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2020年中考數(shù)學二輪復習 壓軸專題 圓(含解析)

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2020年中考數(shù)學二輪復習 壓軸專題 圓(含解析)

圓1如圖1,ABD內接于O,AD是直徑,BAD的平分線交BD于H,交O于點C,連接DC并延長,交AB的延長線于點E,(1)求證:AEAD;(2)若,求的值;(3)如圖2,連接CB并延長,交DA的延長線于點F,若AHHC,AF6,求BEC的面積解:(1)AD是直徑,ACD90°,即ACED,BD是BAD的平分線,故AEAD;(2),則設BE3a,AB2a,ADAE5a,O交BD于點G,BD是BAD的平分線,則,則OCBD,故OCAB,則OC是ADE的中位線,則OGABa,OCAD,則CGOCOG,CGAB,則;(3)設:OGm,則AB2m,當AHHC時,由(2)知,AHBCHG(AAS),則ABCG2m,則OC3m,即圓的半徑為3m,ABCO,則,即,解得:m1,故AB2,AD6,BE4,則BD4,ECDC,則BEC的面積SEBD×BE×BD×4×442如圖,AB是O的直徑,M是OA的中點,弦CDAB于點M,過點D作DECA交CA的延長線于點E(1)連接AD,求OAD;(2)點F在上,CDF45°,DF交AB于點N若DE,求FN的長解:(1)如圖1,連接OD,是的直徑,于點AB垂直平分CD,M是OA的中點,DOM60°,AOOD,OAD是等邊三角形,OAD60°;(2)如圖2,連接CF,CN,OACD于點M,點M是CD的中點,AB垂直平分CD,NCND,CDF45°,NCDNDC45°,CND90°,CNF90°,由(1)可知,AOD60°,ACD30°,又DECA交CA的延長線于點E,E90°,ACD30°,DECD2DE2,CNCDsin45°2,由(1)可知,CAD2OAD120°,F(xiàn)180°120°60°,在RtCFN中,F(xiàn)N3如圖1,銳角ABC,ABAC,O是ABC的外接圓,連接BO并延長交AC于點D,(1)若BDC30°,求BAC的度數(shù);(2)如圖2,當0°BAC60°時,作點C關于BD的對稱點E,連接AE、DE,DE交AB于F點E在O上(選填“內”、“上”、“外”);證明:AEFEAB;若BDC為等腰三角形,AD2,求AE的長解:(1)延長BD交圓O于點G,連結CG,如圖:,AG,直徑BG,BCG90°,ABAC,BCACBA,設BCACBA,則AG180°2,DCG90°,BDCG+DCG180°2+90°30°,80°,BACG180°2×80°20°;(2)連結OC、OE,延長BD交圓O于點M,連結CM,如圖:C、E是關于BD的對稱點,OCOE,點E在O上,故答案為:上;證明:C、E是關于BD的對稱點,23,45M,設1ABCx,則45M180°2x,690°x,23M+6270°3x,AEFEDCEAD23242(270°3x)2(180°2x)180°2x,AEF5180°2x,即AEFEAB;1ABCDBC,BDDC,BDC為等腰三角形,分兩種情況討論:()當BDBC時,12,即x270°3x,解得:x67.5°,445°60°,滿足題意,此時AED為等腰直角三角形,AEAD2,AE2;()當DCBC時,2DBC,即270°3x180°2x,解得:x90°,40°,不滿足0°BAC60°;綜上所述:AE24如圖,AB是O的直徑,點C、D在O上,AD與BC相交于點E連接BD,作BDFBAD,DF與AB的延長線相交于點F(1)求證:DF是O的切線;(2)若DFBC,求證:AD平分BAC;(3)在(2)的條件下,若AB10,BD6,求CE的長解:(1)連接OD,CD,AB是直徑,ADB90°,ADO+ODB90°,OAOD,BADADO,BDFBAD,BDF+ODB90°,ODF90°,ODDF,DF是O的切線