2020年中考數(shù)學二輪復習 壓軸專題 三角形（含解析）

三角形1在ABC中，BAC45°，CDAB，垂足為點D，M為線段DB上一動點（不包括端點），點N在直線AC左上方且NCM135°，CNCM，如圖（1）求證：ACNAMC（2）記ANC得面積為5，記ABC得面積為5求證：（3）延長線段AB到點P，使BPBM，如圖探究線段AC與線段DB滿足什么數(shù)量關系時對于滿足條件的任意點M，ANCP始終成立？（寫出探究過程）解：（1）BAC45°，AMC180°45°ACM135°ACM，NCM135°，ACN135°ACM，ACNAMC；（2）過點N作NEAC于E，CENCDM90°，ACNAMC，CMCN，NECCDM（AAS）NECD，CEDM；S1ACNE，S2ABCD，；（3）當AC2BD時，對于滿足條件的任意點N，ANCP始終成立，理由如下：過點N作NEAC于E，由（2）可得NECD，CEDM，AC2BD，BPBM，CEDM，ACCEBD+BDDMAEBD+BPDP，NECD，NEACDP90°，AEDP，NEACDP（SAS）ANPC2如圖1，OA2，OB4，以點A為頂點，AB為腰在第三象限作等腰直角ABC（）求C點的坐標；（）如圖2，OA2，P為y軸負半軸上的一個動點，若以P為直角頂點，PA為腰等腰直角APD，過D作DEx軸于E點，求OPDE的值；（）如圖3，點F坐標為（4，4），點G（0，m）在y軸負半軸，點H（n，0）x軸的正半軸，且FHFG，求m+n的值解：（）如圖1，過C作CMx軸于M點，如圖1所示：CMOA，ACAB，MAC+OAB90°，OAB+OBA90°，MACOBA，在MAC和OBA中，MACOBA（AAS），CMOA2，MAOB4，OM6，點C的坐標為（6，2），故答案為（6，2）；（）如圖2，過D作DQOP于Q點，則四邊形OEDQ是矩形，DEOQ，APO+QPD90°，APO+OAP90°，QPDOAP，在AOP和PDQ中，AOPPDQ（AAS），AOPQ2，OPDEOPOQPQOA2；（）如圖3，過點F分別作FSx軸于S點，F(xiàn)Ty軸于T點，則HSFGTF90°SOT，四邊形OSFT是正方形，F(xiàn)SFT4，EFT90°HFG，HFSGFT，在FSH和FTG中，F(xiàn)SHFTG（AAS），GTHS，又G（0，m），H（n，0），點F坐標為（4，4），OTOS4，GT4m，HSn（4）n+4，4mn+4，m+n83如圖1，點C在線段AB上，（點C不與A、B重合），分別以AC、BC為邊在AB同側作等邊三角形ACD和等邊三角形BCE，連接AE、BD交于點P（1）觀察猜想：線段AE與BD的數(shù)量關系為AEBDAPC的度數(shù)為60°（2）數(shù)學思考：如圖2，當點C在線段AB外時，（1）中的結論，是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請你寫出正確結論再給予證明（3）拓展應用：如圖3，分別以AC、BC為邊在AB同側作等腰直角三角形ACD和等腰直角三角形BCE，其中ACDBCE90°，CACD，CBCE，連接AEBD交于點P，則線段AE與BD的關系為AEBD，AEBD解：（1）觀察猜想：如圖1，設AE交CD于點O過點C作CHAE，CGBD，ADC，ECB都是等邊三角形，CACD，ACDECB60°，CECB，ACEDCB，ACEDCB（SAS），AEBD，CAOODP，SACESBCD，AOCDOP，DPOACO60°，APB120°，SACESBCD，×AE×CH×BD×CG，CHCG，且CHAE，CGBD，CP平分APB，APC60°，故答案為AEBD，60°（2）數(shù)學思考：成立，不成立，理由：設AC交BD于點O過點C作CHAE，CGBD，ADC，ECB都是等邊三角形，CACD，ACDECB60°，CECB，ACEDCBACEDCB（SAS），AEBD，PAOODC，AOPDOC，APODCO60°，DPE120°，SACESBCD，×AE×CH×BD×CG，CHCG，且CHAE，CGBD，CP平分DPE，DPC60°，APC120°，成立，不成立；拓展應用：設AC交BD于點OACDBCE90°，CACD，CBCE，ACEDCBAECDBC（SAS），AEBD，CDBCAE，AOPCOD，CDBCAE，DCOAPO90°，AEBD，故答案為：AEBD，AEBD4如圖，ABC是等邊三角形，D是BC邊的中點，以D為頂點作一個120°的角，角的兩邊分別交直線AB、直線AC于M、N兩點以點D為中心旋轉MDN（MDN的度數(shù)不變），當DM與AB垂直時（如圖所示），易證BM+CNBD（1）如圖，當DM與AB不垂直，點M在邊AB上，點N在邊AC上時，BM+CNBD是否仍然成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由；（2）如圖，當DM與AB不垂直，點M在邊AB上，點N在邊AC的延長線上時，BM+CNBD是否仍然成立？若不成立，請寫出BM，CN，BD之間的數(shù)量關系，不用證明解：（1）結論BM+CNBD成立，理由如下：如圖，過點D作DEAC交AB于E，ABC是等邊三角形，ABC60°，DEAC，BEDA60°，BDEC60°，BBEDBDE60°，BDE是等邊三角形，EDC120°，BDBEDE，EDN+CDN120°，EDM+EDNMDN120°，CDNEDM，D是BC邊的中點，DEBDCD，在CDN和EDM中，CDNEDM（ASA），CNEM，BDBEBM+EMBM+CN；（2）上述結論不成立，BM，CN，BD之間的數(shù)量關系為：BMCNBD；理由如下：如圖，過點D作DEAC交AB于E，ABC是等邊三角形，ABC60°，NCD120°，DEAC，BEDA60°，BDEC60°，BBEDBDE60°，BDE是等邊三角形，MEDEDC120°，BDBEDE，NCDMED，EDM+CDM120°，CDN+CDMMDN120°，CDNEDM，D是BC邊的中點，DEBDCD，在CDN和EDM中，CDNEDM（ASA），CNEM，BDBEBMEMBMCN，BMCNBD5ABC是等邊三角形，P為平面內(nèi)的一個動點，BPBA，0°PBC180°，DB平分PBC，且DBDA（1）當BP與BA重合時（如圖1），求BPD的度數(shù)；（2）當BP在ABC的內(nèi)部時（如圖2），求BPD的度數(shù)；（3）當BP在ABC的外部時，請你直接寫出BPD的度數(shù)解：（1）ABC是等邊三角形，BD平分PBC，PBDCBD30°，DBDA，PBDBPD30°；（2）如圖2，連接CD，點D在PBC的平分線上，PBDCBD，ABC是等邊三角形，BABCAC，ACB60°，BPBA，BPBC，BDBD，PBDCBD（SAS），BPDBCD，DBDA，BCAC，CDCD，BCDACD（SSS），BCDACDACB30°，BPD30°；（3）如圖3，連接CD，ADBD，CDCD，BCAC，ACDBCD（SSS）ACDBCD30°，BDBD，PBDCBD，PBABBC，PBDCBD（SAS）BPDBCD30°，如圖4，連接CD，ADBD，CDCD，BCAC，ACDBCD（SSS）ACDBCD30°，BDBD，PBDCBD，PBABBC，PBDCBD（SAS）BPDBCD30°，如圖5，連接CD，ADBD，CDCD，BCAC，ACDBCD（SSS）ACDBCD150°，BDBD，PBDCBD，PBABBC，PBDCBD（SAS）BPDBCD150°，6在ABC中，ACBC，ACB90°，D為AB邊的中點，以D為直角頂點的RtDEF的另兩個頂點E，F(xiàn)分別落在邊