山東省龍口市蘭高鎮(zhèn)2018年中考數(shù)學(xué) 三角形分類訓(xùn)練二 等腰三角形和直角三角形 魯教版

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1、魯教版中考數(shù)學(xué)三角形分類訓(xùn)練二（等腰三角形和直角三角形） 典例詮釋： 考點(diǎn)一 等腰三角形中的多解問題 例1 如果等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為4和7，則三角形的周長(zhǎng)為 ． 【答案】 15或18 【名師點(diǎn)評(píng)】 本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和三角形的三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進(jìn)行討論，還應(yīng)驗(yàn)證各種情況是否能構(gòu)成三角形進(jìn)行解答，這點(diǎn)非常重要，也是解題的關(guān)鍵． 例2 等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為30°，則頂角的度數(shù)為( ) A．60° B．120° C．60°或150° D．60°或120° 【答案】

2、D 【名師點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，熟記三角形的高相對(duì)于三角形的三種位置關(guān)系是解題的關(guān)鍵，本題易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是只求出120°一種情況，把三角形簡(jiǎn)單的認(rèn)為是銳角三角形． 考點(diǎn)二 等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)及判定 例3 (2016·門頭溝一模)如圖1-10-13，直線m∥n，點(diǎn)A在直線m上，點(diǎn)B，C在直線n上，AB=BC，∠1=70°，CD⊥AB于D，那么∠2等于( ) 圖1-10-13 A．20° B．30° C．32° D．25° 【答案】 A 【名師點(diǎn)評(píng)】通過平行線的知識(shí)可知∠1=∠ACB=70°，再利用等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形的

3、兩個(gè)銳角互余即可解決. 例4 (2016·海淀一模)如圖1-10-14，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于點(diǎn)D，DE為AC邊上的中線．求證：∠BAD=∠EDC. 圖1-10-14 【證明】 如圖1-10-15. 圖1-10-15 ∵ ∠BAC=90°， ∴ ∠BAD+∠DAC=90°. ∵ AD⊥BC，∴ ∠ADC=90°， ∴ ∠DAC+∠C=90°，∴ ∠BAD=∠C. ∵ DE為AC邊上的中線，∴ DE=EC. ∴ ∠EDC=∠C,∴ ∠BAD=∠EDC. 【名師點(diǎn)評(píng)】 此題考查了“雙垂直”的基本圖形，易知∠BAD=∠C，

4、再利用“直角三角形中斜邊的中線等于斜邊的一半”得到等腰△EDC，從而問題得解. 例5 (2016·海淀一模)如圖1-10-16，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，AE⊥BE于點(diǎn)E，且BE=BC．求證：AB平分∠EAD． 圖1-10-16 【證明】 ∵ AB=AC,AD是BC邊上的中線，∴ BD=BC，AD⊥BC. ∵ BE=BC，∴ BD=BE. ∵ AE⊥BE于點(diǎn)E， ∴ 點(diǎn)B在∠EAD的平分線上，∴ AB平分∠EAD. 【名師點(diǎn)評(píng)】 此題考查了等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)，可得到BD=BE=BC，再利用直角三角形全等的判定定理(HL)即可. 基礎(chǔ)

5、精練： 1.(2016·豐臺(tái)一模)如圖1-10-17，在△ABC中，AD是BC邊上的高線，BE⊥AC于點(diǎn)E， ∠BAD =∠CBE.求證：AB=AC. 圖1-10-17 【證明】 ∵ 在△ABC中，AD是BC邊上的高線，BE⊥AC于點(diǎn)E， ∴ ∠ADB＝∠BEC=90°. ∴ ∠ABD+∠BAD＝∠C+∠CBE=90°. 又∵ ∠BAD=∠CBE,∴ ∠ABD＝∠C. ∴ AB=AC. 2.(2016·懷柔一模)如圖1-10-18，在△ABC中，AB=4，AC=3，AD，AE分別是其角平分線和中線，過點(diǎn)C作CG⊥AD于F，交AB于G，連接EF，則線段EF的長(zhǎng)

6、為( ) 圖1-10-18 A. B.1 C. D.7 【答案】 A 3.(2016·懷柔一模)如圖1-10-19，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB邊的垂直平分線DE交BC于點(diǎn)E，垂足為D.求證：∠CAB=∠AED. 圖1-10-19 【證明】 ∵ DE是AB邊的垂直平分線, ∴ AE=BE,∠ADE=90°，∴ ∠EAB=∠B. 在Rt△ABC中，∠C=90°,∴ ∠CAB+∠B=90°. 在Rt△ADE中，∠ADE=90°, ∴ ∠AED+∠EAB=90°，∴ ∠CAB=∠AED. 4.(2016·門頭溝一模)如圖1-10-20

7、，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長(zhǎng)BC到E，使得CE=CD．求證：BD=DE． 圖1-10-20 【證明】 ∵ △ABC是等邊三角形，∴ ∠ABC=∠ACB=60°． ∵ BD平分∠ABC，∴ ∠DBC=∠ABC=30°． ∵ CE=CD，∴ ∠CDE=∠CED． 又∵ ∠ACB=60°，∠DCB=∠CDE+∠CED， ∴ ∠DEC=∠ACB=30°．∴ ∠DBC=∠DEC，∴ BD=DE． 5.(2016·平谷一模)如圖1-10-21，在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)D是BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，F(xiàn)D⊥BC于D，G是FC的中點(diǎn)，連接GD.求證：GD⊥DE.

