第65講 凸集與凸包(原)

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1、word 第65講 凸集與凸包 本節(jié)主要內(nèi)容是：凸集、凸包的概念以與用凸集凸包來解有關(guān)的題． 凸集：平面上的點(diǎn)集，如果任何兩點(diǎn)在這個(gè)點(diǎn)集內(nèi)，如此連這兩點(diǎn)的線段上的所有的點(diǎn)也在此點(diǎn)集內(nèi)，就說該點(diǎn)集是一個(gè)凸集． 線段、射線、直線、圓與帶形、整個(gè)平面等都是凸集． 兩個(gè)凸集的交集還是凸集；任意多個(gè)凸集的交集也仍是凸集． 凸包：每個(gè)平面點(diǎn)集都可用凸集去蓋住它，所有蓋住某個(gè)平面點(diǎn)集的凸集的交集就是這個(gè)平面點(diǎn)集的凸包． 或者可以形象地說：如果把平面上的點(diǎn)集的每個(gè)點(diǎn)都插上一根針，然后用一根橡皮筋套在這些針外，當(dāng)橡皮筋收緊時(shí)橡皮筋圍出的圖形就是這個(gè)點(diǎn)集的凸包． 平面點(diǎn)集的直徑 平面點(diǎn)集中的任

2、意兩點(diǎn)距離的最大值稱為這個(gè)平面點(diǎn)集的直徑． 例如，圓的直徑就是其直徑，有無數(shù)條；線段的直徑就是其本身；正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)組成的點(diǎn)集的直徑就是其邊長(zhǎng)，有三條；平行四邊形的直徑是其較長(zhǎng)的對(duì)角線；…． A類例題 例1定理 任何一個(gè)平面點(diǎn)集的凸包是存在且唯一的． 分析 存在惟一性的證明，即證明滿足某條件的集A存在且惟一存在．通常先證明存在性，即證明有滿足條件的集合A．再用反證法證明惟一性，即假如滿足條件的集A不惟一，或說明會(huì)引出矛盾，或得出其余集均必需與A相等的結(jié)論． 證明 由于全平面是一個(gè)凸集，故任何平面點(diǎn)集都可用全平面蓋住，即能被凸集蓋住，從而蓋住該凸集的所有凸集的交集存在，即凸包存

3、在． 而如果某個(gè)凸集A有兩個(gè)凸包M1與M2，如此M1∩M2也能蓋住凸集A，且M1∩M2ìM1，但M1是A的凸包，故M1ìM1∩M2，故M1∩M2＝M1．同理M1∩M2＝M2．即M1＝M2． 例2 定理 如果一個(gè)點(diǎn)集M是由有限個(gè)點(diǎn)組成，且其中至少有三個(gè)點(diǎn)不共線，如此M的凸包是一個(gè)凸多邊形． 分析 可以構(gòu)造一個(gè)尋找凸包的方法，來說明命題的正確性． 證明 由于M為有限點(diǎn)集，故存在一條直線l，使M中的一個(gè)或幾個(gè)點(diǎn)在l上，其余的點(diǎn)都在l同旁(這只要任畫一條直線，如果點(diǎn)集M中的點(diǎn)在直線l的兩旁，如此讓直線按與此直線垂直的方向平移，即可得到滿足要求的直線)． 取l上的兩個(gè)方向中的一個(gè)方向?yàn)檎?/p>

4、，此時(shí)，按此正向，不妨設(shè)M中不在l 上的點(diǎn)都在l的左邊．在l上沿其正向找出M中的最后一個(gè)點(diǎn)A1，把l繞A1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，直到遇到M中的另外的點(diǎn)，又找出此時(shí)l上的M中的最后一個(gè)點(diǎn)A2，此時(shí)再讓l繞A2逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，依此類推，直到最后繞Ak旋轉(zhuǎn)又遇到A1為止(由于M是有限點(diǎn)集，故這樣的旋轉(zhuǎn)不可能一起下去)．這時(shí)，凸多邊形A1A2…Ak即為M的凸包． 情景再現(xiàn) 1．證明圓面(圓與圓內(nèi)所有的點(diǎn)組成的集合)是凸集． 2．平面上任意給定5個(gè)點(diǎn)，其中任三點(diǎn)不共線，如此可選出4個(gè)點(diǎn)，這四點(diǎn)能構(gòu)成一個(gè)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)． B類例題 例3 海萊定理： 定理(海萊定理) 對(duì)于假如干個(gè)(個(gè)數(shù)n≥3)凸集，

