江蘇泰州，6，3分）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，軸，垂足為，點從原點出發(fā)向軸正方向運動，同時，點

9、從點出發(fā)向點運動，當(dāng)點到達(dá)點時，點、同時停止運動，若點與點的速度之比為，則下列說法正確的是( ) A.線段始終經(jīng)過點 B.線段始終經(jīng)過點 C.線段始終經(jīng)過點 D.線段不可能始終經(jīng)過某一定點 【答案】A 【解析】連接AO交PQ于點C，過點C作CD⊥AB于點D，∵AB⊥y軸，∴AB∥x軸，∴∠A=∠COP，∠AQC=∠OPC，∴△AQC∽△OPC，∴，∴，同上得，，∵點A的坐標(biāo)為（9，6），∴點C的坐標(biāo)為（3，2）. 故選A. 【知識點】雙動點，相似，定點 9.（2018山東臨沂，6，3分）如圖，利用標(biāo)桿測量建筑物的高度．已知標(biāo)桿BE高1.2m，測得AB＝1.6m

10、，BC＝12.4m．則建筑物CD的高是( ) 第6題圖 A．9.3m B．10.5m C.12.4m D．14m 【答案】B 【解析】由題意知BE∥CD，∴△ABE∽△ACD，∴，即，解得CD=10.5（m），故選B. 【知識點】相似三角形的判定和性質(zhì) 解直角三角形 10. （2018山東威海，11，3分）矩形ABCD與CEFG如圖放置，點B，C，E共線，點C，D，G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH，若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，則GH＝( ) A． B． C

11、． D． 【答案】C 【思路分析】若要求GH的長，應(yīng)先將其轉(zhuǎn)化到三角形中，過點H作HM垂直于CG于點M，在Rt△GHM中，只要求出GM、HM，即可解決問題． 【解題過程】過點H作HM垂直于CG于點M，設(shè)AF交CG于點O． 根據(jù)題意可知△GOF∽△DOA，∴，所以O(shè)F＝OA＝AF，即AF＝3OF，因為點H是AF的中點，所以O(shè)H＝AF－AF＝AF，即AF＝6OH，所以O(shè)H＝OF．根據(jù)已知條件可知△HOM∽△GOF，可以推出HM＝；同理，通過△HOM∽△AOD，可以推出DM＝DG，即GM＝DG＝，在Rt△GHM中，GH＝。故選C． 【知識點】三角形相似的性質(zhì)與判定、勾股定理

12、 11. （2018四川省德陽市，題號12，分值：3）如圖，四邊形AOEF是平行四邊形，點B為OE的中點，延長FO至點C，使FO=3OC，連接AB，AC，BC，則在△ABC中，S△ABO:S△AOC:S△BOC（ ） A.6:2:1 B.3:2:1 C.6:3:2 D.4:3:2 【答案】B. 【解析】∵四邊形AOEF是平行四邊形， ∴AF∥EO， ∴∠AFM=∠BOM，∠FAM=∠MBO， ∴△AFM△BOM， ∴. 設(shè)S△BOM=S，則S△AOM=2S. ∵FO=3OC，OM=FM， ∴OM=OC， ∴S△AOC=S△AOM=2S，S△

13、BOC=S△BOM=S， ∴S△ABO:S△AOC:S△BOC=3:2:1. 【知識點】相似三角形的性質(zhì)和判定，平行四邊形的性質(zhì) 12. （2018四川省宜賓市，6，3分）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A'B'C' 的位置，已知△ABC的面積為9，陰影部分三角形的面積為4.若AA'=1,則A'D等于（ ） A. 2 B.3 C. D. 【答案】A 【解析】如圖， ∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD為BC邊的中線， ∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=， ∵將△ABC

14、沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'， ∴A′E∥AB， ∴△DA′E∽△DAB，∴（）2=，即（）2=， 解得A′D=2或A′D=（舍去），故選：A． 【知識點】平移的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)；三角形中線的性質(zhì) 1. （2018湖北鄂州，10，3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線分別與x軸、y軸交于點P、Q，在Rt△OPQ中從左向右依次作正方形A1B1C1C2、A2B2C2C3、A3B3C3C4…AnBnCnCn+1，點A1、A2、A3…An在x軸上，點B1在y軸上，點C1、C2、C3…Cn+1在直線PQ上，再將每個正方形分割成四個全等的直角三角形和一個小正方形，其中每個

15、小正方形的邊都與坐標(biāo)軸平行，從左到右的小正方形（陰影部分）的面積分別記為S1、S2、S3…Sn，則Sn可表示為（ ） A． B． C． D． 【答案】A． 【思路分析】首先由一次函數(shù)關(guān)系式求得點P和點Q的坐標(biāo)，用勾股定理求得PQ的長度，利用等面積法求得ON的長度，然后由△O A1B1∽△OPQ求得正方形A1B1C1C2的邊長a1的值，從而得出S1＝10；在利用勾股定理和△O A1B1∽△OPQ，得出正方形A2B2C2C3的邊長a2＝a1，以此類推，得到Sn＝10×Sn-1＝10××＝． 【解析】 如下圖（1），當(dāng)x＝0時，y＝，故點Q的坐標(biāo)

