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2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸專(zhuān)題 四邊形(含解析)

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2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 壓軸專(zhuān)題 四邊形(含解析)

四邊形1【習(xí)題再現(xiàn)】課本中有這樣一道題目:如圖1,在四邊形ABCD中,E,F(xiàn),M分別是AB,CD,BD的中點(diǎn),ADBC求證:EFMFEM(不用證明)【習(xí)題變式】(1)如圖2,在“習(xí)題再現(xiàn)”的條件下,延長(zhǎng)AD,BC,EF,AD與EF交于點(diǎn)N,BC與EF交于點(diǎn)P求證:ANEBPE(2)如圖3,在ABC中,ACAB,點(diǎn)D在AC上,ABCD,E,F(xiàn)分別是BC,AD的中點(diǎn),連接EF并延長(zhǎng),交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接GD,EFC60°求證:AGD90°【習(xí)題變式】解:(1)F,M分別是CD,BD的中點(diǎn),MFBP,MFEBPEE,M分別是AB,BD的中點(diǎn),MEAN,MEFANEADBC,MEMF,EFMFEM,ANEBPE(2)連接BD,取BD的中點(diǎn)H,連接EH,F(xiàn)HH,F(xiàn)分別是BD和AD的中點(diǎn),HFBG,HFEFGAH,E分別是BD,BC的中點(diǎn),HEAC,HEFEFC60°ABCD,HEHF,HFEEFC60°,AGF60°,AFGEFC60°,AFG為等邊三角形AFGF,AFFD,GFFD,F(xiàn)GDFDG30°,AGD60°+30°90°2(1)問(wèn)題:如圖1,在RtABC中,BAC90°,ABAC,D為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),連接AD,過(guò)點(diǎn)A作AEAD,并滿(mǎn)足AEAD,連接CE則線段BD和線段CE的數(shù)量關(guān)系是BDCE,位置關(guān)系是BDCE(2)探索:如圖2,當(dāng)D點(diǎn)為BC邊上一點(diǎn)(不與點(diǎn)B,C重合),RtABC與RtADE均為等腰直角三角形,BACDAE90°,ABAC,ADAE試探索線段BD2、CD2、DE2之間滿(mǎn)足的等量關(guān)系,并證明你的結(jié)論;(3)拓展:如圖3,在四邊形ABCD中,ABCACBADC45°,若BD3,CD1,請(qǐng)直接寫(xiě)出線段AD的長(zhǎng)解:(1)問(wèn)題:在RtABC中,ABAC,BACB45°,BACDAE90°,BACDACDAEDAC,即BADCAE,在BAD和CAE中,BADCAE(SAS),故答案為:BDCE,BDCE;(2)探索:結(jié)論:DE2BD2+CD2,理由是:如圖2中,連接ECBACDAE90°,BADCAE,在ABD和ACE中,BADCAE(SAS),BDCE,BACE45°,BCEACB+ACE45°+45°90°,DE2CE2+CD2,DE2BD2+CD2;(3)拓展:如圖3,將AD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至AG,連接CG、DG,則DAG是等腰直角三角形,ADG45°,ADC45°,GDC90°,同理得:BADCAG,CGBD3,RtCGD中,CD1,DG2,DAG是等腰直角三角形,ADAG23如圖1,正方形ABCD的邊CD在正方形ECGF的邊CE上,連接BE、DG(1)BE和DG的數(shù)量關(guān)系是BEDG,BE和DG的位置關(guān)系是BEDG;(2)把正方形ECGF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn),如圖2,(1)中的結(jié)論是否還成立?若成立,寫(xiě)出證明過(guò)程,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;(3)設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,正方形ECGF的邊長(zhǎng)為3,正方形ECGF繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,若A、C、E三點(diǎn)共線,直接寫(xiě)出DG的長(zhǎng)解:(1)BEDGBEDG;理由如下:四邊形ABCD和四邊形CEFG為正方形,CDBC,CECG,BCEDCG90°,在BEC和DGC中,BECDGC(SAS),BEDG;如圖1,延長(zhǎng)GD交BE于點(diǎn)H,BECDGC,DGCBEC,DGC+EBCBEC+EBC90°,BHG90°,即BEDG;故答案為:BEDG,BEDG(2)成立,理由如下:如圖2所示:同(1)得:DCGBCE(SAS),BEDG,CDGCBE,