浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第37講 方案設(shè)計(jì)型問題講解篇

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1、 第37講　方案設(shè)計(jì)型問題 內(nèi)容 特性 方案設(shè)計(jì)型問題是指運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)建模的方法，按題目所呈現(xiàn)的要求進(jìn)行計(jì)算、論證、選擇、判斷、設(shè)計(jì)的一種數(shù)學(xué)試題．方案設(shè)計(jì)涉及問題的多解性，以函數(shù)、方程等思想的指導(dǎo)，利用最優(yōu)化方法解決問題. 解題 策略 建立數(shù)學(xué)模型，如方程模型、不等式模型、函數(shù)模型和幾何模型等，依據(jù)所建立的數(shù)學(xué)模型求解，從而設(shè)計(jì)方案. 基本 思想 運(yùn)用方程思想、函數(shù)思想和數(shù)形結(jié)合解決方程或不等式方案設(shè)計(jì)問題，函數(shù)方案設(shè)計(jì)問題，幾何方案設(shè)計(jì)問題. 類型一　利用計(jì)算和判斷比較的方案設(shè)計(jì) 　某學(xué)校舉行演講比賽，選出了10名同學(xué)擔(dān)任評(píng)委，并事先

2、擬定從如下4個(gè)方案中選擇合理的方案來確定每個(gè)演講者的最后得分(滿分為10分)： 方案1：所有評(píng)委所給分的平均數(shù)； 方案2：在所有評(píng)委所給分中，去掉一個(gè)最高分和一個(gè)最低分，然后再計(jì)算其余所給分的平均數(shù)； 方案3：所有評(píng)委所給分的中位數(shù)； 方案4：所有評(píng)委所給分的眾數(shù)． 為了探究上述方案的合理性，先對(duì)某個(gè)同學(xué)的演講成績(jī)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)實(shí)驗(yàn)．下面是這個(gè)同學(xué)的得分統(tǒng)計(jì)圖： (1)分別按上述4個(gè)方案計(jì)算這個(gè)同學(xué)演講的最后得分； (2)根據(jù)(1)中的結(jié)果，請(qǐng)用統(tǒng)計(jì)的知識(shí)說明哪些方案不適合作為這個(gè)同學(xué)演講的最后得分． 【解后感悟】通過計(jì)算得出各個(gè)方案的數(shù)值，逐一比較；學(xué)會(huì)選用適

3、當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)量分析問題． 1．一家特色煎餅店提供厚度相同、直徑不同的兩種煎餅，甲種煎餅直徑20厘米賣價(jià)10元，乙種煎餅直徑30厘米賣價(jià)15元，請(qǐng)問：買哪種煎餅劃算？(　　　　　　　　) A．甲 B．乙 C．一樣 D．無法確定 類型二　利用方程(組)的方案設(shè)計(jì) 　某乳制品廠現(xiàn)有鮮牛奶10噸，若直接銷售，每噸可獲利500元；若制成酸奶銷售，每噸可獲利1200元；若制成奶粉銷售，每噸可獲利2000元．該工廠的生產(chǎn)能力是：若制成酸奶，每天可加工鮮牛奶3噸；若制成奶粉，每天可加工鮮牛奶1噸(兩種加工方式不能同時(shí)進(jìn)行)．

4、受氣溫條件限制，這批鮮牛奶必須在4天內(nèi)全部銷售或加工完成．為此該廠設(shè)計(jì)了以下兩種可行方案： 方案一：4天時(shí)間全部用來生產(chǎn)奶粉，其余直接銷售鮮奶； 方案二：將一部分制成奶粉，其余制成酸奶，并恰好4天完成． 你認(rèn)為哪種方案獲利最多，為什么？ 【解后感悟】本題是一元一次方程的應(yīng)用，注意仔細(xì)理解兩種方案的內(nèi)容，在求解方案二的獲利時(shí)，要設(shè)出未知數(shù)，利用方程思想求解． 2．某班組織班團(tuán)活動(dòng)，班委會(huì)準(zhǔn)備用15元錢全部用來購(gòu)買筆記本和中性筆兩種獎(jiǎng)品，已知筆記本2元/本，中性筆1元/支，且每種獎(jiǎng)品至少買1件． (1)若設(shè)購(gòu)買筆記本x本，中性筆y支，寫出y與x之間的關(guān)系式；