16、為（0，），OQ＝；當(dāng)y＝0時，，解得x＝13，故點P的坐標(biāo)為（13，0），OP＝13，在Rt△OPQ中，則PQ＝，過點O作ON⊥PQ于點N，交A1B1于點M，則S△OPQ＝OP·OQ＝ON·PQ，則ON＝，設(shè)正方形A1B1C1C2的邊長為a1，∵四邊形A1B1C1C2是正方形，∴A1B1∥PQ，則△O A1B1∽△OPQ，∴，即，解得a1＝，則S1＝＝10，∵△OA1B1∽△OPQ，∴，令OB1＝m，則OA1＝3m，則在Rt△OPQ中，，解得m＝1，故OB1＝m＝1，OA1＝3m＝3，則S1＝＝10，設(shè)正方形A2B2C2C3的邊長為a2，則A1C2＝A2B2＝a2，∵四邊形A2B2C2C3是

17、正方形，∴∠A1B2A2＝∠A1OB1＝90°，∴∠OB1 A1＋∠OA1B1＝90°，∠OA1B1＋∠B2A1A2＝90°，∴∠OB1 A1＝∠B2A1A2，又∵∠A1OB1＝∠A1 B2A2＝90°，∴△O A1B1∽△A1A2B2，∴，∴＝3，∴＝＝a2，又∵A1B2＋B2C2＝A1C2，∴a2＋a2＝a1，解得a2＝a1，S2＝10×，同理可得an＝an-1，Sn＝10×Sn-1＝10××＝，故選A． 【知識點】一次函數(shù)性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；等面積法；相似三角形的性質(zhì)和判定；勾股定理；找規(guī)律 2. （2018四川遂寧，10，4分）已知如圖，在正方形ABCD中，AD=4，E，F(xiàn)

18、分 別是CD，BC上的一點，且∠EAF=45°，EC=1，將△ADE繞點A沿順時針方向 旋轉(zhuǎn)90°后與△ABG重合，連接EF，過點B作BM∥AG，交AF于點M，則以 下結(jié)論：①DE+BF=EF，②BF=，③AF=，④S△MBF=中正確的是 A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④ 【答案】D. 【解析】解：∵∠ABC=90°， ∴∠ABG=90°， 在△ADE和△ABG中， ， ∴△ADE≌△ABG（SAS）， ∴AE=AG，∠DAE=∠BAG， ∵∠BAD=90°，∠EAF=45°， ∴∠BAF+∠DAE=45°， ∴BAF+∠BA

19、G=45°， 即∠GAF=45°， ∴∠EAF=∠GAF， 在△AEF和△AGF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF=GF， ∵GF=BG+BF=DE+BF， ∴EF=DE+BF． 故①正確； 設(shè)BF=x，則FC=4-x，GF=EF=3+x， 在Rt△EFC中， ∵FC2+EC2=EF2， ∴(4-x)2+12=(3+x)2，解得x=， 故②正確； 在Rt△ABF中， ∵AB2+BF2=AF2， ∴AF2=42+()2=， ∴AF=， 故③錯誤； S△AGF=GF·AB=. ∵BM∥AG， ∴△BFM∽△GFA， ∵, ∴S△MBF

20、=×S△AGF=. 故④正確. 故選D. 【知識點】全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定與性質(zhì) 3. （2018·重慶A卷，5，4）要制作兩個形狀相同的三角形框架，其中一個三角形的三邊長分別為5cm，6cm 和9cm，另一個三角形的最短邊長為2.5cm，則它的最長邊為 （ ） A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【答案】 C． 【解析】設(shè)中另一個三角形的最長邊為xc

21、m，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得，解得x＝4.5，故選C． 【知識點】相似三角形的性質(zhì) 4. （2018貴州遵義，10題，3分）如圖，點P是矩形ABCD的對角線AC上一點，過點P作EF∥BC，分別交AB、CD于E、F，連接PB、PD，若AE=2，PF=8，則圖中陰影部分的面積為 A.10 B.12 C.16 D.18 第10題圖 【答案】C 【解析】矩形ABCD中，AB∥CD，所以∠EAP=∠FCP，因為∠APE=∠FCP，所以△APE∽△FCP，所以，因為EF∥BC，所以EB=FC，所以EB·EP=AE·FP=16，所以，因為DF=AE=2，，所以 【

22、知識點】矩形，相似三角形，三角形面積 5. （2018湖北荊門，6，3分） 如圖，四邊形為平行四邊形，、為邊的兩個三等分點，連接、交于點，則（ ） A． B． C. D． 【答案】 C. 【解析】解：∵E、F為CD邊的兩個三等分點， ∴EF=CD. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴CD=AB，CD∥AB， ∴EF=AB，△EFG∽△BAG， ∴=. 故選C. 【知識點】平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì) 6.（2018湖南省永州市，8，4）如圖，在△ABC中，點D是邊AB上的一點，∠ADC=∠A

