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七年級上冊 第一章 有理數 1.1 正數和負數 正數和負數的定義:大于零的數叫正數,正數前面加上負號叫負數. 正負數的實際應用背景:在同一個問題中,分別用正數和負數表示的量具有相反的意義. 閱讀與思考 用正負數表示加工允許誤差 用正負數表示某個范圍的實例 1.2 有理數 有理數的定義(兩個整數的比值!!!),有理數的分類. 數軸和數軸的三要素:規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線叫數軸. 用數軸表示數的方法:一般地,設a是一個正數,則數軸上表示數a的點在原點的右邊,與原點的距離是a個單位長度;表示數-a的點在原點的左邊,與原點的距離是a個單位長度. 關于原點對稱:一般地,設a是一個正數,數軸上與原點的距離是a的點有兩個,它們分別在原點左右,表示-a和a,我們說這兩點關于原點對稱. 相反數:只有符號不同的兩個數叫做互為相反數.一般地,a和-a互為相反數.特別地,0的相反數仍是0. 絕對值:一般地,數軸上表示數a的點與原點的距離叫做數a的絕對值. 求絕對值的方法:一個正數的絕對值是它本身,一個負數的絕對值是它的相反數,0的絕對值是0.這就說,當a是正數時,|a|=a;當a是負數時,|a|=-a;當a=0時,|a|=0. 比較有理數大小的方法:1)正數大于0,0大于負數,正數大于負數;2)兩個負數,絕對值大的反而小.(總之,在數軸上右邊的數大于左邊的數!) 1.3 有理數的加減法 有理數加法法則:1)同號兩數相加,取與加數相同的符號,并把絕對值相加.2)絕對值不相等的異號兩數相對,取絕對值較大的加數的符號,并用較大的絕對值減去較小的絕對值,互為兩反數的兩個數相加得0.3)一個數同0相加,仍得這個數. 加法操作順序:先定符號,再算絕對值. 加法的運算律:加法交換律,加法結合律. 有理數減法法則:減去一個數,等于加上這個數的相反數. 加減混合運算:引入相反數后,加減混全運算可以統(tǒng)一為加法運算:a+b-c=a+b+(-c). 實驗與探究 填幻方 閱讀與思考 中國人最先使用負數 1.4 有理數的乘除法 有理數乘法法則:1)兩數相乘,同號得正,異號得負,并把絕對值相乘.2)任何數同0相乘得0. 倒數:乘積是1的兩個數互為倒數.(小學學過) 連乘時的符號確定:幾個不是0的數相乘,負因數的個數是偶數時,積是正數;負因數的個數是奇數時,積是負數. 有理數乘法運算律:乘法交換律,乘法結合律,乘法對加法的分配律. 除法法則:1)除以一個不等于0的數,等于乘這個數的倒數.或者說成:1)兩數相除,同號得正,異號得負,并把絕對值相除.2)0除以任何一個不等于0的數,都得0. 加減乘除混合運算法則:先括號,再乘除,最后加減. 觀察與猜想 翻牌游戲中的數學道理 (感覺這個游戲有點扯!) 1.5 有理數的乘方 乘方的相關概念:一般地,n個相同因數a相乘,即,記作,讀作a的n次方.求n個相同因數的積的運算,叫做乘方;乘方的結果叫做冪.在中,a叫做底數,n叫做指數.當看作a的n次方的結果時,也可讀作a的n次冪. 乘方的符號規(guī)則:負數的奇次冪是負數,負數的偶次冪是正數.正數的任何次冪都是正數,0的任何次冪都是0. 含有乘方的混合運算順序:1)先乘方,再乘除,最后加減.2)同級運算,從左到右進行.3)如有括號,先做括號內的運算,按小括號,中括號,大括號依次進行. 科學記數法:把一個大于10的數表示成的形式(其中a是整數數位只有一位的數,n是正整數)叫做科學記數法. 近似數:與準確數接近的數.取得近似數的方法有很多種,常見的是四舍五入. 精確度:精確度表示近似數與準確數的接近程度. 有效數字:從一個數的左邊第一個非0數字起,到末位數字止,所有的數字都是這個數的有效數字. 數學活動 有關正負數的實際應用,用計算器進行有理數運算,科學記數法的應用 第二章 整式的加減 2.1 整式 單項式：數字或字母的積叫單項式,單獨的一個數或字母也是單項式.單項式中的數字因子叫做這個單項式的系數.一個單項式中,所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數. 多項式:幾個單項式的和叫做多項式,其中,每個單項式叫做多項式的項,不含字母的項叫做常數項.