5、如果任意三個(gè)凸集都有一個(gè)公共點(diǎn)，那么存在一個(gè)點(diǎn)同時(shí)屬于每個(gè)凸集． 分析 先證明簡(jiǎn)單情況，再用數(shù)學(xué)歸納法證明本定理． 證明 對(duì)于n＝3，顯然成立． 當(dāng)n＞3時(shí)，先取4個(gè)這樣的凸集．F1，F(xiàn)2，F(xiàn)3，F(xiàn)4． 設(shè)點(diǎn)P1∈F2∩F3∩F4，點(diǎn)P2∈F1∩F3∩F4，點(diǎn)P3∈F1∩F2∩F4，點(diǎn)P4∈F1∩F2∩F3． 假如P1、P2、P3、P4中有兩個(gè)點(diǎn)重合，例如P1=P2，如此P1∈F1∩F2∩F3∩F4； 設(shè)此四點(diǎn)互不一樣． ⑴假如此四點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，例如P1、P2、P3共線，且P2在P1、P3之間，如此P2∈F1∩F2∩F3∩F4； ⑵假如此四點(diǎn)中無三點(diǎn)共線，由上可知ΔP1P2

6、P3ìF(xiàn)4，ΔP1P2P4ìF(xiàn)3，ΔP1P3P4ìF(xiàn)2，ΔP2P3P4ìF(xiàn)1，此時(shí)， ① 假如P1、P2、P3、P4的凸包為凸四邊形，如此此凸四邊形對(duì)角線交點(diǎn)K∈此四個(gè)三角形； ② 假如P1、P2、P3、P4的凸包為三角形，例如凸包為ΔP1P2P3，如此P4∈此四個(gè)三角形． 總之，存在點(diǎn)K∈F1∩F2∩F3∩F4．即對(duì)于n＝4定理成立． 當(dāng)n＞4時(shí)，易用數(shù)學(xué)歸納法證明． 說明 請(qǐng)讀者完成用數(shù)學(xué)歸納法證明一般情況． 例4平面上任給5個(gè)點(diǎn)，以λ表示這些點(diǎn)間最大的距離與最小的距離之比，證明：λ≥2sin54°．〔1985年全國(guó)聯(lián)賽〕 分析 這類問題總是先作出凸包，再根據(jù)凸包的形狀分

7、類證明．這樣分類證明問題可以使每一類的解決都不困難，從而使問題得到解決． 證明 ⑴ 假如此五點(diǎn)中有三點(diǎn)共線，例如A、B、C三點(diǎn)共線，不妨設(shè)B在A、C之間，如此AB與BC必有一較大者．不妨設(shè)AB≥BC．如此≥2＞2sin54°． ⑵ 設(shè)此五點(diǎn)中無三點(diǎn)共線的情況． ① 假如此五點(diǎn)的凸包為正五邊形．如此其五個(gè)內(nèi)角都＝108°．五點(diǎn)的連線只有兩種長(zhǎng)度：正五邊形的邊長(zhǎng)與對(duì)角線，而此對(duì)角線與邊長(zhǎng)之比為2sin54°． ② 假如此五點(diǎn)的凸包為凸五邊形．如此其五個(gè)內(nèi)角中至少有一個(gè)內(nèi)角≥108°．設(shè)∠EAB≥108°，且EA≥AB，如此∠AEB≤36°， ∴＝≥＝2cosE≥2cos36°＝2sin5

8、4°． ③ 假如此五點(diǎn)的凸包為凸四邊形ABCD，點(diǎn)E在其內(nèi)部，連AC，設(shè)點(diǎn)E在△ABC內(nèi)部，如此∠AEB、∠BEC、∠CEA中至少有一個(gè)角≥120°＞108°，由上證可知，結(jié)論成立． ④ 假如此五點(diǎn)的凸包為三角形ABC，如此形內(nèi)有兩點(diǎn)D、E，如此∠ADB、∠BDC、∠CDA中必有一個(gè)角≥120°，結(jié)論成立． 海爾布朗(Heilbron)問題：設(shè)平面上給定n個(gè)點(diǎn)，每?jī)牲c(diǎn)間距離的最大值與最小值的比為λn，求λn的下確界． 現(xiàn)在得到的結(jié)論有：λ4≥；λ5≥2sin54°；λ6≥2cos．λ7≥2，l8≥，猜想λn≥2cos． 例5 每個(gè)有界平面點(diǎn)集，都有且只有一個(gè)蓋住它的最小圓．如果

