2013年數(shù)學(xué)(理)熱點(diǎn)專題專練:專題4 三角函數(shù)、解三角形、平面向量

上傳人:沈*** 文檔編號(hào):83409450 上傳時(shí)間:2022-05-01 格式:DOC 頁(yè)數(shù):10 大小:370KB
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1、word 專題4 三角函數(shù)、解三角形、平面向量測(cè)試題 一、選擇題:本大題共12小題,每一小題5分,共60分.在每一小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的. 1.函數(shù)f(x)=lgsin的一個(gè)增區(qū)間為(  ) A.B. C.D. 解析 由sin>0,得sin<0,∴π+2kπ<2x-<2π+2kπ,k∈Z;又f(x)=lgsin的增區(qū)間即sin在定義域的增區(qū)間,即sin在定義域的減區(qū)間,故π+2kπ<2x-<+2kπ,k∈Z.化簡(jiǎn)得+kπ0)的最小正周期

2、為1,如此它的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心為(  ) A.(-,0) B.(-,0) C.D.(0,0) 解析 f(x)=2sin(a>0),∵T==1,∴a=2π,∴f(x)=2sin,由2πx+=kπ,k∈Z,得x=-,k∈Z,當(dāng)k=1時(shí),x=,故是其一個(gè)對(duì)稱中心,應(yīng)當(dāng)選C. 答案 C 3.函數(shù)f(x)=asinx+acosx(a<0)的定義域?yàn)閇0,π],最大值為4,如此a的值為(  ) A.-B.-2 C.-D.-4 解析 f(x)=asinx+acosx=asin,當(dāng)x∈[0,π]時(shí),x+∈,∴sin∈,由于a<0,故asin∈[a,-a],即f(x)的最大值為-a,∴-a=

3、4,即a=-4.應(yīng)當(dāng)選D. 答案 D 4.將函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)+k(A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象向右平移個(gè)單位,所得曲線的一局部如下列圖,如此f(x)的解析式為(  ) A.f(x)=sin+1 B.f(x)=sin+ C.f(x)=2sin- D.f(x)=sin+ 解析 圖象平移之前與平移之后的A,ω,k都是一樣的,由平移之后的圖象可知2A=3,∴A=,k=;T=2×=,∴ω=. 設(shè)平移后的函數(shù)解析式為g(x)=sin+,將代入,得 sin=1,∴φ1=2kπ+,k∈Z,取k=0,如此φ1=,故g(x)=sin+. 將其圖象向左平移個(gè)單位,得f

4、(x)的解析式為f(x) =sin+, 即f(x)=sin+.應(yīng)當(dāng)選B. 答案 B 5.在△ABC中,角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,A=60°,a=4,b=4,如此B=(  ) A.45°或135° B.135° C.45° D.以上都不對(duì) 解析 由正弦定理,得sinB=×4×=,∴B=45°或135°,又a>b,∴A>B,∴B=45°.應(yīng)當(dāng)選C. 答案 C 6.在△ABC中,cos2=(a,b,c分別為角A,B,C的對(duì)邊),如此△ABC的形狀為(  ) A.正三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形或直角三角形 D.等腰直角三角形 解析 ∵cos2=,∴

5、=, ∴1+=, 化簡(jiǎn)得a2+b2=c2,故△ABC是直角三角形.應(yīng)當(dāng)選B. 答案 B 7.在△ABC中,假如角A,B,C成公差大于0的等差數(shù)列,如此cos2A+cos2C的最大值為(  ) A.B. C.2 D.不存在 解析 ∵角A,B,C成等差數(shù)列,∴A+C=2B, 又A+B+C=180°,∴B=60°,A+C=120°. cos2A+cos2C=+=1+(cos2A+cos2C)=1+[cos(240°-2C)+cos2C]=1+cos(2C+60°). ∵60°

6、cos2C的最大值不存在,應(yīng)當(dāng)選D. 答案 D 8.關(guān)于x的方程cos2x+sin2x=2k在有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解,如此k的取值圍是(  ) A.B. C.D. 解析 由cos2x+sin2x=2k,得k=(cos2x+sin2x)= sin,當(dāng)x∈時(shí),2x+∈, ∴-

7、在實(shí)數(shù)λ,使得b=λa,如此|a+b|=|a|-|b| 解析 選項(xiàng)A錯(cuò),假如|a+b|=|a|-|b|,如此有a與b方向相反,且有|a|≥|b|;由此可得選項(xiàng)B中的結(jié)論也是錯(cuò)誤的;選項(xiàng)C是正確的,選項(xiàng)D中,假如λ>0如此a,b同向,故錯(cuò)誤. 答案 C 10.(2012·)在△ABC中,AB=2,AC=3,·=1,如此BC=(  ) A.B. C.2D. 解析 在△ABC中,設(shè)AB=c,AC=b,BC=a,如此c=2,b=3,·=||·||cos(180°-∠B)=-accosB=1,得acosB=-.由余弦定理得:acosB=a×==-,解得a=BC=. 答案 A 11.(20

8、12·)兩個(gè)非零向量a,b滿足|a+b|=|a-b|,如此下面結(jié)論正確的答案是(  ) A.a(chǎn)∥bB.a(chǎn)⊥b C.|a|=|b| D.a(chǎn)+b=a-b 解析 因?yàn)閨a-b|=|a+b|,由向量的加法和減法法如此可知以a,b為鄰邊的平行四邊形對(duì)角線相等,故該平行四邊形是一個(gè)矩形,所以a⊥b.也可直接等式兩邊平方化簡(jiǎn)得a·b=0,從而a⊥b. 答案 B 12.(2012·)對(duì)任意兩個(gè)非零的平面向量α和β,定義α ·β=.假如平面向量a,b滿足|a|≥|b|>0,a與b的夾角θ∈,且a·b和b·a都在集合{|n∈Z}中,如此a·b=(  ) A.B.1 C.D. 解析 解法一:ba=