23、CB，AD=2，BD=6，則邊AC的長為 （ ） ] A．2 B．4 C.6 D．8 【答案】B 【解析】∵∠A=∠A，∠ADC=∠ACB，∴△ADC∽△ACB，∴AC：AB=AD：AC，∴AC2=AD?AB=2×8=16，∵AC＞0，∴AC=4. 因此，本題選B． 【知識點】相似三角形的條件 相似三角形的性質(zhì) 7. （2018四川攀枝花，9，3）如圖3，點A的坐標(biāo)為(0,1)，點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作Rt△ABC，使∠BAC=90°，∠ACB=30°，設(shè)點B的橫坐標(biāo)

24、為x，點C的縱坐標(biāo)為y，能表示y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是( ) 【答案】C 【思路分析】可根據(jù)題意求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，再由關(guān)系式判斷函數(shù)的大致圖像。 【解析】如圖，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，易證△AOB∽△CDA，所以，由∠BAC=90°，∠ACB=30°，得，所以，，整理得：（），結(jié)合自變量的取值范圍，可知y與x的函數(shù)關(guān)系的圖像大致應(yīng)該選C. 【知識點】平面直角坐標(biāo)系，相似三角形，一次函數(shù)的圖像 8. （2018四川自貢，6，4分）如圖，在⊿中，點 分別是的中點，若⊿ 的面積為4，則是⊿的面積為（ ） A. 8 B

25、. 12 C. 14 D. 16 【答案】D 【解析】∵點D、E分別是AB、AC的中點，∴，又∵∠DAE＝∠BAC，∴△ADE∽△ABC，且相似比為1:2，∴面積比為1:4，∵△ADE的面積為4，∴△ABC的面積為16，故選擇D. 【知識點】相似三角形的性質(zhì)與判定 9.（2018湖北省孝感市，10，3分）如圖，是等邊三角形，是等腰直角三角形，，于點，連分別交，于點，，過點作交于點，則下列結(jié)論： ①；②；③；④；⑤. A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【解析】

26、由△ABC是等邊三角形可知:∠ABC=∠ACB=∠BAC=60°，AB=BC=AC．由△ABD是等腰直角三角形且AE⊥BD可知：∠ADB=∠ABD=45°，∠BAD=90°，AB= AD．∴AC= AD，∠DAC=∠BAD+∠BAC=90°+60°=150°，所以∠ADC=∠ACD=（180°-∠DAC）=×（180°-150°）=15°，所以①說法正確.∵∠EDF=∠ADB-∠ADC=45°-15°=30°，∴∠DFE=90°-∠EDF=90°-30°=60°=∠AFG．∵∠AGD=90°-∠ADG=90°-15°=75°，∠AFG≠∠AGD，∴AF≠AG，所以②說法錯誤. ∵，AC= AD

27、，∴∠DAH=∠CAH= ∠DAC=×150°=75°.∴∠BAH=∠CAH-∠BAC=75°-60°=15°=∠ADF．又∵∠DAF=90°-∠ADE=90°-45°=45°=∠ABH．在△BAH和△ADF中，∴AH=DF. ∴③說法正確. 在△AFG和△CBG中，∴④說法正確. ∵∠EAH=∠BAD-∠DAE-∠BAH=90°-45°-15=30°，∠FDE=∠ADE-∠ADC=45°-10°=30°，∴∠EAH=∠FDE. 在△AEH和△DEF中，∴EH=EF．∵在Rt△AEH中，AH=2EH,∴AE=∴AE=∴AF=AE-EF=-EF=. ∴⑤說法正確.故選B. 【知識點】等邊

28、三角形的性質(zhì)；等腰直角三角形的性質(zhì)；三角形的內(nèi)角和定理；三角形外角的性質(zhì)；相似三角形的判定定理及性質(zhì)；全等三角形的判定定理及性質(zhì)；勾股定理.． 10. （2018浙江省臺州市，8，3分） 如圖，在中，，.以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，交于點，交于點，再分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點，射線交的延長線于點，則的長是（ ） A． B．1 C． D． 【答案】B 【思路分析】根據(jù)作圖可知CE是∠BCD的角平分線，然后利用平行四邊形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)即可求出AE的長. 【解

29、題過程】如圖所示， 根據(jù)作圖過程可知CE是∠BCD的角平分線，∴∠FCB=∠FCD，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，且DC=AB=2，∴∠DFC=∠FCB，∴∠FCD=∠DFC，∴DF=DC=2，∴AF=AD-DC=3-2=1，∵AF∥BC，∴ΔEAF∽ΔEBC，∴，即，解得AE=1 【知識點】角平分線的尺規(guī)作圖；平行四邊形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)； 11. （2018廣西玉林，6題，3分）兩三角形的相似比是2:3，則其面積比是 A. B.2:3 C.4:9 D.8:27 【答案】C 【解析】相似三角形的面積比等于相似比的平方，因為相似比

30、是2:3，所以面積比為4:9，故選C 【知識點】相似性質(zhì) 12. （2018廣西玉林，9題，3分）如圖，∠AOB=60°，OA=OB，動點C從點O出發(fā)，沿射線OB方向移動，以AC為邊在右側(cè)作等邊△ACD，連接BD，則BD所在直線與OA所在直線的位置關(guān)系是 A.平行 B.相交 C.垂直 D.平行、相交或垂直 第9題圖 【答案】A 【解析】設(shè)AB與CD相交于點M，因為∠AOB=60°，OA=OB，所以△AOB為等邊三角形，因為△ACD為等邊三角形，所以∠ADM=∠CBM=60°，因為∠AMD=∠CMB，所以△AMD∽△CMB，所以，所以，因為∠AMC=∠DMB

