高三數(shù)學(xué)北師大版理一輪課后限時集訓(xùn)：43 空間圖形的基本關(guān)系與公理 Word版含解析

空間圖形的基本關(guān)系與公理建議用時：45分鐘一、選擇題1a，b，c是兩兩不同的三條直線，下面四個命題中，真命題是()A若直線a，b異面，b，c異面，則a，c異面B若直線a，b相交，b，c相交，則a，c相交C若ab，則a，b與c所成的角相等D若ab，bc，則acC若直線a，b異面，b，c異面，則a，c相交、平行或異面；若a，b相交，b，c相交，則a，c相交、平行或異面；若ab，bc，則a，c相交、平行或異面；由異面直線所成的角的定義知C正確故選C.2給出下列說法：梯形的四個頂點(diǎn)共面；三條平行直線共面；有三個公共點(diǎn)的兩個平面重合；三條直線兩兩相交，可以確定1個或3個平面其中正確的序號是()A B C DB顯然正確；錯誤，三條平行直線可能確定1個或3個平面；若三個點(diǎn)共線，則兩個平面相交，故錯誤；顯然正確故選B.3如圖是正方體或四面體，P，Q，R，S分別是所在棱的中點(diǎn)，則這四個點(diǎn)不共面的一個圖是()AB CDDA，B，C圖中四點(diǎn)一定共面，D中四點(diǎn)不共面4.如圖所示，平面平面l，A，B，ABlD，C，Cl，則平面ABC與平面的交線是()A直線ACB直線ABC直線CDD直線BCC由題意知，Dl，l，所以D，又因為DAB，所以D平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面的交線上又因為C平面ABC，C，所以點(diǎn)C在平面與平面ABC的交線上，所以平面ABC平面CD.5(2019·陜西省第三次聯(lián)考)已知三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長都相等，A1在底面ABC上的射影為BC的中點(diǎn)，則異面直線AB與CC1所成的角的余弦值為()A. B. C. D.B如圖，設(shè)BC的中點(diǎn)為D，連接A1D、AD、A1B，易知A1AB即為異面直線AB與CC1所成的角(或其補(bǔ)角)設(shè)三棱柱ABC­A1B1C1的側(cè)棱與底面邊長均為1，則AD，A1D，A1B，由余弦定理，得cosA1AB.故選B.二、填空題6四條線段順次首尾相連，它們最多可確定_個平面4首尾相連的四條線段每相鄰兩條確定一個平面，所以最多可以確定4個平面7在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)若BD，AC所成的角為60°，且BDAC1，則EF的長為_或如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OE，OF.因為OEAC，OFBD，所以O(shè)E與OF所成的銳角(或直角)即為AC與BD所成的角，而AC，BD所成角為60°，所以EOF60°或EOF120°.當(dāng)EOF60°時，EFOEOF.當(dāng)EOF120°時，取EF的中點(diǎn)M，則OMEF，EF2EM2×.8(2019·長白山模擬)下列命題中不正確的是_(填序號)沒有公共點(diǎn)的兩條直線是異面直線；分別和兩條異面直線都相交的兩直線異面；一條直線和兩條異面直線中的一條平行，則它和另一條直線不可能平行；一條直線和兩條異面直線都相交，則它們可以確定兩個平面沒有公共點(diǎn)的兩直線平行或異面，故錯；命題錯，此時兩直線有可能相交；命題正確，因為若直線a和b異面，ca，則c與b不可能平行，用反證法證明如下：若cb，又ca，則ab，這與a，b異面矛盾，故c與b不平行；命題正確，若c與兩異面直線a，b都相交，可知，a，c可確定一個平面，b，c也可確定一個平面，這樣，a，b，c共確定兩個平面三、解答題9在正方體ABCD­A1B1C1D1中，(1)求AC與A1D所成角的大小；(2)若E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，求A1C1與EF所成角的大小解(1)如圖，連接B1C，AB1，由ABCD­A1B1C1D1是正方體，易知A1D B1C，從而B1C與AC所成的角就是AC與A1D所成的角因為AB1ACB1C，所以B1CA60°.即A1D與AC所成的角為60°.