2020年中考數學基礎題型提分講練 專題17 反比例函數綜合題（含解析）

專題17 反比例函數綜合題考點分析【例1】（2018·浙江中考真題）如圖1，在平面直角坐標系xOy中，已知ABC，ABC=90°，頂點A在第一象限，B，C在x軸的正半軸上（C在B的右側），BC=2，AB=2，ADC與ABC關于AC所在的直線對稱（1）當OB=2時，求點D的坐標；（2）若點A和點D在同一個反比例函數的圖象上，求OB的長；（3）如圖2，將第（2）題中的四邊形ABCD向右平移，記平移后的四邊形為A1B1C1D1，過點D1的反比例函數y=（k0）的圖象與BA的延長線交于點P問：在平移過程中，是否存在這樣的k，使得以點P，A1，D為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有符合題意的k的值；若不存在，請說明理由【答案】（1）點D坐標為（5，）；（2）OB=3；（3）k=12【解析】（1）如圖1中，作DEx軸于EABC=90°，tanACB=，ACB=60°，根據對稱性可知：DC=BC=2，ACD=ACB=60°，DCE=60°，CDE=90°-60°=30°，CE=1，DE=，OE=OB+BC+CE=5，點D坐標為（5，）（2）設OB=a，則點A的坐標（a，2），由題意CE=1DE=，可得D（3+a，），點A、D在同一反比例函數圖象上，2a=（3+a），a=3，OB=3（3）存在理由如下：如圖2中，當PA1D=90°時ADPA1，ADA1=180°-PA1D=90°，在RtADA1中，DAA1=30°，AD=2，AA1=4，在RtAPA1中，APA1=60°，PA=，PB=，設P（m，），則D1（m+7，），P、A1在同一反比例函數圖象上，m=（m+7），解得m=3，P（3，），k=10如圖3中，當PDA1=90°時PAK=KDA1=90°，AKP=DKA1，AKPDKA1，AKD=PKA1，KADKPA1，KPA1=KAD=30°，ADK=KA1P=30°，APD=ADP=30°，AP=AD=2，AA1=6，設P（m，4），則D1（m+9，），P、A1在同一反比例函數圖象上，4m=（m+9），解得m=3，P（3，4），k=12點睛：本題考查反比例函數綜合題、相似三角形的判定和性質、銳角三角函數、解直角三角形、待定系數法等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會了可以參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題【例2】 （2019·山東中考模擬）如圖，A（4，3）是反比例函數y=在第一象限圖象上一點，連接OA，過A作ABx軸，截取AB=OA（B在A右側），連接OB，交反比例函數y=的圖象于點P（1）求反比例函數y=的表達式；（2）求點B的坐標；（3）求OAP的面積【答案】（1）反比例函數解析式為y=；（2）點B的坐標為（9，3）；（3）OAP的面積=5【解析】（1）將點A（4，3）代入y=，得：k=12，則反比例函數解析式為y=；（2）如圖，過點A作ACx軸于點C，則OC=4、AC=3，OA=5，ABx軸，且AB=OA=5，點B的坐標為（9，3）；（3）點B坐標為（9，3），OB所在直線解析式為y=x，由可得點P坐標為（6，2），（負值舍去），過點P作PDx軸，延長DP交AB于點E，則點E坐標為（6，3），AE=2、PE=1、PD=2，則OAP的面積=×（2+6）×3×6×2×2×1=5【點睛】本題考查了反比例函數與幾何圖形綜合，熟練掌握反比例函數圖象上點的坐標特征、正確添加輔助線是解題的關鍵.考點集訓1（2019·四川中考真題）如圖，直線與雙曲線相交于點A，且，將直線向左平移一個單位后與雙曲線相交于點B，與x軸、y軸分別交于C、D兩點（1）求直線的解析式及k的值；（2）連結、，求的面積【答案】（1）直線的解析式為，k=1；（2）2.【解析】解：（1）根據平移的性質，將直線向左平移一個單位后得到，直線的解析式為，直線與雙曲線相交于點A，A點的橫坐標和縱坐標相等，；（2）作軸于E，軸于F，解得或，【點睛】本題考查反比例函數與一次函數的交點問題，解題的關鍵是熟練掌握待定系數法，學會構建方程組確定交點坐標，屬于中考?？