2018年中考數學試題分類匯編 知識點21 二次函數在實際生活中應用

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1、 知識點21 二次函數在實際生活中應用 一、選擇題 1. （2018·北京，7，2）跳臺滑雪是冬季奧運會比賽項目之一．運動員起跳后的飛行路線可以看作是拋物線的一部分，運動員起跳后的豎直高度y（單位：m）與水平距離x（單位：m）近似滿足函數關系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．下圖記錄了某運動員起跳后的x和y的三組數據，根據上述函數模型和數據，可推斷出該運動員起跳后飛行到最高點時，水平距離為 （ ） A．10m B．15

2、m C．20m D．22.5m 【答案】B． 【解析】解法一：設拋物線的解析式為y＝ax2＋bx＋c，由題意得，解得，從而對稱軸為直線x＝－＝－＝15，故選B． 解法二：將圖上三個點(0，54)，(20，57.9)，(40，46.2)用光滑的曲線順次連接起來，會發(fā)現對稱軸位于直線x＝20的左側，非?？拷本€x＝20，因此從選項中可知對稱軸為直線x＝15，故選B． 【知識點】二次函數圖像的性質；二次函數的簡單應用；二次函數解析式的求法；數形結合思想 二、填空題 1. （2018四川綿陽，16，3分） 右圖是拋物線型拱橋，當拱頂離

3、水面2m時，水面寬4m，水面下降2m，水面寬度增加 m. 【答案】4-4 【解析】解：建立平面直角坐標系，設橫軸x通過AB，縱軸y通過AB中點O且通過C點，則通過畫圖可得知O為原點， 拋物線以y軸為對稱軸，且經過A，B兩點，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點C坐標為（0，2）， 通過以上條件可設頂點式y(tǒng)=ax2+2，其中a可通過代入A點坐標（-2，0）， 到拋物線解析式得出：a=-0.5，所以拋物線解析式為y=-0.5x2+2， 當水面下降2米，通過拋物線在圖上的觀察可轉化為： 當y=-2時，對應的拋物線上兩點之間的距離，也就是直線y=-2與拋物線相交

4、的兩點之間的距離， 可以通過把y=-2代入拋物線解析式得出：-2=-0.5x2+2， 解得：x=±2，故水面此時的寬度為4，比原先增加了4-4. 故答案為4-4. 【知識點】二次函數的應用 三、解答題 1. （2018山東濱州，23，12分） 如圖，一小球沿與地面成一定角度的方向飛出，小球的飛行路線是一條拋物線．如果不考慮空氣阻力，小球的飛行高度y（單位：m）與飛行時間x（單位：s）之間具有函數關系y＝－5x2＋20x，請根據要求解答下列問題： （1）在飛行過程中，當小球的飛行高度為15m時，飛行的時間是多少？ （2）在飛行過程中，小球從飛出到落地所用

5、時間是多少？ （3）在飛行過程中，小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？ 第23題圖 【思路分析】本題主要考查了二次函數的函數值及最值在實際問題中的應用，解答關鍵是將實際問題中的相關條件轉化為二次函數中的相應數值再根據二次函數的性質求解． （1）小球飛行高度為15m，即y＝－5x2＋20x中y的值為15，解方程求出x的值，即為飛行時間； （2）小球飛出時和落地時的高度為0，據此可以得出0＝－5x2＋20x，求出x的值，再求差即可； （3）求小球飛行高度何時最大？最大高度是多少？即求x為何值時，二次函數有最大值，最大值是多少？ 【解題過程】（1）當y＝15時有－5x2

6、＋20x ＝15，化簡得x2－4x＋3＝0因式分解得（x－1）（x－3）＝0，故x＝1或3，即飛行時間是1秒或者3秒 （2）飛出和落地的瞬間，高度都為0，故y＝0．所以有0＝－5x2＋20x，解得x＝0或4，所以從飛出到落地所用時間是4－0＝4秒 （3）當x＝＝＝2時，小球的飛行高度最大，最大高度為20米. 【知識點】二次函數圖像與x軸交點及最值 2. （2018浙江衢州，第23題，10分）某游樂園有一個直徑為16米的圓形噴水池，噴水池的周邊有一圈噴水頭，噴出的水柱為拋物線，在距水池中心3米處達到最高，高度為5米，且各方向噴出的水柱恰好在噴水池中心的裝飾物處匯合，如圖所示，以水

7、平方向為x軸，噴水池中心為原點建立直角坐標系。 （1）求水柱所在拋物線（第一象限部分）的函數表達式； （2）王師傅在水池內維修設備期間，噴水管意外噴水，為了不被淋濕，身高1.8米的王師傅站立時必須在離水池中心多少米以內？ （3）經檢修評估，游樂園決定對噴水設施做如下設計改進；在噴出水柱的形狀不變的前提下，把水池的直徑擴大到32米，各方向噴出的水柱仍在噴水池中心保留的原裝飾物（高度不變）處匯合，請?zhí)骄繑U建改造后水熱水柱的最大高度。 【思路分析】本題考查了二次函數的實際應用，包括建立直角坐標系待定系數法求解析式，正確把握拋物線圖像和性質是解題的關鍵。 （1）利用待定系數法，已知頂點、