5、(2)有多少種購(gòu)買方案？請(qǐng)列舉所有可能的結(jié)果； (3)從上述方案中任選一種方案購(gòu)買，求買到的中性筆與筆記本數(shù)量相等的概率． 　　　　　　　　 類型三　利用不等式的方案設(shè)計(jì) 　(2016·資陽)某大型企業(yè)為了保護(hù)環(huán)境，準(zhǔn)備購(gòu)買A、B兩種型號(hào)的污水處理設(shè)備共8臺(tái)，用于同時(shí)治理不同成分的污水，若購(gòu)買A型2臺(tái)、B型3臺(tái)需54萬元，購(gòu)買A型4臺(tái)、B型2臺(tái)需68萬元． (1)求出A型、B型污水處理設(shè)備的單價(jià)； (2)經(jīng)核實(shí)，一臺(tái)A型設(shè)備一個(gè)月可處理污水220噸，一臺(tái)B型設(shè)備一個(gè)月可處理污水190噸，如果該企業(yè)每月的污水處理量不低于1565噸，請(qǐng)你為該企業(yè)設(shè)計(jì)一種最省錢的購(gòu)買方案．

6、 　　　　　　 【解后感悟】此題是一元一次不等式的應(yīng)用，根據(jù)已知得出不等式求出所有方案是解題關(guān)鍵． 3．(2017·紹興模擬)某電器超市銷售每臺(tái)進(jìn)價(jià)分別為200元、170元的A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇，下表是近兩周的銷售情況： 銷售時(shí)段 銷售數(shù)量 銷售收入 A種型號(hào) B種型號(hào) 第一周 3臺(tái) 5臺(tái) 1800元 第二周 4臺(tái) 10臺(tái) 3100元 (進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤(rùn)＝銷售收入－進(jìn)貨成本) (1)求A、B兩種型號(hào)的電風(fēng)扇的銷售單價(jià)； (2)若超市準(zhǔn)備用不多于5400元的金額再采購(gòu)這兩種型號(hào)的電風(fēng)扇共30臺(tái)，求A種型號(hào)的電風(fēng)扇最多能采購(gòu)多少臺(tái)？ (

7、3)在(2)的條件下，超市銷售完這30臺(tái)電風(fēng)扇能否實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)為1400元的目標(biāo)？若能，請(qǐng)給出相應(yīng)的采購(gòu)方案；若不能，請(qǐng)說明理由． 　　　　　　 類型四　利用函數(shù)的方案設(shè)計(jì) 　某商場(chǎng)要經(jīng)營(yíng)一種新上市的文具，進(jìn)價(jià)為20元，試營(yíng)銷階段發(fā)現(xiàn)：當(dāng)銷售單價(jià)是25元時(shí)，每天的銷售量為250件，銷售單價(jià)每上漲1元，每天的銷售量就減少10件． (1)寫出商場(chǎng)銷售這種文具，每天所得的銷售利潤(rùn)w(元)與銷售單價(jià)x(元)之間的函數(shù)關(guān)系式； (2)求銷售單價(jià)為多少元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大； (3)商場(chǎng)的營(yíng)銷部結(jié)合上述情況，提出了A、B兩種營(yíng)銷方案 方案A：該文具的銷售單價(jià)高于進(jìn)價(jià)且不超過3

8、0元； 方案B：每天銷售量不少于10件，且每件文具的利潤(rùn)至少為25元． 請(qǐng)比較哪種方案的最大利潤(rùn)更高，并說明理由． 【解后感悟】本題是二次函數(shù)的應(yīng)用，最大銷售利潤(rùn)的問題常利用函數(shù)的增減性來解答，我們首先要吃透題意，確定變量，建立函數(shù)模型，然后結(jié)合實(shí)際選擇最優(yōu)方案．其中要注意應(yīng)該在自變量的取值范圍內(nèi)求最大值(或最小值)，也就是說二次函數(shù)的最值不一定在x＝－時(shí)取得． 4．(2017·衢州)“五·一”期間，小明一家乘坐高鐵前往某市旅游，計(jì)劃第二天租用新能源汽車自駕出游． 根據(jù)以上信息，解答下列問題： (1)設(shè)租車時(shí)間為x小時(shí)，租用甲公司的車所需費(fèi)用為y1元，租用乙公司的車所需費(fèi)用為y

9、2元，分別求出y1，y2關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式； (2)請(qǐng)你幫助小明計(jì)算并選擇哪個(gè)出游方案合算． 　　　　　　 　　 5．(2015·瀘州)某小區(qū)為了綠化環(huán)境，計(jì)劃分兩次購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草，第一次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草30棵和15棵，共花費(fèi)675元；第二次分別購(gòu)進(jìn)A、B兩種花草12棵和5棵．兩次共花費(fèi)940元(兩次購(gòu)進(jìn)的A、B兩種花草價(jià)格均分別相同)． (1)A、B兩種花草每棵的價(jià)格分別是多少元？ (2)若購(gòu)買A、B兩種花草共31棵，且B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍，請(qǐng)你給出一種費(fèi)用最省的方案，并求出該方案所需費(fèi)用． 　　　　　　　　 類型五　利用圖形的

