馮恩信電磁場與電磁波 課后習題問題詳解

18、做變換,,,可上端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場為 同理,做變換,,,可下端面上束縛電荷產(chǎn)生的電場為 上下端面上束縛電荷產(chǎn)生的總電場為 2-21.半徑為a的介質(zhì)球均勻極化，，求束縛電荷分布?！　? 解: (1)介質(zhì)中的束縛電荷體密度為 (2) 介質(zhì)外表的束縛電荷面密度為 2-22.求上題中束縛電荷在球中心產(chǎn)生的電場?！　　　　? 解:介質(zhì)外表的束縛電荷在球心產(chǎn)生的電場 在介質(zhì)球外表取半徑為寬度為的環(huán)帶,可看成半徑為,,電荷線密度為的線電荷圓環(huán),例中給出了線電荷圓環(huán)的電場,對積分得 題2-22圖 2-23.無限長的線電荷位于介電常數(shù)為的均勻介質(zhì)中，線電荷密度為常數(shù)，

19、求介質(zhì)中的電場強度。 解: 設無限長的線電荷沿 z軸放置, 利用高斯定理,容易求得介質(zhì)中的電場強度為 為場點到線電荷的距離. 2-24. 半徑為a的均勻帶電球殼，電荷面密度為常數(shù)，外包一層厚度為d、介電常數(shù)為的介質(zhì)，求介質(zhì)外的電場強度。 解:由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理 上式左右兩邊分別為 由此得 因為，所以 2-25.兩同心導體球殼半徑分別為a、b，兩導體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，、外導體球殼電位分別為。求兩導體球殼之間的電場和球殼面上的電荷面密度。 解：設導體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面

20、，采用高斯定理，兩導體球殼之間的電場為 兩導體球殼之間的電壓為 得出 所以 球殼面上的電荷面密度為 2-26兩同心導體球殼半徑分別為a、b，兩導體之間有兩層介質(zhì)，介電常數(shù)為、，介質(zhì)界面半徑為c，外導體球殼電位分別為。求兩導體球殼之間的電場和球殼面上的電荷面密度以與介質(zhì)分界面上的束縛電荷面密度。 解：設導體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理可得， 兩導體球殼之間的電場為 兩導體球殼之間的電壓為 2-27圓柱形電容器，外導體半徑分別為a、b，兩導體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，介質(zhì)的擊穿場強為

21、，求此電容器的耐壓。 解：設圓柱形電容器長度為L，導體電量為，利用高斯定理，可得 外導體間的電壓為 因此 所以電場可表示為 導體外表的電場為 所以 如果介質(zhì)的擊穿場強為，如此電容器的耐壓為 2-28真空中一外半徑分別為a、b的介質(zhì)球殼，介電常數(shù)為，在球心放一電量為q的點電荷?！?〕用介質(zhì)中的高斯定理求電場強度；〔2〕求介質(zhì)中的極化強度和束縛電荷。 解： 〔1〕由題意，電場具有球?qū)ΨQ結(jié)構(gòu)。采用高斯定理，在半徑為r的球面上 由得 〔2〕 這里 2-29 某介質(zhì)的介電常數(shù)為，和均為常數(shù)，假如介質(zhì)中的電場強度

22、為恒值且只有分量，證明 。 證： 2-30 .有三層均勻介質(zhì)，介電常數(shù)分別為,取坐標系使分界均平行于xy面。三層介質(zhì)中均為勻強場，且，求。 解：因為三層介質(zhì)中均為勻強場，，設第二、三層介質(zhì)中的電場強度分別為 ； 由邊界條件可得 ， 由邊界條件，可得 ，即； 所以 ， 2-31 .半徑為a的導體球中有兩個半徑均為b的球形腔，在其中一個空腔中心有一個電量為q的點電荷在該球形空腔中心，如下列圖，如果導體球上的總電量為0，求導體球腔中與球外的電場強度。 解： 〔1〕在有點電荷的空腔中，由于對稱性，電場強度為，為從空腔中心指向該空腔中場點的位置矢量。

23、 〔2〕在另一沒有點電荷的空腔中，由于靜電屏蔽，該空腔中的電場強度為零。 〔3〕在導體球外，由于導體球為等位體，除了導體球面上外，導體球外沒有電荷，因此導體球外電場具有球?qū)ΨQ性，且導體球上的電量為q,所以導體球外的電場強度為 r為導體球心到場點的距離。 題2.31圖　　　　　　　　　　　題2.32圖 2-32 .同軸圓柱形電容器外半徑分別為a、b，導體之間一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)，另一半填充介電常數(shù)為的介質(zhì)。當電壓為V時，求電容器中的電場和電荷分布。 解：設同軸電容器長度為，導體上的電量為q,在外導體之間取半徑為 r的圓柱面，利用高斯定理 在兩個半柱面上，電場強度分別相等，