;(2)DFBC,F(xiàn)DBCBD,CADCBD,且BDFBAD,CADBADCBDBDF,AD平分BAC;(3)AB10,BD6,AD8,CBDBAD,ADBBDE90°,BDEADB,DE,AEADDE,CADBAD,sinCADsinBADCE5如圖1,在平面直角坐標系中,O1與x軸相切于點A(3,0),與y軸相交于B、C兩點,且BC8,連接AB(1)求證:ABO1ABO;(2)求AB的長;(3)如圖2,O2經過A、B兩點,與y軸的正半軸交于點M,與O1B的延長線交于點N,求出BMBN的值(1)證明:如圖11,連接AO1,O1與x軸相切于點A,OAO190°,又AOB90°,OAO1+AOB180°,AO1OB,ABOO1AB,O1AO1B,O1ABABO1,ABO1ABO;(2)解:如圖12,過點O1作O1HBC于H,則CHBHBC4,O1HOHOAOAO190°,四邊形AO1HO是矩形,AO1AO3,在RtO1HB中,O1B5,HOO1AO1B5,OBHOBH1,在RtAOB中,AB;(3)解:如圖2,作點B關于x軸的對稱點B',則點OB'OB1,ABAB',BB'2,AB'OABO由(1)知,ABOABO1,ABO1AB'O,180°ABO1180°AB'O,即ABNAB'M,又,AMB'N,AMB'ANB(AAS),MB'NB,BMBNBMB'MBB'2,BMBN的值為26如圖,P是直徑AB上的一點,AB6,CPAB交半圓于點C,以BC為直角邊構造等腰RtBCD,BCD90°,連接OD小明根據(jù)學習函數(shù)的經驗,對線段AP,BC,OD的長度之間的關系進行了探究下面是小明的探究過程,請補充完整:(1)對于點P在AB上的不同位置,畫圖、測量,得到了線段AP,BC,OD的長度的幾組值,如下表:位置1位置2位置3位置4位置5位置6位置AP0.001.002.003.004.005.00BC6.005.484.904.243.462.45OD6.717.247.076.716.165.33在AP,BC,OD的長度這三個量中確定AP的長度是自變量,BC的長度和OD的長度都是這個自變量的函數(shù);(2)在同一平面直角坐標系xOy中,畫出(1)中所確定的函數(shù)的圖象;(3)結合函數(shù)圖象,推斷:當OD2BC時,線段AP的長度約為4.5解:(1)由圖表觀察,可看出隨著AP的變化,BC和OD都在發(fā)生變化,且都有唯一確定的值和其對應,所以AP的長度是自變量,BC和OD的長度都是這個自變量的函數(shù),故答案分別為:AP,BC,OD;(2)如右圖,可先描點,再畫出如圖所示圖象;(3)由圖象可推斷:當OD2BC時,線段AP的長度約為4.5,故答案為:4.57如圖,以ABC的BC邊上一點O為圓心的圓,經過A、B兩點,且與BC邊交于點E,D為BE的下半圓弧的中點,連接AD交BC于F,若ACFC(1)求證:AC是O的切線;(2)若BF8,DF,求O的半徑(3)過點B作O的切線交CA的延長線于G,如果連接AE,將線段AC以直線AE為對稱軸作對稱線段AH,點H正好落在O上,連接BH,求證:四邊形AHBG為菱形(1)證明:如圖1,連接OA,OD,則OAFD,D為BE的下半圓弧的中點,EODBOD×180°90°,OFD+D90°,CACF,CAFCFAOFD,CAF+OAF90°,即CAO90°,OACA,AC是O的切線;(2)如圖1,設半徑為r,則OFBFOB8r,在RtOFD中,OF2+OD2DF2,(8r)2+r2()2,解得,r16,r22(舍去),O的半徑為6;(3)如圖2,連接EH,由對稱性可知ACAH,CAEHAE,又AEAE,CAEHAE(SAS),CEHA,EHAABE,CABE,OAOB,OABOBA,BE為O的直徑,EAB90°,OAB+OAE90°,又CAE+OAE90°,CAEOAB,COBAOABCAE,ACAB,CAEBAO(ASA),AEAOOE,AEO是等邊三角形,AEO60°,ABE90°AEO30°,AHBAEO60°,ABG