AC，CB（或它們的延長線）上（1）如圖1，若RtDEF的兩條直角邊DE，DF與ABC的兩條直角邊AC，BC互相垂直，則SDEF+SCEFSABC，求當SDEFSCEF2時，AC邊的長；（2）如圖2，若RtDEF的兩條直角邊DE，DF與ABC的兩條直角邊AC，BC不垂直，SDEF+SCEFSABC，是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出SDEF，SCEF，SABC之間的數(shù)量關系；（3）如圖3，若RtDEF的兩條直角邊DE，DF與ABC的兩條直角邊AC，BC不垂直，且點E在AC的延長線上，點F在CB的延長線上，SDEF+SCEFSABC是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請直接寫出SDEF，SCEF，SABC之間的數(shù)量關系解：（1）ACB90°，DEAC，DFBC，四邊形DECF是矩形，ACB90°，BCAC，DEAC，DEBC，D為AB邊的中點，DE是ABC的中位線，DEBC，AC2CE，同理：DFAC，ACBC，DEDF，四邊形DECF是正方形，CEDFCFDE，SDEFSCEF2DEDFDF2，DF2，CE2，AC2CE4；（2）SDEF+SCEFSABC成立，理由如下：連接CD；如圖2所示：ACBC，ACB90°，D為AB中點，B45°，DCEACB45°，CDAB，CDABBD，DCEB，CDB90°，SABC2SBCD，EDF90°，CDEBDF，在CDE和BDF中，CDEBDF（ASA），DEDFSCDESBDFSDEF+SCEFSCDE+SCDFSBCDSABC；（3）不成立；SDEFSCEFSABC；理由如下：連接CD，如圖3所示：同（1）得：DECDBF，DCEDBF135°，SDEFS五邊形DBFEC，SCFE+SDBC，SCFE+SABC，SDEFSCFESABCSDEF、SCEF、SABC的關系是：SDEFSCEFSABC7教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學教材第94頁的部分內(nèi)容2線段垂直平分線我們已經(jīng)知道線段是軸對稱圖形，線段的垂直平分線是線段的對稱軸，如圖，直線MN是線段AB的垂直平分線，P是MN上任一點，連結PA、PB，將線段AB沿直線MN對稱，我們發(fā)現(xiàn)PA與PB完全重合，由此即有：線段垂直平分線的性質定理 線段垂直平分線上的點到線段的距離相等已知：如圖，MNAB，垂足為點C，ACBC，點P是直線MN上的任意一點求證：PAPB分析：圖中有兩個直角三角形APC和BPC，只要證明這兩個三角形全等，便可證明PAPB定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結合圖，寫出“線段垂直平分線的性質定理”完整的證明過程定理應用：（1）如圖，在ABC中，直線m、n分別是邊BC、AC的垂直平分線，直線m、n的交點為O過點O作OHAB于點H求證：AHBH（2）如圖，在ABC中，ABBC，邊AB的垂直平分線l交AC于點D，邊BC的垂直平分線k交AC于點E若ABC120°， AC15，則DE的長為5解：定理證明：MNAB，PCAPCB90°又ACBC，PCPC，PACPBC（SAS），PAPB定理應用：（1）如圖2，連結OA、OB、OC直線m是邊BC的垂直平分線，OBOC，直線n是邊AC的垂直平分線，OAOC，OAOBOHAB，AHBH；（2）如圖中，連接BD，BEBABC，ABC120°，AC30°，邊AB的垂直平分線交AC于點D，邊BC的垂直平分線交AC于點E，DADB，EBEC，ADBA30°，CEBC30°，BDEA+DBA60°，BEDC+EBC60°，BDE是等邊三角形，ADBDDEBEEC