DMEBMC,CBE+BMC90°,CDG+DME90°,DOB90°,BEDG;(3)由(2)得:DGEB,分兩種情況:如圖3所示:正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,正方形ECGF的邊長(zhǎng)為3,ACBD,BDACAB4,OAOCOBAC2,CE3,AEACCE,OEOAAE,在RtBOE中,由勾股定理得:DGBE;如圖4所示:OECE+OC2+35,在RtBOE中,由勾股定理得:DGBE;綜上所述,若A、C、E三點(diǎn)共線,DG的長(zhǎng)為或4如圖,在ABC中,B90°,AB6cm,BC8cm,動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā),沿CA方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;同時(shí),動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā),沿AB方向勻速運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;當(dāng)一個(gè)點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng),另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)設(shè)點(diǎn)D,E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t(s)(0t5)過(guò)點(diǎn)D作DFBC于點(diǎn)F,連接DE,EF(1)t為何值時(shí),DEAC?(2)設(shè)四邊形AEFC的面積為S,試求出S與t之間的關(guān)系式;(3)是否存在某一時(shí)刻t,使得S四邊形AEFC:SABC17:24,若存在,求出t的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;(4)當(dāng)t為何值時(shí),ADE45°?解:(1)B90o,AB6 cm,BC8 cm,AC10(cm),若DEAC,EDA90°,EDAB,AA,ADEABC,即:,t,當(dāng)ts時(shí),DEAC;(2)DFBC,DFC90°,DFCB,CC,CDFCAB,即,CF,BF8,BEABAE6t,SSABCSBEF×ABBC×BFBE×6×8×(8t)×(6t)t2+t;(3)若存在某一時(shí)刻t,使得S四邊形AEFC:SABC17:24,根據(jù)題意得:t2+t××6×8,解得:t1,t2(不合題意舍去),當(dāng)ts時(shí),S四邊形AEFC:SABC17:24;(4)過(guò)點(diǎn)E作EMAC與點(diǎn)M,如圖所示:則EMAB90°,AA,AEMACB,即,EMt,AMt,DM102tt10t,在RtDEM中,當(dāng)DMME時(shí),ADE45°,10tt,t當(dāng)ts時(shí),ADE45°5我們定義:如果兩個(gè)等腰三角形的頂角相等,且項(xiàng)角的頂點(diǎn)互相重合,則稱(chēng)此圖形為“手拉手全等模型”因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊,形象的可以看作兩雙手,所以通常稱(chēng)為“手拉手模型”例如,如圖(1),ABC與ADE都是等腰三角形,其中BACDAE,則ABDACE(SAS)(1)熟悉模型:如圖(2),已知ABC與ADE都是等腰三角形,ABAC,ADAE,且BACDAE,求證:BDCE;(2)運(yùn)用模型:如圖(3),P為等邊ABC內(nèi)一點(diǎn),且PA:PB:PC3:4:5,求APB的度數(shù)小明在解決此問(wèn)題時(shí),根據(jù)前面的“手拉手全等模型”,以BP為邊構(gòu)造等邊BPM,這樣就有兩個(gè)等邊三角形共頂點(diǎn)B,然后連結(jié)CM,通過(guò)轉(zhuǎn)化的思想求出了APB的度數(shù),則APB的度數(shù)為150度;(3)深化模型:如圖(4),在四邊形ABCD中,AD4,CD3,ABCACBADC45°,求BD的長(zhǎng)(1)證明:BACDAE,BAC+CADDAE+CAD,即BADCAE,在BAD和CAE中,BADCAE(SAS),BDCE;(2)解:以BP為邊構(gòu)造等邊BPM,連接CM,如圖(3)所示:ABC與BPM都是等邊三角形,ABBC,BPBMPM,ABCPBMBMP60°,ABCPBCPBMPBC,即ABPCBM,在ABP和CBM中,ABPCBM(SAS),APCM,APBCMB,PA:PB:PC3:4:5,CM:PM:PC3:4:5,PC2CM2+PM2,CMP是直角三角形,PMC90°,CMBBMP+PMC60°+90°150°,APB150°,故答案為:150;(3)解:過(guò)點(diǎn)A作EAAD,且AEAD,連接CE,DE,如圖(4)所示:則ADE是等腰直角三角形,EAD90°,DEAD4,EDA45°,ADC45°,EDC45°+45°90°,在RtDCE中,CE,ACBABC45°,BAC90°,ABAC,BAC+CADEAD+CAD,即BADCAE,在BAD和CAE中,BADCAE(SAS),BDCE6(1)某學(xué)?!