31、，所以△AMC∽△DMB，所以∠DBA=∠ACD=60°，所以∠DBA=∠BAO，BD∥OA，故選A 【知識點】等邊三角形，相似三角形，平行線 13. （2018山東省泰安市，18，3）《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作，在“勾股”章中有這樣一個問題：“今有邑方二百步，各中開門，出東門十五步有木，問：出南門幾步而見木？” 用今天的話說，大意是：如圖，是一座邊長為200步（“步”是古代的長度單位）的正方形小城，東門位于的中點，南門位于的中點，出東門15步的處有一樹木，求出南門多少步恰好看到位于處的樹木（即點在直線上）？請你計算的長為 步． 【答案】

32、

33、 【思路分析】本題主要是考查學(xué)生建模思想，圖中是兩三角形相似中的基本圖形，運用相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求的長． 【解題過程】解：∵是正方形，∴DG∥KC， ∴ △AHD∽△AOC， ∴ 即 解得： 故答案是： 【知識點】相似三角形判定及性質(zhì) 二、填空題 1. （2018四川內(nèi)江，25，6） 如圖，直線y＝－x＋1與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，

34、將線段OA分成n等份，分點分別為，，，…，，過每個分點作x軸的垂線分別交直線AB于點，，，…，，用，，，…，，分別表示Rt△O，Rt△，…，Rt△的面積，則＋＋＋…＋＝ ． 【答案】 【思路分析】由，，，…，為線段OA的n等分點，且每個分點作x軸的垂線分別交直線AB于點， ，，…，，可以得到若干個“A”字型的相似三角形，利用這些相似可以依次將上述直角三角形中的平行于y軸的直角邊表示出來，由于這些直角三角形的一條直角邊都是，所以提出將其整理就可以得到答案． 【解題過程】解：∵∥y軸，∴△A∽△ABO，∴＝，∵直線y＝－x＋1與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點，∴OA＝O

35、B＝1，∴＝，∵O＝，∴＝××，同理＝××，…，＝××，∴＋＋＋…＋＝××（＋＋＋…＋）＝××（n－1＋n－2＋n－3＋…＋1）＝××＝． 【知識點】一次函數(shù)；相似三角形； 2. （2018四川綿陽，18，3分）如圖，在△ABC中，AC=3，BC=4，若AC，BC邊上的中線BE，AD垂直相交于O點，則AB= 【答案】. 【解析】解：連接DE，如圖所示. ∵AD，BE分別是BC，AC邊上的中線， ∴DE∥AB，且DE=AB， ∴. 設(shè)OD=a，OE=b，則OA=2a，OB=2b， ∵AC=3，BC=4， ∴BD=2，AE=1.5. ∵AD⊥BE，

36、 ∴在Rt△BOD中，OB2+OD2=BD2，即4b2+a2=4， 在Rt△AOE中，OE2+OA2=AE2，即4a2+b2=2.25， ∴5a2+5b2=6.25，即a2+b2=1.25. ∵在Rt△AOB中，AB2=OB2+OA2=4a2+4b2=5， ∴AB=. 故答案為. 【知識點】平行線分線段成比例定理，中位線的性質(zhì)，勾股定理 3. （2018安徽省，14，5分）矩形ABCD中,AB=6,BC=8.點P在矩形ABCD的內(nèi)部，點E在邊BC上,滿足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形,則PE的長為______。 【答案】3或 【解析】由題意知，點P在線段BD

37、上，（1）如圖所示，若PD=PA, 則點P在AD的垂直平分線上，則點P為BD中點，故PE= (2)如圖所示，若DA=DP，則DP=8，在Rt△BCD中， ∴BP=BD-DP=2，∵△PBE∽△DBC，∴∴PE= 綜上所述，PE的長為3或. 【知識點】相似三角形的性質(zhì)，利用勾股定理求線段的長 4. （2018湖南岳陽，15，4分）《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，書中有下列問題：“今有勾五步，股十二步，問勾中容方幾何？”其意思為：“今有直角三角形，勾（短直角邊）長為5步，股（長直角邊）長為12步，問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步？”該問題的答案是 步．

38、 【答案】. 【解析】解：如圖. 設(shè)該直角三角形能容納的正方形邊長為x，則AD=12-x，F(xiàn)C=5-x 根據(jù)題意易得△ADE∽△EFC， ∴， ∴，解得：x=. 故答案為. 【知識點】相似三角形的性質(zhì) 5. （2018江蘇連云港，第11題，3分）如圖，△ABC中，點D，E分別在AB、AC上，DE∥BC，AD:DB=1:2，則△ADE與△ABC的面積的比為__________. 【答案】1:9 【解析】解：∵DE∥BC，∴，△ADE∽△ABC，∴，故答案為：1:9. 【知識點】相似三角形的性質(zhì)與判定 6.（2018江蘇連云港，第16題，3分）如圖，E、

