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1、
類型六 等腰三角形中的輔助線
1. (2017重慶一中模擬)已知等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點G在BC上，連接AG，過C作CF⊥AG，垂足為點E，過點B作BF⊥CF于點F，點D是AB的中點，連接DE、DF.
(1)若∠CAG＝30°，EG＝1，求BG的長；
(2)求證：∠AED＝∠DFE.
第1題圖
2. (2017重慶南岸區(qū)一模)如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D是△ABC內一點，AD＝BD，且AD⊥BD，連接CD.過點C作CE⊥BC交AD的延長線于點E，連接BE.過點D作DF⊥CD交BC于點F
2、.
(1)若BD＝DE＝，CE＝，求BC的長；
(2)若BD＝DE，求證：BF＝CF.
第2題圖
答案
1. (1)解：∵∠ACB＝90°，CF⊥AG，∴∠CAG＝∠ECG＝30°，
∴CG＝2EG＝2. ∴AC＝＝2，
∴BC＝AC＝2，
∴BG＝BC－CG＝2－2.
(2)證明：如解圖，連接CD，則CD⊥AB，且CD＝BD，
∴∠ACD＝∠CBD＝45°.
在△ACE和△CBF中，，
∴△ACE≌△CBF(AAS),
∴CE＝BF，∠ACE＝∠CBF，
∵∠CBA＝∠ACD＝45°，
∴∠A
3、CE－∠ACD＝∠CBF－∠CBA，即∠DCE＝∠DBF，
在△DCE和△DBF中，，
∴△DCE≌△DBF(SAS)，
∴∠CED＝∠BFD,
∴∠CED－∠CEA＝∠BFD－∠CFB，即∠AED＝∠DFE.
第1題解圖
2. 解：(1)∵BD⊥AD，點E在AD的延長線上，
∴∠BDE＝90°，
∵BD＝DE＝，
∴BE＝＝，
∵BC⊥CE，
∴∠BCE＝90°，
∴BC＝＝＝
2；
(2)如解圖，連接AF，
第2題解圖
∵AD⊥BD，DF⊥CD，
∴∠BDE＝∠CDF＝90°，
∴∠BDF＝∠CDE，
∵CE⊥BC，
∴∠BCE＝90°，
∴∠DHC＝∠CED＋90°，
∠BHE＝∠DBC＋90°，
又∵∠DHC＝∠BHE，
∴∠DBC＝∠CED，
在△BDF和△EDC中，，
∴△BDF≌△EDC(ASA)，
∴DF＝CD，
∴∠CFD＝∠DCF＝45°，
∵∠ADB＝∠CDF，
∴∠ADB＋∠BDF＝∠CDF＋∠BDF，
∴∠ADF＝∠BDC，
在△ADF和△BDC中，
∴△ADF≌△BDC(SAS)，
∴∠AFD＝∠BCD，
∴∠AFD＝45°，
∴∠AFC＝∠AFD＋∠CFD＝90°，
∴AF⊥BC，
∵AB＝AC，
∴BF＝CF.
5
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