24、上式變?yōu)? 由介質(zhì)邊界條件，可得 外導體之間的電壓為 由此得，從而得 電荷分布為 介質(zhì)側(cè)；介質(zhì)側(cè) 2-33 z>0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z<0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，當 (1)電量為q的點電荷放在介質(zhì)分界面上； (2)電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上。 求電場強度。 解： 〔1〕電量為q的點電荷放在介質(zhì)分界面上 以點電荷為中心作以半徑為r的球，利用高斯定理 設上、下半球面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對稱性，在上、下半球面上大小分別相等，有 = 根據(jù)邊界條件，因此 〔2〕電荷線密度為的均勻線電荷放在介質(zhì)分界面上

25、以線電荷為軸線作以半徑為r單位長度的圓柱面，利用高斯定理 設上、下半柱面上的電位移矢量分別、，根據(jù)對稱性，在上、下半柱面上大小分別相等，有 = 根據(jù)邊界條件，因此 2-34.面積為A，間距為d的平板電容器電壓為V，介電常數(shù)為厚度為t的介質(zhì)板分別按如圖a、b所示的方式放置在兩導電平板之間。分別計算兩種情況下電容器中電場與電荷分布。 題4圖 解： 〔a〕設導體板之間介質(zhì)與空氣中的電場分別為、，那么、滿足關系 〔邊界條件〕 求解以上兩式得 ； 根據(jù)導體外表上的邊界條件，在上、下導體外表上的電荷面密度為 (b) 由圖可見，導體板之間介質(zhì)與空

26、氣中的電場為 根據(jù)導體外表上的邊界條件，在上、下導體板與空氣的界面上的電荷面密度為 在上、下導體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為 2-35 在外半徑分別為和之間的圓柱形區(qū)域無電荷，在半徑分別為和的圓柱面上電位分別為和0。求該圓柱形區(qū)域的電位和電場。 解：由電荷分布可知，電位僅是的函數(shù)，電位滿足拉普拉斯方程，方程為 解微分方程得 利用邊界條件 得 ， 因此 2-36在半徑分別為和的兩同軸導電圓筒圍成的區(qū)域，電荷分布為，為常數(shù)，假如介質(zhì)介電常數(shù)為，導體電位為V，外導體電位為0。求兩導體間的電位分布。 解：由電荷分布可知，電位僅是的函數(shù)，電位

27、滿足泊松方程 解微分方程得 利用邊界條件 得 ， 2-37 兩塊電位分別為0和V的半無限大的導電平板構(gòu)成夾角為的角形區(qū)域，求該角形區(qū)域中的電位分布。 c b a 題7圖題8 圖 解：由題意，在圓柱坐標系中，電位僅是的函數(shù)，在導電平板之間電位方程為 其通解為 由邊界條件 ，得 所以， 2-38 .由導電平板制作的金屬盒如下列圖，除盒蓋的電位為V外，其余盒壁電位為0，

28、求盒電位分布。 解：用別離變量法，可得電位的通解為 利用邊界條件，可求出系數(shù) 〔m、n為奇數(shù)〕 〔m、n為偶數(shù)〕 2-39 在的勻強電場中沿z軸放一根半徑為a的無限長導電圓柱后，求電位與電場。 解：由別離變量法，無限長導電圓柱外的電位的通解為 〔1〕 設，當時的電位等于無導電圓柱的電位，即 〔2〕 要使式〔1〕的電位在時等于式〔2〕，可得到系數(shù) ，，， 再由導體界面的邊界條件得 因此，電位的特解為 2-40 .在無限大的導電平板上方距導電平板h處平行放置無限長的線電荷，電荷線密度為，求

29、導電平板上方的電場。 解:用鏡像法,導電平板的影響等效為鏡像位置的一個電荷線密度為-的線電荷, 導電平板上方的電場為 式中、分別為線電荷與其鏡像線電荷到場點的距離矢量。 2-41 由無限大的導電平板折成的角形區(qū)，在該角形區(qū)中某一點()有一點電荷q，用鏡像法求電位分布。 解：如圖將空間等分為8個區(qū)，在每個區(qū)中以原來的導電面為鏡面可以依次找到鏡像位置，原電荷的位置為()，另外7個鏡像電荷在圓柱坐標系中的坐標為：()，()，()，()，()，()，()。 鏡像電荷為 對于場點，電荷到場點的距離矢量為 ； 如此場點的電場為 題2-41圖 題2-42圖 2-42