碱}型2（2019·四川中考真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于點A與點（1）求反比例函數的表達式；（2）若動點P是第一象限內雙曲線上的點（不與點A重合），連接，且過點P作y軸的平行線交直線于點C，連接，若的面積為3，求出點P的坐標【答案】（1）反比例函數的表達式為；（2）點P的坐標為或或【解析】解：（1）將代入一次函數中得：將代入反比例函數中得：反比例函數的表達式為；（2）如圖：設點P的坐標為，則，點O到直線的距離為m的面積解得：或或1或2點P不與點A重合，且又或1或2點P的坐標為或或【點睛】本題考查反比例函數，解題的關鍵是熟練掌握反比例函數.3（2019·江蘇中考真題）已知一次函數和反比例函數（1）如圖1，若，且函數、的圖象都經過點求，的值；直接寫出當時的范圍；（2）如圖2，過點作軸的平行線與函數的圖象相交于點，與反比例函數的圖象相交于點若，直線與函數的圖象相交點當點、中的一點到另外兩點的距離相等時，求的值；過點作軸的平行線與函數的圖象相交于點當的值取不大于1的任意實數時，點、間的距離與點、間的距離之和始終是一個定值求此時的值及定值【答案】（1），；（2）或4；，【解析】（1）將點的坐標代入一次函數表達式并解得：，將點的坐標代入反比例函數得：；由圖象可以看出時，；（2）當時，點、的坐標分別為、，則，則或或，即：或或，即：或0或2或4，當時，與題意不符，點不能在的下方，即也不存在，故不成立，故或4；點的橫坐標為：，當點在點左側時，的值取不大于1的任意數時，始終是一個定值，當時，此時，從而當點在點右側時，同理，當，時，（不合題意舍去）故，【點睛】本題為反比例函數綜合運用題，涉及到一次函數、函數定值的求法，關鍵是通過確定點的坐標，求出對應線段的長度，進而求解4（2019·深圳市福田區(qū)外國語學校初三期中）如圖，O為坐標原點，點B在x軸的正半軸上，四邊形OACB是平行四邊形，sinAOB=，反比例函數y=（k0）在第一象限內的圖象經過點A，與BC交于點F，（1）若OA=10，求反比例函數解析式；（2）若點F為BC的中點，且AOF的面積S=12，求OA的長和點C的坐標；（3）在（2）中的條件下，過點F作EFOB，交OA于點E（如圖），點P為直線EF上的一個動點，連接PA，PO，是否存在這樣的點P，使以P、O、A為頂點的三角形是直角三角形？若存在，請直接寫出所有點P的坐標；若不存在，請說明理由【答案】（1）y=（x0）（2）OA=；C（5，）（3）P1（ ，），P2（，），P3（，），P4（，）【解析】（1）過點A作AHOB于H，sinAOB=，OA=10，AH=8，OH=6，A點坐標為（6，8），根據題意得：8=，可得：k=48，反比例函數解析式：y=（x0）；（2）設OA=a（a0），過點F作FMx軸于M，sinAOB=，AH=a，OH=a，SAOH=aa=a2，SAOF=12，S平行四邊形AOBC=24，F為BC的中點，SOBF=6，BF=a，FBM=AOB，FM=a，BM=a，SBMF=BMFM=aa=a2，SFOM=SOBF+SBMF=6+a2，點A，F都在y=的圖象上，SAOH=k，a2=6+a2，a=，OA=，AH=，OH=2，S平行四邊形AOBC=OBAH=24，OB=AC=3，C（5，）；（3）存在三種情況：當APO=90°時，在OA的兩側各有一點P，分別為：P1（ ，），P2（，）當PAO=90°時， P3（，）當POA=90°時，P4（，）5（2019·四川中考真題）如圖，一次函數的圖象與反比例函數(且)的圖象在第一象限交于點、，且該一次函數的圖象與軸正半軸交于點，過、分別作軸的垂線，垂足分別為、已知，(1)求的值和反比例函數的解析式；(2)若點為一次函數圖象上的動點，求長度的最小值【答案】(1)的值為4或-1；(2).【解析】解：(1)將點代入，得，解得，的值為4或-1；反比例函數解析式為：；(2)軸，軸，將，代入，得：，解得，設直線與軸交點為，當時，；當時，則，為等腰直角三角形，則當垂直于時，由垂線段最短可知，有最小值，此時【點睛】本題考查了反比例函數的性質、待定系數法求函數解析式、相似三角形的判定和性質以及垂線段最短等知識，解題關鍵是能夠熟練運用反比例函數的性質及相似三角形的性質6（2019·山東中考真題）如圖1，點、點在直線上，反比例函數（）的圖象經過點（1）求和的值；（2）將線段向右平移個單位長度（），得到對應線段，連接、如圖2，當時，過作軸于點，交反比例函數圖象于點，求的值；在線段運動過程中，連接，若是以為腰的等腰三形，求所有滿足條件的的值【答案】（1），；（2）；是以為腰的等腰三形，滿足條件的的值為4或5【解析】（1）點在直線上，直線的解析式為，將點代入直線的解析式中，得，將在反比例函數解析式（）中，得；（2）由（1）知，反比例函數解析式為，當時，將線段向右平移3個單位長度，得到對應線段，即：，軸于點，交反比例函數的圖象于點，；如圖，將線段向右平移個單位長度（），得到對應線段，是以腰的等腰三形，、當時，點在線段的垂直平分線上，、當時，即：是以為腰的等腰三形，滿足條件的的值為4或5【點睛】此題是反比例函數綜合題，主要考查了待定系數法