39、F、G、H分別為矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA的中點，連接AC、HE、EC、GA、GF，已知AG⊥GF，AC=，則AB的長為__________. 【答案】2 【思路分析】根據(jù)相似三角形的判定，可得△GCF∽△ADG，進(jìn)而可得2GC2=AD2 ①，再根據(jù)勾股定理，可得∴AD2+DC2=6②，將①代入②，可得GC的長度，進(jìn)而求得AB的長. 【解題過程】解：在矩形ABCD中，點E、F、G、F分別是AB、BC、CD、DA的中點，∴CF=BC =AD，∠D－90°，∠DCB=90°，∴∠1+∠3=90°，∵AG⊥GF，∴∠1+∠2=90°，∴∠2=∠3，∴△GCF∽△ADG，∴，即，

40、解得：2GC2=AD2 ①，∵AC=，∴AD2+DC2=6②，將①代入②，得：2GC2+(2GC)2=6，解得：GC=1，∴AB=DC=2，故答案為：2. 【知識點】矩形的性質(zhì)；相似三角形的性質(zhì)和判定；勾股定理 7. （2018四川省成都市，13，4）已知＝＝，且a＋b－2c＝6．則a的值為 ． 【答案】12 【解析】解：設(shè)＝＝＝k，則a＝6k，b＝5k，c＝4k，∵a＋b－2c＝6，∴6k＋5k－8k＝6，3k＝6，解得k＝2，∴a＝6k＝12． 【知識點】比例；一元一次方程 8. （2018四川省南充市，第15題，3分）如圖，在中，DE∥BC，BF平分

41、∠ABC，交的延長線于點，若AD=1，BD=2，BC=4，則EF= ． 【答案】 【解析】解：∵DE∥BC, AD=1，BD=2，BC=4，∴即，解得：DE=，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF=∠FBC，又∵DE∥BC，∴∠FBC=∠F，∴∠ABF=∠F，∴BD=DF=2，∵DF=DE+EF，∴EF=.故答案為：. 【知識點】平行線分線段成比例；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定 9.（2018江蘇省鹽城市，16，3分）如圖，在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，P、Q分別為邊AC、AB上的兩個動點，若要使△APQ是等腰三角形且△BPQ是直角三角形，則

42、AQ＝___________． 【答案】或 【解析】在直角△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴A B＝＝10． 當(dāng)QP⊥AB時，QP∥AC．∴＝．設(shè)QP＝AQ＝x，則QB＝10－x．∴＝．∴AQ＝x＝； 當(dāng)PQ⊥AB時，△APQ是等腰直角三角形．∵△ABC∽△PBQ, ∴＝,∴＝．∴AQ＝x＝． 【知識點】勾股定理；平行線分線段成比例定理；分類討論 10. （2018四川省宜賓市，16，3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=3,CB=2,點E為線段AB上的動點，將△CBE沿CE折疊，使點B落在矩形內(nèi)點F處，下列結(jié)論正確的是 （寫出所有正

43、確結(jié)論的序號） ①當(dāng)E為線段AB中點時，AF∥CE； ②當(dāng)E為線段AB中點時，AF=； ③當(dāng)A、F、C三點共線時，AE= ； ④當(dāng)A、F、C三點共線時，△CEF≌△AEF. 【答案】①②③ 【思路分析】①中可以結(jié)合折疊的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)得到；②中可以根據(jù)AA證明三角形相似，得到對應(yīng)邊成比例，從而求出AF的長；③中可以設(shè)BE=x，根據(jù)直角收納僥幸AEF中三邊滿足勾股定理求出；④中可以根據(jù)③中線段的長度大小判斷三角形是否全等. 【解題過程】由折疊的性質(zhì)可知CF=CB，∠CFE=90°，∠CEB=∠CEF,∵E為BC中點，∴BE=EF=AE=，∴∠FAE=∠AFE，∵∠

44、FEB=∠FAE+∠AFE，∴∠CEB=∠CEF=∠FAE=∠AFE,∴AF∥CE，故①正確；∵BE=,BC=2，∴CE=,過點E作EM⊥AF垂足為M，∵∠AFE=∠FEC,EM⊥AF，∠CFE=90°，∴△MFE∽△FEC，∴，即,∴MF=,∴AF=；故②正確；∵A、F、C三點共線，∴∠AFE=90°，AC=，設(shè)BE=x,則EF=x,AE=3-x,AF=，在RT△AFE中，，解得x=,∴AE=3-x=，故③正確；∵AF=，CF=2，∴AF≠CF，∴④錯誤. 【知識點】三角形相似；等腰三角形的性質(zhì)；勾股定理；矩形的性質(zhì)；折疊的性質(zhì) 11. （2018浙江杭州，16，4分）折疊矩形紙片A

