重慶市2018年中考數(shù)學一輪復習 第四章 三角形 數(shù)學文化講堂（四）練習

數(shù)學文化講堂(四)一 海倫秦九韶公式古希臘的幾何學家海倫，約公元50年，在數(shù)學史上以解決幾何測量問題而聞名在他的著作度量一書中，給出了如下公式：若一個三角形的三邊分別為a，b，c，記p(abc)，那么三角形的面積為：SABC(海倫公式)我國南宋時期數(shù)學家秦九韶(約1202約1261)，曾提出利用三角形的三邊求面積的秦九韶公式：SABC.海倫公式和秦九韶公式實質上是同一個公式，所以我們一般也稱此公式為海倫秦九韶公式(人教八下P16，北師八上P51)1. 若ABC的三邊長為5，6，7，DEF的三邊長為，請利用上面的兩個公式分別求出ABC和DEF的面積2. 如圖，在ABC中，BC5，AC6，AB9，求ABC的內切圓半徑第2題圖二 趙爽弦圖趙爽，三國吳人，是三國到南宋時期三百多年間中國杰出的數(shù)學家之一他在注解周髀算經中給出的“趙爽弦圖”證明了勾股定理的準確性，如圖所示，四個全等的直角三角形可以圍成一個大的正方形，中間空的是一個小正方形通過對這個圖形的切割、拼接、巧妙地利用面積關系證明了勾股定理證明方法如下：設直角三角形的三邊中較短的直角邊為a，另一直角邊為b，斜邊為c，朱實面積2ab，黃實面積(ba)2b22aba2，朱實面積黃實面積a2b2大正方形面積c2.(人教八下P30，北師八下P16)3. 如圖，“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形構成的大正方形，若直角三角形的兩邊長分別為3和5，則小正方形的面積為_ 第3題圖 第4題圖4. 如圖是“趙爽弦圖”，ABH、BCG、CDF和DAE是四個全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB10，EF2，那么AH等于_三 泰勒斯全等泰勒斯，公元前7至6世紀的古希臘時期的思想家、科學家、哲學家，希臘最早的哲學學派米利都學派(也稱愛奧尼亞學派)的創(chuàng)始人泰勒斯是古希臘及西方第一個有記載有名字留下來的自然科學家和哲學家5. 相傳泰勒斯利用三角形全等的方法求出岸上一點到海中一艘船的距離如圖，B是觀察點，船A在B的正前方，過點B作AB的垂線，在垂線上截取任意長BD，C是BD的中點，觀察者從點D沿垂直于BD的DE方向走，直到點E、船A和點C在一條直線上，那么ABCEDC，從而量出DE的距離即為船離岸的距離AB，這里判定ABCEDC的方法是()第5題圖A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS四 海島算經海島算經是中國最早的一部測量數(shù)學專著，也是中國古代高度發(fā)達的地圖學的數(shù)學基礎由劉徽于三國魏景元四年所撰，海島算經共九問，都是用表尺重復從不同位置測望，取測量所得的差數(shù)，進行計算從而求得山高或谷深(北師九上P104)6. 該書中提出九個測量問題，其中一個為：有望深谷，偃矩岸上，令勾高六尺從勾端望谷底，入下股九尺一寸又設重矩于上，其矩間相去三丈更從勾端望谷底，入上股八尺五寸問谷深幾何？題目的大意是：測量一個山谷AE的深度，拿一個高AB為6尺的矩尺ABD放在岸上，從B端看谷底EG(D在BG上)，下股AD為9尺1寸，向上平移矩尺3丈，現(xiàn)從B端看谷底EG，上股AD為8尺5寸，試求谷深AE.(一丈10尺100寸)第6題圖7. 某校王老師根據(jù)海島算經中的問題，編了這樣一道題：如圖，甲、乙兩船同時由港口A出發(fā)開往海島B，甲船沿北偏東60°方向向海島B航行，其速度為15海里/小時；乙船速度為20海里/小時，先沿正東方向航行1小時后，到達C港口接旅客，在C港口停留0.5小時后再沿東北方向開往B島，B島建有一座燈塔，在燈塔方圓5海里內都可以看見燈塔，問甲、乙兩船哪一艘先看到燈塔，兩船看到燈塔的時間相差多少？(精確到分鐘，1.73，1.41)第7題圖答案1. 解： 當ABC的三邊長為5，6，7時，則p×(567)9，SABC6，當DEF的三邊長為，時，SDEF.2. 解：由題意得p×(569)10，則S10.Sr(ACBCAB)，10r(569)，解得r，故ABC的內切圓半徑為.3. 1或4【解析】分兩種情況：5為斜邊時，由勾股定理得，另一直角邊長4，小正方形的邊長431，小正方形的面積121；3和5為兩條直角邊長時，小正方形的邊長532，小正方形的面積224；綜上所述，小正方形的面積為1或4.4. 6【解析】設AHx，則AEx2，由四個全等的直角三角形可得DEAHx，在RtDAE中，由勾股定理得：AD2AE2DE2，即102(x2)2x2，解得x6或x8(舍去)5. B6. 解：ADEG，BADBEG，ADEG，BADBEG，9.1(6AE)8.5(36AE)，解得AE419(尺)，谷深AE為41丈9尺7. 解：如解圖，過點B作BDAC，交AC的延長線于點D，設BDx，在RtBCD中，第7題解圖BCD45°，BCx，在RtABD中，ABD60°，ADBD·tan60°x，AB2x，AC20×120(海里)，ACCDAD，20x x，解得x10(1)海里，AB2x20(1)海里，BCx10(1)海里，t甲(AB5)÷15×60(20205)÷15×60198.4(分鐘)，t乙(ACBC5)÷20×600.5×602010(1)5÷20×6030190.5(分鐘)t甲>t乙，t甲t乙8(分鐘)，乙船先看到燈塔，兩艘船看到燈塔的時間相差約8分鐘6