，平移的性質，等腰三角形的性質，線段的垂直平分線的性質，用方程的思想解決問題是解本題的關鍵7（2019·廣西中考真題）如圖，直線與軸交于點，與軸交于點，將線段繞點順時針旋轉90°得到線段，反比例函數的圖象經過點（1）求直線和反比例函數的解析式；（2）已知點是反比例函數圖象上的一個動點，求點到直線距離最短時的坐標【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）將點，點，代入，；過點作軸，線段繞點順時針旋轉90°得到線段，（），；（2）設與平行的直線，聯(lián)立，當時，此時點到直線距離最短；【點睛】本題考查反比例函數的圖象及性質；熟練掌握反比例函數的圖象及性質，當直線與反比例函數有一個交點時，點到直線的距離最短是解題的關鍵8（2019·廣西中考真題）在平面直角坐標系中，矩形的頂點坐標為，交于點（1）如圖（1），雙曲線過點，直接寫出點的坐標和雙曲線的解析式；（2）如圖（2），雙曲線與分別交于點，點關于的對稱點在軸上求證，并求點的坐標；（3）如圖（3），將矩形向右平移個單位長度，使過點的雙曲線與交于點當為等腰三角形時，求的值【答案】（1）， ；（2）證明見解析，；（3）滿足條件的的值為3或12【解析】解：（1）如圖1中，四邊形是矩形， 雙曲線過點，反比例函數的解析式為（2）如圖2中，點在反比例函數的圖象上，直線的解析式為，關于對稱，直線的解析式為，（3）如圖3中，當時，在反比例函數圖象上，當時，點與點重合，在反比例函數圖象上，綜上所述，滿足條件的的值為3或12【點睛】本題屬于反比例函數綜合題，考查了中點坐標公式，待定系數法等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數構建方程解決問題，屬于中考壓軸題9（2019·遼寧中考真題）如圖，在平面直角坐標系中，矩形的邊交軸于點，軸，反比例函數的圖象經過點，點的坐標為，（1）求反比例函數的解析式；（2）點為軸上一動點，當的值最小時，求出點的坐標【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）是矩形，又軸，即把點 代入的得，反比例函數的解析式為：答：反比例函數的解析式為：（2）過點作垂足為，則點關于軸的對稱點，直線與軸的交點就是所求點，此時最小，設直線AB1的關系式為，將 ,，代入得， 解得：，直線的關系式為，當時，點答：點的坐標為【點睛】此題主要考查一次函數的圖像，解題的關鍵是熟知待定系數法確定函數關系式與對稱性.10（2019·廣西中考真題）如圖，已如平行四邊形中，點為坐標頂點，點，函數的圖象經過點（1）求的值及直線的函數表達式：（2）求四邊形的周長【答案】（1）k=2，直線OB解析式為；（2）四邊形的周長為【解析】 (1)依題意有：點在反比例函數的圖象上，又軸，設直線的函數表達式為，直線的函數表達式為；(2)作于點，在平行四邊形中，四邊形的周長為：，即四邊形的周長為【點睛】本題考查待定系數法求反比例函數解析式和一次函數解析式，反比例函數圖象上點的坐標特征、平行四邊形的性質，解答本題的關鍵是明確題意，利用數形結合的思想解答11（2019·湖南中考真題）如圖所示，在平面直角坐標系中，等腰的邊與反比例函數的圖象相交于點，其中，點在軸的正半軸上，點的坐標為，過點作軸于點（1）已知一次函數的圖象過點，求該一次函數的表達式；（2）若點是線段上的一點，滿足，過點作軸于點，連結，記的面積為，設，. 用表示（不需要寫出的取值范圍）；當取最小值時，求的值【答案】（1）;（2）;【解析】解：（1）將點的坐標代入一次函數表達式：得：，解得：，故一次函數表達式為：，（2）過點作，則，則，則，則點，設：，則，在中，同理，則，則點，有最小值，當時，取得最小值，而點，故：【點睛】本題為反比例函數綜合運用題，涉及到等腰三角形性質、解直角三角形、一次函數等知識，其中（2），確定點的坐標，是本題解題的關鍵12（2019·山東中考真題）(1)閱讀理解如圖，點，在反比例函數的圖象上，連接，取線段的中點分別過點，作軸的垂線，垂足為，交反比例函數的圖象于點點，的橫坐標分別為，小紅通過觀察反比例函數的圖象，并運用幾何知識得出結論：AE+BG=2CF，CF>DF，由此得出一個關于，之間數量關系的命題：若，則_(2)證明命題小東認為：可以通過“若，則”的思路證明上述命題小晴認為：可以通過“若，且，則”的思路證明上述命題請你選擇一種方法證明(1)中的命題【答案】(1)；(2)證明見解析.【解析】(1),. (2),，,.【點睛】本題考查反比例函數圖形上的點的坐標特征，反比例函數的圖象等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題