45、BCD時，發(fā)現(xiàn)可以進(jìn)行如下操作：①把△ADE翻折，點A落在DC邊上的點F處，折痕為DE，點E在AB邊上；②把紙片展開并鋪平；③把△CDG翻折，點C落在直線AE上的點H處，折痕為DG，點G在BC邊上，若AB=AD+2，EH=1，則AD=___________. 【答案】 【思路分析】由①得四邊形AEFD是正方形，將由③得K型相似，然后結(jié)合勾股定理列方程求解，但要注意對點H是落在線段AE上還是BE上分類討論。 【解題過程】設(shè)AD=x由題意：四邊形AEFD為正方形則AD=AE,由翻折：△DHG≌△DCG，HG=GC （1） 當(dāng)H落在線段AE上時 （2） 當(dāng)H落在線段BE上時 【知識點】正

46、方形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似，勾股定理 1. （2018湖南益陽，16，4分）如圖，在△ABC中，AB=AC，D，E，F(xiàn)分別為AB，BC，AC的中點，則下列結(jié)論：①△ADF≌△FEC，②四邊形ADEF為菱形，③S△ADF︰S△ABC=1︰4．其中正確的結(jié)論是 ．（填寫所有正確結(jié)論的序號） 【答案】①②③ 【思路分析】①利用ASA即可證明；②利用中位線得到平行及相等的關(guān)系，利用一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形進(jìn)行證明；③利用相似三角形面積比等于相似比的平方進(jìn)行解答． 【解析】解：∵DF∥BC，∴∠ADF=∠C，同理∠CFE=∠A ∵F為AC中點，∴AF=FC ∴△ADF

47、≌△FEC，①正確； ∵D、E分別是AB、BC邊上的中點， ∴DE∥AC且DE=AC， 同理EF∥AB，EF=AB， ∴四邊形ADEF是平行四邊形． 又∵AB=AC， ∴EF=DE， ∴四邊形ADEF是菱形．②正確； ∵∠ADF=∠C，∠A=∠A ∴△ADF∽△ABC ∴ ∴③正確；故答案為①②③． 【知識點】全等三角形的判定，菱形的判定，中位線，相似三角形的判定和性質(zhì) 2. (2018山東菏澤，13，3分)如圖，與是以點為位似中心的位似圖形，相似比為，，，若點的坐標(biāo)是，則點的坐標(biāo)是 ． 【答案】(2，) 【解析】如圖，作AE⊥x軸于E，

48、∵，，∴∠ABO=∠OAE=30°．∵點的坐標(biāo)是，∴AO=OB=3，∴OE=OA=，∴AE===，∴A(，)．∵與是以點為位似中心的位似圖形，相似比為，∴點C的坐標(biāo)為(×，×)，即(2，)． 【知識點】位似；勾股定理；含30°角的直角三角形的性質(zhì)； 3. （2018廣東廣州，16，3分）如圖，CE是平行四邊形ABCD的邊AB的垂直平分線，垂足為點O，CE與DA的延長線交于點E，連接AC，BE，DO，DO與AC交于點F，則下列結(jié)論： ①四邊形ACBE是菱形； ②∠ACD＝∠BAE； ③AF∶BE＝2∶3； ④S四邊形AFOE∶S△COD＝2∶3． 其中正確

49、的結(jié)論有_______（填寫所有正確結(jié)論的序號）． 【答案】①②④ 【思路分析】由AE∥BC和點O是AB的中點，可得四邊形ACBE是平行四邊形，進(jìn)而得菱形，從而①正確；由AB∥DC和AB平分∠EAC（或菱形ACBE）可得∠ADC＝∠ACD，從而②正確；由AB∥DC，可得△AOF∽△CDF，從而＝ ＝；從而③錯誤；設(shè)△AFO的面積為S，將四邊形AFOE和△COD的面積用S來表示即可判斷④正確． 【解析】由已知“CE是AB的垂直平分線”可得AC＝CB，所以∠CAB＝∠CBA，由□ABCD可得AB∥CD，AD∥BC，所以∠CAB＝∠ACD，∠BAE＝∠CBA，∴∠CAB＝∠ACD=∠BAE

50、，②正確．由∠CAB＝∠BAE，AO＝AO，∠AOC＝∠AOE可得△AOC≌AOE，從而AE＝AC＝BC，又AE∥CB，所以四邊形ACBE是平行四邊形，又AC＝BC，□ACBE是菱形，①正確．由AO∥CD，可得，∴，③錯誤．設(shè)S△AFO＝S，由，可得S△CFO＝2S，再根據(jù)△AFO∽△CFD可得S△DFC＝4S，所以S△COD＝6S，S△COA＝3S＝S△AOE，所以S四邊形AFOE＝4S，所以S四邊形AFOE∶S△COD＝4S∶6S＝2∶3，④正確． 【知識點】平行線的性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)與判定；菱形的判定；相似三角形的判定與性質(zhì) 4. （2018貴州遵義，1

51、8題，4分）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，將菱形折疊，使點A恰好落在對角線BD上的點G處（不與B、D重合），折痕為EF，若DG=2，BG=6，則BE的長為________ 第18題圖 【答案】2.8 【解析】菱形ABCD中，∠ABC=120°，BD為對角線，所以∠G=∠A=60°，∠FDG=∠GBE=60°，△ABD是等邊三角形，因為DG=2，BG=6，所以BD=8，所以AD=DB=8，∠GFD+∠FGD=120°，∠FGD+∠EGB=120°，所以∠DFG=∠BGE，所以△FGD∽△GEB，所以，設(shè)BE=x，即，F(xiàn)D=，則FG=8-，得，解得x=2.8 【知識點】一