90°ABE60°,CAAH,CAAB,AHAB,又AHB60°,ABH是等邊三角形,ABBHAH,GB,GA是O的切線,GBGA,又ABG60°,ABG是等邊三角形,ABBGAG,BHAHBGAG,四邊形AHBG是菱形8已知:ABC是O的內接三角形,AB為直徑,ACBC,D、E是O上兩點,連接AD、DE、AE(1)如圖1,求證:AEDCAD45°;(2)如圖2,若DEAB于點H,過點D作DGAC于點G,過點E作EKAD于點K,交AC于點F,求證:AF2DG;(3)如圖3,在(2)的條件下,連接DF、CD,若CDFGAD,DK3,求O的半徑(1)證明:如圖1,連接CO,CE,AB是直徑,ACB90°,ACBC,BCAB45°,COA2B90°,CADCED,AEDCADAEDCEDAECCOA45°,即AEDCAD45°;(2)如圖2,連接CO并延長,交O于點N,連接AN,過點E作EMAC于M,則CAN90°,ACBC,AOBO,CNAB,AB垂直平分CN,ANAC,NABCAB,AB垂直平分DE,ADAE,DABEAB,NABEABCABDAB,即GADNAE,CANCME90°,ANEM,NAEMEA,GADMEA,又GAME90°,ADEA,ADGEAM(AAS),AGEM,AMDG,又MEF+MFE90°,MFE+GAD90°,MEFGAD,又GFME90°,ADGEFM(ASA),DGMF,DGAM,AFAM+MF2DG;(3)CDFGAD,F(xiàn)CDDCA,F(xiàn)CDDCA,CFDCDACBA,ACBC,AB為直徑,ABC為等腰直角三角形,CFDCDACBA45°,GFD為等腰直角三角形,設GFGDa,則FDa,AF2a,F(xiàn)AKDAG,AKFG90°,AFKADG,在RtAFK中,設FKx,則AK3x,F(xiàn)K2+AK2AF2,x2+(3x)2(2a)2,解得,xa(取正值),F(xiàn)Ka,在RtFKD中,F(xiàn)K2+DK2FD2,(a)2+32(a)2,解得,a(取正值),GFGD,AF,F(xiàn)CDDCA,CD2CAFC,CD2CG2+GD2,CG2+GD2CAFC,設FCn,則(n)2+()2(+n)n,解得,n,ACAF+CF+,ABAC,O的半徑為9如圖,在ABCD中,AB4,BC8,ABC60°點P是邊BC上一動點,作PAB的外接圓O交BD于E(1)如圖1,當PB3時,求PA的長以及O的半徑;(2)如圖2,當APB2PBE時,求證:AE平分PAD;(3)當AE與ABD的某一條邊垂直時,求所有滿足條件的O的半徑解:(1)如圖1,過點A作BP的垂線,垂足為H,作直徑AM,連接MP,在RtABH中,ABH60°,BAH30°,BHAB2,AHABsin60°2,HPBPBH1,在RtAHP中,AP,AB是直徑,APM90°,在RtAMP中,MABP60°,AM,O的半徑為,即PA的長為,O的半徑為;(2)當APB2PBE時,PBEPAE,APB2PAE,在平行四邊形ABCD中,ADBC,APBPAD,PAD2PAE,PAEDAE,AE平分PAD;(3)如圖31,當AEBD時,AEB90°,AB是O的直徑,rAB2;如圖32,當AEAD時,連接OB,OE,延長AE交BC于F,ADBC,AFBC,BFEDAE,在RtABF中,ABF60°,AFABsin60°2,BFAB2,EF,在RtBFE中,BE,BOE2BAE60°,OBOE,OBE是等邊三角形,r;當AEAB時,BAE90°,AE為O的直徑,BPE90°,如圖33,過點D作BC的垂線,交BC的延長線于點N,延開PE交AD于點Q,在RtDCN中,DCN60°,DC4,DNDCsin60°2,CNCD2,PQDN2,設QEx,則PE2x,在RtAEQ中,QAEBADBAE30°,AE2QE2x,PEDN,BPEBND,BP10x,在RtABE與RtBPE中,AB2+AE2BP2+PE2,16+4x2(10x)2+(2x)2,解得,x16(舍),x2,AE2,BE2,r,O的