2018年中考數(shù)學考點總動員系列 專題29 尺規(guī)作圖（含解析）

考點二十九：尺規(guī)作圖 聚焦考點溫習理解1尺規(guī)作圖的作圖工具限定只用圓規(guī)和沒有刻度的直尺2基本作圖(1)作一條線段等于已知線段，以及線段的和差；(2)作一個角等于已知角，以及角的和差；(3)作角的平分線；(4)作線段的垂直平分線；(5)過一點作已知直線的垂線3利用基本作圖作三角形(1)已知三邊作三角形；(2)已知兩邊及其夾角作三角形；(3)已知兩角及其夾邊作三角形；(4)已知底邊及底邊上的高作等腰三角形；(5)已知一直角邊和斜邊作直角三角形4與圓有關的尺規(guī)作圖(1)過不在同一直線上的三點作圓(即三角形的外接圓)；(2)作三角形的內切圓；(3)作圓的內接正方形和正六邊形5有關中心對稱或軸對稱的作圖以及設計圖案是中考的常見類型6作圖的一般步驟尺規(guī)作圖的基本步驟：(1)已知：寫出已知的線段和角，畫出圖形；(2)求作：求作什么圖形，它符合什么條件，一一具體化；(3)作法：應用“五種基本作圖”，敘述時不需重述基本作圖的過程，但圖中必須保留基本作圖的痕跡；(4)證明：為了驗證所作圖形的正確性，把圖作出后，必須再根據(jù)已知的定義、公理、定理等，結合作法來證明所作出的圖形完全符合題設條件；(5)討論：研究是不是在任何已知的條件下都能作出圖形；在哪些情況下，問題有一個解、多個解或者沒有解；(6)結論：對所作圖形下結論名師點睛典例分類考點典例一、應用角平分線、線段的垂直平分線性質畫圖【例1】（2017四川自貢第22題）兩個城鎮(zhèn)A，B與一條公路CD，一條河流CE的位置如圖所示，某人要修建一避暑山莊，要求該山莊到A，B的距離必須相等，到CD和CE的距離也必須相等，且在DCE的內部，請畫出該山莊的位置P（不要求寫作法，保留作圖痕跡）【答案】作圖見解析【解析】試題分析：根據(jù)角平分線的性質可知：到CD和CE的距離相等的點在DCE的角平分線上，所以第一步作：ECD的平分線CF；根據(jù)中垂線的性質可得：到A、B的距離相等的點在AB的垂直平分線上，所以第二步作線段AB的垂直平分線MN，其交點就是P點.試題解析：作法：作ECD的平分線CF，作線段AB的中垂線MN，MN與CF交于點P，則P就是山莊的位置考點：作圖設計【點睛】本題借助實際場景，考查了幾何基本作圖的能力，考查了線段垂直平分線和角平分線的性質及應用【舉一反三】（2017黑龍江綏化第22題）如圖，為某公園的三個景點，景點和景點之間有一條筆直的小路，現(xiàn)要在小路上建一個涼亭，使景點、景點到?jīng)鐾さ木嚯x之和等于景點到景點的距離請用直尺和圓規(guī)在所給的圖中作出點(不寫作法和證明，只保留作圖痕跡)【答案】作圖見解析.【解析】考點：作圖應用與設計作圖考點典例二、畫已知直線的平行線，垂線【例2】（北京市燕山區(qū)2017屆九年級一模）下面是“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的平行線”的尺規(guī)作圖過程. 請回答：該作圖依據(jù)是_【答案】四邊相等的四邊形是菱形，菱形對邊平行， 兩點確定一條直線【解析】四邊相等的四邊形是菱形，菱形對邊平行， 兩點確定一條直線?！军c睛】尺規(guī)作圖經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的平行線，實際上就是基本作圖：作一個角等于已知角【例3】（北京市海淀區(qū)2017-2018學年九年級上學期期中）下面是“作已知三角形的高”的尺規(guī)作圖過程.已知： .求作： 邊上的高作法：如圖，(1)分別以點和點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于， 兩點；(2)作直線，交于點；(3)以為圓心， 為半徑O,與CB的延長線交于點D，連接AD，線段AD即為所作的高.請回答；該尺規(guī)作圖的依據(jù)是_【答案】到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；直徑所對的圓周角是直角；兩點確定一條直線.