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2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專題21 以平行四邊形為背景的證明與計(jì)算(含解析)

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2020年中考數(shù)學(xué)基礎(chǔ)題型提分講練 專題21 以平行四邊形為背景的證明與計(jì)算(含解析)

專題21 以平行四邊形為背景的證明與計(jì)算考點(diǎn)分析【例1】(2019·重慶中考真題)在中,BE平分交AD于點(diǎn)E(1)如圖1,若,求的面積;(2)如圖2,過點(diǎn)A作,交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F,分別交BE,BC于點(diǎn)G,H,且求證:【答案】(1);(2)證明見解析.【解析】(1)解:作于O,如圖1所示:四邊形ABCD是平行四邊形,BE平分,的面積;(2)證明:作交DF的延長(zhǎng)線于P,垂足為Q,連接PB、PE,如圖2所示:,在和中,在和中,【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí);熟練掌握平行四邊形的性質(zhì),證明三角形全等是解題的關(guān)鍵【例2】 (2019·山東初二期末)在正方形ABCD中,E是邊CD上一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)C、D重合),連結(jié)BE(感知)如圖,過點(diǎn)A作AFBE交BC于點(diǎn)F易證ABFBCE(不需要證明)(探究)如圖,取BE的中點(diǎn)M,過點(diǎn)M作FGBE交BC于點(diǎn)F,交AD于點(diǎn)G(1)求證:BE=FG(2)連結(jié)CM,若CM=1,則FG的長(zhǎng)為 (應(yīng)用)如圖,取BE的中點(diǎn)M,連結(jié)CM過點(diǎn)C作CGBE交AD于點(diǎn)G,連結(jié)EG、MG若CM=3,則四邊形GMCE的面積為 【答案】(1)證明見解析;(2)2,9.【解析】感知:四邊形ABCD是正方形,AB=BC,BCE=ABC=90°,ABE+CBE=90°,AFBE,ABE+BAF=90°,BAF=CBE,在ABF和BCE中,ABFBCE(ASA);探究:(1)如圖,過點(diǎn)G作GPBC于P,四邊形ABCD是正方形,AB=BC,A=ABC=90°,四邊形ABPG是矩形,PG=AB,PG=BC,同感知的方法得,PGF=CBE,在PGF和CBE中,PGFCBE(ASA),BE=FG;(2)由(1)知,F(xiàn)G=BE,連接CM,BCE=90°,點(diǎn)M是BE的中點(diǎn),BE=2CM=2,F(xiàn)G=2,故答案為:2應(yīng)用:同探究(2)得,BE=2ME=2CM=6,ME=3,同探究(1)得,CG=BE=6,BECG,S四邊形CEGM=CG×ME=×6×3=9,故答案為:9【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題,主要考查了正方形的性質(zhì),同角的余角相等,全等三角形的判定和性質(zhì),直角三角形的性質(zhì),熟練掌握相關(guān)的性質(zhì)與定理、判斷出CG=BE是解本題的關(guān)鍵考點(diǎn)集訓(xùn)1(2019·四川初三期末)在矩形ABCD中,AB=12,P是邊AB上一點(diǎn),把PBC沿直線PC折疊,頂點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)G,過點(diǎn)B作BECG,垂足為E且在AD上,BE交PC于點(diǎn)F(1)如圖1,若點(diǎn)E是AD的中點(diǎn),求證:AEBDEC;(2)如圖2,求證:BP=BF;當(dāng)AD=25,且AEDE時(shí),求cosPCB的值;當(dāng)BP=9時(shí),求BEEF的值【答案】(1)證明見解析;(2)證明見解析;108. 【解析】(1)在矩形ABCD中,A=D=90°,AB=DC,E是AD中點(diǎn),AE=DE,在ABE和DCE中,ABEDCE(SAS);(2)在矩形ABCD,ABC=90°,BPC沿PC折疊得到GPC,PGC=PBC=90°,BPC=GPC,BECG,BEPG,GPF=PFB,BPF=BFP,BP=BF;當(dāng)AD=25時(shí),BEC=90°,AEB+CED=90°,AEB+ABE=90°,CED=ABE,A=D=90°,ABEDEC,設(shè)AE=x,DE=25x,x=9或x=16,AEDE,AE=9,DE=16,CE=20,BE=15,由折疊得,BP=PG,BP=BF=PG,BEPG,ECFGCP,設(shè)BP=BF=PG=y,y=,BP=,在RtPBC中,PC=,cosPCB=;如圖,連接FG,GEF=BAE=90°,BFPG,BF=PG=BP,BPGF是菱形,BPGF,GFE=ABE,GEFEAB,BEEF=ABGF=12×9=108【點(diǎn)睛】此題是四邊形綜合題,主要考查了矩形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),相似三角形的判定和性質(zhì),折疊的性質(zhì),利用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵2(2019·甘肅中考真題)如圖,在正方形中,點(diǎn)是的中點(diǎn),連接,過點(diǎn)作交于點(diǎn),交于點(diǎn)(1)證明:;(2)連接,證明:【答案】(1)見解析;(2)見解析.