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2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型二 階梯費用類問題

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2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型二 階梯費用類問題

類型二 階梯費用類問題例1某超市銷售一種商品,成本每千克40元,規(guī)定每千克售價不低于成本,且不高于80元經(jīng)市場調(diào)查,每天的銷售量y(kg)與每千克售價x(元)滿足一次函數(shù)關(guān)系,部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表:售價x(元/kg)506070銷售量y(kg)1008060(1)求y與x之間的函數(shù)表達(dá)式;(2)設(shè)商品每天的總利潤為W(元),求W與x之間的函數(shù)表達(dá)式(利潤收入成本);(3)試說明(2)中總利潤W隨售價x的變化而變化的情況,并指出售價為多少元時獲得最大利潤,最大利潤是多少?【答案】(1)y2x200(40x80);(2)w=2x2280x8 000(40x80);(3)當(dāng)x70時,利潤W取得最大值,最大值為1 800元【解析】(1)根據(jù)題意,設(shè)ykxb,其中k,b為待定的常數(shù),由表中的數(shù)據(jù)得解得y2x200(40x80);(2)根據(jù)題意得Wy ·(x40)(2x200)(x40)2x2280x8 000(40x80);(3)由(2)可知:W2(x70)21 800,當(dāng)售價x在滿足 40x70的范圍內(nèi),利潤W隨著x的增大而增大;當(dāng)售價在滿足 70x80的范圍內(nèi),利潤W隨著x的增大而減小當(dāng)x70時,利潤W取得最大值,最大值為1 800元例2襄陽市某企業(yè)積極響應(yīng)政府“創(chuàng)新發(fā)展”的號召,研發(fā)了一種新產(chǎn)品已知研發(fā)、生產(chǎn)這種產(chǎn)品的成本為30元/件,且年銷售量y(萬件)關(guān)于售價x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式為:y(1)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤為W(萬元),請直接寫出年利潤關(guān)于售價x(元/件)的函數(shù)表達(dá)式;(2)當(dāng)該產(chǎn)品的售價x(元/件)為多少時,企業(yè)銷售該產(chǎn)品獲得的年利潤最大?最大年利潤是多少?(3)若企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元,試確定該產(chǎn)品的售價x(元/件)的取值范圍【答案】(1)W(2)800萬(3)45x55.【解析】(1)W(2)由(1)知,當(dāng)40x<60時,W2(x50)2800.2<0,當(dāng)x50時,W有最大值800.當(dāng)60x70時,W(x55)2625.10,當(dāng)60x70時,W隨x的增大而減小,當(dāng)x60時,W有最大值為600.800>600,W最大值為800萬元答:當(dāng)該產(chǎn)品的售價定為50元/件時,銷售該產(chǎn)品的年利潤最大,最大利潤為800萬元;(3)當(dāng)40x60時,令W750,得2(x50)2800750,解得x145,x255.由函數(shù)W2(x50)2800的性質(zhì)可知,當(dāng)45x55時,W750,當(dāng)60x70時,W最大值為600750.答:要使企業(yè)銷售該產(chǎn)品的年利潤不少于750萬元,該產(chǎn)品的銷售價x(元/件)的取值范圍為45x55.例3荊州市某水產(chǎn)養(yǎng)殖戶進(jìn)行小龍蝦養(yǎng)殖已知每千克小龍蝦養(yǎng)殖成本為6元,在整個銷售旺季的80天里,銷售單價p(元/kg)與時間第t天之間的函數(shù)關(guān)系為p日銷售量y(kg)與時間第t天之間的函數(shù)關(guān)系如圖331所示(1)求日銷售量y與時間t的函數(shù)關(guān)系式?(2)哪一天的日銷售利潤最大?最大利潤是多少?(3)該養(yǎng)殖戶有多少天日銷售利潤不低于2 400元?(4)在實際銷售的前40天中,該養(yǎng)殖戶決定每銷售1 kg小龍蝦,就捐贈m(m7)元給村里的特困戶在這前40天中,每天扣除捐贈后的日銷售利潤隨時間t的增大而增大,求m的取值范圍【答案】(1)y2t200(1t80,t為整數(shù));(2)W(p6)y(3)21天(4)5m7. 