8、與x軸交點為（8,0）。根據拋物線的對稱性也得另一交點（-2，0），從而列方程組解得即可。 （2）根據上題中解得的解析式，令y的值為1.8，求得x的值，再根據對稱性確定范圍。（3）因形狀不變，故拋物線的a值不變，又因裝飾物高度不變，故與y軸的交點也不變，且與x軸的交點為（16,0），利用待定系數法可求得。 【解題過程】（1）∵拋物線的頂點為（3，5），∴設y=a (x-3)2+5， 將（8，0）代入的a=， ∴y=(x-3)2+5，或者y=（0

9、 答：王師傅必須站在離水池中心7米以內。 （3）∴y=(x-3)2+5可得原拋物線與y軸的交點為（0，）， ∵裝飾物的高度不變，∴新拋物線也經過（0，）， ∵噴水柱的形狀不變，所以a= ∵直徑擴大到32米，∴新拋物線也過點（0，16） 設新拋物線為y新=（0

10、平均每盆利潤是160元,花卉的平均每盆利潤是19元,調研發(fā)現： ①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利潤減少2元;每減少1盆,盆景的平均每盆利潤增加2元;②花卉的平均每盆利潤始終不變. 小明計劃第二期培植盆景與花卉共100盆,設培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景與花卉售完后的利潤分別為W1,W2（單位:元） （1）用含x的代數式分別表示W1,W2; （2）當x取何值時,第二期培植的盆景與花卉售完后獲得的總利潤W最大,最大總利潤是多少? 【思路分析】“每每”問題，注意利潤與數量的關系，總利潤=每盆利潤盆數；（2）構建二次函數模型，利用二次函數求最值，并注意自變量取值范圍。 【解題過

11、程】（1） =(50+x)(160-2x)=-2 +60x+8000 =19(50-x)=-19x+950 （2）W總=+=-2+41x+8950（且x為整數） ∵-2＜0，，開口向下，=，∴當時，y隨x的增大而增大；當時，y隨x的增大而減小，又∵x取整數，故當x=10時，W總最大 W總最大=-2×+41×10+8950=9160 【知識點】求二次函數解析式，二次函數的性質，二次函數的應用 4. （2018四川省達州市，21，7分） “綠水青山就是金山銀山”的理念已融入人們的日常生活中，因此越來越多的人喜歡騎自行車出行.某自行車店在銷售某型號自行車時，以高出進價的50%標價.已

12、知按標價九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利相同. （1）求該型號自行車的進價與標價分別是多少元？ （2）若該型號自行車的進價不變，按（1）中的標價出售，該店平均每月可售出51輛；若每輛自行車每降價20元，每月可多售出3 輛，求該型號自行車降價多少元時，每月獲利最大？最大利潤是多少？ 【思路分析】（1））本小題的等量關系是按標價九折銷售該型號自行車8輛與將標價直降100元銷售7輛獲利相同．根據等量關系列、解方程即可解決問題． （2）本小題的等量關系是每月的利潤W＝實際售價×銷售數量．根據等量關系列、解方程可得． 【解題過程】解：（1）設該型號自行車的進價為x元，則

13、標價為（1＋50%）x元． 根據題意，得8[（1＋50%）x×0.9－x]＝7[（1＋50%）x－100－x] 整理,得2.8x＝3.5x－700 解得x＝1000(元), （1＋50%）x＝1500(元) ． 答: 該型號自行車的進價為1000元，則標價為1500元． （2）設該型號自行車降價a元時，每月獲利W最大．根據題意，得 W＝（155－1000－a）（51＋） ＝－a2＋a＋25500 ＝－（a2－160a＋802－802）＋25500 ＝－（a－80）2＋26460. 當a＝80時，每月獲利最大，最大利潤是26460元. 即該型號自行車降價80元時，每月獲

14、利最大，最大利潤是26460元. 【知識點】一元一次方程的應用; 二次函數的最值; 5. （2018浙江紹興，20，8分）學校拓展小組研制了繪圖智能機器人（如圖1），順次輸入點，，的坐標，機器人能根據圖2，繪制圖形.若圖形是線段，求出線段的長度；若圖形是拋物線，求出拋物線的函數關系式.請根據以下點的坐標，求出線段的長度或拋物線的函數關系式. （1），，. （2），，. （第20題圖） 【思路分析】（1）由，得到繪制線段，然后根據平面上兩點之間線段的求法，就可求出線段的長度。 （2）由，，可知繪制拋物線，可設拋物線為，把點坐標代入，就可求出拋物線的解析式。 【解題過程】2

15、0.解：（1）∵，，， ∴繪制線段，. （2）∵，，，， ∴繪制拋物線， 設，把點坐標代入得， ∴，即. 【知識點】平面上兩點之間的線段的長度、用待定系數法求二次函數的解析式。 6.（2018湖南衡陽，24，8分）一名在校大學生利用“互聯網+”自主創(chuàng)業(yè)，銷售一種產品，這種產品的成本價為10元/件，已知銷售價不低于成本價，且物價部門規(guī)定這種產品的銷售價不高于16元/件，市場調查發(fā)現，該產品每天的銷售量y（件）與銷售價x（元/件）之間的函數關系如圖所示. （1）求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍； （2）求每天的銷售利潤w（元）

16、與銷售價x（元/件）之間的函數關系式.并求出每件銷售價為多少元時，每天的銷售利潤最大？最大利潤是多少？ 【思路分析】（1）設函數關系式y(tǒng)=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本價為10元/千 克，銷售價不高于18元/千克，得出自變量x的取值范圍； （2）根據銷售利潤=銷售量×每一件的銷售利潤得到w和x的關系，利用二次函數的性質得最值即可． 【解題過程】解：（1）設y與x之間的函數關系式y(tǒng)=kx+b，把（10，30），（16，24）代入得， ， 解得. ∴y與x之間的函數關系式y(tǒng)=-x+40（10≤x≤16）； （2）W=（x-10）（-x+40）