【解析】證明:(1)四邊形是正方形,又,(2)如圖所示,延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于,是的中點(diǎn),又,即是的中點(diǎn),又,中,【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì),在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí),要注意三角形間的公共邊和公共角,必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形3(2019·黑龍江初三)如圖,矩形ABCD中,AB=6,BC=4,過對(duì)角線BD中點(diǎn)O的直線分別交AB,CD邊于點(diǎn)E,F(xiàn)(1)求證:四邊形BEDF是平行四邊形;(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí),求EF的長(zhǎng)【答案】(1)證明見解析;(2)【解析】(1)證明:四邊形ABCD是矩形,O是BD的中點(diǎn),A=90°,AD=BC=4,ABDC,OB=OD,OBE=ODF,在BOE和DOF中, BOEDOF(ASA),EO=FO,四邊形BEDF是平行四邊形;(2)當(dāng)四邊形BEDF是菱形時(shí),BDEF,設(shè)BE=x,則 DE=x,AE=6-x,在RtADE中,DE2=AD2+AE2,x2=42+(6-x)2,解得:x= ,BD= =2,OB=BD=,BDEF,EO=,EF=2EO=點(diǎn)睛:本題主要考查了矩形的性質(zhì),菱形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì),熟練掌握矩形的性質(zhì)和勾股定理,證明三角形全等是解決問的關(guān)鍵 4(2019·四川中考真題)如圖,在四邊形中,延長(zhǎng)到E,使,連接交于點(diǎn)F,點(diǎn)F是的中點(diǎn)求證:(1)(2)四邊形是平行四邊形【答案】(1)見解析;(2)見解析【解析】證明:(1),點(diǎn)F是的中點(diǎn),在與中,;(2),四邊形是平行四邊形【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形判定定理,解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形判定定理.5(2019·山東初二期末)已知,如圖,在ABCD中,延長(zhǎng)DA到點(diǎn)E,延長(zhǎng)BC到點(diǎn)F,使得AECF,連接EF,分別交AB,CD于點(diǎn)M,N,連接DM,BN.(1)求證:AEMCFN; (2)求證:四邊形BMDN是平行四邊形.【答案】證明見解析【解析】證明:(1) 四邊形ABCD是平行四邊形,ABDC ,ADBCE=F,DAB=BCDEAM=FCN又AE=CF AEMCFN(ASA)(2) 由(1)AEMCFN AM=CN又四邊形ABCD是平行四邊形ABCDBMDN四邊形BMDN是平行四邊形6(2019·黑龍江中考真題).已知:在矩形中,是對(duì)角線,于點(diǎn),于點(diǎn);(1)如圖1,求證:;(2)如圖2,當(dāng)時(shí),連接.,在不添加任何輔助線的情況下,請(qǐng)直接寫出圖2中四個(gè)三角形,使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于矩形面積的.【答案】(1)詳見解析;(2)的面積的面積的面積的面積矩形面積的【解析】(1)證明:四邊形是矩形, ,于點(diǎn),于點(diǎn),在和中,;(2)解:的面積的面積的面積的面積矩形面積的理由如下:,的面積矩形的面積,的面積矩形的面積;作于,如圖所示:,的面積矩形的面積,同理:的面積矩形的面積【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形中角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半,靈活應(yīng)用矩形的性質(zhì)證全等,熟練掌握直角三角形角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.7(2019·浙江中考真題)如圖,矩形的頂點(diǎn),分別在菱形的邊,上,頂點(diǎn)、在菱形的對(duì)角線上. (1)求證:; (2)若為中點(diǎn),求菱形的周長(zhǎng)?!敬鸢浮浚?)證明見解析;(2)8.