2020年中考數(shù)學二輪復習 重難題型突破 類型一 二次函數(shù)與線段問題

類型一 二次函數(shù)與線段問題例1、 如圖1-1，拋物線yx22x3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線對稱軸上的一個動點，如果PAC的周長最小，求點P的坐標圖1-1【解析】如圖1-2，把拋物線的對稱軸當作河流，點A與點B對稱，連結BC，那么在PBC中，PBPC總是大于BC的如圖1-3，當點P落在BC上時，PBPC最小，因此PAPC最小，PAC的周長也最小由yx22x3，可知OBOC3，OD1所以DBDP2，因此P(1,2)圖1-2 圖1-3例2、如圖，拋物線與y軸交于點A，B是OA的中點一個動點G從點B出發(fā)，先經過x軸上的點M，再經過拋物線對稱軸上的點N，然后返回到點A如果動點G走過的路程最短，請找出點M、N的位置，并求最短路程圖2-1【解析】如圖2-2，按照“臺球兩次碰壁”的模型，作點A關于拋物線的對稱軸對稱的點A，作點B關于x軸對稱的點B，連結AB與x軸交于點M，與拋物線的對稱軸交于點N在RtAAB中，AA8，AB6，所以AB10，即點G走過的最短路程為10根據(jù)相似比可以計算得到OM，MH，NH1所以M(, 0)，N(4, 1)圖2-2例3、如圖3-1，拋物線與y軸交于點A，頂點為B點P是x軸上的一個動點，求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應的點P的坐標圖3-1【解析】題目讀起來像繞口令，其實就是求|PAPB|的最小值與最大值由拋物線的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)設P(x, 0)絕對值|PAPB|的最小值當然是0了，此時PAPB，點P在AB的垂直平分線上（如圖3-2）解方程x222(x3)262，得此時P在PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么|PAPB|總是小于AB了如圖3-3，當點P在BA的延長線上時，|PAPB|取得最大值，最大值AB5此時P圖3-2 圖3-3例4、如圖4-1，菱形ABCD中，AB2，A120°，點P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點，求PKQK的最小值圖4-1【解析】如圖4-2，點Q關于直線BD的對稱點為Q，在KPQ中，PKQK總是大于PQ的如圖4-3，當點K落在PQ上時，PKQK的最小值為PQ如圖4-4，PQ的最小值為QH，QH就是菱形ABCD的高，QH這道題目應用了兩個典型的最值結論：兩點之間，線段最短；垂線段最短圖4-2 圖4-3 圖4-4例5、如圖5-1，菱形ABCD中，A60°，AB3，A、B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、B和A上的動點，求PEPF的最小值圖5-1【解析】E、F、P三個點都不確定，怎么辦？BE1，AF2是確定的，那么我們可以求PBPA3的最小值，先求PBPA的最小值（如圖5-2）如圖5-3，PBPA的最小值為AB，AB6所以PEPF的最小值等于3圖5-2 圖5-3例6、如圖6-1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a1, 0)，求a為何值時，四邊形ABEF周長最小？請說明理由圖6-1【解析】在四邊形ABEF中，AB、EF為定值，求AEBF的最小值，先把這兩條線段經過平移，使得兩條線段有公共端點如圖6-2，將線段BF向左平移兩個單位，得到線段ME如圖6-3，作點A關于x軸的對稱點A，MA與x軸的交點E，滿足AEME最小由AOEBHF，得解方程，得圖6-2 圖6-3例7、如圖7-1，ABC中，ACB90°，AC2，BC1點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，當點A在x軸上運動時，點C也隨之在y軸上運動在整個運動過程中，求點B到原點的最大距離圖7-1【解析】如果把OB放在某一個三角形中，這個三角形的另外兩條邊的大小是確定的，那么根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和顯然OBC是不符合條件的，因為OC邊的大小不確定如圖7-2，如果選AC的中點D，那么BD、OD都是定值，OD1，BD在OBD中，總是有OBODBD如圖7-3，當點D落在OB上時，OB最大，最大值為圖7-2 圖7-3 例8、如圖8-1，已知A(2,0)、B(4, 0)、設F為線段BD上一點（不含端點），連結AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止當點F的坐標是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？圖8-1【解析】點B(4, 0)、的坐標隱含了DBA30°，不由得讓我們聯(lián)想到30°角所對的直角邊等于斜邊的一半如果把動點M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來，問題就轉化了如圖8-2，在RtDEF中，F(xiàn)D2FE如果點M沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到點D時，那么點M沿線段FE以每秒1個單位的速度正好運動到點E因此當AFFE最小時，點M用時最少如圖8-3，當AEDE時，AFFE最小，此時F圖8-2 圖8-3例9、如圖9-1，在RtABC中，C90°，AC6，BC8點E是BC邊上的點，連結AE，過點E作AE的垂線交AB邊于點F，求AF的最小值圖9-1【解析】如圖9-2，設AF的中點為D，那么DADEDF所以AF的最小值取決于DE的最小值如圖9-3，當DEBC時，DE最小設DADEm，此時DB由ABDADB，得解得此時AF圖9-2 圖9-3例10、如圖10-1，已知點P是拋物線上的一個點，點D、E的坐標分別為(0, 1)、(1, 2)，連結PD、PE，求PDPE的最小值圖10-1【解析】點P不在一條筆直的河流上，沒有辦法套用“牛喝水”的模型設P，那么PD2所以PD如圖10-2，的幾何意義可以理解為拋物線上的動點P到直線y1的距離PH所以PDPH因此PDPE就轉化為PHPE如圖10-3，當P、E、H三點共線，即PHx軸時，PHPE的最小值為3高中數(shù)學會學到，拋物線是到定點的距離等于到定直線的距離的點的集合，在中考數(shù)學壓軸題里, 如果要用到這個性質，最好鋪墊一個小題，求證PDPH. 圖10-2 圖10-37