17、 =-x2+50x-400 =-（x-25）2+225， 對稱軸x=25，在對稱軸的左側y隨著x的增大而增大， ∵10≤x≤16， ∴當x=16時，W最大，最大為144． 即當銷售價為16元時，每天的銷售利潤最大，最大利潤是144元． 【知識點】二次函數的應用、待定系數法求一次函數解析式、二次函數的性質 7. (2018山東青島中考，22，10分)某公司投入研發(fā)費用80萬元（80萬元只計入第一年成本），成功研發(fā)出一種產品．公司按訂單生產（產量銷售量），第一年該產品正式投產后，生產成本為6元件．此產品年銷售量(萬件）與售價(元件）之間滿足函數關系式． （1）求這種產品第一年的

18、利潤(萬元）與售價(元件）滿足的函數關系式； （2）該產品第一年的利潤為20萬元，那么該產品第一年的售價是多少？ （3）第二年，該公司將第一年的利潤20萬元（20萬元只計入第二年成本）再次投入研發(fā)，使產品的生產成本降為5元件．為保持市場占有率，公司規(guī)定第二年產品售價不超過第一年的售價，另外受產能限制，銷售量無法超過12萬件．請計算該公司第二年的利潤至少為多少萬元. 【思路分析】（1）根據“利潤=售價×銷售量－成本”列出W1與x的函數關系式；（2）由題意得出方程－x2+32x－236=20，解方程即可；（3）根據“利潤=售價×銷售量－第二年的成本”列出W2與x的函數關系式，再由“第二年產品

19、售價不超過第一年的售價”與“銷售量無法超過12萬件”得出x的取值范圍，在相應的范圍內，根據二次函數的性質求出利潤的最小值． 【解題過程】（1）W1=(x－6)(－x+26)－80=－x2+32x－236． （2）令W1=－x2+32x－236=20，則x2－32x+256=0，(x－16)2=0， ∴x=16．答：該產品第一年的售價為16元． （3）W2=(x－5)(－x+26)－20=－x2+31x－150． 又∵∴14≤x≤16． ∵a=－1，對稱軸x=15.5， ∴當x=14時，W2有最小值=88． 答：第二年的利潤W2至少為88萬元． 【知識點】二次函數的應用——經濟

20、利潤問題 8. （2018山東威海，23，10分）為了支持大學生創(chuàng)業(yè)，某市政府出臺了一項優(yōu)惠政策：提供10萬元的無息創(chuàng)業(yè)貸款，小王利用這筆貸款，注冊了一家淘寶網店，招收5名員工，銷售一種火爆的電子產品，并約定用該網店經營的利潤，逐月償還這筆無息貸款，已知該產品的成本為每件4元，員工每人每月的工資為4千元，該網店還需每月支付其它費用1萬元，該產品每月銷售量(萬件)與銷售單價(元)之間的函數關系如圖所示． (1)求該網店每月利潤w(萬元)與銷售單價x(元)之間的函數表達式； (2)小王自網店開業(yè)起，最快在第幾個月可還清10萬元的無息貸款？ 【思路分析】（1）先用待定系數法求出直線A

21、B與BC的函數表達式，然后在4≤x≤6與6≤x≤8時，根據“每月利潤＝銷售單價×每月銷售量－工資及其他費用”列出W與x之間的函數表達式；（2）先求出每月的最大利潤，然后求出最快還款的時間． 【解題過程】 解：(1)設直線的函數表達式為yAB＝kx＋b，代入A（4，4），B（6，2），得 ，解得． ∴直線AB的函數表達式為yAB＝－x＋8． 設直線的函數表達式為yBC＝k1x＋b1，代入B（6，2），C（8，1），得 ，解得， ∴直線BC的函數表達式為yBC＝－x＋5． 工資及其他費用為0.4×5＋1＝3（萬元）． 當4≤x≤6時，∴，即． 當6≤x≤8時，∴，即． (2)

22、當4≤x≤6時， ， ∴當時，取得最大值1． 當6≤x≤8時， ，∴當x＝7時，取得最大值1.5． ∴，即第7個月可以還清全部貸款． 【知識點】二次函數的應用；待定系數法求一次函數解析式； 9. （2018山東威海，6，3分）如圖，將一個小球從斜坡的點O處拋出，小球的拋出路線可以用二次函數y＝4x－x2刻畫，斜坡可以用一次函數y＝x刻畫，下列結論錯誤的是( ) A．當小球拋出高度達到7.5時，小球距O點水平距離為3m B．小球距O點水平距離超過4米呈下降趨勢 C．小球落地點距O點水平距離為7米 D．斜坡的坡度為1∶2 【答案】A 【解析】根據函數圖象

23、可知，當小球拋出的高度為7．5時，二次函數y＝4x－x2的函數值為7．5，即4x－x2＝7．5，解得x1＝3，x2＝5，故當拋出的高度為7．5時，小球距離O點的水平距離為3m或5m，A結論錯誤；由y＝4x－x2 得y＝－（x－4）2＋8，則拋物線的對稱軸為直線x＝4，當x＞4時，y隨x值的增大而減小，B結論正確；聯立方程y＝4x－x2與y＝x解得，或；則拋物線與直線的交點坐標為（0，0）或（7，），C結論正確；由點（7，）知坡度為∶7＝1∶2（也可以根據y＝x中系數的意義判斷坡度為1∶2），D結論正確；故選A． 【知識點】拋物線的函數值、二次函數與一次函數的結合，斜坡的坡度 10.（