(2)連接BD，在正方體ABCD­A1B1C1D1中，ACBD，ACA1C1.因為E，F(xiàn)分別為AB，AD的中點(diǎn)，所以EFBD，所以EFAC.所以EFA1C1.即A1C1與EF所成的角為90°.10.如圖所示，四邊形ABEF和ABCD都是梯形，BC綊AD，BE綊FA，G，H分別為FA，F(xiàn)D的中點(diǎn)(1)證明：四邊形BCHG是平行四邊形；(2)C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)是否共面？為什么？解(1)證明：由已知FGGA，F(xiàn)HHD，可得GH綊AD.又BC綊AD，GH綊BC.四邊形BCHG為平行四邊形(2)BE綊AF，G為FA的中點(diǎn)，BE綊FG，四邊形BEFG為平行四邊形，EFBG.由(1)知BG綊CH，EFCH，EF與CH共面又DFH，C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共面1已知A，B，C，D是空間四點(diǎn)，命題甲：A，B，C，D四點(diǎn)不共面，命題乙：直線AC和BD不相交，則甲是乙成立的()A充分不必要條件 B必要不充分條件C充要條件 D既不充分也不必要條件A若A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則直線AC和BD不共面，所以AC和BD不相交；若直線AC和BD不相交，當(dāng)直線AC和BD平行時，A，B，C，D四點(diǎn)共面，所以甲是乙成立的充分不必要條件2在正三棱柱ABC­A1B1C1中，ABBB1，則AB1與BC1所成角的大小為()A30° B60° C75° D90°D將正三棱柱ABC­A1B1C1補(bǔ)為四棱柱ABCD­A1B1C1D1，連接C1D，BD，則C1DB1A，BC1D為所求角或其補(bǔ)角設(shè)BB1，則BCCD2，BCD120°，BD2，又因為BC1C1D，所以BC1D90°.3一個正方體紙盒展開后如圖所示，在原正方體紙盒中有如下結(jié)論：ABEF；AB與CM所成的角為60°；EF與MN是異面直線；MNCD.以上四個命題中，正確命題的序號是_如圖，ABEF，正確；顯然ABCM，所以不正確；EF與MN是異面直線，所以正確；MN與CD異面，并且垂直，所以不正確，則正確的是.4(2019·上海高考改編)如圖，在正三棱錐P­ABC中，PAPBPC2，ABBCAC.(1)若PB的中點(diǎn)為M，BC的中點(diǎn)為N，求AC與MN夾角的余弦值；(2)求P­ABC的體積解(1)M，N分別為PB，BC的中點(diǎn)，MNPC，則PCA為AC與MN所成角，在PAC中，由PAPC2，AC，可得cosPCA，AC與MN夾角的余弦值為.(2)過P作底面垂線，垂足為O，則O為底面三角形的中心，連接AO并延長，交BC于N，則AN，AOAN1.PO.VP­ABC××××.1.在我國古代數(shù)學(xué)名著九章算術(shù)中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑如圖，在鱉臑ABCD中，AB平面BCD，且ABBCCD，則異面直線AC與BD所成的角的余弦值為()A. B C. DA如圖所示，分別取AB，AD，BC，BD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，O，連接EF，F(xiàn)O，OG，GE，GF，則EFBD，EGAC，F(xiàn)OOG，F(xiàn)EG或其補(bǔ)角為異面直線AC與BD所成的角設(shè)AB2a，則EGEFa，F(xiàn)Ga，EFG是等邊三角形，F(xiàn)EG60°，異面直線AC與BD所成角的余弦值為，故選A.2.如圖所示，正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，AD的中點(diǎn)，將此正方形沿EF折成直二面角后，異面直線AF與BE所成角的余弦值為_如圖，取BC的中點(diǎn)H，連接FH，AH，所以BEFH，所以AFH即為異面直線AF與BE所成的角過A作AGEF于G，則G為EF的中點(diǎn)連接HG，HE，則HGE是直角三角形設(shè)正方形邊長為2，則EF，HE，EG，AG，所以HG，所以AH.由余弦定理知cosAFH.