【解析】(1)四邊形EFGH是矩形,EH=FG,EHFG,GFH=EHF,BFG=180°-GFH,DHE=180°-EHF,BFG=DHE,四邊形ABCD是菱形,ADBC,GBF=EDH,BGFDEH(AAS),BG=DE;(2)連接EG,四邊形ABCD是菱形,AD=BC,ADBC,E為AD中點(diǎn),AE=ED,BG=DE,AE=BG,AEBG,四邊形ABGE是平行四邊形,AB=EG,EG=FH=2,AB=2,菱形ABCD的周長(zhǎng)=8【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),全等三角形的判定和性質(zhì),正確的識(shí)別作圖是解題的關(guān)鍵8(2019·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)初三月考)如圖1,在矩形ABCD中,P為CD邊上一點(diǎn)(DPCP),APB=90°將ADP沿AP翻折得到ADP,PD的延長(zhǎng)線交邊AB于點(diǎn)M,過點(diǎn)B作BNMP交DC于點(diǎn)N(1)求證:AD2=DPPC;(2)請(qǐng)判斷四邊形PMBN的形狀,并說明理由;(3)如圖2,連接AC,分別交PM,PB于點(diǎn)E,F(xiàn)若=,求的值【答案】(1)證明見解析;(2)四邊形PMBN是菱形,理由見解析;(3)【解析】解:(1)過點(diǎn)P作PGAB于點(diǎn)G,易知四邊形DPGA,四邊形PCBG是矩形, AD=PG,DP=AG,GB=PCAPB=90°,APG+GPB=GPB+PBG=90°,APG=PBG,APGPBG,PG2=AGGB,即AD2=DPPC;(2)DPAB,DPA=PAM,由題意可知:DPA=APM,PAM=APM,APB-PAM=APB-APM,即ABP=MPBAM=PM,PM=MB,PM=MB,又易證四邊形PMBN是平行四邊形,四邊形PMBN是菱形;(3)由于,可設(shè)DP=k,AD=2k,由(1)可知:AG=DP=k,PG=AD=2k,PG2=AGGB,4k2=kGB,GB=PC=4k,AB=AG+GB=5k,CPAB,PCFBAF,又易證:PCEMAE,AM=AB=, ,EF=AF-AE=AC-AC=AC,.【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的綜合問題,涉及相似三角形的性質(zhì)與判定,菱形的判定,直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)等知識(shí),綜合程度較高,需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)9(2019·撫順市雷鋒中學(xué)初三月考)在正方形ABCD的邊AB上任取一點(diǎn)E,作EFAB交BD于點(diǎn)F,取FD的中點(diǎn)G,連接EG、CG,如圖(1),易證 EG=CG且EGCG(1)將BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,如圖(2),則線段EG和CG有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系?請(qǐng)直接寫出你的猜想(2)將BEF繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°,如圖(3),則線段EG和CG又有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系.請(qǐng)寫出你的猜想,并加以證明【答案】(1)EG=CG;EGCG(2)EG=CG;EGCG,證明見解析.【解析】解:(1)EG=CG,EGCG(2)EG=CG,EGCG 證明:延長(zhǎng)FE交DC延長(zhǎng)線于M,連MGAEM=90°,EBC=90°,BCM=90°,四邊形BEMC是矩形BE=CM,EMC=90°,由圖(3)可知,BD平分ABC,ABC=90°,EBF=45°,又EFAB,BEF為等腰直角三角形BE=EF,F(xiàn)=45°EF=CMEMC=90°,F(xiàn)G=DG,MG=FD=FGBC=EM,BC=CD,EM=CDEF=CM,F(xiàn)M=DM,又FG=DG,CMG=EMC=45°,F(xiàn)=GMC在GFE與GMC中,GFEGMC(SAS)EG=CG,F(xiàn)GE=MGC. FMC=90°,MF=MD,F(xiàn)G=DG,MGFD,F(xiàn)GE+EGM=90°,MGC+EGM=90°,即EGC=90°,EGCG【點(diǎn)睛】此題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及全等三角形的判斷和性質(zhì),如何構(gòu)造全等的三角形是難點(diǎn),因此難度較大考點(diǎn):旋轉(zhuǎn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);正方形的性質(zhì)10(2019·廣東初三期中)(1)如圖1,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn),且DFBE,求證:CECF;(2)如圖2,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),G是AD上一點(diǎn),如果GCE45°,請(qǐng)你利用(1)的結(jié)論證明:GEBEGD;(3)運(yùn)用(1)(2)解答中所積累的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí),完成下題:如圖3,在直角梯形ABCD中,ADBC(BCAD),B90°,ABBC,E是AB上一點(diǎn),且DCE45°,BE4,DE=10, 