多項式里次數最高的項的次數,叫做這個多項式的次數. 整式:單項式與多項式統(tǒng)稱整式. 閱讀與思考 數字1 與字母X的對話 (有字母表示數的意義) 2.2 整式的加減 同類項:所含字母相同,并且相同字母的指數也相同的項叫做同類項,幾個常數項也是同類項. 合并同類項:把多項式中的同類項全并成一項,叫做全并同類項.合并同類項后,所得項的系數是合并前各同類項的系數的和,且字母部分不變. 降(升)冪排列:把一個多項式的各項按照某個字母的指數從大到小(從小到大)的順序排列. 去括號規(guī)則:1)如果括號外的因數是正數,去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相同;2)如果括號外的因數是負數,去括號后原括號內各項的符號與原來的符號相反. 整式加減運算法則:一般地,幾個整式相加減,如果有括號就先去括號,然后再合并同類項. 信息技術應用 電子表格與數據計算 數學活動 找規(guī)律并有代數式表示,分段優(yōu)惠價格的代數表示 第三章 一元一次方程 3.1 從算式到方程 方程定義：含有未知數的等式。 列方程的基本技術：分析實際問題中的數量關系，利用其中的相等關系列出方程。 等式的性質：1）等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），結果仍相等。2）等式兩邊同乘以一個數，或除以同一個不為0的數，結果仍相等。 閱讀與思考 “方程”史話 3.2 解一元一次方程（一）合并同類項 基本相等關系：總量等于各部分量之和。 解一元一次方程的基本方法：合并同類項，移項，未知數系數歸一化。 實驗與探究 無限循環(huán)小數化分數 （方程的一個應用） 3.3 解一元一次方程（二）去括號與去分母 解一元一次方程的基本方法：去括號，去分母。 3.4 實際問題與一元一次方程 實際問題：價格問題，產量問題，比賽積分（包含用方程進行推理）。 數學活動 方程的幾個應用實例 第四章 圖形認識初步 4.1 多姿多彩的圖形 幾何圖形：從實物中抽象出來的各種圖形。（舉例） 立體圖形：各部分不都在同一個平面內的圖形。（舉例） 平面圖形：各部分都在同一平面內的圖形。（舉例） 展開圖：有些立體圖形是同一些平面圖形圍成的，將它們的表面適當剪開，可以展開成平面圖形。這樣的平面圖形稱為立體圖形的展開圖。 三視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。（理解立體圖形的各個面） 點、線、面、體：幾何體簡稱體（舉例）；包圍著體的是面（包括平面和曲面）；面和面相交的地方形成線（有直線和曲線）；線和線相交的地方是點?！径家罁嵗M行抽象?！? 閱讀與思考 幾何學的起源 （繼承了一貫的實用主義風格，認為幾何完全起源于工程需要，完全無視數學家們的思考。） 4.2 直線、射線、線段 公理：人們在長期實踐中總結出來的結論（基本事實）的一部分稱為公理。 公理1：經過兩點有一條直線，并且只有一條直線。（兩點確定一條直線。） 相交：當兩條不同的直線有一個公共點時，我們就稱這兩條直線相交。這個公共點叫做它們的交點。 點和直線的關系：1）一個點在一條直線上，也說這條直線經過這個點；2）點在直線外，也可以說直線不經過這個點。 直線的表示：1）用一個小寫字母表示。2）用直線上的兩個點（兩個大寫字母表示）。 線段的表示：用線段的兩個端點（兩個大寫字母）表示。 射線的表示：用射線和端點和射線上的另一個點（兩個大寫字母）表示。 畫一條線段等于已經線段：1）尺規(guī)作圖法；2）直接測量法。 比較兩條線段的長短：1）直接測量法；2）移動線段法（尺規(guī)作圖）。 線段的中點：中點把原線段分成相等的兩條線段。類似地有三等分點，四等分點，等等。 公理2：兩點的所有連線中，線段最短。（兩點之間，線段最短。） 兩點的距離：連接兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離。 閱讀與思考 長度的測量 長度單位和長度測量工具 4.3 角 角：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，這個公共端點是角的頂點，這兩條射線是角的兩條邊。 角的分類：銳角、直角、鈍角、平角、周角。 角的單位：度、分、秒，及三者換算。 