2020年中考數(shù)學(xué)考點(diǎn)總動員 第24講 尺規(guī)作圖（含解析）

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1、第24講　尺規(guī)作圖 1．尺規(guī)作圖的作圖工具 圓規(guī)和沒有刻度的直尺 2．基本尺規(guī)作圖 類型一：作一條線段等于已知線段 步驟：①作射線OP； ②以O(shè)為圓心，a為半徑作弧，交OP于A，OA即為所求線段． 圖示： 類型三：作線段的垂直平分線 步驟：①分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB長為半徑，在AB兩側(cè)作弧，兩弧交于M，N點(diǎn)； ②連接MN，直線MN即為所求垂直平分線． 圖示： 類型四：作一個角等于已知角： 步驟：①以O(shè)為圓心，以任意長為半徑作弧，交∠α的兩邊于點(diǎn)P，Q； ②作射線O′A； ③以O(shè)′為圓心，OP長為半徑作弧，交O′A于點(diǎn)M； ④以點(diǎn)M為圓心，PQ長為半徑

2、作弧，交前弧于點(diǎn)N； ⑤過點(diǎn)N作射線O′B，∠AO′B即為所求角． 圖示： 類型五：過一點(diǎn)作已知直線的垂線 步驟：點(diǎn)在直線上：①以點(diǎn)O為圓心，任意長為半徑作弧，交直線于A，B兩點(diǎn)； ②分別以點(diǎn)A，B為圓心，以大于AB長為半徑在直線兩側(cè)作弧，交點(diǎn)分別為M，N； ③連接MN，MN即為所求垂線． 點(diǎn)在直線外：①在直線另一側(cè)取點(diǎn)M； ②以PM為半徑畫弧，交直線于A，B兩點(diǎn)； ③分別以A，B為圓心，以大于AB長為半徑畫弧，交M同側(cè)于點(diǎn)N； ④連接PN，則直線PN即為所求的垂線． 圖示： 3．常見幾種基本尺規(guī)作圖作三角形 ①已知三邊作三角形； ②已知兩邊及其夾角作三角形；

3、③已知兩角及其夾邊作三角形； ④已知底邊及底邊上的高作等腰三角形； ⑤已知一直角邊和斜邊作直角三角形． 4．作圖的一般步驟 (1)已知；(2)求作；(3)分析；(4)作法；(5)證明； (6)討論． 步驟(5)(6)常不作要求，步驟(3)一般不要求，但作圖中一定要保留作圖痕跡. 考點(diǎn)1：簡單尺規(guī)作圖 【例題1】尺規(guī)作圖，已知頂角和底邊上的高，求作等腰三角形． 已知：如圖，∠α，線段a. 求作：△ABC，使AB＝AC，∠BAC＝α，AD⊥BC于D，且AD＝a. 【解析】：作圖如圖，(1)作∠EAF＝∠α；(2)作AG平分∠EAF，并在AG上截取AD＝a；

4、(3)過D作MN⊥AG，MN與AE，AF分別交于B，C.則△ABC即為所求作的等腰三角形　 歸納：1．熟悉五個基本的作圖步驟及作圖痕跡． 2．平時多體會和理解一些復(fù)雜作圖的依據(jù)及作圖過程． 3．會在常見的作圖語言與對應(yīng)的幾何語言之間進(jìn)行轉(zhuǎn)化． 4．提倡在平時畫圖時，采用尺規(guī)作圖，強(qiáng)化自己的作圖意識和規(guī)范性． 考點(diǎn)2： 復(fù)雜尺規(guī)作圖 【例題2】如圖，在△ABC中，已知∠ABC＝90°. (1)請在BC上找一點(diǎn)P，作⊙P與AC，AB都相切，與AC的切點(diǎn)為Q；(尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡) (2)連接BQ，若AB＝3，(1)中所作圓的半徑為，求sin∠CBQ. 【分析】　(1)

5、要求作⊙P與AB、AC相切，根據(jù)切線的性質(zhì)，即點(diǎn)P到AB、AC的距離相等，且點(diǎn)P在邊BC上，想到角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，即作∠BAC的平分線交BC于P點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PB為半徑作圓即可；(2)由切線長定理得AB＝AQ，又PB＝PQ，則判定AP為BQ的垂直平分線，利用等角的余角相等得到∠CBQ＝∠BAP，然后在Rt△ABP中利用正弦函數(shù)求出sin∠BAP，從而可得到sin∠CBQ的值． 解：(1)如圖所示，⊙P即為所求： (2)∵AB、AQ為⊙P的切線，∴AB＝AQ，∵PB＝PQ，∴AP為BQ的垂直平分線，∴∠BAP＋∠ABQ＝90°，∵∠CBQ＋∠ABQ＝90°，∴∠CBQ

6、＝∠BAP，在Rt△ABP中，AP＝＝＝，∴sin∠BAP＝＝＝，∴sin∠CBQ＝ 考點(diǎn)3： 關(guān)于尺規(guī)作圖的應(yīng)用 【例題3】（2019?廣西池河?8分）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C在⊙O上． （1）尺規(guī)作圖：作∠BAC的平分線，與⊙O交于點(diǎn)D；連接OD，交BC于點(diǎn)E（不寫作法，只保留作圖痕跡，且用黑色墨水筆將作圖痕跡加黑）； （2）探究OE與AC的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【分析】（1）利用基本作圖作AD平分∠BAC，然后連接OD得到點(diǎn)E； （2）由AD平分∠BAC得到∠BAD＝∠BAC，由圓周角定理得到∠BAD＝∠BOD，則∠BOD＝∠BAC，再證明OE為△ABC的

7、中位線，從而得到OE∥AC，OE＝AC． 【解答】解：（1）如圖所示； （2）OE∥AC，OE＝AC． 理由如下： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠BAC， ∵∠BAD＝∠BOD， ∴∠BOD＝∠BAC， ∴OE∥AC， ∵OA＝OB， ∴OE為△ABC的中位線， ∴OE∥AC，OE＝AC． 一、選擇題： 1. （2018年湖北省宜昌市3分）尺規(guī)作圖：經(jīng)過已知直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線，下列作圖中正確的是（　?。? 【答案】B 【解答】已知：直線AB和AB外一點(diǎn)C． 求作：AB的垂線，使它經(jīng)過點(diǎn)C． 作法：（1）任意取一點(diǎn)K，使K和C在AB的兩旁

8、． （2）以C為圓心，CK的長為半徑作弧，交AB于點(diǎn)D和E． （3）分別以D和E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F， （4）作直線CF． 直線CF就是所求的垂線． 故選：B． 2. （2018?襄陽）如圖，在△ABC中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，N，作直線MN分別交BC，AC于點(diǎn)D，E．若AE=3cm，△ABD的周長為13cm，則△ABC的周長為（　?。? A．16cm B．19cm C．22cm D．25cm 【答案】B 【解答】解：∵DE垂直平分線段AC， ∴DA=DC，AE=EC=6cm， ∵AB+AD+BD=13

9、cm， ∴AB+BD+DC=13cm， ∴△ABC的周長=AB+BD+BC+AC=13+6=19cm， 故選：B． 3. （2019?河北?3分）根據(jù)圓規(guī)作圖的痕跡，可用直尺成功找到三角形外心的是（　?。? A．B．C．D． 【答案】C 【解答】解：三角形外心為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，由基本作圖得到C選項作了兩邊的垂直平分線，從而可用直尺成功找到三角形外心．故選：C． 4. （2019?貴陽?3分）如圖，在△ABC中，AB＝AC，以點(diǎn)C為圓心，CB長為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)B和點(diǎn)D，再分別以點(diǎn)B，D為圓心，大于BD長為半徑畫弧，兩弧相交于點(diǎn)M，作射線CM交AB于點(diǎn)E．若AE＝2，B

10、E＝1，則EC的長度是（　?。? A．2 B．3 C． D． 【答案】D 【解答】解：由作法得CE⊥AB，則∠AEC＝90°， AC＝AB＝BE+AE＝2+1＝3， 在Rt△ACE中，CE＝＝． 故選：D． 5. （2018?河南）如圖，已知?AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2），點(diǎn)B在x軸正半軸上按以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長度為半徑作弧，分別交邊OA，OB于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于DE的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)F；③作射線OF，交邊AC于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（　　） A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，