【解析】由（1）（2）（3）可得OA=OC=OD，所以A、D、C在以O為圓心，AC為直徑的圓上，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得ADC=90°，即AD為BC邊上的高.故答案為：到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上；直徑所對的圓周角是直角；兩點確定一條直線.【點睛】本題考查了作圖-復雜作圖：復雜作圖時在五種基本作圖的基礎上你進行作圖，一般是幾何了幾何圖形的性質和基本作圖方法.解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作.【舉一反三】（2017浙江衢州第7題）下列四種基本尺規(guī)作圖分別表示：作一個角等于已知角；作一個角的平分線；作一條線段的垂直平分線；過直線外一點P作已知直線的垂線，則對應選項中作法錯誤的是（）ABCD【答案】C.考點：基本作圖.考點典例三、畫三角形【例4】（2017江蘇無錫第24題）如圖，已知等邊ABC，請用直尺（不帶刻度）和圓規(guī)，按下列要求作圖（不要求寫作法，但要保留作圖痕跡）：（1）作ABC的外心O；（2）設D是AB邊上一點，在圖中作出一個正六邊形DEFGHI，使點F，點H分別在邊BC和AC上【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)垂直平分線的作法作出AB，AC的垂直平分線交于點O即為所求；（2）過D點作DIBC交AC于I，分別以D，I為圓心，DI長為半徑作圓弧交AB于E，交AC于H，過E點作EFAC交BC于F，過H點作HGAB交BC于G，六邊形DEFGHI即為所求正六邊形試題解析：（1）如圖所示：點O即為所求（2）如圖所示：六邊形DEFGHI即為所求正六邊形考點：1.作圖復雜作圖；2.等邊三角形的性質；3.三角形的外接圓與外心【點睛】(1)作三角形包括：已知三角形的兩邊及其夾角，求作三角形；已知三角形的兩角及其夾邊，求作三角形；已知三角形的三邊，求作三角形；(2)求作三角形的關鍵是確定三角形的頂點；而求作直角三角形時，一般先作出直角，然后根據(jù)條件作出所求的圖形【舉一反三】已知：線段a、c和（如圖），利用直尺和圓規(guī)作ABC，使BC=a，AB=c，ABC=（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】作圖見解析.【解析】試題分析：先作MBN=，再在MBN的兩邊上分別截取BC=a，AB=c，連接AC即可試題解析：考點：作圖基本作圖考點典例四、通過畫圖確定圓心【例5】（2017浙江嘉興同學19題）如圖，已知，（1）在圖中，用尺規(guī)作出的內切圓，并標出與邊，的切點，（保留痕跡，不必寫作法）；（2）連接，求的度數(shù)【答案】（1）作圖見解析；（2）70°【解析】試題分析：（1）直接利用基本作圖即可得出結論；（2）利用四邊形的性質，三角形的內切圓的性質即可得出結論試題解析：（1）如圖1，O即為所求（2）如圖2，連接OD，OE，ODAB，OEBC，ODB=OEB=90°，B=40°，DOE=140°，EFD=70°考點：1.作圖復雜作圖；2.三角形的內切圓與內心【點睛】本題考查了復雜的尺規(guī)作圖，角平分線，線段中垂線及圓，解題的關鍵是找準圓周心作出圓【舉一反三】(浙江省杭州市余杭區(qū)2017屆九年級上學期期中) 如圖，（1）作ABC的外接O（用尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）；（2）若AB=6cm，AC=BC=5cm，求O的半徑【答案】（1）（1）作圖見解析；（2）【解析】試題分析：（1）作線段AB于BC的垂直平分線相交于點O，則點O即為圓心，OA為半徑，作ABC的外接圓即可；（2）先根據(jù)勾股定理求出CD的長，設OC=OA=r，則OD=CD-r，在RtAOD中，利用勾股定理求出r的值即可試題解析：（1）如圖，O即為所求；（2）AB=6cm，AC=BC=5cm，AD=AB=3cm，CD=4cm設OC=OA=r，則OD=4-r，在RtAOD中，AD2+OD2=OA2，即32+（4-r）2=r2，解得r=課時作業(yè)能力提升1（2017廣西四市）如圖，ABC中，ABAC，CAD為ABC的外角，觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡，則下列結論錯誤的是（ ）ADAE=B BEAC=C CAEBC DDAE=EAC【答案】D【解析】試題分析：根據(jù)圖中尺規(guī)作圖的痕跡，可得DAE=B，故A選項正確，AEBC，故C選項正確，EAC=C，故B選項正確，ABAC，CB，CAEDAE，故D選項錯誤，故選D考點：作圖復雜作圖；平行線的判定與性質；三角形的外角性質2（2016-2017學年江蘇鹽城東臺市第二教育聯(lián)盟初二上10月考）用尺規(guī)作圖，不能作出唯一直角三角形的是（ ）.A已知兩條直角邊 B已知兩個銳角C已知一直角邊和直角邊所對的一銳角 D已知斜邊和一直角邊【答案】B考點：作圖復雜作圖3（河南省駐馬店市確山縣2017-2018學年八年級上學期期中）如圖，已知鈍角ABC，依下列步驟尺規(guī)作圖，并保留作圖痕跡.步驟1：以C為圓心，CA為半徑畫?。徊襟E2：以B為圓心，BA為半徑畫弧，交弧于點D；步驟3：連接AD，交BC延長線于點H.下列敘述正確的是（ ）A. AC平分BAD B. BH垂直平分線段AD C. D. AB=AD【答案】B【解析】解：、錯誤CA不一定平分BAD、正確如圖連接CD、BDCA=CD，BA=BD，點C、點B在線段AD的垂直平分線上，直線BC是線段AD的垂直平分線，故A正確、錯誤應該是SABC=BCAH、錯誤根據(jù)條件AB不一定等于AD故選B點睛：本題考查作圖基本作圖、線段的垂直平分線的性質等知識，解題的關鍵是掌握證明線段垂直平分線的證明方法4（福建省晉江市2017年初中學業(yè)質量檢查）已知點，點都在直線的上方，試用尺規(guī)作圖在直線上求作一點，使得 的值最小，則下列作法正確的是( ).A. B. C. D. 【答案】D【解析】如圖，由作圖可知，B，B關于直線對稱，所以BP= BP,此時AP +PB=AP+PB值最小.5（2017湖北隨州）如圖，用尺規(guī)作圖作AOC=AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點E、F，那么第二步的作圖痕跡的作法是（）A. 以點F為圓心，OE長為半徑畫弧B. 以點F為圓心，EF長為半徑畫弧C. 以點E為圓心，OE長為半徑畫弧D. 以點E為圓心，EF長為半徑畫弧【答案】D【解析】解：用尺規(guī)作圖作AOC=AOB的第一步是以點O為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別交OA、OB于點E、F，第二步的作圖痕跡的作法是以點E為圓心，EF長為半徑畫弧故選D6（浙江省溫州市鹿城區(qū)第二十三中學2017學年H上八年級期中）如圖，用尺規(guī)作圖作“一個角等于已知角”的原理是：因為,所以.由這種作圖方法得到的和全等的依據(jù)是（ ）A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS【答案】A【解析】根據(jù)作圖方法可知：D' O' =DO， O' C'=OC，D'C'=DC，根據(jù)SSS即可得，故選A.7（2017屆浙江省杭州市淳安縣中考模擬）尺規(guī)作圖特有的魅力曾使無數(shù)人沉湎期中，連當年叱咤風云的拿破侖也不例外，我們可以只用圓規(guī)將圓等分。例如可將圓6等分，如圖只需在O上任取點A，從點A開始，以O的半徑為半徑，在O上依次截取點B,C,D,E,F.從而點A,B,C,D,E,F把O六等分。下列可以只用圓規(guī)等分的是（ ）兩等分 三等分 四等分 五等分A. B. C. D. 【答案】D【解析】經(jīng)過圓心的直徑可將圓周兩等分；畫一條直徑，以直徑的一個端點為圓心，以圓的半徑為半徑畫弧，與原有圓有兩個交點，這兩個交點與直徑另一個端點就是圓的三等分點；畫兩條互相垂直的直徑就可以將圓四等分；五等分圓如下圖所示：8（山東省日照市莒縣2016-2017學年期末）下列尺規(guī)作圖，能判斷AD是ABC邊上的高是（）A. B. C. D. 