余角：如果兩個角的和等于90度，就說這兩個角互為余角。 余角的性質：等角的余角相等。 補角：如果兩個角的和等于，就說這兩個角互為補角。 補角的性質：等角的補角相等。 等量減等量差相等（其實也就是等式性質之一）。 角的表示法：1）三點法；2）端點法；3）希臘字母法；4）數字法。 4.4 課題練習 設計制作長方體形狀的包裝紙盒 展開圖的認識和拼裝。 數學活動 多面體的展開圖 莫比烏斯帶 制作五角星 七年級下冊 第五章 相交線和平行線 5.1 相交線. 鄰補角：有一條公共邊，另一邊互為反向延長線的兩個角互為鄰補角。 對頂角：有一個公共頂點，并且一個角的兩邊分別是另一個角兩邊的反向延長線，這樣的兩個角互為對頂角。 對頂角性質：對頂角相等。 垂直：兩條成90度角的相交線互相垂直。 垂線：兩條直線互相垂直，其中的一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點叫做垂足。 公理：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。 定理：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。（垂線段最短。） 點到直線的距離：直線外一點到這條直線的垂線段的長度，叫做點到直線的距離。 同位角、內錯角、同旁內角定義（由圖像給出描述性定義） 觀察與猜想 看圖時的錯覺 指出眼見為實的不可靠和測量的必要 5.2 平行線及其判定 平行：同一平面內，不相交的兩條直線互相平行。 平行公理：經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。 定理：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行?！疚醋C】 平行線判定方法1：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行?！疚醋C】 平行線判定方法2：兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行。 平行線判定方法3：兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行。 定理：在同一平面內，如果兩條直線都垂直于同一條直線，那么這兩條直線平行。【例題】 5.3 平行線的性質 平行線的性質：1）兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等。 2）兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等。 3）兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補。 命題：判斷一件事情的語句叫做命題。 命題結構：命題由題設和結論兩部分組成。題設是已知事項，結論是由已經事項推出的事項。命題通?？梢詫懗伞叭绻敲础?。”的形式，這時“如果”后接的部分是題設，“那么”后接的部分是結論。 真命題：如果題設成立，那么結論一定成立的命題，叫做真命題。 假命題：題設成立時，不能保證結論一定成立的命題，叫做假命題。 定理：正確性經過推理證實的真命題叫做定理。 信息技術應用 探索兩條直線的位置關系 用幾何畫板探索：1）鄰補角、對頂角的關系；2）垂線段的性質；3）平行線的的性質。 5.4 平 移. 平移：把一個圖形整體沿某一直線方向移動，會得到一個新的圖形，新圖形與原圖形的形狀和大小完全相同；新圖形中的每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這兩個點是對應點。連接各組對應點的線段平行且相等。圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。 數學活動 1）用不同方法畫平行線；2）畫出自己的上學路線；3）利用平移設計圖案。 第六章 平面直角坐標系 6.1 平面直角坐標系 有序數對：有順序的兩個數a和b組成的數對，叫做有序數對，記作（a，b）。 