8、 圖1-10-21 【證明】 如圖1-10-22. 圖1-10-22 ∵ AB=AC，∴ ∠B=∠C. ∵ DE⊥AB，F(xiàn)D⊥BC，∴ ∠BED=∠FDC=90°.∴ ∠1=∠3. ∵ G是直角三角形FDC的斜邊中點(diǎn)，∴ GD=GF.∴ ∠2=∠3.∴ ∠1=∠2. ∵ ∠FDC=∠2+∠4=90°，∴ ∠1+∠4=90°.∴ ∠2+∠FDE=90°.∴ GD⊥DE. 6.(2016·石景山一模)如圖1-10-23，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線，DE⊥AB于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．求證：∠AED=∠DCB． 圖1-10-

9、23 【證明】 ∵ 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的中線， ∴ CD=AB=DB，∴ ∠B=∠DCB． ∵ DE⊥AB于點(diǎn)D，∴ ∠A+∠AED=90°． ∵ ∠A+∠B=90°，∴ ∠B=∠AED．∴ ∠AED=∠DCB． 7.(2016·東城二模)如圖1-10-24，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，則∠ABD等于( ) 圖1-10-24 A．18° B.36° C．54° D．64° 【答案】 C 8.某等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為3 cm和6 cm，則它的周長(zhǎng)為( ) A.9 cm B.

10、12 cm C.15 cm D.12 cm或15 cm 【答案】 C 9.若等腰三角形中有一個(gè)角等于50°，則這個(gè)等腰三角形的頂角的度數(shù)為( ) A.50° B.80° C.65°或50° D.50°或80° 【答案】 D 10.已知：如圖1-10-25，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于F，過F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列結(jié)論：①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE=DB+CE；③AD+DE+AE=AB+AC；④BF=CF.正確的有( ) 圖1-10-25 A.1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

11、 【答案】 C 11.(2016·順義一模)我們把過三角形的一個(gè)頂點(diǎn)，且能將這個(gè)三角形分割成兩個(gè)等腰三角形的線段稱為該三角形的“等腰線段”． 例如：如圖1-10-26，在Rt△ABC中，取AB邊的中點(diǎn)D，線段CD就是△ABC的“等腰線段”． (1) 請(qǐng)分別畫出如圖1-10-27所示三角形的“等腰線段”； 圖1-10-26 圖1-10-27 (2)如圖1-10-28，在△EFG中，∠G=2∠F，若△EFG有“等腰線段”，請(qǐng)直接寫出∠F的取值． 圖1-10-28

12、【解】 (1)如圖1-10-29所示. 圖1-10-29 (2)36°和45°． 12.如圖1-10-30，在△ABC中，AC=BC，∠ACB＝90°，將線段CB繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)60°得到CB′， ∠ACB的平分線CD交直線AB′于點(diǎn)D，連接DB，在射線DB′上截取DM=DC． (1)在圖1-10-30①中證明：MB′=DB； (2)若AC=，分別在圖1-10-30①和②中，求出AB′的長(zhǎng)(直接寫出結(jié)果)． ① ② 圖1-10-30 (1)【證明】 如圖1-10-31，連接CM． 圖1-10-31 由旋轉(zhuǎn)可知：

13、CB′=CB，∠BCB′=60°． ∵ AC=BC，∠ACB＝90°， ∴ AC=CB′，∠ACB′＝150°．∴ ∠CAB′=∠CB′A=15°． ∵ CD平分∠ACB， ∴ ∠ACD=∠BCD=45°．∴ ∠CDM=∠ACD+∠CAD=60°． ∵ DM=DC，∴ △CDM是等邊三角形， ∴ CM=CD，∠DCM=60°． ∴ ∠B′CM=∠ACB′－∠ACD－∠DCM=45°． ∴ ∠B′CM=∠BCD． 在△CMB′和△CDB中， ∴ △CMB′≌△CDB(SAS)，∴ MB′=DB． (2)【解】 在圖1-10-30①中，AB′=3+，在圖1-10-30②中，AB′=3－． 真題演練 (2015·北京)如圖1-10-31，在△ABC中，AB=AC，AD是BC邊上的中線，BE⊥AC于點(diǎn)E.求證：∠CBE=∠BAD. 圖1-10-31 【證明】 ∵ AB=AC，∴ ∠ABC=∠C. 又∵ AD是BC邊上的中線，∴ AD⊥BC， ∴ ∠BAD+∠ABC=90°. ∵ BE⊥AC，∴ ∠CBE+∠C=90°，∴ ∠CBE=∠BAD. 8