9、這個(gè)集合是凸集，那么在這個(gè)圓上或者有此凸集的兩個(gè)點(diǎn)，這兩點(diǎn)是此圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)；或者有此集的三個(gè)點(diǎn)，此三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是銳角三角形． 分析 由于“有界平面點(diǎn)集〞這一概念涉與點(diǎn)集廣泛，所以要就一般情況來討論．但仍可采取從簡(jiǎn)單到復(fù)雜的方法，先解決簡(jiǎn)單的情況，以此為根底再解決一般情況． 證明 首先，假如M是平面有界點(diǎn)集，故可以作一個(gè)半徑足夠大的圓把它蓋?。? 在所有蓋住M的圓中有且只有1個(gè)最小圓，如果有兩個(gè)最小圓⊙O1、⊙O2蓋住M(顯然這兩個(gè)圓半徑應(yīng)該相等)，此二圓不重合，且都蓋住了M，于是其公共局部也蓋住了M．以此二圓的公共弦為直徑作圓O，如此此圓蓋住了兩圓的公共局部，于是也蓋住了M

10、，但此圓比⊙O1、⊙O2?。? 現(xiàn)證明此結(jié)論的后面局部： 1° 首先，蓋住有界凸集M的最小圓與M如果沒有公共點(diǎn)(圖1)，保持圓心O不動(dòng)，縮小其半徑，直到與M有公共點(diǎn)為止，此時(shí)，蓋住M的圓半徑的半徑變?。? 2° 如果蓋住M的圓與M只有唯一的公共點(diǎn)(圖2)，如此沿半徑方向稍移動(dòng)圓，又得1° 3° 如果M上有兩個(gè)點(diǎn)A、B在圓上，這兩點(diǎn)不是同一條直徑的端點(diǎn)，且優(yōu)弧上沒有圓上的點(diǎn)，如此沿與AB垂直的方向移動(dòng)圓即可得到1°． 例6設(shè)G是凸集，其面積用g表示，且其邊界不包括直線段與尖點(diǎn)〔即過其邊界上每一點(diǎn)都有一條切線且每條切線與G的邊界只有一個(gè)公共點(diǎn)〕．設(shè)PQRS是G的外切四邊形中面積最小的一個(gè)

11、，A，B，C，D分別是它的四條邊與G的邊界的切點(diǎn)．如此ABCD是面積大于的平行四邊形． 分析 利用微調(diào)來說明此題． 證明 先證明一個(gè)引理：假如A是PQ上的切點(diǎn)，如此A為PQ的中點(diǎn)． 反設(shè)A不是PQ的中點(diǎn)，不妨設(shè)AP>AQ，現(xiàn)把點(diǎn)A向P微移到A'，切線PQ移動(dòng)為P'Q'(如圖)，只要A'足夠靠近A，就仍有A'P'＞A'Q'．設(shè)PQ、P'Q'交于點(diǎn)O，如此O、A、A'三點(diǎn)充分靠近． ∴OP'＞OQ'，OP＞OQ．于是SΔOPP＞SΔOQQ'． 此時(shí)SP'Q'RS＝SPQRS＋SΔOQQ'－SΔOPP'＜SPQRS，即得出比PQRS面積還要小的外切四邊形．與PQRS最小的假設(shè)矛盾．于是得A

12、為PQ中點(diǎn)． 同理B、C、D分別為相應(yīng)邊的中點(diǎn)． 因順次連結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)得到的是平行四邊形．即ABCD是平行四邊形． 而SPQRS＞g，所以SABCD＝SPQRS＞g． 說明 此題的證明含有連續(xù)與極限的思想． 情景再現(xiàn) 3．在平面上有n(n≥4)個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)集M，如果任取其中4個(gè)點(diǎn)都是凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)，如此此n個(gè)點(diǎn)是一個(gè)凸n邊形的頂點(diǎn)． 4．平面上任意給出6個(gè)點(diǎn)，其中任意三點(diǎn)不在一條直線上，證明：在這6個(gè)點(diǎn)中，可以找到3個(gè)點(diǎn)，使這3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形有一個(gè)角不小于120°． 5．在由n(n≥3)個(gè)點(diǎn)組成的點(diǎn)集M中，如果有一個(gè)點(diǎn)至少是三條直徑的端點(diǎn)，如此M中必有一點(diǎn)至