平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系；水平的數軸稱為x軸或橫軸，習慣上取向右為正方向；豎直的數軸稱為y軸或縱軸，取向上方向為正方向；兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。 坐標：平面直角坐標系內的與某點對應的有序數對叫做這點的坐標。 坐標平面的結構：建立平面直角坐標系后，坐標平面就被兩條坐標軸分成四個象限，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。坐標軸上的點不屬于任何象限。 閱讀與思考 用經緯度表示地理位置 坐標思想的應用 6.2 坐標方法的簡單應用 用坐標表示地理位置：1）建立坐標系，選擇一個適當的參照點為原點，確定x軸、y軸的正方向；2）根據具體問題確定單位長度；3）在坐標平面內畫出這些點，寫出各點的坐標和各個地點的名稱。 用坐標表示平移：在平面直角坐標系中，將點（x，y）向右（或左）平移a個單位長度，可以得到對應點（x+a，y）（或（x-a，y））；將點（x，y）向上（或下）平移b個單位長度，可以得到對應點（x，y+b）（或（x，y-b））。如果把一個圖形各個點的橫坐標都加（或減去）一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向右（或向左）平移a個單位長度；如果把它各個點的縱坐標都加（或減去）一個正數a，相應的新圖形就是把原圖形向上（或向下）平移a個單位長度。 數學活動 有坐標描述地理位置 第七章 三角形 7.1 與三角形有關的線段 三角形：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。 三角形的邊、角、頂點：在圖中，線段AB、BC、CA是三角形的邊。點A、B、C是三角形的頂點。、、是相鄰兩邊組成的角，叫做三角形的內角，簡稱三角形的角。 三角形的命名：頂點是A、B、C的三角形，記作“”，讀作“三角形ABC”。 三角形邊的命名：1）用兩頂點命名，AB、BC、CA；2）頂點的對邊用頂點對應的小寫字母命名，a、b、c。 三角形分類：1）按內角大小，銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；2）按有幾條邊相等，等邊三角形、等腰三角形、不等邊三角形，其中等邊三角形是等腰三角形的特例。 等腰三角形：在等腰三角形中，相等的兩邊都叫做腰，另一邊叫做底，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角。 三角形邊的關系：1）三角形兩邊的和大于第三邊；2）三角形兩邊的差小于第三邊。 三角形的高：從三角形的一個頂點，向它的對邊所在的直線畫垂線，所得之垂線段叫做三角形此邊上的高。 三角形的中線：三角形的一個頂點與其所對邊的中點所連得之線段，叫做三角形此邊上的中線。 三角形的角平分線：三角形一個內角的平分線與此角所對邊的交點和此角的頂點所連的線段，叫做三角形此角的角平分線。 三角形的穩(wěn)定性 實例說明 信息技術應用 畫圖找規(guī)律 1）三角形的重心，垂心，內心；2）三角形內角和；3）四邊形的內角和。 7.2 與三角形有關的角 定理：三角形三個內角的和等于. 三角形的外角：三角形的一邊與另一邊的延長線組成的角，叫做三角形的外角。 定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。 推論：三角形的一個外角大于與它不相鄰的任何一個內角。 定理：三角形三個外角的和等于。 閱讀與思考 為什么要證明 看到邏輯的力量 7.3 多邊形及其內角和 多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形?？梢园催厰得衝條邊，就叫做n邊形。 多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角。 多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。 多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。 正多邊形：各個內角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。 