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1、
第一部分 考點研究
第四單元 三角形
第21課時 圖形的相似
浙江近9年中考真題精選
命題點 1 平行線分線段成比例(杭州2考,溫州2013.9)
1. (2017杭州3題3分)如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,DE∥BC.若BD=2AD,則( )
A. = B. =
C. = D. =
第1題圖
2. (2015嘉興5題4分)如圖,直線l1∥l2∥l3,直線AC分別交l1,l2,l3于點A,B,C;直線DF分別交l1,l2,l3于點D,E,F(xiàn),AC與DF相交于點H,且AH=2,HB=1,BC=5,則的值為( )
A. B. 2
2、 C. D.
第2題圖
3. (2015金華14題4分)如圖,直線l1,l2,…,l6是一組等距的平行線,過直線l1上的點A作兩條射線,分別與直線l3,l6相交于點B,C,E,F(xiàn).若BC=2,則EF的長是________.
第3題圖
命題點 2相似三角形的判定及性質(zhì)
類型一 A字型(杭州2考,臺州2013.9)
4. (2013臺州9題4分)如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,且==,則S△ADE∶S四邊形BCED的值為( )
A. 1∶ B. 1∶2 C. 1∶3 D. 1∶4
第4題圖
5. (2016舟山15題4分)如圖,
3、已知△ABC和△DEC的面積相等,點E在BC邊上,DE∥AB交AC于點F,AB=12,EF=9,則DF的長是________.
第5題圖
6. (2017杭州19題8分)如圖,在銳角三角形ABC中,點D,E分別在邊AC,AB上,AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,∠EAF=∠GAC.
(1)求證:△ADE∽△ABC;
(2)若AD=3,AB=5,求的值.
第6題圖
7. (2016杭州19題8分)如圖,在△ABC中,點D,E分別在邊AB,AC上,∠AED=∠B,射線AG分別交線段DE,BC于點F,G,且=.
(1)求證:△ADF∽△ACG;
(2)若 =,求的值.
4、
第7題圖
類型二 垂直型(紹興2013.23)
第8題圖
8. (2014麗水10題3分)如圖,AB=4,射線BM和AB互相垂直,點D是AB上的一個動點,點E在射線BM上,BE=DB,作EF⊥DE并截取EF=DE,連接AF并延長交射線BM于點C,設BE=x,BC=y(tǒng),則y關(guān)于x的函數(shù)解析式是( )
A. y=- B. y=-
C. y=- D. y=-
9. (2013紹興23題12分)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點D,點E為AB的中點,EC與AD交于點G,點F在BC上.
(1)如圖①,AC ∶AB=1∶2,EF⊥CB,求證:EF=CD;
(2)如
5、圖②,AC ∶AB=1∶,EF⊥CE,求EF ∶EG的值.
第9題圖
10. (2015麗水23題10分)如圖,在矩形ABCD中,E為CD的中點,F(xiàn)為BE上的一點,連接CF并延長交AB于點M,MN⊥CM交射線AD于點N.
(1)當F為BE中點時,求證:AM=CE;
(2)若==2,求的值;
(3)若==n,當n為何值時,MN∥BE?
第10題圖
命題點 3 相似三角形的應用(紹興2014.20)
11. (2015衢州9題3分)如圖,已知“人字梯”的5個踩檔把梯子等分成6份,從上往下的第二個踩檔與第三個踩檔的正中間處有一條60 cm長的綁繩EF,tanα=,則“人字梯
6、”的頂端離地面的高度AD是( )
A. 144 cm B. 180 cm C. 240 cm D. 360 cm
第11題圖
12. (2014紹興20題8分)課本中有一道作業(yè)題:
有一塊三角形余料ABC,它的邊BC=120 mm,高AD=80 mm,要把它加工成正方形零件,使正方形的一邊在BC上,其余兩個頂點分別在AB,AC上.問加工成的正方形零件的邊長是多少mm?
小穎解得此題的答案為48 mm,小穎善于反思,她又提出了如下問題:
(1)如果原題中要加工的零件是一個矩形,且此矩形是由兩個并排放置的正方形所組成,如圖②,此時,這個矩形零件的兩條邊長又分別為多少m
7、m?請你計算.
圖①
(2)如果原題中所要加工的零件只是一個矩形,如圖③這樣,此矩形零件的兩條邊長就不能確定,但這個矩形面積有最大值,求達到這個最大值時矩形零件的兩條邊長.
第12題圖
命題點 4相似多邊形(紹興2014.16)
13. (2014紹興16題5分)把標準紙一次又一次對開,可以得到均相似的“開紙”,現(xiàn)在我們在長為2,寬為1的矩形紙片中,畫兩個小矩形,使這兩個小矩形的每條邊都與原矩形紙的邊平行,或小矩形的邊在原矩形紙的邊上,且每個小矩形均與原矩形紙相似,然后將它們剪下,則所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是________.
8、 答案
1.B 【解析】∵DE∥BC,BD=2AD,∴==,===.
2.D 【解析】∵l1∥l2∥l3,∴===.
3.5 【解析】∵直線l1,l2,…,l6是一組等距的平行線,∴可設AB=2d,則AE=5d,∵BC∥EF,∴==,又∵BC=2,∴EF=5.
4.C 【解析】在△ADE與△ACB中,=,∠A=∠A,∴△ADE∽△ACB,∴S△ADE∶S△ACB=(AE∶AB)2=1∶4,∴S△ADE∶S四邊形BCED=1∶3.
5.7 【解析】∵△ABC與△DEC的面積相等,∴△CDF與四邊形AFEB的面積相等,∵AB∥DE,∴△CEF∽△CBA,∵EF=9
9、,AB=12,∴==,∴=.設△CEF的面積為9k,則四邊形AFEB的面積為7k,∵△CDF與四邊形AFEB的面積相等,∴S△CDF=7k,∵△CDF與△CEF是同高不同底的三角形,∴它們的面積比等于底之比,∴==,∴DF=7.