11、2） 【答案】A 【解答】解：∵?AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2）， ∴AH=1，HO=2， ∴Rt△AOH中，AO=， 由題可得，OF平分∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO=∠EOG， ∴∠AGO=∠AOG， ∴AG=AO=， ∴HG=﹣1， ∴G（﹣1，2）， 故選：A． 二、填空題： 6. （2018?南京）如圖，在△ABC中，用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接DE．若BC=10cm，則DE=　 　cm． 【答案】5 【解答】解：∵用直尺和圓規(guī)作AB、AC的垂直平分線，

12、 ∴D為AB的中點(diǎn)，E為AC的中點(diǎn)， ∴DE是△ABC的中位線， ∴DE=BC=5cm． 故答案為：5． 7. （2019?河南?3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O．若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則CD的長為 . 【答案】2． 【解答】解：如圖，連接FC，則AF＝FC． ∵AD∥BC， ∴∠FAO＝∠BCO． 在△FOA與△BOC中， ， ∴△FOA≌△BOC（ASA）， ∴AF＝BC＝3， ∴FC＝AF＝3，F(xiàn)D＝AD﹣AF＝

13、4﹣3＝1． 在△FDC中，∵∠D＝90°， ∴CD2+DF2＝FC2， ∴CD2+12＝32， ∴CD＝2． 8. （2018?淮安）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分別以點(diǎn)A、B為圓心，大于AB的長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q，過P、Q兩點(diǎn)作直線交BC于點(diǎn)D，則CD的長是　?。? 【答案】 【解答】解：連接AD． ∵PQ垂直平分線段AB， ∴DA=DB，設(shè)DA=DB=x， 在Rt△ACD中，∠C=90°，AD2=AC2+CD2， ∴x2=32+（5﹣x）2， 解得x=， ∴CD=BC﹣DB=5﹣=， 故答案為． 三、解

14、答題： 9. 2.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°. (1)利用直尺和圓規(guī)按下列要求作圖，并在圖中標(biāo)明相應(yīng)的字母．(保留作圖痕跡，不寫作法) ①作AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)O，交AC于點(diǎn)D; ②以O(shè)為圓心，OA為半徑作圓，交OD的延長線于點(diǎn)E. (2)在(1)所作的圖形中，解答下列問題. ①點(diǎn)B與⊙O的位置關(guān)系是_____________；(直接寫出答案) ②若DE＝2，AC＝8，求⊙O的半徑． 解：(1)如圖所示： (2)①連接OC，如圖， ∵OD垂直平分AC，∴OA＝OC，∴∠A＝∠ACO， ∵∠A＋∠B＝90°，∠OCB＋∠ACO＝90°

15、，∴∠B＝∠OCB，∴OC＝OB，∴OB＝OA，∴點(diǎn)B在⊙O上； ②∵OD⊥AC，且點(diǎn)D是AC的中點(diǎn)，∴AD＝AC＝4， 設(shè)⊙O的半徑為r，則OA＝OE＝r，OD＝OE－DE＝r－2，在Rt△AOD中，∵OA2＝AD2＋OD2，即r2＝42＋(r－2)2，解得r＝5.∴⊙O的半徑為5 10. （2018?安徽?分） 如圖，⊙O為銳角△ABC的外接圓，半徑為5. （1）用尺規(guī)作圖作出∠BAC的平分線，并標(biāo)出它與劣弧BC的交點(diǎn)E(保留作圖痕跡，不寫作法)； （2）若（1）中的點(diǎn)E到弦BC的距離為3，求弦CE的長. 【答案】（1）畫圖見解析；（2）CE= 【解析】【分析】（1）

16、以點(diǎn)A為圓心，以任意長為半徑畫弧，分別與AB、AC有交點(diǎn)，再分別以這兩個交點(diǎn)為圓心，以大于這兩點(diǎn)距離的一半為半徑畫弧，兩弧交于一點(diǎn)，過點(diǎn)A與這點(diǎn)作射線，與圓交于點(diǎn)E ，據(jù)此作圖即可； （2）連接OE交BC于點(diǎn)F，連接OC、CE，由AE平分∠BAC，可推導(dǎo)得出OE⊥BC，然后在Rt△OFC中，由勾股定理可求得FC的長，在Rt△EFC中，由勾股定理即可求得CE的長. 【詳解】（1）如圖所示，射線AE就是所求作的角平分線； （2）連接OE交BC于點(diǎn)F，連接OC、CE， ∵AE平分∠BAC， ∴， ∴OE⊥BC，EF=3，∴OF=5-3=2， 在Rt△OFC中，由勾股定理可得FC=