皩W(xué)習(xí)落實(shí)”數(shù)學(xué)興趣小組遇到這樣一個(gè)題目如圖,在ABC中,點(diǎn)O在線段BC上,BAO30°,OAC75°,AO,BO:CO2:1,求AB的長(zhǎng)經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)小組成員討論發(fā)現(xiàn),過(guò)點(diǎn)B作BDAC,交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,通過(guò)構(gòu)造ABD就可以解決問(wèn)題(如圖2)請(qǐng)回答:ADB75°,AB3(2)請(qǐng)參考以上解決思路,解決問(wèn)題:如圖3在四邊形ABCD中對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)0,ACAD,AO,ABCACB75°,BO:OD2:1,求DC的長(zhǎng)解:(1)如圖2中,過(guò)點(diǎn)B作BDAC,交AO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D,BDAC,ADBOAC75°BODCOA,BODCOA,2,又AO,OD2AO2,ADAO+OD3BAD30°,ADB75°,ABD180°BADADB75°ADB,ABAD3;故答案為75,3(2)如圖3中,過(guò)點(diǎn)B作BEAD交AC于點(diǎn)EACAD,BEAD,DACBEA90°AODEOB,AODEOB,2BO:OD1:3,AO,EO2,AE3ABCACB75°,BAC30°,ABAC,AB2BE在RtAEB中,BE2+AE2AB2,即(4BE2)2+BE2(2BE)2,解得:BE3,ABAC6,AD在RtCAD中,AC2+AD2CD2,即62+()2CD2,解得:CD(負(fù)根已經(jīng)舍棄)7正方形ABCD中,AB4,點(diǎn)E、F分別在AB、BC邊上(不與點(diǎn)A、B重合)(1)如圖1,連接CE,作DMCE,交CB于點(diǎn)M若BE3,則DM5;(2)如圖2,連接EF,將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí),記為點(diǎn)G;再將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí),記為點(diǎn)H;依此操作下去,如圖3,線段EF經(jīng)過(guò)兩次操作后拼得EFD,其形狀為等邊三角形,在此條件下,求證:AECF;若線段EF經(jīng)過(guò)三次操作恰好拼成四邊形EFGH,(3)請(qǐng)判斷四邊形EFGH的形狀為正方形,此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是AEBF;(4)以1中的結(jié)論為前提,設(shè)AE的長(zhǎng)為x,四邊形EFGH的面積為y,求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍解:(1)如圖1中,四邊形ABCD是正方形,BDCM90°,BE3,BC4,CE5,DMEC,DMC+MCE90°,MCE+CEB90°,DMCCEB,BCCD,BCECDM(AAS),DMEC5故答案為5(2)如題圖3,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知EFDFDE,則DEF為等邊三角形故答案為等邊三角形(2)四邊形EFGH的形狀為正方形,此時(shí)AEBF理由如下:依題意畫(huà)出圖形,如答圖1所示:連接EG、FH,作HNBC于N,GMAB于M由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知,EFFGGHHE,四邊形EFGH是菱形,由EGMFHN,可知EGFH,四邊形EFGH的形狀為正方形HEF90°1+290°,2+390°,133+490°,2+390°,24在AEH與BFE中,AEHBFE(ASA)AEBF故答案為正方形,AEBF(4)利用中結(jié)論,易證AEH、BFE、CGF、DHG均為全等三角形,BFCGDHAEx,AHBECFDG4xyS正方形ABCD4SAEH4×44×x(4x)2x28x+16y2x28x+16(0x4)y2x28x+162(x2)2+8,當(dāng)x2時(shí),y取得最小值8;當(dāng)x0時(shí),y16,y的取值范圍為:8y168已知:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系中,長(zhǎng)方形OABC的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)是(6,4)(1)直接寫(xiě)出A點(diǎn)坐標(biāo)(6,0),C點(diǎn)坐標(biāo)(0,4);(2)如圖2,D為OC中點(diǎn)連接BD,AD,如果在第二象限內(nèi)有一點(diǎn)P(m,1),且四邊形OADP的面積是ABC面積的2倍