13、多是一條直徑的端點(diǎn)． 6．是否任意一個(gè)凸四邊形都可用折線分成兩局部，使每局部的直徑都小于原四邊形的直徑？ C類例題 例7設(shè)A、B是平面上兩個(gè)有限點(diǎn)集，無公共元素，且A∪B中任意三點(diǎn)都不共線，如果A、B中至少有一者的點(diǎn)數(shù)不少于5個(gè)，證明存在一個(gè)三角形，它的頂點(diǎn)全在A中或全在B中，它的內(nèi)部沒有另一個(gè)集合中的點(diǎn)．〔IMO—25預(yù)選題〕 分析 抓住5點(diǎn)組來討論． 證明 設(shè)集合A中的點(diǎn)不小于5個(gè)，從中選出5個(gè)點(diǎn)A1、A2、A3、A4、A5，使這5點(diǎn)的凸包內(nèi)沒有其他A的點(diǎn)，否如此可用其內(nèi)部的點(diǎn)來代替原來的某些點(diǎn)． ⑴ 假如此凸包為五邊形，取△A1A2A3、△A1A3A4、△A1A4A5，假

14、如這三個(gè)三角形中的任何一個(gè)內(nèi)部無集合B中的點(diǎn)，如此此三角形即為所求，假如此三個(gè)三角形內(nèi)都有B中的點(diǎn)如此在每個(gè)三角形內(nèi)取一個(gè)B中的點(diǎn)，這三點(diǎn)連成的三角形內(nèi)部沒有A中的點(diǎn)． ⑵ 假如此凸包為四邊形A1A2A3A4，內(nèi)部有一個(gè)點(diǎn)A5，如此可連得4個(gè)三角形：△A5A1A2、△A5A2A3、△A5A3A4、△A5A4A1，假如任一個(gè)內(nèi)部沒有B中的點(diǎn)，如此此三角形即為所求，假如每個(gè)三角形內(nèi)部都有B中的點(diǎn)，如此每個(gè)三角形內(nèi)取一個(gè)B中的點(diǎn)，連成兩個(gè)互不重疊的三角形，其中至少有一個(gè)三角形內(nèi)部沒有A中的點(diǎn)，即為所求． ⑶ 假如此凸包為三角形，內(nèi)部有兩個(gè)點(diǎn)，如此可把凸包分成5個(gè)三角形，如果每個(gè)三角形內(nèi)都有B中的

15、點(diǎn)如此5個(gè)點(diǎn)分布在直線A4A5兩側(cè)，必有一側(cè)有其中三個(gè)點(diǎn)，這三點(diǎn)連成的三角形內(nèi)就沒有A中的點(diǎn)． 說明 題中有“不少于5點(diǎn)〞的條件，所以就只要研究5個(gè)點(diǎn)的情況． 例8平面上任給5個(gè)點(diǎn)，其中任3點(diǎn)不共線，如此在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，至多有7個(gè)銳角三角形． 證明 5個(gè)點(diǎn)中任取3個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形共有10個(gè)． ⑴ 假如這5點(diǎn)的凸包為凸五邊形，這個(gè)五邊形至少有兩個(gè)角非銳角(因五邊形內(nèi)角和為540°，假如五邊形的內(nèi)角中有4個(gè)銳角，如此此4個(gè)角的和≤360°，于是另一個(gè)角≥180°)．這兩個(gè)非銳角相鄰或不相鄰． ①假如兩個(gè)非銳角相鄰，如圖中A、B非銳角，連BE，如此四邊形BCDE至少有一個(gè)

16、角非銳角，于是圖中至少有3個(gè)角非銳角，即至少有三個(gè)非銳角三角形．從而至多有7個(gè)銳角三角形． ②假如兩個(gè)非銳角不相鄰，如圖中A、C非銳角，如此ΔEAB、ΔBCD非銳角三角形．連AC，如此四邊形ACDE中至少有一個(gè)非銳角，于是圖中至少有三個(gè)非銳角三角形，即至多有7個(gè)銳角三角形． ⑵ 假如這個(gè)凸包為四邊形ABCD，E在形內(nèi)．如此四邊形ABCD至少有一個(gè)內(nèi)角非銳角，∠AEB、∠BEC、∠CED、∠EDA中至少有一個(gè)非銳角(否如此四個(gè)角的和少于360°)，∠AEC、∠BED中至少有一個(gè)非銳角(否如此∠BEC＞180°)，于是圖中至多有7個(gè)銳角三角形， ⑶假如凸包為三角形ABC，D、E在形內(nèi)，如此∠