17、=， 在Rt△EFC中，由勾股定理可得CE==. 11. （2019?江蘇泰州?8分）如圖，△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝8． （1）用直尺和圓規(guī)作AB的垂直平分線；（保留作圖痕跡，不要求寫作法） （2）若（1）中所作的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，求BD的長． 【分析】（1）分別以A，B為圓心，大于AB為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)M，N，作直線MN即可． （2）設(shè)AD＝BD＝x，在Rt△ACD中，利用勾股定理構(gòu)建方程即可解決問題． 【解答】解：（1）如圖直線MN即為所求． （2）∵M(jìn)N垂直平分線段AB， ∴DA＝DB，設(shè)DA＝DB＝x， 在Rt△ACD中，∵AD2

18、＝AC2+CD2， ∴x2＝42+（8﹣x）2， 解得x＝5， ∴BD＝5． 12. （2018·廣東·6分）如圖，BD是菱形ABCD的對角線，∠CBD=75°， （1）請用尺規(guī)作圖法，作AB的垂直平分線EF，垂足為E，交AD于F；（不要求寫作法，保留作圖痕跡） （2）在（1）條件下，連接BF，求∠DBF的度數(shù)． 【分析】（1）分別以A、B為圓心，大于AB長為半徑畫弧，過兩弧的交點(diǎn)作直線即可； （2）根據(jù)∠DBF=∠ABD﹣∠ABF計算即可； 【解答】解：（1）如圖所示，直線EF即為所求； （2）∵四邊形ABCD是菱形， ∴∠ABD=∠DBC=∠ABC=75°，D

19、C∥AB，∠A=∠C． ∴∠ABC=150°，∠ABC+∠C=180°， ∴∠C=∠A=30°， ∵EF垂直平分線線段AB， ∴AF=FB， ∴∠A=∠FBA=30°， ∴∠DBF=∠ABD﹣∠FBE=45°． 13. （2019?湖北孝感?8分）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，一同學(xué)利用直尺和圓規(guī)完成如下操作： ①以點(diǎn)C為圓心，以CB為半徑畫弧，交AB于點(diǎn)G；分別以點(diǎn)G、B為圓心，以大于GB的長為半徑畫弧，兩弧交點(diǎn)K，作射線CK； ②以點(diǎn)B為圓心，以適當(dāng)?shù)拈L為半徑畫弧，交BC于點(diǎn)M，交AB的延長線于點(diǎn)N；分別以點(diǎn)M、N為圓心，以大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點(diǎn)P，

20、作直線BP交AC的延長線于點(diǎn)D，交射線CK于點(diǎn)E． 請你觀察圖形，根據(jù)操作結(jié)果解答下列問題； （1）線段CD與CE的大小關(guān)系是　CD＝CE　； （2）過點(diǎn)D作DF⊥AB交AB的延長線于點(diǎn)F，若AC＝12，BC＝5，求tan∠DBF的值． 【分析】（1）由作圖知CE⊥AB，BD平分∠CBF，據(jù)此得∠1＝∠2＝∠3，結(jié)合∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°知∠CEB＝∠CDE，從而得出答案； （2）證△BCD≌△BFD得CD＝DF，從而設(shè)CD＝DF＝x，求出AB＝13，知sin∠DAF＝＝，即＝，解之求得x＝，結(jié)合BC＝BF＝5可得答案． 【解答】解：（1）CD＝CE， 由作圖知CE⊥AB，BD平分∠CBF， ∴∠1＝∠2＝∠3， ∵∠CEB+∠3＝∠2+∠CDE＝90°， ∴∠CEB＝∠CDE， ∴CD＝CE， 故答案為：CD＝CE； （2）∵BD平分∠CBF，BC⊥CD，BF⊥DF， ∴BC＝BF，∠CBD＝∠FBD， 在△BCD和△BFD中， ∵， ∴△BCD≌△BFD（AAS）， ∴CD＝DF， 設(shè)CD＝DF＝x， 在Rt△ACB中，AB＝13， ∴sin∠DAF＝＝，即＝， 解得x＝， ∵BC＝BF＝5， ∴tan∠DBF＝＝×＝． 15