30、 半徑為a，帶電量為Q的導體球附近距球心f處有一點電荷q，求點電荷q所受的力。 解：點電荷q 受到的力〔場〕有兩局部，一局部等效為鏡像電荷的力，另一局部等效為位于球中心的點電荷的力。由鏡像法，鏡像電荷的大小和位置分別為 由于包圍導體球的總電量為Q，所以位于位于球中心的點電荷=Q-;因此點電荷q 受到的力為 2-43 外半徑分別為a、b的導電球殼距球心為d(d

31、導電球殼外無電荷分布，因此導電球殼外的電位為零。 導電球殼的電位的電位由導電球殼的點電荷和導電球殼壁上的電荷產(chǎn)生，而導電球殼壁上的電荷可用位于導電球殼外的鏡像電荷等效，兩個電荷使導電球殼壁面上的電位為零，因此鏡像電荷的大小、距球心的距離分別為 ； 導電球殼的電位為 其中、分別為場點與點電荷與鏡像電荷的距離，用圓球坐標表示為 〔2〕導電球殼電位為V 當導電球殼電位為V時，從導電球外看，導電球面是等位面，且導電球外的電位是球?qū)ΨQ的，其電位滿足 利用邊界條件得 導體球殼的電位可看成兩局部的疊加，一局部是有點電荷但球殼為零時的電位，這一局部的電位同前；另一局部

32、是無點電荷但球殼電位為V時的電位，這一局部的電位為V。因此導電球殼電位為V時，導電球殼的電位為 其中、分別為場點與點電荷與鏡像電荷的距離。 (3)導電球殼上的總電量為Q 當導電球殼上的總電量為Q時，從導電球外看，導電球面是等位面，且導電球外的電位是球?qū)ΨQ的，導電球殼的總電量為Q+q,其電位滿足 導電球殼上的電位為 同上得，導電球殼的電位為 2-44 無限大導電平面上有一導電半球，半徑為a，在半球體正上方距球心與導電平面h處有一點電荷q，求該點電荷所受的力。 題2-44圖 解：要使導體球面和平面上的電位均為零，應有三個鏡像電荷，如下列圖。三個鏡像電荷的電量和位置

33、分別為 點電荷q所受的力為三個鏡像電荷的電場力，即 力的正方向向上。 2-45無限大導電平面上方平行放置一根半徑為a的無限長導電圓柱，該導電圓柱軸線距導電平面為h，求導電圓柱與導電平面之間單位長度的電容。 解：如果無限長導電圓柱上有電荷線密度，導電平面可用鏡像位置的線電荷等效，鏡像電荷線密度為-。由導體圓柱的鏡像法可求得導體圓柱的電位，那么，單位導體圓柱與導電平面之間的電容為 題2-45圖 2-46 z>0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，z<0半空間為介電常數(shù)為的介質(zhì)，在界面兩邊距界面為h的對稱位置分別放置電量分別為和的點電荷。分別計算兩個點電荷所受得力。 解：利用鏡像法，

34、計算z>0半空間的場時，原來的問題可等效為圖2-46(b)，計算z<0半空間的場時，原來的問題可等效為圖2-46(c)。這樣上半空間的電位可表示為 式中為到場點的距離，為的鏡像位置的電荷到場點的距離；下半空間的電位可表示為 式中為到場點的距離，為的鏡像位置的電荷到場點的距離。利用邊界條件， 和得 由此得 和所受的斥力分別為 (a) (b) (c) 題2-46圖 2-47.兩同心導體球殼半徑分別為a、b，兩導體之間介質(zhì)的介電常數(shù)為，求兩導體球殼之間的電容。 解：設導體帶電荷為 q，由于電荷

35、與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理，兩導體球殼之間的電場為 兩導體球殼之間的電壓為 兩導體球殼之間的電容為 2-48兩同心導體球殼半徑分別為a、b，兩導體之間有兩層介質(zhì)，介電常數(shù)為、，介質(zhì)界面半徑為c，求兩導體球殼之間的電容。 解：設導體帶電荷為 q，由于電荷與介質(zhì)分布具有球?qū)ΨQ性，取半徑為 r的球面，采用高斯定理可得， 兩導體球殼之間的電場為 兩導體球殼之間的電壓為 兩導體球殼之間的電容為 2-49 面積為A，間距為d的導電平板之間放置介電常數(shù)為，厚度為t的介質(zhì)板，如圖a、b所示。分別計算兩種情況下導電平板之間的電容。