24、2018浙江溫州，22，12）溫州某企業(yè)安排65名工人生產甲、乙兩種產品，每人每天生產2件甲或1件乙，甲產品每件可獲利15元.根據市場需求和生產經驗，乙產品每天產量不少于5件，當每天生產5件時，每件可獲利120元，每增加1件，當天平均每件獲利減少2元.設每天安排人生產乙產品. （1）根據信息填表 產品種類 每天工人數（人） 每天產量（件） 每件產品可獲利潤（元） 甲 15 乙 （2） 若每天生產甲產品可獲得的利潤比生產乙產品可獲得的利潤多550元，求每件乙產品可獲得的利潤. （3） 該企業(yè)在不增加工人的情況下，增加生產丙產品，要求每天甲、丙兩種產品的產量

25、相等.已知每人每天可生產1件丙（每人每天只能生產一件產品），丙產品每件可獲利30元，求每天生產三種產品可獲得的總利潤W（元）的最大值及相應的值. 【思路分析】(1)利用總共有65名工人，x表示每天生產乙產品工人數，則甲（65-x）人。因為每人每天生產2件，所以甲每天產量為2(65-x) 而乙產品生產了x件所以增加了（x-5）件每件減少2（x-5）元，所以每件產品可獲利潤為120-2(x-5)= 130-2x元 （2）每天生產甲產品可獲得的利潤比生產乙產品可獲得的利潤多550元所以15×2(65-x)=x(130-2x)+550, 得一元二次方程x2-80x+700=0,解得x1=10,x

26、2=70(不合題意,舍去),所以130-2x=110每件乙產品可獲得的利潤是110元 (3)設生產甲產品m人，生產乙產品x人，丙種產品65-x-m人，甲種產品的產量為2m件，乙種產品的產量x件，丙種產品的產量（65-x-m）件， 得：W=x(130-2x)+15×2m+30(65-x-m)=-2(x-25)2+3200，二次函數圖像的對稱軸為x=25, 要求每天甲、丙兩種產品的產量相等，所以2m=65-x-m所以得m=因為x,m都是非負整數,所以取x=26,此時m=13,65-x-m=26,利用二次函數的圖像和性質得 即當x=26時,W大=3198(元) 【解題過程】解(1)

27、 產品種類 每天工人數（人） 每天產量（件） 每件產品可獲利潤（元） 甲 65-x 2(65-x) 乙 130-2x （2）由題意得 15×2(65-x)=x(130-2x)+550, ∴x2-80x+700=0, 解得x1=10,x2=70(不合題意,舍去), ∴130-2x=110(元) 答;每件乙產品可獲得的利潤是110元 (3)設生產甲產品m W=x(130-2x)+15×2m+30(65-x-m) =-2x2+100x+1950 =-2(x-25)2+3200 ∵2m=65-x-m ∴m= ∵x,m都是非負整數, ∴取x=26

28、,此時m=13,65-x-m=26, 即當x=26時,W大=3198(元) 答:安排26人生產乙產品時,可獲得的最大總利潤為3198元 【知識點】二次函數的應用，二次函數的最值，一元二次方程的應用 1. （2018湖北黃岡，23題，9分）我市某鄉(xiāng)鎮(zhèn)在“精準扶貧”活動中銷售一農產品，經分析發(fā)現月銷量y（萬件）與月份x（月）的關系為：，每件產品的利潤z（元）與月份x（月）的關系如下表： x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 z 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 10 10 （1）請你

29、根據表格求出每件產品利潤z（元）與月份x（月）的關系式； （2）若月利潤w（萬元）=當月銷量y（萬件）×當月每件產品的利潤z（元），求月利潤w（萬元）與月份x（月）的關系式； （3）當x為何值時，月利潤w有最大值，最大值為多少？ 【思路分析】（1）根據表中數字變化趨勢可以看出分為兩部分，前一部分為一次函數，后一部分為常函數，注意自變量的取值范圍；（2）根據自變量的取值范圍，可以分為三種情況，分別為1≤x≤8，9≤x≤10和11≤x≤12，在不同的范圍找到對應的函數表達式，進而根據題中利潤的公式進行計算；（3）將二次函數化為頂點式，結合自變量的取值范圍和函數的增減性進行分析，得到各部分函數

30、的最值，通過比較，得出整個函數在1≤x≤12范圍內的最大值。 【解析】解：（1）根據表格知：當1≤x≤10，x為整數時，z=-x+20，當11≤x≤12，x為整數時，z=10，所以每件產品利潤z（元）與月份x（月）的關系式為：； （2）當1≤x≤8時，w=(-x+20)(x+4)=-x2+16x+80=-(x-8)2+144，當9≤x≤10時，w=(-x+20)(-x+20)=(x-20)2，當11≤x≤12時，w=10(-x+20)=-10x+200，綜上所述，； （3）當1≤x≤8時，w=-(x-8)2+144，當x=8時，w有最大值為144，當9≤x≤10時，w=(x-20)2，w