【答案】B【解析】試題分析：過點A作BC的垂線，垂足為D，故選B考點：作圖基本作圖9（浙江省麗水市青田縣八校聯(lián)盟2017屆九年級上學期第二次教學效果調研）已知線段AB,下列尺規(guī)作圖中,PQ與AB的交點O不一定是AB的中點的是( )A. A B. B C. C D. D【答案】C10（2017湖北宜昌卷）如圖，在中，尺規(guī)作圖如下：分別以點，點為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧相交于兩點，作直線，交于點,連接，則下列結論正確的是（ ）A平分 B垂直平分 C. 垂直平分 D平分【答案】C【解析】試題分析：根據(jù)線段垂直平分線的作法可得，GH垂直平分線段EF故選：C考點：1、作圖基本作圖；2、線段垂直平分線的性質11（浙江省杭州市青春中學2016-2017學年八年級上學期期中）如圖，用尺規(guī)作圖作“一個角等于已知角”的原理是：因為DOCDOC，所以DOCDOC。由這種作圖方法得到的DOC和DOC全等的依據(jù)是_（寫出全等判定方法的簡寫）【答案】SSS【解析】由題意得， 得DOCDOC.12（2017年初中畢業(yè)升學考試河北卷）如圖，依據(jù)尺規(guī)作圖的痕跡，計算=_°【答案】56【解析】試題分析：如圖，根據(jù)作圖痕跡可知，GH垂直平分AC，AG平分CAD.四邊形ABCD是矩形，ADBC，CAD=ABC=68°。AG平分CAD，CAG=CAD=34°。GH垂直平分AC，AHG=90°，AGH=90°-34°=56°。=AGH，=56°。考點：尺規(guī)作圖，矩形的性質，角平分的定義，直角三角形的性質.13（2017年北京懷柔初三數(shù)學二模）下面是一道確定點P位置的尺規(guī)作圖題的作圖過程.如圖，直線L1與L2相交于點O，A,B是L2上兩點，點P是直線L1上的點，且APB=30°，請在圖中作出符合條件的點P.作法：如圖，（1）以AB為邊在L2上方作等邊ABC；（2）以C 為圓心，AB長為半徑作C交直線L1于P1，P2兩點.則P1、P2就是所作出的符合條件的點P.請回答:該作圖的依據(jù)是_.【答案】一條弧所對圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半.【解析】ABC是等邊三角形，C=60°，AP1B=30°，AP2B=30°依據(jù)是：一條弧所對圓周角的度數(shù)是圓心角度數(shù)的一半.14.（2017甘肅慶陽第21題）如圖，已知ABC，請用圓規(guī)和直尺作出ABC的一條中位線EF（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】作圖見解析【解析】試題分析：作線段AB的垂直平分線得到AB的中點E，作AC的垂直平分線得到線段AC的中點F線段EF即為所求試題解析：如圖，ABC的一條中位線EF如圖所示，方法：作線段AB的垂直平分線得到AB的中點E，作AC的垂直平分線得到線段AC的中點F線段EF即為所求考點：作圖復雜作圖；三角形中位線定理15.（2017廣西貴港第20題）尺規(guī)作圖（不寫作法，保留作圖痕跡）：已知線段和，點 在上（如圖所示）.（1）在邊上作點，使 ；（2）作的平分線；（3）過點作的垂線.【答案】作圖見解析.【解析】試題分析：（1）在OA上截取OP=2a即可求出點P的位置；（2）根據(jù)角平分線的作法即可作出AOB的平分線；（3）以M為圓心，作一圓與射線OB交于兩點，再以這兩點分別為圓心，作兩個相等半徑的圓交于D點，連接MD即為OB的垂線；試題解析：（1）點P為所求作；（2）OC為所求作；（3）MD為所求作；考點：作圖復雜作圖16.（2017湖北孝感第20題）如圖，已知矩形 .（1）請用直尺和圓規(guī)按下列步驟作圖，保留作圖痕跡：以點為圓心，以的長為半徑畫弧交邊于點，連接；作的平分線交 于點；連接;（2）在（1）作出的圖形中，若，則的值為 .【答案】（1）畫圖見解析；（2） .【解析】試題分析：（1）根據(jù)題目要求作圖即可；（2）由（1）知AE=AD=10、DAF=EAF，可證DAFEAF得D=AEF=90°，即可得FEC=BAE，從而由tanFEC=tanBAE=可得答案試題解析：（1）如圖所示；考點：1.作圖基本作圖；2.全等三角形的判定與性質；3.