52、線三等角，相似三角形，分式方程 5. （2018廣東省深圳市，16，3分）在中，∠C＝90°，AD平分∠CAB, BE平分∠ABC, AD、BE相交于點F，且,則 ． 【答案】． 【思路分析】過點E作BP⊥DG于點G，連接CF，先根據(jù)A D平分∠CAB, BE平分∠ABC, ∠C＝90°，求出∠AFE的度數(shù)，在利用特殊角的三角函數(shù)值求出EF和AG的長；然后由“A D平分∠CAB, BE平分∠ABC, AD、BE相交于點F，”，利用三角形三邊的角平分線相交于一點可知，CF平分∠CAB,再證明△AEF∽△AFC即可求出AC的長． 【解析】解：∵ AD平分∠CAB

53、, BE平分∠ABC, ∠C＝90°， ∴∠AFB＝90°＋∠C＝135°，∴∠AFE＝180°－135°＝45°，過點E作BP⊥DG于點G，連接CF，∵，∴EG＝EF ·sin45°＝＝1，又∵AF＝4，∴AG＝AF－GF＝4－1＝3，∴AE＝，∵ AD平分∠CAB, BE平分∠ABC,且 AD、BE相交于點F，∴CF平分∠CAB,∴∠ACF＝∠BCF＝45°，又∵∠AFE＝45°，∴∠AFE＝∠ACF，又∵∠EAF＝∠CAF，∴△AEF∽△AFC，∴，即，解得AC＝． 【知識點】直角三角形的性質(zhì)；角平分線；相似三角形的性質(zhì)和判定；勾股定理；三角形角平分線的性質(zhì)；特殊角三角函數(shù)值的運用

54、 6.（2018貴州安順，T15，F(xiàn)4）如圖，點，，，均在坐標(biāo)軸上，且 ⊥，⊥，若點，的坐標(biāo)分別為（0，-1），（-2,0），則點 的坐標(biāo)為________. 【答案】(8,0) 【解析】∵ ⊥，⊥，x軸⊥y軸，點 ， 的坐標(biāo)分別為（0，-1），（-2,0），∴Rt△∽Rt△∽Rt△，=1，=2.∴,.即，解得=4，解得=8.∵點在x軸正半軸，∴點的坐標(biāo)為（8，0）. 【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形性質(zhì). 7. （2018湖北荊州，T17，F(xiàn)3）如圖,將鋼球放置到一個倒立的空心透明圓錐中，測得相關(guān)數(shù)據(jù)如圖所示(圖中數(shù)據(jù)單位:)，則鋼球的半徑為______

55、___( 圓錐的壁厚忽略不計). 【答案】. 【思路分析】①如圖構(gòu)造相似三角形；②利用相似三角形的性質(zhì)建立等式求解即可. 【解析】如圖的示AC=12,AB=AC+BC+12+14=26,OB=10易知DAPC∽DAOB， ∴ 【知識點】相似三角形的性質(zhì). 8. （2018湖北省襄陽市，16，3分）如圖，將面積為的矩形ABCD沿對角線BD折疊，點A的對應(yīng) 點為點P，連接AP交BC于點E.若BE=，則AP的長為= ▲ . 【答案】 【解析】解：設(shè)AP與BD交于F，AD=a，AB=b, ∵A點沿BD折疊與P重合， ∴BD是AP的垂直平分線， ∴

56、AP⊥BD，AF=PF， 又∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠BAD=∠CBA=90°， ∴∠BEF+∠EBF=∠EBF+∠ABD, ∴∠BEF=∠ABD， ∴△ABE∽△DAB, ∴，即BA2=EB·AD， ∴b2=a①. 又∵矩形的面積為， ∴ab=②, 聯(lián)立①②得， 解得，. 在Rt△ABD中，由勾股定理, ∵S△ABD==, ∴， ∴. 故答案為. 【知識點】矩形折疊問題、相似三角形 9.（2018四川涼山州，24，5分）△AOC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示，OA＝4,將△AOC繞O點，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1OC1，A1C1，交y軸于B（0，

57、2），若△C1OB ∽ △C1 A1 O，則點C1的坐標(biāo) 【答案】 （第24題答圖） 【解析】∵OA＝4,將△AOC繞O點，逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△A1OC1，A1C1，交y軸于B（0，2），∴OB＝2, ∵△C1OB ∽ △C1 A1 O， ∴ ∴，可得,在Rt△OB中，由勾股定理，解出B=,∴ 過C作CH⊥x軸于H,可設(shè)C（m，2m），在Rt△O中，由勾股定理，解出 ∴ 【知識點】圖形的旋轉(zhuǎn)，圖形的全等，相似三角形，勾股定理. 10. （2018·北京，13，2）如圖，在矩形ABCD中，E是邊AB的中點，連接DE交對