31、隨x增大而減小，所以x=9時，w有最大值為121，當11≤x≤12時，w=-10x+200，w隨x增大而減小，所以x=11時，w有最大值為90，綜上所述，當x=8時，w有最大值為144. 【知識點】一次函數，二次函數增減性，二次函數最值 2. （2018內蒙古呼和浩特，25，12分）某市計劃在十二年內通過公租房建設，解決低收入人群的住房問題。已知前7年，每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米）與時間x（第x年）的關系構成一次函數（1≤x≤7且x為整數），且第一和第三年竣工的公租房面積分別為和百萬平方米；后5年每年竣工投入使用的公租房面積y（單位：百萬平方米）與時間x（第x年）

32、的關系是（7x≤12且x為整數）. （1）已知第6年竣工投入使用的公租房面積可解決20萬的住房問題，如果人均住房面積，最后一年要比第6年提供，那么最后一年竣工投入使用的公租房面積可以解決多少萬人的租房問題？ （2）受物價上漲等因素的影響，已知這12年中，每年竣工投入使用的公租房的租金各不相同，且第一年，一年38元/，第二年，一年40元/，第三年，一年42元/，第四年，一年44元/，…以此類推，分別說明每平方米的年租金和時間是否構成函數，如果能，直接寫出函數解析式； （3）在（2）的條件下，假設每年的公租房當年全部出租完，寫出這12年中每年竣工投入使用的公租房的年租金W關于時間x的函數解析

33、式，并求出W的最大值（單位：億）；如果在W取得最大值的這一年，老張租用了58的房子，計算老張這一年應交付的租金。 【思路分析】運用二次函數解決實際問題，確定二次函數表達式方法有：一般根據實際問題的數量關系，建立函數之間的關系.求二次函數的最值一般采用配方法把二次函數表達式配成頂點形式，但求最值要結合拋物線的開口方向和自變量的取值范圍，否則容易出現錯誤. (1)依題意，題目明確為一次函數模型，將“第一和第三年竣工的公租房面積分別為和百萬平方米”轉化數組（1，），（3，），待定出一次函數解析式，利用該解析式求解問題； （2）假設能夠構成函數，利用已知看是否可以確定出函數解析式； （3）依題

34、意，構建二次函數，利用二次函數最值求法確定問題的求解. 【解析】 解：（1）設前7年y與x的函數關系式為：y=kx+b， 代入點（1，），（3，），得 ，解得： ，∴y=+4 當x=6時，y=3（百萬平方米）， 把x=12代入 （百萬平方米） （平方米） 12.5（萬） （2）能.z=2x+36 【答案提示】設租金z與時間x之間的函數關系式為：z=mx+n 代入（1，38），（2，40），得 ，解得：m=2，n=36，∴z=2x+36. （3）當，w=(+4)(2x+36)== ∴當x=3時，w有最大值為147（百萬）=1.47（億） 當 ，w=()(2x+3

35、6)== ∴當x=8時，W有最大值=143（百萬）=1.43（億） 所以w的最大值為1.47億. 當x=3時，58m2的房子應交付租金為：58=2436（元） 答：W關于x的函數解析式為 ，W的最大值為1.47億，老張應交租金2436元. 【知識點】一次函數解析式的求法，二次函數的解析式求解，一次函數與二次函數的綜合實際應用 3. （2018甘肅天水，T24，F10）麥積山石窟是世界文化遺產，國家AAAAA級旅游景區(qū)，中國四大石窟之在2018年中國西北旅游營銷大會暨旅游裝備展 上，商家按標價銷售某種工藝品時，每件可獲利45元；按標價的八五折銷售該工藝品8件 與將標價降低

36、35元銷售該工藝品12件所獲得利潤相等. （1）該工藝品每件的進價、標價分別是多少元？ （2）若每件工藝品按此進價進貨，標價銷售，商家每天可售出該工藝品100件；若每件工 藝品降價1元，則每天可多售出該工藝品4件.問：每件工藝品降價多少元銷售，每天獲得 的利潤最大？獲得的最大利潤是多少元？ 【思路分析】對于（1），根據標價-進價=45，(標價×85％-進價)×8=(標價-35-進價)×12，列出二元一次方程組，求出答案即可； 對于（2），根據利潤=單間利潤×銷售量，列出二次函數，再討論極值即可. 【解析】（1）解：設標價為x元，進價為y元，根據題意，得 ............

37、........................................................................2分 解得 所以，該工藝品的進價為155元，標價為200元……………………………………………4分 （2）設降價a元，每天獲得的利潤為W，根據題意，得 W=(45-a)(100+4a)=-4a2+80a+4500……………………………………………………………6分 =-4(a2-20a)+4500 =-4(a2-20a+100-100)+4500 =-4(a-10)2+4900，………………………………………………………………………………7分

38、 ∵-4＜0， ∴二次函數有最大值， 當a=10時，W最大=4900…………………………………………………………………………9分 所以每件工藝品降價10元時，每天獲得的最大利潤為4900元…………………………10分 【知識點】二次函數的應用，二元一次方程組的應用 4. （2018江蘇淮安，25，10）某景區(qū)商店銷售一種紀念品，每件的進貨價為40元。經市場調研， 當該紀念品每件的銷售價為50元時，每天可銷售200件；當每件的銷售價每增加1元， 每天的銷售數量將減小10件。 (1) 當每件的銷售價為52元時，該紀念品每天的銷售數量為 件; (2) 當每件的銷售價x(元