n邊形的內角和等于（n-2）*180度。 多邊形的外角和等于360度。 閱讀與思考 多邊形的三角剖分 7.4 課題學習 鑲嵌 多邊形內角和的一種應用。 數學活動 多個三角形的構造、正方形的劃分 第八章 二元一次方程組 8.1 二元一次方程組 二元一次方程：每個方程都含有兩個未知數，并且含有未知數的項的次數都是1，像這的方程叫做二元一次方程。 二元一次方程組：把具有相同未知數的兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。 二元一次方程的解：使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫做二元一次方程的解。 二元一次方程組的解：二元一次方程組的兩個方程的公共解，叫做二元一次方程組的解。 8.2 消元——二元一次方程組的解法 消元思想：將未知數的個數由多化少，逐一解決的思想，叫做消元思想。 代入法：把二元一次方程組中的一個方程的一個未知數用含另一個未知數的式子表示出來，再代入另一個方程，實現消元，進而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。 加減法：兩個二元一次方程中同一未知數的系數相反或相等時，把這兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數，得到一個一元一次方程。這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。 8.3 實際問題與二元一次方程組 閱讀與思考 一元一次方程組的古今表示及解法 （沒有談到其他國家的內容。） *8.4 三元一次方程組解法舉例 消元思想的進一步應用 數學活動 1）一次函數圖像交點與二元一次方程組的關系；2）二元一次方程的一個應用實例。 第九章 不等式與不等式組 9.1 不等式. 不等式：用大于號或小于號表示大小關系的式子，叫做不等式。 不等式的解：使不等式成產的未知數的值叫做不等式的解。 不等式的解集：使不等式成立的未知數的取值范圍，即不等式所有解的集合。 解集的表示：1）用不等式表示；2）用數軸表示。 一元一次不等式：含有一個未知數，未知數的次數是1的不等式，叫做一元次不等式。 不等式的性質：1）不等式兩邊加（或減）同一個數（或式子），不等號的方向不變。2）不等式兩邊乘（或除以）同一個正數，不等號的方向不變。3）不等式兩邊乘（或除以）同一個負數，不等號的方向改變。 9.2 實際問題與一元一次不等式 解方程與解不等式的比較：解一元一次方程，要根據等式的性質，將方程逐步化為x=a的形式；而解一元一次不等式，則要根據不等式的性質，將不等式逐步化為xa)的形式。 閱讀與思考 用求差法比較大小 實驗與探究 水位升高還是降低 9.3 一元一次不等式組 一元一次不等式組：把兩個不等式合起來，就組成一個一元一次不等式組。 不等式組的解集：不等式組中各不等式解集的公共部分。也可以用兩種形式表示。 閱讀與思考 利用不等關系分析比賽 （這個很重要） 數學活動 不等式的應用、給定周長時三角形面積的最大值 第十章 數據的收集、整理與描述 10.1 統(tǒng)計調查. 搜集數據、整理數據、描述數據 全面調查：考查全體對象的調查叫做全面調查。 抽樣調查：只抽取一部對象進行調查，然后根據調查數據推斷全體對象的情況。要考察的全體對象稱為總體，組成總體的每一個考察對象稱為個體，被抽取的那些個體組成一個樣本。樣本中個體的數目稱為樣本容量。 簡單隨機抽樣：隨機抽取總體中的個體。 分層抽樣：先將總體分成幾個層，然后在各個層中進行簡單隨機抽樣。 全面調查和抽樣調查的比較：全面調查和抽樣調查是收集數據的兩種方式。全面調查收集到的數據全面、準確，但一般花費多，耗時長，而且某些調查不宜用全面調查。抽樣調查具有花費少，省時的特點，但抽取的樣本是否具有代表性，直接關系到對總體估計的準備程度。 數據描述：折線圖、條形圖、扇形圖 實驗與探究 瓶子中有多少粒豆子 頻率與概率的關系 10.2 直方圖 直方圖制作流程：1）計算最大值與最小值的差；2）決定組距和組數；3）列頻數分布表；4）畫頻率分布直方圖。 上述流程的技術細節(jié)也很重要，好在不難。 10.3 課題學習 從數據談節(jié)水 調查統(tǒng)計實踐 數學活動 調查統(tǒng)計實踐