，AC15AD+DE+EC3DE，DE5，故答案為：58如圖，在ABC中，ABAC，以BC為直角邊作等腰RtBCD，CBD90°，斜邊CD交AB于點E（1）如圖1，若ABC60°，BE4，作EHBC于H，求線段BC的長；（2）如圖2，作CFAC，且CFAC，連接BF，且E為AB中點，求證：CD2BF解：（1）ABC60°，EHBC，BEH30°，BE2BH4，EHBH，BH2，EH2，CBD90°，BDBC，BCD45°，且EHBC，BCDBEC45°，EHCH2，BCBH+HC2+2；（2）如圖，過點A作AMBC，ABAC，AMBC，BMMCBCDB，DCB45°，AMBC，DCBMNC45°，MNMCBD，AMDB，CNMCBD，CD2CN，ANBD，CFAC，BCD45°，ACD+BCF45°，且ACD+MAC45°，BCFMAC，且ACCF，BCAN，ACNCFB（SAS）BFCN，CD2BF9【問題】如圖1，在RtABC中，ACB90°，ACBC，過點C作直線l平行于ABEDF90°，點D在直線L上移動，角的一邊DE始終經(jīng)過點B，另一邊DF與AC交于點P，研究DP和DB的數(shù)量關系【探究發(fā)現(xiàn)】（1）如圖2，某數(shù)學興趣小組運用從特殊到一般的數(shù)學思想，發(fā)現(xiàn)當點D移動到使點P與點C重合時，通過推理就可以得到DPDB，請寫出證明過程；【數(shù)學思考】（2）如圖3，若點P是AC上的任意一點（不含端點A、C），受（1）的啟發(fā)，這個小組過點D作DGCD交BC于點G，就可以證明DPDB，請完成證明過程【探究發(fā)現(xiàn)】證明：（1）ACB90°，ACBCCABCBA45°CDABCBADCB45°，且BDCDDCBDBC45°DBDC即DPDB；【數(shù)學思考】證明：（2）DGCD，DCB45°DCGDGC45°DCDG，DCPDGB135°，BDPCDG90°CDPBDG，在CDP和GDB中，CDPGDB（ASA）DPDB10已知，在平面直角坐標系中，A（m，0）、B（0，n），m、n滿足（mn）2+|m5|0C為AB的中點，P是線段AB上一動點，D是x軸正半軸上一點，且POPD，DEAB于E（1）如圖1，當點P在線段AB上運動時，點D恰在線段OA上，則PE與AB的數(shù)量關系為AB2PE（2）如圖2，當點D在點A右側時，（1）中結論是否成立？若成立，寫出證明過程；若不成立，說明理由?。?）設AB5，若OPD45°，直接寫出點D的坐標解：（1）（mn）2+|m5|0，mn0，m50，mn5，A（5，0）、B（0，5），ACBC5，AOB為等腰直角三角形，AOCBOC45°，OCAB，POPD，PODPDO，D是x軸正半軸上一點，點P在BC上，POD45°+POC，PDO45°+DPE，POCDPE，在POC和DPE中，POCDPE（AAS），OCPE，C為AB的中點，AB2OC，AB2PE故答案為：AB2PE（2）成立，理由如下：點C為AB中點，AOCBOC45°，OCAB，POPD，PODPDO，POD45°POC，PDO45°DPE，POCDPE，在POC和DPE中，POCDPE（AAS），OCPE，又AOCBAO45°OCACABAB2PE；（3）AB5，OAOB5，OPPD，PODPDO67.5°，APDPDOA22.5°，BOP90°POD22.5°，APDBOP，在POB和DPA中，POBDPA（SAS），PAOB5，DAPB，DAPB55，ODOADA5（55）105，點D的坐標為（105，0）11如圖1，直線AB分別與x軸、y軸交于A、B兩點，OC平分AOB交AB于點C，點D為線段AB上一點，過點D作DEOC交y軸于點E，已知AOm，BOn，且m、n滿足n28n+16+|n2m|0（1）求A、B兩點的坐標；（2）若點D