,求滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo);(3)如圖3,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)C出發(fā),以每鈔1個(gè)單位的速度沿線段CB運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)以每秒2個(gè)單位的速度沿線段AO運(yùn)動(dòng),當(dāng)N到達(dá)O點(diǎn)時(shí),M,N同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒(t0),在M,N運(yùn)動(dòng)過(guò)程中當(dāng)MN5時(shí),直接寫(xiě)出時(shí)間t的值解:(1)四邊形OABC是長(zhǎng)方形,ABOC,BCOA,B(6,4),A(6,0),C(0,4),故答案為:6,0,0,4;(2)如圖2,由(1)知,A(6,0),C(0,4),OA6,OC4,四邊形OABC是長(zhǎng)方形,S長(zhǎng)方形OABCOAOC6×424,連接AC,AC是長(zhǎng)方形OABC的對(duì)角線,SOACSABCS長(zhǎng)方形OABC12,點(diǎn)D是OC的中點(diǎn),SOADSOAC6,四邊形OADP的面積是ABC面積的2倍,S四邊形OADP2SABC24,S四邊形OADPSOAD+SODP6+SODP24,SODP18,點(diǎn)D是OC的中點(diǎn),且OC4,ODOC2,P(m,1),SODPOD|m|×2|m|18,m18(由于點(diǎn)P在第二象限,所以,m小于0,舍去)或m18,P(18,1);(3)如圖3,由(2)知,OA6,OC4,四邊形OABC是長(zhǎng)方形,AOCOCB90°,BC6,由運(yùn)動(dòng)知,CMt,AN2t,ONOAAN62t,過(guò)點(diǎn)M作MHOA于H,OHM90°AOCOCB,四邊形OCMH是長(zhǎng)方形,MHOC4,OHCMt,HN|ONCM|62tt|63t|,在RtMHN中,MN5,根據(jù)勾股定理得,HN2MN2MH2,|63t|252429,t1或t3,即:t的值為1或39綜合與實(shí)踐問(wèn)題情境數(shù)學(xué)課上,李老師提出了這樣一個(gè)問(wèn)題:如圖1,點(diǎn)P是正方形ABCD內(nèi)一點(diǎn),PA1,PB2,PC3你能求出APB的度數(shù)嗎?(1)小敏與同桌小聰通過(guò)觀察、思考、討論后,得出了如下思路:思路一:將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到BP'A,連接PP',求出APB的度數(shù);思路二:將APB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到CP'B,連接PP',求出APB的度數(shù)請(qǐng)參考以上思路,任選一種寫(xiě)出完整的解答過(guò)程類(lèi)比探究(2)如圖2,若點(diǎn)P是正方形ABCD外一點(diǎn),PA3,PB1,求APB的度數(shù)拓展應(yīng)用(3)如圖3,在邊長(zhǎng)為的等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)O,AOC90°,BOC120°,則AOC的面積是解:(1)思路一,如圖1,將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到BP'A,連接PP',則ABP'CBP,AP'CP3,BP'BP2,PBP'90°BPP'45°,根據(jù)勾股定理得,AP1,AP2+P'P21+89,又P'A2329,AP2+P'P2P'A2,APP'是直角三角形,且APP'90°,APBAPP'+BPP'90°+45°135°思路二、同思路一的方法(2)如圖2,將BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,得到BP'A,連接PP'則ABP'CBP,BP'BP1,PBP'90°BPP'45°,根據(jù)勾股定理得,AP3,AP2+P'P29+211,又,AP2+P'P2P'A2,APP'是直角三角形,且APP'90°,APBAPP'BPP'90°45°45°(3)如圖,將ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,得到BCE,連接OE則BAOBCE,AOBBEC360°90°120°150°,BOE是等邊三角形,BEOBOE60°,OEC90°,OEC120°60°60°,sin60°,設(shè)ECk,OC2k,則OAECk,AOC90°,OA2+OC2AC2,3k2+4k27,k1或1(舍棄),OA,OC2,SAOCOAOC××2故答案為10如圖1,在矩形ABCD中,點(diǎn)P是BC邊上一點(diǎn),連接AP交對(duì)角線BD于點(diǎn)E,BPBE作線段AP的中垂線MN分別交線段DC,DB,AP,AB于點(diǎn)M,G,F(xiàn),N(1)求證:BAPBGN;(2)若AB6,BC8,求;(3