17、ADB、∠BDC、∠CDA中至多有一個(gè)銳角，∠AEB、∠BEC、∠CEA中至多有一個(gè)銳角，即圖中至多有6個(gè)銳角三角形． 綜上可知，結(jié)論成立． 說明 利用五點(diǎn)組的特點(diǎn)解決問題．此題即是下面情景再現(xiàn)第7題的引理． 情景再現(xiàn) 7．平面上任給100個(gè)點(diǎn)，其中任3點(diǎn)不共線，如此在以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形中，至多有70%的三角形是銳角三角形．(IMO—12—6) 8．設(shè)G是凸集，其面積用g表示，且其邊界不包括直線段與尖點(diǎn)〔即過其邊界上每一點(diǎn)都有一條切線且每條切線與G的邊界只有一個(gè)公共點(diǎn)〕．ABCD是G的所有內(nèi)接四邊形中面積最大的一個(gè)，過A，B，C，D作G的切線得到四邊形PQRS．證明：PQRS

18、是G的面積小于2g的外切平行四邊形． 習(xí)題65 1．⑴ 證明：平面點(diǎn)集M的直徑等于它的凸包M'的直徑． ⑵ 由n(3≤n<+∞)個(gè)點(diǎn)組成的平面點(diǎn)集共有k條直徑，證明k≤n． 2．證明：一個(gè)平面凸集的直徑如果不止一條如此任何兩條直徑都相交， 3．在平面上給出n個(gè)點(diǎn)，它們中的任意三點(diǎn)都能被一個(gè)半徑為1的圓蓋住，證明：這n個(gè)點(diǎn)能被半徑為1的圓蓋?。? 4．平面點(diǎn)集M的對(duì)稱軸的并集為L(zhǎng)，L的對(duì)稱軸的并集為S，求證：LìS． 5．平面上五點(diǎn)，無三點(diǎn)共線，每三點(diǎn)連出一個(gè)三角形，最多可以連出多少個(gè)鈍角三角形？最少可以連出多少個(gè)鈍角三角形？ 6．平面上任給4個(gè)點(diǎn)，這四點(diǎn)連成的線段中最長(zhǎng)與最短的線

19、段的長(zhǎng)度比≥． 7．給定n個(gè)點(diǎn)無三點(diǎn)共線，每三個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)組成一個(gè)三角形，每個(gè)三角形都有一個(gè)面積，令最大面積與最小面積的比為μn，證明：μ4≥1；μ5≥．(還可證μ6≥3，但μ7也沒有解決) 8．包含平面點(diǎn)集S的最小圓的半徑用符號(hào)r(S)表示． 如果點(diǎn)A、B、C之間的距離小于點(diǎn)A'、B'、C'之間的相應(yīng)距離，那么，r(A、B、C)＜r(A'、B'、C')． 本節(jié)“情景再現(xiàn)〞解答： 1．證明 任取一個(gè)圓⊙O，其半徑＝r＞0，在圓面上任取兩點(diǎn)A，B，如此OA≤r，OB≤r．作OC⊥AB于C，對(duì)于AB上任意一點(diǎn)D，如此D必至少與A、B之一在C的同側(cè)，設(shè)D與A在C的同側(cè)，如此OD＜OA≤r

20、，故D在⊙O內(nèi)部．故圓面為凸集． 2．證明 ⑴ 假如此五點(diǎn)的凸包為五邊形，如此可去掉一點(diǎn)，余下四點(diǎn)即是一個(gè)凸四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)． ⑵ 假如此凸包為四邊形，如此凸包即為所求； ⑶ 假如此凸包為三角形，設(shè)為△ABC，于是形內(nèi)有兩點(diǎn)，設(shè)為P、Q，直線PQ把平面分成兩局部，A、B、C三點(diǎn)在此兩局部?jī)?nèi)，故必有一局部中有其中兩點(diǎn)，例如B、C在PQ同側(cè)，如此P、Q、B、C即為所求的四點(diǎn)． 3．證明 這n個(gè)點(diǎn)的凸包是一個(gè)凸多邊形ABCD…，由例2知，此凸多邊形的每個(gè)頂點(diǎn)都是M中的點(diǎn)．設(shè)M中某點(diǎn)(設(shè)為P)不是此多邊形的頂點(diǎn)，如此P在凸包多邊形的內(nèi)部或邊上．連凸包多邊形的所有過A的對(duì)角線，把凸包多邊形分成