36、題2-49圖 解： 〔a〕設導體板之間介質(zhì)與空氣中的電場分別為、，那么、滿足關系 〔邊界條件〕 求解以上兩式得 ； 根據(jù)導體外表上的邊界條件，在上、下導體外表上的電荷面密度為 電容為 (b) 由圖可見，導體板之間介質(zhì)與空氣中的電場為 根據(jù)導體外表上的邊界條件，在上、下導體板與空氣的界面上的電荷面密度為 在上、下導體板與介質(zhì)的界面上的電荷面密度為 電容為 2-50 兩塊沿方向無限延伸的導電平板夾角為，與和的圓柱面相截，兩板之間的電壓為V，。忽略邊緣效應，求兩塊板間的電位分布，電場，以與單位長度的電容。 解：在圓柱坐標系中

37、，電位只和有關，在兩塊導電平板之間 此方程的通解為 利用邊界條件，，得 電場強度為 板上單位長度的電量為 板上單位長度的電容為 2-51 真空中半徑為a的導體球電位為V，求電場能量。 解：用兩種方法求解。 1） 用電位求電場能量 2） 用電場強度求電場能量 導體球的電場強度為零，導體球外的電場強度為 電場能量為 2-52 .圓球形電容器導體的外半徑為a，外導體的半徑為b，外導體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場能量。 解：設圓球形電容器導體上的電荷為 q，由高斯定理可求得在外導體之間

38、從而可求得外導體之間的電壓為 圓球形電容器的電容為 電場能量為 2-53 長度為d的圓柱形電容器導體的外半徑為a，外導體的半徑為b，外導體之間填充兩層介電常數(shù)分別為、的介質(zhì)，界面半徑為c，電壓為V。求電容器中的電場能量。 解：設圓柱形電容器導體上的電荷為q，用高斯定理，在外導體之間 外導體之間的電壓為 外導體之間的電容為 電場能量為 2-54 兩個點電荷電量均為，放在介電常數(shù)為的介質(zhì)中，間距為，求互位能。 解： 兩個點電荷的互位能為將一個點電荷從無限遠移到和另一個間距為處外力做的功 2-55 兩尺寸為a×a的平行導電平板之間距離為

39、d，帶電量分別為,當將介電常數(shù)為的介質(zhì)板插入導電板之間深度為x時，分別求介質(zhì)板所受的電場力。 題2.55 圖 解：設空氣填充局部和介質(zhì)填充局部導電平板上的電荷密度分別為、由導體邊界條件得，；由介質(zhì)邊界條件得或，因此 空氣填充局部和介質(zhì)填充局部導電平板上的電量分別為 ， 。 由與得 平行導電平板之間的電場能量為 由虛功原理，對于常電荷系統(tǒng)，介質(zhì)所受的沿x方向電場力為 第3章習題 3-1 半徑為的薄圓盤上電荷面密度為，繞其圓弧軸線以角頻率旋轉(zhuǎn)形成電流，求電流面密度。 解：圓盤以角頻率旋轉(zhuǎn)，圓盤上半徑為處的速度為，因此電流面密度為 3-

40、2 在銅中，每立方米體積約有個自由電子。如果銅線的橫截面為，電流為。計算 1） 電流密度； 2） 電子的平均漂移速度； 解：1〕電流密度 2) 電子的平均漂移速度 ， 3-3 一寬度為傳輸帶上電荷均勻分布，以速度勻速運動，形成的電流，對應的電流強度為，計算傳輸帶上的電荷面密度。 解：電流面密度為 因為 所以 3-4 如果是運動電荷密度，是運動電荷的平均運動速度，證明： 證：如果是運動電荷密度，是運動電荷的平均運動速度，如此電流密度為 代入電荷守恒定律 得 3-5 由的鐵制作的圓錐臺，高為，兩端面的半徑分別

41、為和。求兩端面之間的電阻。 解：用兩種方法 ， 〔2〕設流過的電流為，電流密度為 電場強度為 電壓為 3-6 在兩種媒質(zhì)分界面上，媒質(zhì)1的參數(shù)為，電流密度的大小為，方向和界面法向的夾角為；媒質(zhì)2的參數(shù)為。求媒質(zhì)2中的電流密度的大小、方向和界面法向的夾角，以與界面上的電荷面密度。 解：根據(jù)邊界條件 ， ，， 媒質(zhì)2中的電流密度和界面法向的夾角為 ， 3-7 同軸電纜導體半徑為，外導體半徑為，外導體之間有兩層媒質(zhì)。層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；外層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；求 （1） 每區(qū)域單位長度的電容； （2） 每區(qū)