)如圖2,在(2)的條件下,連接CF,求tanCFM的值(1)證明:如圖1中,四邊形ABCD是矩形,ABC90°,BAPAPB90°BPBE,APBBEPGEF,MN垂直平分線段AP,GFE90°,BGN+GEF90°,BAPBGN(2)解:四邊形ABCD是矩形,BADABP90°,ADBC,ADBC8,BD10,ADBC,DAEAPB,APBBEPDEA,DAEDEA,DADE8,BEBPBDDE1082,PA2,MN垂直平分線段AP,AFPF,PBAD,PEPA,EFPFPE,(3)解:如圖3中,連接AM,MP設(shè)CMx四邊形ABCD是矩形,ADMMCP90°,ABCD6,ADBC8,MN垂直平分線段AP,MAMP,AD2+DM2PC2+CM2,82+(6x)262+x2,x,PFMPCM90°,P,F(xiàn),M,C四點(diǎn)共圓,CFMCPM,tanCFMtanCFM11在利用構(gòu)造全等三角形來(lái)解決的問(wèn)題中,有一種典型的利用倍延中線的方法,例如:在ABC中,AB8,AC6,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),怎樣求AD的取值范圍呢?我們可以延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使ADDE,然后連接BE(如圖),這樣,在ADC和EDB中,由于,ADCEDB,ACEB,接下來(lái),在ABE中通過(guò)AE的長(zhǎng)可求出AD的取值范圍請(qǐng)你回答:(1)在圖中,中線AD的取值范圍是1AD7(2)應(yīng)用上述方法,解決下面問(wèn)題如圖,在ABC中,點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),點(diǎn)E是AB邊上的一點(diǎn),作DFDE交AC邊于點(diǎn)F,連接EF,若BE4,CF2,請(qǐng)直接寫(xiě)出EF的取值范圍如圖,在四邊形ABCD中,BCD150°,ADC30°,點(diǎn)E是AB中點(diǎn),點(diǎn)F在DC上,且滿(mǎn)足BCCF,DFAD,連接CE、ED,請(qǐng)判斷CE與ED的位置關(guān)系,并證明你的結(jié)論解:(1)延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使ADDE,連接BE,如圖所示:點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),BDCD,在ADC和EDB中,ADCEDB(SAS),ACEB6,在ABE中,ABBEAEAB+BE,86AE8+6,即2AE14,1AD7,故答案為:1AD7;(2)延長(zhǎng)ED到點(diǎn)N,使EDDN,連接CN、FN,如圖所示:點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn),BDCD,在NDC和EDB中,中,NDCEDB(SAS),BECN4,DFDE,EDDN,EFFN,在CFN中,CNCFFNCN+CF,42FN4+2,即2FN6,2EF6;CEED;理由如下:延長(zhǎng)CE與DA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,如圖所示:點(diǎn)E是AB中點(diǎn),BEAE,BCD150°,ADC30°,DGBC,GAECBE,在GAE和CBE中,GAECBE(ASA),GECE,AGBC,BCCF,DFAD,CF+DFBC+ADAG+AD,即:CDGD,GECE,CEED12如圖,在平行四邊形ABCD中,ABAC,對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O,將直線AC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度(0°90°),分別交線段BC、AD于點(diǎn)E、F,已知AB1,連接BF(1)如圖,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中,請(qǐng)寫(xiě)出線段AF與EC的數(shù)量關(guān)系,并證明;(2)如圖,當(dāng)45°時(shí),請(qǐng)寫(xiě)出線段BF與DF的數(shù)量關(guān)系,并證明;(3)如圖,當(dāng)90°時(shí),求BOF的面積解:(1)AFCE;理由如下:四邊形ABCD是平行四邊形,ADBC,AOCO,F(xiàn)AOECO,在AFO與CEO中,AFOCEO(ASA),AFEC;(2)BFDF;理由如下:ABAC,BAC90°,AC2,四邊形ABCD是平行四邊形,BODO,AOCOAC1,ABAO,又ABAC,AOB45°,45°,AOF45°,BOFAOB+AOF45°+45°90°,EFBD,BODO,BFDF;(3)ABAC,CAB90°,CABAOF90°,ABEF,四邊形ABCD是平行四邊形,AFBE,四邊形ABEF是平行四邊形,ABEF1,由(1)得:AFOCEO,OFOEEF,由(2)得:AO1,ABEF,AOEF,SBOFSAOFAOOF×1×13綜合與實(shí)踐(