39、）為多少時，銷售該紀念品每天獲得的利潤y(元)最大？并求出最大利潤。 【答案】(1)180 【思路分析】本題考查二次函數的實際應用，掌握利潤的計算是解題的關鍵，利潤＝（銷售價-進貨價）×件數 【解析】解：（1）由題意得，當每件的銷售價為52元時，該紀念品每天的銷售數量為180件; （2）由題意得，y=(x-40)(700-10x) 即 y=-10（x-55）2+2250 所以當x=55時，y 取得最大值，最大值為2250. 答：當每件的銷售價為55元時，銷售該紀念品每天獲得的利潤y(元)最大，最大利潤2250元. 【知識點】二次函數的實際應用 5. （2018福建

40、A卷，23，10） 如圖，在足夠大的空地上有一段長為米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，其中ADMN，已知矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄. （1）若=20，所圍成的矩形菜園的面積為450平方米，求所用舊墻AD的長； （2）求矩形菜園ABCD面積的最大值. 【思路分析】本題考查了一元二次方程以及二次函數的應用，解題的關鍵根據題意列出方程或函數關系式進行解答．（1）設矩形的邊長AD為x m，根據長方形長與寬的關系，得到另一邊長為，從而列出一元二次方程即可求解；（2）由第（1）問矩形面積列出面積S與x的函數關系式，結合自變量的取值范圍利用函數的增減性進

41、行解答． 【解題過程】解：（1）設AD=米，則AB=米，依題意，得： 解得： ，.因為且，所以不合題意，應舍去.故所利用舊墻AD的長為10米. （2）設AD=米，矩形ABCD的面積為S平米，則， S=， ①若，則當時，； ②若，則當時，S隨的增大而增大，故當=時，. 綜上，當時，矩形菜園ABCD的面積的最大值是1250平方米. 當時，矩形菜園ABCD的面積的最大值是平方米. 【知識點】一元二次方程，二次函數的應用 6.（2018福建B卷，23，10）空地上有一段長為米的舊墻MN，某人利用舊墻和木欄圍成一個矩形菜園ABCD，已知木欄總長為100米. （1）已知=20

42、，矩形菜園的一邊靠墻，另三邊一共用了100米木欄,且圍成的矩形菜園的面積為450平方米，如圖1,求所用舊墻AD的長； （2）已知,且空地足夠大,如圖2,請你合理利用舊墻及所給木欄設計一個方案,使得所圍成的矩形菜園ABCD的面積最大,并求面積的最大值. 【思路分析】本題考查了一元二次方程以及二次函數的應用，解題的關鍵根據題意列出方程或函數關系式進行解答．（1）設矩形的邊長AD為x m，根據長方形長與寬的關系，得到另一邊長為，從而列出一元二次方程即可求解；（2）由第（1）問矩形面積列出面積S與x的函數關系式，結合自變量的取值范圍利用函數的增減性進行解答． 【解題過程】解：（1）設AD

43、=米，則AB=米，依題意，得： 解得： ， 因為且，所以不合題意，應舍去。 故所利用舊墻AD的長為10米. （2）設AD=米，矩形ABCD的面積為S平米， ①如果按圖1方案圍成矩形菜園，依題意，得： S=，， 因為，所以當時，S隨的增大而增大，當=時，. ②如果按圖2方案圍成矩形菜園，依題意，得： S=，， 因為，所以當時，S隨的增大而減小，當=時，。 綜合①②，當時， 即，此時按圖書館方案圍成的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米； 當時，兩種方案圍成的矩形菜園面積的最大值相等。 綜上，當時，圍成長和寬均為（）米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米；當時

44、，圍成長為米，寬米的矩形菜園面積最大，最大面積為平方米； 【知識點】一元二次方程的應用 7. （2018湖北荊州，T24，F10）為響應荊州市“創(chuàng)建全國文明城市”號召,某單位不斷美化環(huán)境，擬在一塊矩形空地上修建綠色植物園,其中一邊靠墻,可利用的墻長不超過18,另外三邊由36長的柵欄圍成,設矩形空地中,垂直于墻的邊,面積為(如圖). (1)求與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值范圍; (2)若矩形空地的面積為,求的值; (3)若該單位用8600元購買了甲、乙、丙三種綠色植物共400棵(每種植物的單價和每棵栽種的合理用地面積如下表).問丙種植物最多可以購買多少棵?此時,這批

45、植物可以全部栽種到這塊空地上嗎?請說明理由. 甲 乙 丙 單價（元/棵） 14 16 28 合理用地（棵） 0.4 1 0.4 【思路分析】（1）由題意知AB+BC+CD=36m,則可得BC=36-2x，則y=x(36-2x)，根據邊長為正數且AD和BC小于等于18m，可得到x的取值范圍；（2）由上問得出的解析式，將面積代入可求得x的值； 【解題過程】解：（1）由題意知四邊形ABCD為矩形. ∴AB=DC ∵AB+BC+CD=36m ∴BC=36-2x ∴y=x(36-2x)=－2x2+36x ∵AB>0,BC≤18 ∴9≤x<36 (2)由

46、上問可知y=-2x2+36x（9≤x<36） 當y=160時 -2x2+36x=160 解得x1=10,x2=8 ∵9≤x<36 ∴x=10 即AB=10m. （3）解：設甲為a,乙為b,則丙為400-a-b(a、b為整數) 由題意可得：14a+16b+28(400-a-b)=8600. 即7a+6b=1300 由（1）得，a的最大值為184 此時丙最多214株 用地面積（184+2.4）×0.4+2×1=161.2 y=x(36-2x), 當x=9時,y最大值為162 ∴這批植物可以全部栽種到這塊空地上 【知識點】方程、不等式、 8. （2018湖北荊門