21、假如干個(gè)三角形，于是P必在某個(gè)三角形內(nèi)部或邊上，設(shè)在ΔABCD內(nèi)部或邊上，如此A、B、C、P四點(diǎn)就不是凸四邊形的頂點(diǎn)，矛盾．故證． 4．證明 ⑴ 假如這6點(diǎn)的凸包為三角形ABC，形內(nèi)有三點(diǎn)D、E、F，如此∠ADB、∠BDC、∠CDA中至少有一個(gè)角≥120°，設(shè)∠ADB≥120°，如此△ADB即為滿足要求的三角形． ⑵ 假如這6點(diǎn)的凸包為四邊形ABCD，形內(nèi)有兩點(diǎn)E、F，連AC把四邊形分成兩個(gè)三角形，如此至少有一個(gè)三角形內(nèi)有一點(diǎn)，例如△ABC內(nèi)有一點(diǎn)E，如此據(jù)上證可知結(jié)論成立； ⑶ 假如這6點(diǎn)的凸包為五邊形ABCDE，F(xiàn)為形內(nèi)一點(diǎn)，如此∠AFC＋∠CFE＋∠EFB＋∠BFD＋∠DFA＝36

22、0°×2＝720°，從而這5個(gè)角中必有一個(gè)角≥＝144°>120°．(也可連AC、AD把五邊形分成三個(gè)三角形來證) ⑷ 假如這6個(gè)點(diǎn)的凸包為六邊形，由于六邊形的內(nèi)角和為4×180°＝720°，故至少有一個(gè)內(nèi)角≥＝120°． 5．證明 設(shè)M的直徑為d，且AB、AC、AD是三條直徑，且AB在∠CAD內(nèi)部．分別以A、B為圓心d為半徑作圓如此M必在二圓的公共局部中，如果從點(diǎn)B還能引出一條直徑BE(E≠A)，不妨設(shè)E與C在AB的同側(cè)，于是四邊形ADBE為凸四邊形，從而AB＋DE＞AD＋BE．得DE＞d．這與直徑定義矛盾． 6．解：設(shè)凸四邊形ABCD中，DABC為正三角形，邊長(zhǎng)為d．點(diǎn)D到A、B、

23、C的距離都＜AB，如此此四邊形有三條直徑．一條折線無論把ABCD分成怎樣的兩局部，A、B、D三點(diǎn)中總有兩點(diǎn)在同一局部．于是這一局部的直徑仍為d． 7．解 100個(gè)點(diǎn)中，共可組成C個(gè)三角形，每次取5個(gè)點(diǎn)共有C個(gè)五點(diǎn)組．每個(gè)五點(diǎn)組中都至多有7個(gè)銳角三角形．而每個(gè)三角形都在C個(gè)五點(diǎn)組中，因此，銳角三角形至多個(gè)，故銳角三角形至多占＝70%． 8．證明 根據(jù)以下一個(gè)顯然的事實(shí)：A、B為G的弧上兩個(gè)定點(diǎn)，C為弧上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)G的在點(diǎn)C處的切線MN∥AB時(shí)，ΔABC的面積取得最大值． 設(shè)ABCD是凸集G的內(nèi)接四邊形中面積最大者．連AC，固定A、C，如此當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)B處的切線平行于AC時(shí)ΔACB的面積最大．

24、 于是知當(dāng)且僅當(dāng)B、D處的切線都平行于AC時(shí)ABCD的面積才能最大，同理連BD，仍有A、C處的切線平行于BD時(shí)，ABCD的面積最大，即PQRS是平行四邊形． ∵SPQRS＝2SABCD＜2g． “習(xí)題67〞解答： 1．⑴證明：M￠的直徑為d￠，而M的直徑為d．設(shè)A、B是M中距離等于d的兩個(gè)點(diǎn)． ∵M(jìn)￠蓋住M，由于MíM￠，故A、B∈M￠．于是d￠≥d； 又假如d￠>d，即凸包上有兩點(diǎn)A￠、B￠，使A￠B￠>d，于是必存在點(diǎn)C￠∈A￠B￠，使A￠C￠上沒有M的點(diǎn)．于是可以用更小的凸集蓋住M，與凸包定義矛盾． ⑵ 證明：n＝3時(shí)，3個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集最多連出3條線段，即至多有3條直徑，而