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)如圖1,ACB和DCE均為等邊三角形,點(diǎn)A,D,E在同一直線上,連接BE請(qǐng)寫(xiě)出AEB的度數(shù)及線段AD,BE之間的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由(2)類(lèi)比探究如圖2,ACB和DCE均為等腰直角三角形,ACBDCE90°,點(diǎn)A,D,E在同一直線上,CM為DCE中DE邊上的高,連接BE填空:AEB的度數(shù)為90°;線段CM,AE,BE之間的數(shù)量關(guān)系為AEBE+2CM(3)拓展延伸在(2)的條件下,若BE4,CM3,則四邊形ABEC的面積為35解:(1)AEB60°,ADBE,理由如下:ACB和DCE均為等邊三角形,CACB,CDCE,ACBDCE60°ACDBCE在ACD和BCE中,ACDBCE(SAS)ADCBECADBE,DCE為等邊三角形,CDECED60°點(diǎn)A,D,E在同一直線上,ADC120°BEC120°AEBBECCED60°(2)猜想:AEB90°,AEBE+2CM理由如下:ACB和DCE均為等腰直角三角形,CACB,CDCE,ACBDCE90°ACDBCE在ACD和BCE中,ACDBCE(SAS)ADBE,ADCBECDCE為等腰直角三角形,CDECED45°點(diǎn)A,D,E在同一直線上,ADC135°BEC135°AEBBECCED90°CDCE,CMDE,DMMEDCE90°,DMMECMAEAD+DEBE+2CM故答案為:90°,AEBE+2CM;(3)由(2)得:AEB90°,ADBE4,DCE均為等腰直角三角形,CM為DCE中DE邊上的高,CMAE,DE2CM6,AEAD+DE4+610,四邊形ABEC的面積ACE的面積+ABE的面積AE×CM+AE×BE×10×3+×10×435;故答案為:3514如圖,正方形OABC的邊長(zhǎng)為8,P為OA上一點(diǎn),OP2,Q為OC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),分別以O(shè)PPQ為邊在正方形OABC內(nèi)部作等邊三角形OPD和等邊三角形PQE(1)證明:DEOQ;(2)直線ED與OC交于點(diǎn)F,點(diǎn)Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中EFC的度數(shù)是否發(fā)生改變?若不變,求出這個(gè)角的度數(shù);若改變,說(shuō)明理由;連結(jié)AE,求AE的最小值(1)證明:如圖1中,OPD和PQE是等邊三角形,POPD,PQPE,OPDQPE60°,OPQDPE,OPQDPE(SAS),DEOQ(2)OPQDPE,EDPPOQ90°,DOPODP60°FDOFDO30°,EFCFOC+FDO60°如圖2中,當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí),以PQ為邊作正三角形PQMEFC60°為定值,點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑為線段DM,過(guò)點(diǎn)P作PHEA,垂足為H,當(dāng)AEDE時(shí),AE的值最小PDEDEHPHE90°,四邊形PDEH是矩形,DPH90°,EHPD2,EHDP2,在PHA中,AHP90°,HPA30°AHPA3,AEEH+AH2+3515我們把對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做垂直四邊形(1)如圖1,在四邊形ABCD中,ABAD,CBCD,問(wèn)四邊形ABCD是垂直四邊形嗎?請(qǐng)說(shuō)明理由;(2)如圖2,四邊形ABCD是垂直四邊形,求證:AD2+BC2AB2+CD2;(3)如圖3,RtABC中,ACB90°,分別以AC、AB為邊向外作正方形ACFG和正方形ABDE,連接CE,BG,GE,已知AC4,BC3,求GE長(zhǎng)(1)解:四邊形ABCD是垂直四邊形;理由如下:ABAD,點(diǎn)A在線段BD的垂直平分線上,CBCD,點(diǎn)C在線段BD的垂直平分線上,直線AC是線段BD的垂直平分線,ACBD,即四邊形ABCD是垂直四邊形;(2)證明:設(shè)AC、BD交于點(diǎn)E,如圖2所示:ACBD,AEDAEBBECCED90°,由勾股定理得:AD2+BC2AE2+DE2+BE2+CE2,AB2+CD2AE2+BE2+DE2+CE2,AD2+BC2AB2+CD2;(3)解:連接CG、BE,如圖3所示:正方形ACFG和正方形ABDE,AGAC,ABAE,CGAC4,BEAB,CAGBAE90°,CAG+BACBAE+BAC,即GABCAE,在GAB和CAE中,GABCAE(SAS),ABGAEC,又AEC+CEB+ABE90°,ABG+CEB+ABE90°,即CEBG,四邊形CGEB是垂直四邊形,由(2)得,CG2+BE2BC2+GE2,AC4,BC3,AB5,BEAB5,GE2CG2+BE2BC2(4)2+(5)23273,GE

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