半徑為2或或10已知:四邊形ABCD內接于O,連接AC,ABAD(1)如圖1,求證:CA平分BCD;(2)如圖2,連接BD交AC于點E,若BD為O直徑,求證:tanCAD;(3)如圖3,在(2)的條件下,點F為BC中點,連接AF并延長交O于G,若FG2,tanGAD,求DE的長(1)證明:ABAD,ACBACD,CA平分BCD;(2)證明:如圖2,過點D作AC的平行線交BC延長線于Q,CADCBD,BD為直徑,BCD90°,tanCADtanCBD,DQACQACB,ACDCDQ,由(1)得ACBACD,QCDQ,CDCQ,CEDQ,DE:EBCQ:BC,即DE:EBCD:CB,tanCAD;(3)如圖3,過點D、B分別作DHAG于H,BNAG于N,過O作OMAG于M,tanGAD,設AH3k,DH4k,BAN+NAD90°,NAD+ADH90°,BANADH,又BNAAHD90°,ABAD,ADHBAN(AAS),BNAH3k,ANDH4k,DHOMBN,且OBOD,MHMN,NHANAHk,OMAG,MAMG,AHNG3k,F(xiàn)N3k2,連接CG,過點C作CPAB,則ABFPCF,BAFP,又BFCF,ABFPCF(AAS),F(xiàn)AFP,BAFGCB,GCFP,F(xiàn)CGFPC,CF2FGFP,CFBF,即BN2+FN2FGFA,(3k)2+(3k2)22(4k+3k2),解得k1 或k(FN0舍去),在RtAHD中,AH3,DH4,AD5,BDAB5,BF2BN2+FN2(3k)2+(3k2)210,BF,BC2,在RtBCD中,CD,tanCBD,DEBD11已知:AB、AC是O中的兩條弦,連接OC交AB于點D,點E在AC上,連接OE,AEOBDO(1)如圖1,若CADCOE,求證:;(2)如圖2,連接OA,若OABCOE,求證:AECD;(3)如圖3,在第(2)問的條件下,延長AO交O于點F,點G在AB上,連接GF,若ADC2BGF,AE5,DG1,求線段BG的長(1)證明:設OE與AB交于點H,CADCOE,EHADHO,AEOODA,AEOBDO,BDO+ADO180°,ADOBDO90°,ODAB,;(2)證明:AEO+CEO180°,BDO+ADO180°,AEOBDO,CEOADO,在CEO和ODA中,COEOAD,CEOADO,OCOA,CEOODA(AAS),CEOD,ECOAOD,OAACOC,AOC為等邊三角形,AEACCE,CDOCOD,AECD;(3)證明:延長FG交OC于點S,延長CO到點T,使OTOS,連接AT,BF,設BGF,則BGFSGD,ADC2BGF2,ADCGSD+SGDDSGDGSSDDG1AECD5CSCDSD4在FOS和AOT中,OSOT,SOFAOT,OFOA,F(xiàn)OSAOT(SAS)ATOFSO,ADC2,DATDTA,ADDT,設OAOCACr,OTOSr4,ODr5,ADDT2r9,在ADC中,CD5,ACr,AD2r9,ACD60°,解ADC得,r8,AD7,過點D作DKOA,在DOK中,OD3,DOK60°,OK,AK,cosDAK,在ABF中,ABAF×cosDAK,BGABAG12已知四邊形ABCD為O的內接四邊形,直徑AC與對角線BD相交于點E,作CHBD于H,CH與過A點的直線相交于點F,F(xiàn)ADABD(1)求證:AF為O的切線;(2)若BD平分ABC,求證:DADC;(3)在(2)的條件下,N為AF的中點,連接EN,若AED+AEN135°,O的半徑為2,求EN的長(1)證明:如圖1,AC為O的直徑,ADC90°,DAC+DCA90°,ABDDCA,F(xiàn)ADABD,F(xiàn)ADDCA,F(xiàn)AD+DCA90°,CAAF,AF為O的切線(2)證明:如圖2,連接OD,ABDAOD,DBCDOC,BD平分ABC,ABDDBC,DOADOC,DADC(3)如圖3,連接OD交CF于M,作EPAD于P,AC為O的直徑,ADC90°DADC,DOAC,F(xiàn)