圖331【解析】 (1)根據(jù)函數(shù)圖象,利用待定系數(shù)法求解可得;(2)設(shè)日銷售利潤為W,分1t40和41t80兩種情況,根據(jù)“總利潤每千克利潤×銷售”列出函數(shù)表達(dá)式,由二次函數(shù)的性質(zhì)分別求得最值即可判斷;(3)求出W2 400時x的值,結(jié)合函數(shù)圖象即可得出答案;(4)依據(jù)(2)中相等關(guān)系列出函數(shù)表達(dá)式,確定其對稱軸,由1t40且銷售利潤隨時間t的增大而增大,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可得答案解:(1)設(shè)函數(shù)表達(dá)式為yktb,將(1,198),(80,40)代入,得解得y2t200(1t80,t為整數(shù));(2)設(shè)日銷售利潤為W,則W(p6)y,當(dāng)1t40時,W(2t200)(t30)22 450,當(dāng)t30時,W最大2 450;當(dāng)41t80時,w(2t200)(t90)2100,當(dāng)t41時,W最大2 301,2 4502 301,第30天的日銷售利潤最大,最大利潤為2 450元;(3)由(2)得當(dāng)1t40時,W(t30)22 450,令W2 400,即(t30)22 4502 400,解得t120,t240,由函數(shù)W(t30)22 450的圖象(如答圖)可知,當(dāng)20t40時,日銷售利潤不低于2 400元, 第3題答圖而當(dāng)41t80時,W最大2 3012 400,t的取值范圍是20t40,共有21天符合條件;(4)設(shè)日銷售利潤為W,根據(jù)題意,得W(2t200) t2(302m)t2 000200m,其函數(shù)圖象的對稱軸為t2m30,W隨t的增大而增大,且1t40,由二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)可知2m3040,解得m5,又m7,5m7.例4小慧和小聰沿圖332中景區(qū)公路游覽小慧乘坐車速為30 km/h的電動汽車,早上7:00從賓館出發(fā),游玩后中午12:00回到賓館小聰騎車從飛瀑出發(fā)前往賓館,速度為20 km/h,途中遇見小慧時,小慧恰好游完一景點后乘車前往下一景點,上午10:00小聰?shù)竭_(dá)賓館圖中的圖象分別表示兩人離賓館的路程s(km)與時間t(h)的函數(shù)關(guān)系試結(jié)合圖中信息回答:圖332(1)小聰上午幾點鐘從飛瀑出發(fā)?(2)試求線段AB,GH的交點B的坐標(biāo),并說明它的實際意義;(3)如果小聰?shù)竭_(dá)賓館后,立即以30 km/h的速度按原路返回,那么返回途中他幾點鐘遇見小慧?【答案】(1)7:30(2)如下(3)11:00【解析】(1)小聰從飛瀑到賓館所用的時間為50÷202.5(h),小聰上午10:00到達(dá)賓館,小聰從飛瀑出發(fā)的時刻為102.57.5,即7:30.答:小聰早上7:30從飛瀑出發(fā);(2)設(shè)直線GH的函數(shù)表達(dá)式為sktb,由于點G的坐標(biāo)為,點H的坐標(biāo)為(3,0),則有解得直線GH的函數(shù)表達(dá)式為s20t60,又點B的縱坐標(biāo)為30,當(dāng)s30時,得20t6030,解得t,點B的坐標(biāo)為.答:點B的實際意義是上午8:30小慧與小聰在離賓館30 km(即景點草甸)處第一次相遇;(3)方法一:設(shè)直線DF的函數(shù)表達(dá)式為sk1tb1,該直線過點D和F(5,0),由于小慧從飛瀑回到賓館所用時間為50÷30(h),小慧從飛瀑準(zhǔn)備返回時t5(h),即點D的坐標(biāo)為.則有解得直線DF的函數(shù)表達(dá)式為s30t150,小聰上午10:00到達(dá)賓館后立即以30 km/h的速度返回飛瀑,所需時間為50÷30(h)第4題答圖如答圖,HM為小聰返回時s關(guān)于t的函數(shù)圖象,點M的橫坐標(biāo)為3,M,設(shè)直線HM的函數(shù)表達(dá)式為sk2tb2,該直線過點H(3,0)和M ,則有直線HM的函數(shù)表達(dá)式為s30t90,由30t9030t150,解得t4,即11:00.答:小聰返回途中上午11:00遇見小慧;方法二:如答圖,過點E作EQx軸于點Q,由題意,可得點E的縱坐標(biāo)為兩人相遇時距賓館的路程,又兩人速度均為30 km/h,該路段兩人所花時間相同,即HQQF,點E的橫坐標(biāo)為4.答:小聰返回途中上午11:00遇見小慧例5月電科技有限公司用160萬元,作為新產(chǎn)品的研發(fā)費用,成功研制出了一種市場急需的電子產(chǎn)品,已于當(dāng)年投入生產(chǎn)并進(jìn)行銷售已知生產(chǎn)這種電子產(chǎn)品的成本為4元/件,在銷售過程中發(fā)現(xiàn):每年的年銷售量y(萬件)與銷售價格x(元/件)的關(guān)系如圖333所示,其中AB為反比例函數(shù)圖象的一部分,BC為一次函數(shù)圖象的一部分設(shè)公司銷售這種電子產(chǎn)品的年利潤為W(萬元)(注:若上一年盈利,則盈利不計入下一年的年利潤;若上一年虧損,則虧損記做下一年的成本)圖333(1)請求出y(萬件)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式(2)求出第一年這種電子產(chǎn)品的年利潤W(萬元)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出第一年年利潤的最大值(3)假設(shè)公司的這種電子產(chǎn)品第一年恰好按年利潤W(萬元)取得最大值時進(jìn)行銷售,現(xiàn)根據(jù)第一年的盈虧情況,決定第二年將這種電子產(chǎn)品每件的銷售價格x(元)定在8元以上(x8),當(dāng)?shù)诙甑哪昀麧櫜坏陀?03萬元時,請結(jié)合年利潤W(萬元)與銷售價格x(元/件)的函數(shù)示意圖,求銷售價格x(元/件)的取值范圍【答案】(1)y(2)當(dāng)每件的銷售價格定為16元時,第一年的年利潤的最大值為16萬元(3)當(dāng)11x21時,第二年的年利潤W不低于103萬元【解析】 (1)求y(萬件)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合圖象,是一個分段函數(shù),已知點坐標(biāo),運(yùn)用待定系數(shù)法可求;(2)根據(jù)“年利潤年銷售量×每件的利潤成本(160萬元)”,可求出年利潤W(萬元)與x(元/件)之間的函數(shù)關(guān)系式,但要注意的是和第(1)問一樣是分段函數(shù),根據(jù)每段的函數(shù)特征分別求出最大值,再比較這兩個數(shù)值的大小,從而確定第一年的年利潤的最大值;(3)根據(jù)條件“第二年的年利潤不低于103萬元”,可得W103,這是一個一元二次不等式,觀察年利潤W(萬元)與銷售價格x(元/件)的函數(shù)示意圖,從而得出結(jié)果解:(1)當(dāng)4x8時,設(shè) y,將A(4,40)代入,得k4×40160.y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y.當(dāng)8x28時,設(shè)ykxb,將B(8,20),C(28,0)代入,得 解得y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為yx28.綜上所述,得y(2)當(dāng)4x8時,W(x4)×y160(x4)×160.W隨著x的增大而增大,當(dāng)x8時,Wmax 80.當(dāng)8x28時,W(x4)×y160 (x4)×(x28)160x232x272(x16) 216.當(dāng)x16時,Wmax16.1680,當(dāng)每件的銷售價格定為16元時,第一年的年利潤的最大值為16萬元(3)第一年的年利潤為16萬元16萬元應(yīng)作為第二年的成本第5題答圖又x8,第二年的年利潤W(x4)(x28)16x232x128,令W103,則x232x128103,解得x111,x221.在平面直角坐標(biāo)系中,畫出W與x的函數(shù)示意圖如答圖,觀察示意圖可知:當(dāng)W103時,11x21.當(dāng)11x21時,第二年的年利潤W不低于103萬元例6某水果店在兩周內(nèi),將標(biāo)價為10元/斤的某種水果,經(jīng)過兩次降價后的價格為8.1元/斤,并且兩次降價的百分率相同(1)求該種水果每次降價的百分率;(2)從第一次降價的第1天算起,第x天(x為正數(shù))的售價、銷量及儲存和損耗費用的相關(guān)信息如表所示已知該種水果的進(jìn)價為4.1元/斤,設(shè)銷售該水果第x(天)的利潤為y(元),求y與x(1x15)之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出第幾天時銷售利潤最大?時間x(天)1x99x15x15售價(元/斤)第1次降價后的價格第2次降價后的價格銷量(斤)803x120x儲存和損耗費用(元)403x3x264x400(3)在(2)的條件下,若要使第15天的利潤比(2)中最大利潤最多少127.5元,則第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上最多可降多少元?【答案】(1)10(2)10(3)0.5元【解析】 (1)設(shè)該種水果每次降價的百分率為x,則第一次降價后的價格為10(1x),第二次降價后的價格為10(1x)2,進(jìn)而可得方程;(2)分兩種情況考慮,先利用“利潤(售價進(jìn)價)×銷量儲存和損耗費用”,再分別求利潤的最大值,比較大小確定結(jié)論;(3)設(shè)第15天在第14天的價格基礎(chǔ)上降a元,利用不等關(guān)系“(2)中最大利潤(8.1a4.1)×銷量儲存和損耗費用127.5”求解解:(1)設(shè)該種水果每次降價的百分率為x,依題意,得10(1x)28.1,解得x10.110%,x21.9(不合題意,舍去)答:該種水果每次降價的百分率為10%.(2)第一次降價后的銷售價格為10×(110%)9(元/斤),當(dāng)1x9時,y(94.1)(803x)(403x)17.7x352;當(dāng)9x15時,y(8.14.1)(120x)(3x264x400)3x260x80,綜上所述,y與x的函數(shù)關(guān)系式為y當(dāng)1x9時,y17.7x352,當(dāng)x1時,y最大334.3(元);當(dāng)9x15時,y3x260x803(x10)2380,當(dāng)x10時,y最大380(元)334.3380,在第10天時銷售利潤最大(3)設(shè)第15天在第14天的價格上最多可降a元,依題意,得380(8.1a4.1)(12015)(3×15264×15400)127.5,解得a0.5,則第15天在第14天的價格上最多可降0.5元9

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