為AB中點，求OE的長；（3）如圖2，若點P（x，2x+4）為直線AB在x軸下方的一點，點E是y軸的正半軸上一動點，以E為直角頂點作等腰直角PEF，使點F在第一象限，且F點的橫、縱坐標始終相等，求點P的坐標解：（1）n28n+16+|n2m|0，（n4）2+|n2m|0，（n4）20，|n2m|0，（n4）20，|n2m|0，m2，n4，點A為（2，0），點B為（0，4）；（2）延長DE交x軸于點F，延長FD到點G，使得DGDF，連接BG，設OEx，OC平分AOB，BOCAOC45°，DEOC，EFOFEOBEGBOCAOC45°，OEOFx，在ADF和BDG中，ADFBDG（SAS），BGAF2+x，GAFE45°，GBEG45°，BGBE4x，4x2+x，解得：x1，OE1；（3）如圖2，分別過點F、P作FMy軸于點M，PNy軸于點N，設點E為（0，m），點P的坐標為（x，2x+4），PNx，ENm+2x4，PEF90°，PEN+FEM90°，F(xiàn)My軸，MFE+FEM90°，PENMFE，在EFM和PEN中，EFMPEN（AAS），MENPx，F(xiàn)MENm+2x4，點F為（m+2x4，m+x），F(xiàn)點的橫坐標與縱坐標相等，m+2x4m+x，解得：x4，點P為（4，4）12在等邊ABC中，線段AM為BC邊上的中線動點D在直線AM上時，以CD為一邊在CD的下方作等邊CDE，連結BE（1）若點D在線段AM上時（如圖1），則ADBE（填“”、“”或“”），CAM30度；（2）設直線BE與直線AM的交點為O當動點D在線段AM的延長線上時（如圖2），試判斷AD與BE的數(shù)量關系，并說明理由；當動點D在直線AM上時，試判斷AOB是否為定值？若是，請直接寫出AOB的度數(shù)；若不是，請說明理由解：（1）ABC與DEC都是等邊三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60°ACD+DCBDCB+BCEACDBCE在ADC和BEC中，ACDBCE（SAS），ADBE；ABC是等邊三角形，BAC60°線段AM為BC邊上的中線CAMBAC，CAM30°故答案為：，30；（2）ADBE，理由如下：ABC和CDE都是等邊三角形ABBC，DCEC，ACBDCE60°，ACDACBDCB，BCEDCEDCB，ACDBCE，ACDBCE（SAS）ADBEAOB是定值，AOB60°，理由如下：當點D在線段AM上時，如圖1，由知ACDBCE，則CBECAD30°，又ABC60°，CBE+ABC60°+30°90°，ABC是等邊三角形，線段AM為BC邊上的中線AM平分BAC，即，BOA90°30°60°當點D在線段AM的延長線上時，如圖2，ABC與DEC都是等邊三角形ACBC，CDCE，ACBDCE60°ACB+DCBDCB+DCEACDBCE在ACD和BCE中，ACDBCE（SAS）CBECAD30°，同理可得：BAM30°，BOA90°30°60°13小明在學習等邊三角形時發(fā)現(xiàn)了直角三角形的一個性質：直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半小明同學對以上結論作了進一步探究如圖1，在RtABC中，ACB90°，ACAB，則：ABC30°探究結論：（1）如圖1，CE是AB邊上的中線，易得結論：ACE為等邊三角形（2）如圖2，在RtABC中，ACB90°，ACAB，CP是AB邊上的中線，點D是邊CB上任意一點，連接AD，在AB邊上方作等邊ADE，連接BE試探究線段BE與DE之間的數(shù)量關系，寫出你的猜想加以證明拓展應用：如圖3，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（，1），點