ACDOC90°,AFOM,AOOC,OMAFODE+DEO90°,OCM+DEO90°ODEOCMDOECOM,ODOC,ODEOCM,OEOM,設OMm,AE2m,APPE2m,DP2+m,AED+AEN135°,AED+ADE135°,AENADE,EANDPE,EANDPE,m,AN,AE,勾股定理得NE13MN是O上的一條不經過圓心的弦,MN4,在劣弧MN和優(yōu)弧MN上分別有點A,B(不與M,N重合),且,連接AM,BM(1)如圖1,AB是直徑,AB交MN于點C,ABM30°,求CMO的度數(shù);(2)如圖2,連接OM,AB,過點O作ODAB交MN于點D,求證:MOD+2DMO90°;(3)如圖3,連接AN,BN,試猜想AMMB+ANNB的值是否為定值,若是,請求出這個值;若不是,請說明理由解:(1)如圖1,AB是O的直徑,AMB90°,AMNBMN45°OMOB,OMBOBM30°,CMO45°30°15°;(2)如圖2,連接OA,OB,ON,AONBON又OAOB,ONABODAB,DON90°OMON,OMNONMOMN+ONM+MOD+DON180°,MOD+2DMO90°;(3)如圖3,延長MB至點M,使BMAM,連接NM,作NEMM于點E設AMa,BMb四邊形AMBN是圓內接四邊形,A+MBN180°NBM+MBN180°,ANBM,ANBN,AMNBMN(SAS),MNNM,BMAMaNEMM于點EME2+(BN2BE2)MN2,化簡得ab+NB216,AMMB+ANNB1614已知,在PAB中,PAPB,經過A、B作O(1)如圖1,連接PO,求證:PO平分APB;(2)如圖2,點P在O上,PA:AB:2,E是O上一點,連接AE、BE求tanAEB的值;(3)如圖3,在(2)的條件下,AE經過圓心O,AE交PB于點F,過F作FGBE于點G,EF+BG14,求線段OF的長度(1)證明:連接OA,OB,則OAOB,又PAPB,PO垂直平分AB,PO平分APB;(2)解:延長PO,交AB于H,過點A作AMPB于M,由(1)知PH垂直平分AB,PA:AB:2,設AB2,則APBP,AHBH1,在RtPAH中,PH3,SPABABPHPBAM,2×3×AM,AM,在RtPAM中,PM,tanAPM:,AEBAPM,tanAEB;(3)連接PO并延長,交AB于點H,由(1)知,PH垂直平分AB,AE為直徑,在RtEFG中,tanFEG,設FG3x,則EG4x,EF5x,EF+BG14,BG145x,ABE90°AHPPHB,PHEB,HPBGBF,HPBGBF,解得,x1,EF5,BEBG+EG9+413,ABBE,AE,OEAE,OFOEEF5,線段OF的長度為15如圖1,在O中,點A為的中點,點D在O上(1)求證:BAC+2ADB180°;(2)如圖2,點G為O上一點,DG與BC的延長線交于點K,若CBD2ABC,BCCK,求證:BGKG;(3)如圖3,在(2)的條件下,AC與BG的延長線交于點E,CE3AC15,BE10,求線段BD的長(1)證明:如圖1,連接DC,點A為的中點,ADBADC,BDC2ADB,四邊形ABCD是圓內接四邊形,BAC+BDC180°,BAC+2ADB180°;(2)如圖2,連接CG,ABCADCADB,BDC2ABC,CBD2ABC,BDCCDB,CBCD,BCCK,CDCK,CDKK,CBD+CDB+CDK+K180°,CBD+K90°,BDK90°,BG為O的直徑,BCG90°,GCBK,又BCCK,BGKG;(3)CE3AC15,ACAB5,四邊形ABGC是圓內接四邊形,BAC+BGC180°,CGE+BGC180°,BACCGE,又EE,ECGEBA,即,GE6,CG,BGBEGE4,由(2)知,BGKG,KG4,在RtBCG中,BC5,BKBC+CK10,BDGGCK90°,KK,KCGKDB,即,DB,線段BD的長為

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