6.(1)證明:在△ABC中,∵AG⊥BC于點G,AF⊥DE于點F,
∴∠AFE=∠AGC=90°,
在△AEF和△ACG中,
∵∠AFE=∠AGC,∠EAF=∠GAC,
∴△AEF∽△ACG,
∴∠AEF=∠C.(2分)
在△ADE和△ABC中,
∵∠AED=∠C,∠EAD=∠CAB,
∴△ADE∽△ABC;(4分)
(2)解:由(1)知△ADE
10、∽△ABC,
∴==,(6分)
又∵△AEF∽△ACG,∴==.(8分)
7.(1)證明:∵∠AED=∠B,∠DAE=∠DAE,
∴∠ADF=∠C,
又∵=,
∴△ADF∽△ACG;(4分)
(2)解:∵△ADF∽△ACG,
∴=,
又∵=,
∴=,
∴=1.(8分)
8.A 【解析】如解圖,過點F作FG⊥BC于點G,∴∠FGE=90°,∵∠DEB+∠FEC=90°,∠DEB+∠BDE=90°,∴∠BDE=∠FEG,又∵∠B=90°,∴∠B=∠FGE=90°,又∵EF=DE,∴△DBE≌△EGF,∴EG=DB,GF=BE=x,∵BE=DB,∴EG=DB=2BE=2x,∴
11、GC=y(tǒng)-3x,∵FG⊥BC,AB⊥BC,∴FG∥AB,∴△FCG∽△ACB,∴=,即=,解得y=-,故選A.
第8題解圖
9.(1)證明:在△ABC中,∵∠CAB=90°,AD⊥BC于點D,
∴∠CAD=∠B=90°-∠ACB,
∵AC∶AB=1∶2,
∴AB=2AC,
∵點E為AB的中點,
∴AB=2BE,
∴AC=BE.
在△ACD與△BEF中,
,
∴△ACD≌△BEF(AAS),
∴EF=CD;(6分)
(2)解:如解圖,作EH⊥AD于點H,EQ⊥BC于點Q,
∵EH⊥AD,EQ⊥BC,AD⊥BC,
∴四邊形EQDH是矩形,
∴∠QEH=90°,
12、
∴∠FEQ=∠GEH=90°-∠QEG,
又∵∠EQF=∠EHG=90°,
∴△EFQ∽△EGH,
∴=,
∵AC∶AB=1∶,∠CAB=90°,
∴∠B=30°,
在Rt△BEQ中,∵∠BQE=90°,
∴sinB==,
∴EQ=BE,
在Rt△AEH中,∵∠AHE=90°,∠AEH=∠B=30°,
∴cos∠AEH==,
∴EH=AE,
∵點E為AB的中點,
∴BE=AE,
∴EF∶EG=EQ∶EH=BE∶AE=1∶.(12分)
第9題解圖
10.(1)證明:∵在矩形ABCD中, AB∥CD,
∴∠CEF=∠MBF,
∵F為BE中點,
∴BF=E
13、F,
在△CEF與△MBF中,
,
∴△CEF≌△MBF(ASA),
∴CE=MB,
又∵E為CD的中點,
∴CE=,
∴MB==,
即M為AB的中點,AM=MB,
∴AM=CE;(3分)
(2)解:∵AB∥CD,
∴△ECF∽△BMF,
∴=,
∵=2,
∴EC=2BM,
設BM=k,則EC=2k,DC=4k,BC=AD=2k,AM=3k,
∵∠A=∠ABC=90°,
∴∠CMB+∠BCM=90°,
∵MN⊥CM,
∴∠CMB+∠AMN=90°,
∴∠AMN=∠BCM,
∴△BMC∽△ANM,
∴=,即=,
∴AN=,
∴ND=AD-AN=,
14、
∴=3;(6分)
(3)解:由(2)得=,=,設BM=k,根據(jù)==n得EC=nk,DC=2nk,BC=2k,AM=2nk-k,
∴=,即AN=,
若MN∥BE,則∠AMN=∠ABE=∠BEC,
∵∠A=∠BCD=90°,
∴△AMN∽△CEB,
∴=,即 =,
∵AM=2nk-k>0,
∴n=4.(10分)
11.B 【解析】由題意知==,又∵EF=60 cm,∴BC=144 cm,∴CD=BC=72 cm,∵tanα==,∴AD=180 cm.
12.解:(1)設矩形的邊長PN=2y mm,則PQ=y(tǒng) mm,由條件可得△APN∽△ABC,
∴=,
即=,
解得y=
15、,
∴PN=×2=mm.
答:這個矩形零件的兩條邊長分別為 mm, mm;(4分)
(2)設PN=x mm,矩形PQMN的面積為S mm2,
由條件可得△APN∽△ABC,
∴=,
即=,
解得PQ=80-x,
∴S=PN·PQ=x(80-x)=-x2+80x=-(x-60)2+2400,
∵-<0,
∴S存在最大值,最大值為2400 mm2,此時PN=60 mm,PQ=80-×60=40 mm.
答:這個矩形面積達到最大值時,矩形零件的兩條邊長分別為40 mm,60 mm.(8分)
13.4+ 【解析】要使所剪得的兩個小矩形紙片周長之和最大,則這兩個小矩形紙片長與寬的和最大,∵原矩形的長與寬之比為2∶1,∴剪得的兩個小矩形中,一個矩形的長為1,寬為=,∴另外一個矩形的長為2-=,寬為=,∴所剪得的兩個小矩形紙片周長之和的最大值是2(1+++)=4+.
13