求直角梯形ABCD的面積【答案】(1)、(2)證明見解析(3)108【解析】(1)如圖1,在正方形ABCD中,BC=CD,B=CDF,BE=DF,CBECDF,CE=CF;(2)如圖2,延長(zhǎng)AD至F,使DF=BE,連接CF,由(1)知CBECDF,BCE=DCFBCE+ECD=DCF+ECD即ECF=BCD=90°,又GCE=45°,GCF=GCE=45°,CE=CF,GCE=GCF,GC=GC,ECGFCG,GE=GF,GE=DF+GD=BE+GD;(3)過C作CFAD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F則四邊形ABCF是正方形AE=AB-BE=12-4=8,設(shè)DF=x,則AD=12-x,根據(jù)(2)可得:DE=BE+DF=4+x,在直角ADE中,AE2+AD2=DE2,則82+(12-x)2=(4+x)2,解得:x=6則DE=4+6=10【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及正方形的性質(zhì),解決本題的關(guān)鍵是注意每個(gè)題目之間的關(guān)系,正確作出輔助線11(2019·湖南中考真題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,矩形ABCD的邊AB4,BC6若不改變矩形ABCD的形狀和大小,當(dāng)矩形頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上左右移動(dòng)時(shí),矩形的另一個(gè)頂點(diǎn)D始終在y軸的正半軸上隨之上下移動(dòng)(1)當(dāng)OAD30°時(shí),求點(diǎn)C的坐標(biāo);(2)設(shè)AD的中點(diǎn)為M,連接OM、MC,當(dāng)四邊形OMCD的面積為時(shí),求OA的長(zhǎng);(3)當(dāng)點(diǎn)A移動(dòng)到某一位置時(shí),點(diǎn)C到點(diǎn)O的距離有最大值,請(qǐng)直接寫出最大值,并求此時(shí)cosOAD的值【答案】(1)點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3+2);(2)OA3;(3)OC的最大值為8,cosOAD【解析】 (1)如圖1,過點(diǎn)C作CEy軸于點(diǎn)E,矩形ABCD中,CDAD,CDE+ADO90°,又OAD+ADO90°,CDEOAD30°,在RtCED中,CECD2,DE2,在RtOAD中,OAD30°,ODAD3,點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,3+2);(2)M為AD的中點(diǎn),DM3,SDCM6,又S四邊形OMCD,SODM,SOAD9,設(shè)OAx、ODy,則x2+y236,xy9,x2+y22xy,即xy,將xy代入x2+y236得x218,解得x3(負(fù)值舍去),OA3;(3)OC的最大值為8,如圖2,M為AD的中點(diǎn),OM3,CM5,OCOM+CM8,當(dāng)O、M、C三點(diǎn)在同一直線時(shí),OC有最大值8,連接OC,則此時(shí)OC與AD的交點(diǎn)為M,過點(diǎn)O作ONAD,垂足為N,CDMONM90°,CMDOMN,CMDOMN,即,解得MN,ON,ANAMMN,在RtOAN中,OA,cosOAD【點(diǎn)睛】本題是四邊形的綜合問題,解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)12(2019·廣東初二期中)如圖,在正方形ABCD中,P是對(duì)角線AC上的一點(diǎn),點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線上,且PE=PB(1)求證:BCPDCP;(2)求證:DPE=ABC;(3)把正方形ABCD改為菱形,其它條件不變(如圖),若ABC=58°,則DPE= 度【答案】 (1)詳見解析(2)詳見解析(3)58【解析】解:(1)證明:在正方形ABCD中,BC=DC,BCP=DCP=45°,在BCP和DCP中,BCPDCP(SAS)(2)證明:由(1)知,BCPDCP,CBP=CDPPE=PB,CBP=ECDP=E1=2(對(duì)頂角相等),180°1CDP=180°2E,即DPE=DCEABCD,DCE=ABCDPE=ABC(3)解:在菱形ABCD中,BC=DC,BCP=DCP,在BCP和DCP中,BCPDCP(SAS),CBP=CDP,PE=PB,CBP=E,DPE=DCE,ABCD,DCE=ABC,DPE=ABC=58°,故答案為:58

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