47、，22，10分）隨著龍蝦節(jié)的火熱舉辦，某龍蝦養(yǎng)殖大戶為了發(fā)揮技術優(yōu)勢，一次性收購了小龍蝦，計劃養(yǎng)殖一段時間后再出售.已知每天養(yǎng)殖龍蝦的成本相同，放養(yǎng)天的總成本為，放養(yǎng)天的總成本為元.設這批小龍蝦放養(yǎng)天后的質量為，銷售單價為元/，根據往年的行情預測，與的函數關系為，與的函數關系如圖所示. （1）設每天的養(yǎng)殖成本為元，收購成本為元，求與的值； （2）求與的函數關系式； （3）如果將這批小龍蝦放養(yǎng)天后一次性出售所得利潤為元.問該龍蝦養(yǎng)殖大戶將這批小龍蝦放養(yǎng)多少天后一次性出售所得利潤最大？最大利潤是多少？ （總成本=放養(yǎng)總費用+收購成本；利潤=銷售總額-總成本） 【思路分析】（1）根

48、據放養(yǎng)天的總成本為，放養(yǎng)天的總成本為元可得，解出m和n的值即可； （2）當0≤t≤20時，設，將（0，16）和（20，28）代入即可得出解析式，當20＜t≤50時，設 ，將（20，28）和（50，22）代入即可得出解析式； （3）根據題意可得當0≤t≤20時，W=5400t，當20＜t≤50時，W=-20(t-25)2+108500，進而得出W的最大值. 【解題過程】解：（1）依題意，得，解得. （2） 當0≤t≤20時，設，由圖象得：，解得， ∴. 當20＜t≤50時，設 ，由圖象得：，解得， ∴ 綜上，. （3） W=ya-mt-n 當0≤t≤20時，W=10000()

49、-600t-160000=5400t ∵5400＞0， ∴當t=20時，W最大=5400×20=10800 當20＜t≤50時，W=（）（100t+8000）-600t-160000=-20t2+1000t+96000=-20(t-25)2+108500 ∵-20＜0，拋物線開口向下， ∴當t=25時，W最大=108500， ∵108500＞108000， ∴當t=25時，W取最大值，該最大值為108500元. 【知識點】待定系數法求函數的解析式，二次函數的最值 9.（2018河南，21，10分）某公司推出一款產品,經市場調查發(fā)現,該產品的日銷售量（個）與銷售單價（元）之

50、間滿足一次函數關系．關于銷售單價, 日銷售量, 日銷售利潤的幾組對應值如下表： 銷售單價x（元） 85 95 105 115 日銷售量（個） 175 125 75 m 日銷售利潤（元） 875 1875 1875 875 （注：日銷售利潤 = 日銷售量 （銷售單價 - 成本單價）） （1）求y關于x的函數解析式(不要求寫出x的取值范圍)及m的值； （2）根據以上信息,填空： 該產品的成本單價是 元．當日銷售單價= 元時,日銷售利潤最大,最大值是 元； （3）公司計劃開展科技創(chuàng)新,以降低該產品的成本. 預計在今后的銷

51、售中,日銷售量與銷售單價仍存在（1）中的關系.若想實現銷售單價為90元時,日銷售利潤不低于3750元的銷售目標,該產品的成本單價應不超過多少元? 【思路分析】本題主要考查了待定系數法求一次函數的解析式，建立二次函數模型解決最值問題，列不等式組解決實際問題等知識。 （1）根據表格中的信息利用待定系數法，直接計算可得； （2）根據給出的公式“日銷售利潤 = 日銷售量 （銷售單價 - 成本單價）”帶入一組數據求出成本單價，進而列出二次函數的解析式； （3）根據日銷售利潤不低于3750元，列出不等式，經過計算，可求出當日銷售利潤不低于3750元的銷售目標時,該產品的成本單價的范圍。 【

52、解題過程】（1）設y關于x的函數解析式為, 由題意得　解得 ∴y關于x的函數解析式為 ………………………………3分 當時, ……………………………………4分 （2） ………………………………………………………………7分 （3）設該產品的成本單價為a元， 由題意得 解得． 答：該產品的成本單價應不超過65元．…………………………………10分 【知識點】待定系數法求一次函數解析式、二次函數的最值、不等式的應用 10. （2018湖北省襄陽市，23，10分） 襄陽市精準扶貧工作已進入攻堅階段.貧困戶張大爺在某單位的幫扶下，把一片坡地改造后種植了優(yōu)

53、質水果藍莓，今年正式上市銷售.在銷售的30天中，第一天賣出20千克，為了擴大銷量，采取了降價措施，以后每天比前一天多賣出4千克.第x天的售價為y元/千克，y關于x的函數解析式為且第12天的售價為32元/千克，第26天的售價為25元/千克.已知種植銷售藍莓的成本是18元/千克，每天的利潤是W元(利潤=銷售收入一成本) (1)m= ▲ ；n= ▲ ； (2)求銷售藍莓第幾天時，當天的利潤最大?最大利潤是多少? (3)在銷售藍莓的30天中，當天利潤不低于870元的共有多少天? 【思路分析】一次函數、二次函數的實際應用題，重點考查學生建模能力，把實際問題轉化為函數問題。