25、正三角形的三個(gè)頂點(diǎn)所成的集合恰有3條直徑．即k≤n成立． 設(shè)有n－1個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集的直徑數(shù)≤n－1．對(duì)于n個(gè)點(diǎn)的點(diǎn)集，假如點(diǎn)集中的每個(gè)點(diǎn)引出的直徑數(shù)≤2，如此直徑數(shù)≤2n÷2＝n．假如有某點(diǎn)引出的直徑數(shù)≥3，如此必有一點(diǎn)，該點(diǎn)引出的直徑數(shù)為1．去掉此點(diǎn)，如此由歸納假設(shè)，余下n－1點(diǎn)的直徑數(shù)≤n－1，故原來的直徑數(shù)≤n．故證． 2．證明：設(shè)AB、CD是平面凸集的兩條不相交的直徑．如此 A、B、C、D的凸包為線段，這不可能． A、B、C、D的凸包假如為三角形ABC，D在DABC內(nèi)，有BD＜max{BC、BA}≤AB．矛盾．假如A、B、C、D的凸包為四邊形ABCD，如此AC＋BD＞AB＋CD，于

26、是AC、BD中至少有一個(gè)＞AB，與AB為直徑矛盾． 3．證明：n＝3時(shí)命題顯然成立， 對(duì)于n＝4．⊙O1、⊙O2、⊙O3、⊙O4的半徑都為r，⊙O1蓋住P2、P3、P4；⊙O2蓋住P1、P3、P4；⊙O3蓋住P1、P2、P4；⊙O4蓋住P1、P2、P3． 現(xiàn)以P1、P2、P3、P4為圓心，作半徑為r的圓．于是O1在⊙P2、⊙P3、⊙P4內(nèi)，從而⊙P2、⊙P3、⊙P4有公共點(diǎn)，由此可知，⊙P1、⊙P2、⊙P3、⊙P4中任意三個(gè)都有公共點(diǎn)，由海萊定理，為四個(gè)圓有一個(gè)公共點(diǎn)．設(shè)此點(diǎn)為Q，由于點(diǎn)Q在四個(gè)圓內(nèi)，故Q到P1、P2、P3、P4的距離都不超過r，從而以Q為圓心，r為半徑作圓可把P1、P2

27、、P3、P4蓋?。? 以上證明對(duì)于n個(gè)點(diǎn)也成立． 4．證明：假如凸集F只有1條對(duì)稱軸l，如此líL，但l也是自己的對(duì)稱軸，故líS．于是LíS． 假如F的對(duì)稱軸不只1條，任取其一條對(duì)稱軸l1，如此l1íL，只要證明l1íS即可． 即只要證明對(duì)于F的任一對(duì)稱軸l2，其對(duì)稱直線l3也是F的對(duì)稱軸． 取F的任一點(diǎn)P，P∈F，由于l1是F的對(duì)稱軸，如此P關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn)P1∈F．同理，P1關(guān)于l2的對(duì)稱點(diǎn)P2∈F，P2關(guān)于l1的對(duì)稱點(diǎn) P3∈F． 但P3與P關(guān)于l3對(duì)稱． 即l3是F的對(duì)稱軸．故證． 5．解： 最多可以連出10個(gè)鈍角三角形(如圖，以AB為直徑作半圓面，內(nèi)取一點(diǎn)C，以BC、

28、AC為直徑作半圓面，三個(gè)半圓面的交的內(nèi)部取點(diǎn)E，以BE、AE為直徑作半圓，五個(gè)半圓面的交內(nèi)取點(diǎn)D，如此10個(gè)三角形都是鈍角三角形． 例中已證至少3個(gè)鈍角三角形．(如圖可畫出只有3個(gè)鈍角三角形的情況)． 6．證明 設(shè)所求比為λ． ⑴ 如果其中有三點(diǎn)共線，例如A、B、C三點(diǎn)共線，不妨設(shè)B在A、C之間，如此AB與BC必有一較大者．不妨設(shè)AB≥BC．如此λ≥≥2＞． ⑵ 如果此四點(diǎn)中無三點(diǎn)共線，如此此四點(diǎn)的凸包為四邊形或三角形． ① 假如此凸包為三角形， 凸包三角形是直角三角形，三邊滿足a≤b＜c．如此c2＝a2＋b2≥2a2，從而λ≥≥． 凸包三角形是鈍角三角形，三邊滿足a≤b＜c