9、=cosθ,因θ∈,cosθ∈,又|a|≥|b|>0,所以ba<1,又ba∈{|n∈Z},故ba=,cosθ=,=,ab=cosθ=2cos2θ,又因cosθ∈,所以ab∈(1,2),又ab∈{|n∈Z},所以ab=. 解法二(特殊值法):取|a|=,|b|=1,θ=,如此a·b===,b·a===,都在{|n∈Z}中. 答案 C 二、填空題:本大題共4小題,每一小題4分,共16分,將答案填在題中的橫線上. 13.如圖,△ABC中,AB=AC=2,BC=2,點(diǎn)D在BC邊上,∠ADC=45°,如此AD的長(zhǎng)度等于________. 解析 在△ABC中,cosC==, ∴C=30°,

10、由=, ∴AD=·sinC=·=. 答案  14.△ABC的一個(gè)角為120°,并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列,如此△ABC的面積為_(kāi)_______. 解析 設(shè)三邊長(zhǎng)為a,a+4,a+8,如此120°角所對(duì)邊長(zhǎng)為a+8,由余弦定理得(a+8)2=a2+(a+4)2-2a·(a+4)·cos120°,化簡(jiǎn)得a2-2a-24=0,解得a=6或a=-4(舍去). ∴三角形面積S=a·(a+4)·sin120°=15. 答案 15 15.(2011·課標(biāo))在△ABC中,B=60°,AC=,如此AB+2BC的最大值為_(kāi)_______. 解析 由正弦定理,===2, 得AB=2sinC,

11、BC=2sinA, 如此AB+2BC=2sinC+4sinA=2sin(180°-60°-A)+4sinA=cosA+5sinA=2sin(A+φ),其中tanφ=(φ為銳角),故當(dāng)A+φ=時(shí),AB+2BC取最大值2. 答案 2 16.(2011·)在相距2千米的A、B兩點(diǎn)處測(cè)量目標(biāo)點(diǎn)C,假如∠CAB=75°,∠CBA=60°,如此A、C兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______千米. 解析  如圖,∠C=180°-75°-60°=45°.由正弦定理,=. 得AC=. 答案  三、解答題:本大題共6小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17.(本小題總分為12分

12、) 在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.=. (1)求的值; (2)假如cosB=,b=2,求△ABC的面積S. 解 (1)由正弦定理,設(shè)===k, 如此==. 所以= 即(cosA-2cosC)sinB=(2sinC-sinA)cosB, 化簡(jiǎn)可得sin(A+B)=2sin(B+C) 又A+B+C=π, 所以sinC=2sinA.因此=2. (2)由=2得c=2a. 由余弦定理b2=a2+c2-2accosB與cosB=,b=2, 得4=a2+4a2-4a2× 解得a=1,從而c=2 又因?yàn)閏osB=,且0

13、sinB=×1×2×=. 18.(本小題總分為12分) (2012·)在△ABC中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,角A,B,C成等差數(shù)列. (1)求cosB的值; (2)邊a,b,c成等比數(shù)列,求sinAsinC的值. 解 (1)由2B=A+C,A+B+C=180°, 解得B=60°,所以cosB=. (2)解法一:由b2=ac,與cosB=, 根據(jù)正弦定理得sin2B=sinAsinC, 所以sinAsinC=1-cos2B=. 解法二:由b2=ac,與cosB=, 根據(jù)余弦定理得cosB=,解得a=c, 所以A=C=B=60°,故sinAsinC=. 19.

14、(本小題總分為12分) 在△ABC中,角A、B、C的對(duì)邊分別為a,b,c. (1)假如sin=2cosA,求A的值; (2)cosA=,b=3c,求sinC的值. 解 (1)由題設(shè)知sinAcos+cosAsin=2cosA,從而sinA=cosA,所以cosA≠0,tanA=.因?yàn)?

15、ac=b2. (1)當(dāng)p=,b=1時(shí),求a,c的值; (2)假如角B為銳角,求p的取值圍. 解 (1)由題設(shè)并利用正弦定理,得解得或 (2)由余弦定理,b2=a2+c2-2accosB =(a+c)2-2ac-2accosB =p2b2-b2-b2cosB, 即p2=+cosB. 因?yàn)?0,所以

16、osC, 即sin=2sin2, 由sin≠0得2cos+1=2sin,即sin-cos=, 兩邊平方得sinC=. (2)由sin-cos=>0,得<<, 即

17、援.為了方便測(cè)量和計(jì)算,現(xiàn)如圖(2)A,C分別為兩名攀巖者所在位置,B為山的拐角處,且斜坡AB的坡角為θ,D為山腳,某人在E處測(cè)得A,B,C的仰角分別為α,β,γ,ED=a. (1)求:BD間的距離與CD間的距離; (2)求證:在A處攀巖者距地面的距離h=. 解 (1)根據(jù)題意得∠CED=γ,∠BED=β,∠AED=α. 在直角三角形CED中, tanγ=,CD=atanγ, 在直角三角形BED中,tanβ=,BD=atanβ. (2)證明:易得AE=,BE=, 在△ABE中,∠AEB=α-β,∠EAB=π-(α+θ), 正弦定理=, 代入整理:h=. - 10 - / 10

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