58、角線AC于點F，若AB＝4，AD＝3，則CF的長為_________． 【答案】． 【解析】∵四邊形ABCD是矩形， ∴DC＝AB＝4，AB∥CD，∠ADC＝90°． 在Rt△ADC中，由勾股定理，得AC＝＝5． ∵E是邊AB的中點， ∴AE＝AB＝2． ∵AB∥CD， ∴△CDF∽△AEF． ∴，即． ∴CF＝． 【知識點】矩形的性質(zhì)；勾股定理；相似三角形的性質(zhì)與判定 三、解答題 1. （2018·重慶A卷，24，10）如圖，在□ABCD中，點O是對角線AC的中點，點E是BC上一點，且AB＝AE，連接EO并延長交AD于點F．過點B作AE的垂線，垂足為H，交AC于

59、點G． （1）若AH＝3，EH＝1，求△ABE的面積； （2）若∠ACB＝45°，求證：DF＝CG． 【思路分析】（1）先根據(jù)AB＝AE，AH＝3，EH＝1，求出AB的長；再在Rt△ABH中，由勾股定理，求出BH的長，最后根據(jù)三角形的面積公式，得到△ABE的面積．另外，也可以過點A作AM⊥BC，利用相似三角形的判定及性質(zhì)，求出BE及BE邊的高進(jìn)行求解；（2）過點G作GN⊥BC，先通過相似三角形的性質(zhì)與判定，得到AF＝CE，從而DF＝BE．再證明△ABM≌△BNG，從而BM＝NG．由BE＝2BM，GN＝GC，得到所求證的結(jié)論． 【解析】解：（1）解法

60、一：∵BH⊥AE于點H，AB＝AE，AH＝3，EH＝1， ∴AE＝AH＋EH＝4＝AB． 在Rt△ABH中，由勾股定理，得BH＝＝． ∴S△ABE＝AE?BH＝×4×＝2． 解法二：過點A作AM⊥BC，過點G作GN⊥BC，垂足為M、N，AM交BH 于點K，如下圖： ∵AB＝AE，AM⊥BC，

61、 ∴BM＝ME＝BE＝a，∠BAM＝∠EAM，∠AMB＝∠AHK＝ 90°． 又∵∠BKM＝∠AKH， ∴∠KBM＝∠BAM． ∴△BHE∽△AMB． ∴，即，解得a＝2． ∴BE＝2，ME＝． 在Rt△AME中，由勾股定理，得AM

62、＝． ∴S△ABE＝BE?AM＝×2×＝2． （2）∵O是AC的中點， ∴OA＝OC． ∵在□ABCD中，AD∥BC，AD＝BC， ∴△AOF∽△COE． ∴，從而AF＝CE． ∴DF＝BE．

63、∵∠AMC＝90°，∠ACB＝45°，∠GNC＝90°， ∴∠MAC＝45°＝∠GCN． ∵∠AGB＝∠GBC＋∠GCN，∠BAG＝∠BAM＋∠MAC， ∴∠AGB＝∠BAG． ∴AB＝BG． 又∵∠AMB＝∠BNG＝90°，∠GBN＝∠MAB， ∴△ABM≌△BNG．

64、 ∴BM＝NG． 又∵BE＝2BM，GN＝GC， ∴BE＝2?GC＝GC． 【知識點】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)；全等三角形；平行四邊形；相似三角形 2. （2018湖北宜昌，23，11分） 在矩形中，，是邊上一點，把沿直線折疊，頂點的對應(yīng)點是點，過點作，垂足為且在上，交于點. (1)如圖1，若點是的中點，求證:； (2) 如圖2，①求證: ； ②當(dāng)，且時，求的值； ③當(dāng)時，求的值. (第23題圖1) (第23題圖2)

65、 (第23題圖2備用圖） 【思路分析】(1)∵點是的中點，∴AE=DE，再由矩形ABCD的性質(zhì)，得出邊角之間的等量關(guān)系，用SAS證明； (2)①由折疊與中角之間的關(guān)系，再由平行，得到角之間的關(guān)系，從而，證出. ②當(dāng)時，先由， 再設(shè)，則，，解得 由折疊得，,再據(jù), 設(shè)，由比例關(guān)系，求出y，得到BP.在中，求出PC,得到∠PCB的余切值. ③若,，；， 【解析】(1)證明：如圖1，在矩形中，, 又點是的中點，∴AE=DE，可證:；, (2)如圖2， ①在矩形中，, 沿折疊得到 , , ②當(dāng)時， , , 又, ∴

66、設(shè)，則， ， 解得， , , 由折疊得， , , 設(shè)， 則 在中，, ③若, , , 又, 由得, 【知識點】全等三角形的判定，相似三角形的判定與性質(zhì)，解分式方程，余弦定理. 3. （2018江蘇淮安，26，10）如果三角形的兩個內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”。 (1) 若△ABC 是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C>90°, ∠A=60°，則∠B= ; (2) 如圖①，在Rt△ABC中，∠ACB=90。，AC=4, BC=5。若 AD 是∠BAC的平分線，不難證明△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”。試問在邊BC上是否存在點E（異于點D）， 使得△ABE也是“準(zhǔn)互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由。 (3) 如圖②，在四邊形ABCD中，AB=7，CD=12，BD丄CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，求對角線AC的長。 【思路分析】本題通過新定義考查綜合幾何知識，(1)由“準(zhǔn)互余三角形”定義可知：若△ABC是