54、同時考查了利用函數求最值，利用函數圖象解不等式等知識點，對于學生建模能力有較高要求，同時需要學生的計算非常準確. （1） 將x=12，y=32和x=26，y=25分別代入y=mx-76m即可求出m，n的值； （2） 由（1）可知，再根據“利潤=銷售收入一成本”列出利潤W與x的函數關系式，分別利用二次函數和一次函數的性質計算最大值，比較兩種情況下的最大值即為得出答案； （3） 根據二次函數、一次函數圖象的增減性確定利潤不低于870元時x的取值范圍，找出取值范圍內的正整數解的個數即為答案. 【解題過程】解：（1）m=，n=25. 理由如下：把x=12，y=32代入y=mx-76m得，12

55、m-76m=32 解得，m=. 把x=26，y=25代入y=n得，n=25. 故答案為 25； （2）第x天的銷售量為20+4(x-1)=4x+16. 當1≤x＜20時，W=(4x+16)(x+38-18) =-2x2+72x+320 =-2(x-18)2+968. ∴當x=18時，W最大值=968. 當20≤x≤30時，W=(4x+16)(25-18)=28x+112. ∵k=28＞0， ∴W隨x的增大而增大， ∴當x=30時，W最大值=952. ∵968＞952， ∴當x=18時，W最大值=968元. 即第18天當天的利潤最大，最大利潤為968元. （3）

56、當1≤x＜20時，令-2x2+72x+320=870， 解得，x1=25，x2=11. ∵拋物線W=-2x2+72x+320的開口向下， ∴11≤x≤25時，W≥870. ∴11≤x＜20. ∵x為正整數， ∴有9天利潤不低于870元. 當20≤x≤30時，令28x+112≥870， 解得，x≥. ∴≤x≤30. ∵x為整數， ∴有3天利潤不低于870元. 綜上所述，當天利潤不低于870元的共有12天. 【知識點】一次函數的應用、二次函數的應用 11. （2018四川涼山州，27，14分）結合西昌市創(chuàng)建文明城市要求，某小區(qū)業(yè)主委員會決定把一塊長80m，寬60m的

57、矩形空地建成花園小廣場，設計方案如圖所示，陰影區(qū)域為綠化區(qū)（四塊綠化區(qū)為全等的直角三角形），空白區(qū)域為活動區(qū)，且四周出口寬度一樣，其寬度不小于36m，不大于44m，預計活動區(qū)造價60元／m2，綠化區(qū)造價50元／m2，設綠化區(qū)域較長直角邊為xm. （1）用含x的代數式表示出口的寬度； （2）求工程總造價y與x的函數關系式，并直接寫出x的取值范圍； （3）如果業(yè)主委員會投資28.4萬元，能否完成全部工程？若能，請寫出x為整數的所有工程方案；若不能，請說明理由. （4）業(yè)主委員會決定在（3）設計的方案中，按最省錢的一種方案，先對四個綠化區(qū)域進行綠化，在實際施工中，每天比原計劃多綠化11m2，

58、結果提前4天完成四個區(qū)域的綠化任務，問原計劃每天綠化多少m2. (第27題圖) 【思路分析】（1）出口的寬度用含x的代數式表示為（）m； （2）由出口的寬度得， 又由題可得，小直角三角形的另一條直角邊為(x-10)m ∵ ； （2） 能否完成全部工程，關鍵看是否有滿足條件的整數x. 由題得，28.4萬元， 解出x. （4） 該函數圖像為拋物線 ∴當x取最大時，（3）設計的方案中最省錢. 此時算出， 設原計劃每天綠化a m2.由題得 【解題過程】解：（1）出口的寬度用含x的代數式表示為（）m； （2）由題得， 又由題可得，小直角三

59、角形的另一條直角邊為(x-10)m ∵ ； （3）能完成全部工程. 理由： 由題得，28.4萬元， 解得 （4） 該函數圖像為拋物線 ∴（3）設計的方案中,當x取22時，該方案最省錢. 此時， 設原計劃每天綠化a m2.由題得 ∴原計劃每天綠化33 m2. 【知識點】代數式的表示法，函數關系式，不等式組的正整數解，函數的最值，用分式方程解決問題. 12. （2018浙江省臺州市，23，12分） 某藥廠銷售部門根據市場調研結果，對該廠生產的一種新型原料藥未來兩年的銷售進行預測，并建立如下模型：設第個月該原料藥的月銷售量為（單位

60、：噸），與之間存在如圖所示的函數關系，其圖象是函數的圖象與線段的組合；設第個月銷售該原料藥每噸的毛利潤為（單位：萬元），與之間滿足如下關系： （1）當時，求關于的函數解析式； （2）設第個月銷售該原料藥的月毛利潤為（單位：萬元）. ①求關于的函數解析式； ②該藥廠銷售部門分析認為，是最有利于該原料藥可持續(xù)生產和銷售的月毛利潤范圍，求此范圍所對應的月銷售量的最小值和最大值. 【思路分析】（1）由函數圖象可知A、B兩點的坐標，通過待定系數法構造關于k和b的二元一次方程組，求出k和b的值即可.（2）將t分為三種情況：當0

61、利用銷售該原料藥的月毛利潤=該原料藥每噸的毛利潤×第t個月該原料藥的月銷售量即可，需要進行分類討論. （3）將w=336代入可以得到t的值，然后代入P=t+2即可得到月銷售量的最小值；將w=336代入得到相應的t的值，然后代入P=t+2可以得到月銷售量的最大值. 【解題過程】（1）當8