解直角三角形.17.（2017貴州六盤水第25題）如圖，是的直徑，點在上，為的中點，是直徑上一動點.(1)利用尺規(guī)作圖，確定當最小時點的位置(不寫作法，但要保留作圖痕跡).(2)求的最小值.【答案】（1）詳見解析；(2)2.試題分析：(1)畫出A點關于MN的稱點,連接B,就可以得到P點; (2)利用得AON=60°，又為弧AN的中點,BON=30°，所以ON=90°，再求最小值試題解析：(1)如圖，點P即為所求作的點.(2)由（1）可知，的最小值為的長，連接,OB、OAA點關于MN的稱點，AMN=30°， 又為的中點 又MN=4 在Rt中， 即的最小值為2.考點：圓，最短路線問題18.（2017江蘇鹽城第24題）如圖，ABC是一塊直角三角板，且C=90°，A=30°，現(xiàn)將圓心為點O的圓形紙片放置在三角板內部（1）如圖，當圓形紙片與兩直角邊AC、BC都相切時，試用直尺與圓規(guī)作出射線CO；（不寫作法與證明，保留作圖痕跡）（2）如圖，將圓形紙片沿著三角板的內部邊緣滾動1周，回到起點位置時停止，若BC=9，圓形紙片的半徑為2，求圓心O運動的路徑長【答案】（1）作圖見解析；（2）15+【解析】試題分析：（1）作ACB的平分線得出圓的一條弦，再作此弦的中垂線可得圓心O，作射線CO即可；（2）添加如圖所示輔助線，圓心O的運動路徑長為COO1O2，先求出ABC的三邊長度，得出其周長，證四邊形OEDO1、四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF均為矩形、四邊形OECF為正方形，得出OO1O2=60°=ABC、O1OO2=90°，從而知OO1O2CBA，利用相似三角形的性質即可得出答案試題解析：（1）如圖所示，射線OC即為所求；（2）如圖，圓心O的運動路徑長為COO1O2，過點O1作O1DBC、O1FAC、O1GAB，垂足分別為點D、F、G，過點O作OEBC，垂足為點E，連接O2B，過點O2作O2HAB，O2IAC，垂足分別為點H、I，在RtABC中，ACB=90°、A=30°，AC=，AB=2BC=18，ABC=60°，CABC=9+9+18=27+9，O1DBC、O1GAB，D、G為切點，BD=BG，在RtO1BD和RtO1BG中，O1BDO1BG（HL），O1BG=O1BD=30°，在RtO1BD中，O1DB=90°，O1BD=30°，BD=，OO1=9-2-2=7-2，O1D=OE=2，O1DBC，OEBC，O1DOE，且O1D=OE，四邊形OEDO1為平行四邊形，OED=90°，四邊形OEDO1為矩形，同理四邊形O1O2HG、四邊形OO2IF、四邊形OECF為矩形，又OE=OF，四邊形OECF為正方形，O1GH=CDO1=90°，ABC=60°，GO1D=120°，又FO1D=O2O1G=90°，OO1O2=360°-90°-90°=60°=ABC，同理，O1OO2=90°，OO1O2CBA，即，COO1O2=15+，即圓心O運動的路徑長為15+考點：切線的性質；作圖復雜作圖19.（2017甘肅蘭州第22題）在數(shù)學課上，同學們已經(jīng)探究過“經(jīng)過已知直線外一點作這條直線的垂線”的尺規(guī)作圖過程：已知：直線和外一點求作：直線的垂線，使它經(jīng)過點.做法：如圖：(1)在直線上任取兩點、；(2)分別以點、為圓心，長為半徑畫弧，兩弧相交于點；(3)作直線.參考以上材料作圖的方法，解決以下問題：(1)以上材料作圖的依據(jù)是.(3)已知：直線和外一點，求作：，使它與直線相切。(尺規(guī)作圖，不寫做法，保留作圖痕跡，并把作圖痕跡用黑色簽字筆描黑)【答案】（1）線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等；（2）作圖見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質，可得答案；（2）根據(jù)線段垂直平分線的性質，切線的性質，可得答案 試題解析：（1）以上材料作圖的依據(jù)是：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等，（2）如圖考點：作圖復雜作圖；切線的判定24