29、，如此c2＝b2＋a2－2abcosC>b2＋a2≥2a2，得λ≥≥． 凸包三角形是銳角三角形ABC，如此形內(nèi)有一點(diǎn)D，如此△DAB、△DBC、△DCA中，∠ADB＋∠BDC＋∠CDA＝360°，故此三角不可能都≤90°，否如此此三角之和≤270°，矛盾．即此三個(gè)三角形中至少有一個(gè)是鈍角三角形．由上證知，結(jié)論成立． ② 假如此四點(diǎn)的凸包為四邊形，ABCD，如此∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB不可能都是銳角．即至少有一個(gè)角非銳．設(shè)∠ABC≥90°，如此由上證知，結(jié)論成立． ⑶當(dāng)此四點(diǎn)的凸包為正方形時(shí)，顯然有λ＝．綜上可知λ≥成立． 7．解：正方形的m4＝1，其余的情況m4＞4．

30、 對(duì)于5點(diǎn)問題，假如凸包為三角形ABC，取形內(nèi)的一點(diǎn)D，如此DDAB、DDBC、DDCA中必有一個(gè)≤DABC的面積的．于是所求比≥3＞．凸包為四邊形同此． 假如凸包為五邊形ABCDE，取面積最小的三角形，如此必有兩邊為五邊形的兩邊(假如只有一邊，可知此五邊形為凹)，設(shè)面積最小的三角形為DABE．AB、AE為邊．如此其余兩頂點(diǎn)在∠EAB內(nèi)部，又作BM∥AE，EN∥AB，交于K，如此其余兩個(gè)頂點(diǎn)在∠MKN內(nèi)部或邊上(DABE面積最小) 先研究?jī)蓚€(gè)頂點(diǎn)在邊上的情況，假如點(diǎn)C'、D在角的邊上，其中D與BE距離較小，作D'C∥BE，交KN于C，如此點(diǎn)C所得的面積比不超過C￠所得的面積比．DCDB

31、、DCDE面積≥DABE面積，類似構(gòu)造五條對(duì)角線都分別與不相鄰的邊平行的五邊形， 不妨設(shè)SDABE＝1，如此SDABC＝SDBCD＝SDCDE＝SDDEA＝SDACF＝1， 設(shè)S⊿AEF＝x，如此S⊿DEF＝1－x．SDCDF＝x，于是 ＝． 但＝，即 ＝ ． 于是得 x2 +x－1＝0． 解得滿足題意的根為 x＝． 于是 ＝． 此五邊形的m5＝． 對(duì)于C、D不在∠MKN邊上的情況，可轉(zhuǎn)化為以上情況． 8．證明： 1° 假如ΔABC是非銳角三角形，如此r(A、B、C)＝max{，，}≤max{，，

32、}≤r(A'，B'，C'}．(蓋住ΔABC的最小圓是以最長(zhǎng)邊為直徑的圓，而ΔA'B'C'可能為銳角三角形，也可能是鈍角三角形或直角三角形) 2° 假如ΔABC與ΔA'B'C'都是非鈍角三角形，蓋住它們的最小圓都是其外接圓．于是必存在一對(duì)角(例如∠A與∠A')，滿足90°≥∠A≥∠A'，假如不存在這樣的一對(duì)角，如此∠A＜∠A'，∠B＜∠B'，∠C＜∠C'，與三角形內(nèi)角和定理矛盾． 于是r(A，B，C)＝＜＝r(A'，B'，C')． 3°假如ΔABC是銳角三角形，ΔA'B'C'非銳角三角形．不妨設(shè)∠C'≥90°，現(xiàn)作一個(gè)輔助ΔA'B"C'，使C'B"＝C'B'，∠A'C'B"＝90°，如此r(A'，B"，C')＝≤＝r(A'，B'，C')． ∵ΔABC是銳角三角形， ∴AB2＜AC2＋CB2＜A'C'2＋C'B'2＝A'C'2＋C'B"2＝A'B"2． 即AB＜A'B"． 但ΔABC與ΔA'B"C'都是非鈍角三角形，由2°可知r(A，B，C)＜r(A'，B"，C')． ∴r(A，B，C)＜r(A'，B'，C')． 綜上可知，所證成立． 文檔