42、域單位長度的電導； （3） 單位長度的總電容； （4） 單位長度的總電導。 解： 外導體之間的兩層媒質(zhì)是非理想的，那么設同軸電纜、外導體之間單位長度的漏電流為那么在半徑為的圓柱面上電流均勻，電流密度為 電場強度為 第一層的電壓為 第二層的電壓為 第一層單位長度的電導為 第二層單位長度的電導為 單位長度的總電導為 利用靜電比擬 第一層單位長度的電容為 第二層單位長度的電容為 單位長度的總電容為 3-8 在上題中，當同軸電纜長度為，外導體之間的電壓為，利用邊界條件求界面上的電荷面密度。

43、 解： 由上題， 因此 3-9 兩同心導體球殼，導體球殼半徑為，外導體球殼半徑為。兩同心導體球殼之間填充兩層媒質(zhì)，層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；外層從到，媒質(zhì)的參數(shù)為；求同心導體球殼 （1） 每區(qū)域的電容； （2） 每區(qū)域的電導； （3） 總電容； （4） 總電導。 解： 外導體之間的兩層媒質(zhì)是非理想的，那么設同心導體球殼之間的漏電流為 那么在半徑為的圓球面上電流均勻，電流密度為 電場強度為 第一層媒質(zhì)的電壓為 第二層媒質(zhì)的電壓為 第一層媒質(zhì)單位長度的電導為 第二層媒質(zhì)單位長度的電導為

44、 單位長度的總電導為 利用靜電比擬 第一層單位長度的電容為 第二層單位長度的電容為 單位長度的總電容為 其中 3-10 上題中，外導體之間的電壓為，利用邊界條件求界面上的電荷面密度。 解： 由上題， 因此 3-11 平板電容器兩導電平板之間為三層非理想介質(zhì)，厚度分別為電導率分別為，平板面積為S，如果給平板電容器加電壓V，求平板之間的電場。 解：設導電平板之間三層非理想介質(zhì)中的電場均為勻強電場，分別為、、，根據(jù)電壓關系和邊界條件，、、

45、滿足以下關系 解此方程組得 3-12 在§例2中，如果在弧形導電體兩弧面之間加電壓，求該導電體沿徑向的電阻。 解：設流過兩弧面的電流為I。作以與兩弧面同軸的半徑為的弧面，流過此弧面的電流密度為，如此由 得 由此得 兩弧面之間的電壓為 該導電體沿徑向的電阻為 3-13 圓球形電容器導體半徑為a，外導體半徑為c，外導體之間填充兩層介電常數(shù)分別為，電導分別為的非理想介質(zhì)，兩層非理想介質(zhì)分界面半徑為b，如果外導體間電壓為V，求電容器中的電場與界面上的電荷密度。 解：由于圓球形電容器填充兩層非理想介質(zhì)，

46、有電流流過，設電流為I。在圓球形電容器取一半徑為的球面，流過此球面的電流密度為，如此由得 或 電場強度為 電壓為 由此求出電流與電壓的關系后，電場為 導體外表的電荷密度為 外導體外表的電荷密度為 媒質(zhì)分界面的〔駐立〕電荷密度為 3-14求3-11題中電容器的漏電導。 解：由3-2題得 流過電容器的電流為 所以 3-15求3-13題中圓球形電容器的電容與漏電導。 解：此圓球形電容器的電容與漏電導是并串聯(lián)的形式如下列圖。 ；；； 3-16　分別求3-11題與3-13題中電容器的損耗功率。

47、　 解：〔1〕3-11題 〔2〕3-13題 3-17　邊長均為a的正方體導電槽中充滿電導率為的電解液，除導電板蓋的電位為V外，槽的其余五個邊界面電位為零。求電解液中的電位?！? 解：此題電位所滿足的方程和邊界條件與題2-33一樣，因此其解也與題2-33一樣。 3-18將半徑為a的半個導電球剛好埋入電導率為的大地中，如下列圖。求接地電阻。 解：設從地線流出的電流為I，在大地中作與導體球同心，半徑為的半球面，在此半球面上電流密度一樣，顯然滿足關系 電場強度為 導電球的電位為 因此導電球的接地電阻為 題3-18 圖 3-19　在電導率為的大地深處，相距d平行放置半徑均為a的無限長導體圓柱。求導體圓柱之間單位長度的漏電導。 解：用靜電比擬法。此問題可與介質(zhì)中的平行雙導線比擬，其電導與電容的關系為 因為介質(zhì)中的平行雙導線單位長度的電容為 因此，埋地導體圓柱之間單位長度的漏電導為 63 / 63