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為邊作等邊ABC，當點C在第一象內(nèi)，且B（2，0）時，求點C的坐標解：探究結論（1）CE是AB邊上的中線，CEAEAB，ACAB，ACCEAE，ACE是等邊三角形故答案為：等邊；（2）如圖2中，結論：EDEB理由：取AB的中點P，連接CP、PEACP，ADE都是等邊三角形，ACAPPC，ADAEDE，CAPDAE60°，CADPAE，CADPAE（SAS），ACDAPE90°，EPAB，PAPB，EAEB，DEAE，EDEB拓展應用：如圖3中，作AHx軸于H，CFOB于F，連接OAA（，1），AOH30°，由（2）可知，COCB，CFOB，OFFB1，可以假設C（1，n），OCBCAB，1+n21+（+2）2，n2+，C（1，2+）14如圖，等邊ABC外有一點D，連接DA，DB，DC（1）如圖1，若DAB+DCB180°，求證：BD平分ADC；（2）如圖2，若BDC60°，求證：BDCDAD；（3）如圖3，延長AD交BC的延長線于點F，以BF為邊向下作等邊BEF，若點D，C，E在同一直線上，且ABD，直接寫出CEF的度數(shù)為60°（結果用含的式子表示）（1）證明：過點B作BMCD于點M，BNAD于點N，ANBCMB90°，ABC為等邊三角形，ABBC，DAB+DCB180°，DCB+BCM180°，OABBCM，ABNCBM（AAS），BMBN，BD平分ADC；（2）證明：在BD上取點E，使DECD，BDC60°CDE為等邊三角形，DCEACB60°，ACDBCE，ACBC，ADCBEC（SAS），ADBE，BDCDAD；（3）解：ABC，BEF為等邊三角形，ABCB，BFBE，ABFCBEABFCBE（SAS），DFBCEB，CEB+CEF60°，EFB60°FDE180°DFBEFBCEF60°ADC120°，ADC+ABC180°，由（1）得BD平分ADCBDE60°，F(xiàn)DB120°，F(xiàn)DB+FEB180°，F(xiàn)，E，B，D四點共圓，CEFDBFDBF60°CEF60°故答案為：60°15已知，在平面直角坐標系中，點A（0，2），B（2，m），過B點作直線a與x軸互相垂直，C為x軸上的一個動點，且BAC90°（1）如圖1，若點B是第二象限內(nèi)的一個點，且m2時，求點C的坐標；（用m的代數(shù)式表示）（2）如圖2，若點B是第三象限內(nèi)的一個點，設C點的坐標（x，0），求x的取值范圍：（3）如圖3，連接BC，作ABC的平分線BD，點E、F分別是射線BD與邊BC上的兩個動點，連接CE、EF，當m3時，試求CE+EF的最小值解：（1）如圖1，過B點作BHy軸于點H，BHA90°，ABH+BAH90°，BHAAOC90°，BAC90°，BAH+CAO90°，ABHCAO，點A（0，2），B（2，m），AOBH2，OHm，AOBH，ABHCAO，BHAAOC90°，BHAAOC（ASA）COAHOHAOm2，m2，點C在x軸負半軸，點C（2m，0）；（2）如圖2，過B點作BKy軸于點K，則AKB90°，BAC90°，BAK+CAK90°，且BAK+ABK90°，CAKABK，點A（0，2），B（2，m），AOBK2，OHm，AOBK，CAKABK，AOCAKB90°，ABKCAO（AAS）COAK2m，C點的坐標（x，0），COx2m，點B是第三象限內(nèi)的一個點，m0，2m2，x2；（3）如圖3，在AB上截取BNBF，BD是ABC的平分線，ABECBE，且BEBE，BFBN，BEFBEN（SAS）EFEN，CE+EFCE+EN，當C，E，F(xiàn)三點共線，且N與點A重合時，CE+EF有最小值，此時最小值為AC，由（1）可知：點C（2m，0）；且m3，點C（1，0），CO1，AC，CE+EF的最小值為