10、方案設(shè)計(jì) 　某校數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組準(zhǔn)備做測(cè)量旗桿的數(shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)，來到旗桿下，發(fā)現(xiàn)旗桿AB頂端A垂下一段繩子ABC如圖．經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)，原來制定的一系列測(cè)量方案，在此都不需要．如今只借助垂下的繩子和一根皮尺，在不攀爬旗桿的情況下，測(cè)量相關(guān)數(shù)據(jù)，就可以計(jì)算出旗桿的高度． (1)請(qǐng)你給出具體的測(cè)量方案，并寫出推算旗桿高度的過程； (2)推測(cè)這個(gè)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組原來制定的一系列測(cè)量旗桿的方案是什么？ 【解后感悟】關(guān)于物體的測(cè)量是一個(gè)實(shí)際問題，因此必須考慮實(shí)際環(huán)境，結(jié)合實(shí)際環(huán)境，充分運(yùn)用所學(xué)知識(shí)制定方案，制定方案時(shí)要遵循可操作性強(qiáng)、簡(jiǎn)單易行原則．第2個(gè)問題的測(cè)量方案還可有其他的，有

11、興趣的同學(xué)可自行進(jìn)一步探討．對(duì)于以上2種測(cè)量方案的相關(guān)計(jì)算方法，請(qǐng)同學(xué)們自己給出． 6．(2017·鎮(zhèn)江模擬)在棋盤中建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，三顆棋子A，O，B的位置如圖，它們的坐標(biāo)分別是(－1，1)，(0，0)，(1，0)． (1)如圖2，添加棋子C，使四顆棋子A，O，B，C成為一個(gè)軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)?jiān)趫D中畫出該圖形的對(duì)稱軸； (2)在其他格點(diǎn)位置添加一顆棋子P，使四顆棋子A，O，B，P成為軸對(duì)稱圖形，請(qǐng)直接寫出棋子P的位置的坐標(biāo)．(寫出2個(gè)即可) 7．(2016·海陵模擬)某園藝公司對(duì)一塊直角三角形的花圃進(jìn)行改造，測(cè)得兩直角邊長(zhǎng)分別為6m、8m.現(xiàn)要將其擴(kuò)

12、建成等腰三角形，且擴(kuò)充部分是以8m為直角邊長(zhǎng)的直角三角形．請(qǐng)你設(shè)計(jì)出所有合適的方案，畫出草圖，并求出擴(kuò)建后的等腰三角形花圃的面積． 【探索研究題】 要在一塊長(zhǎng)52m，寬48m的矩形綠地上，修建同樣寬的兩條互相垂直的甬路．下面分別是小亮和小穎的設(shè)計(jì)方案． (1)求小亮設(shè)計(jì)方案中甬路的寬度x； (2)求小穎設(shè)計(jì)方案中四塊綠地的總面積(小穎設(shè)計(jì)方案中的x與小亮設(shè)計(jì)方案中的x取值相同)． 【方法與對(duì)策】本題是一元二次方程的應(yīng)用，特別是圖形的面積問題更是近幾年中考中考查一元二次方程的應(yīng)用的主要題型．該題型是實(shí)際應(yīng)用和圖形變換相結(jié)合，是中考命題的方式之

13、一． 【忽視變量前系數(shù)，導(dǎo)致解答不全而出錯(cuò)】 為了迎接“五·一”小長(zhǎng)假的購(gòu)物高峰，某運(yùn)動(dòng)品牌服裝專賣店準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝，甲種服裝每件進(jìn)價(jià)180元，售價(jià)320元；乙種服裝每件進(jìn)價(jià)150元，售價(jià)280元． (1)若該專賣店同時(shí)購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝共200件，恰好用去32400元，求購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝各多少件？ (2)該專賣店為使甲、乙兩種服裝共200件的總利潤(rùn)(利潤(rùn)＝售價(jià)－進(jìn)價(jià))不少于26700元，且購(gòu)進(jìn)甲服裝不超過80件，則該專賣店有幾種進(jìn)貨方案？ (3)在(2)的條件下，專賣店準(zhǔn)備在5月1日當(dāng)天對(duì)甲種服裝進(jìn)行優(yōu)惠促銷活動(dòng)，決定對(duì)甲種服裝每件優(yōu)惠a(0＜a＜20)元出售，乙種服

14、裝價(jià)格不變，那么該專賣店要獲得最大利潤(rùn)應(yīng)如何進(jìn)貨？ 參考答案 第37講　方案設(shè)計(jì)型問題 【例題精析】 例1　(1)方案1最后得分：×(3.2＋7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4＋9.8)＝7.7；方案2最后得分：×(7.0＋7.8＋3×8＋3×8.4)＝8；方案3最后得分：8；方案4最后得分：8或8.4. (2)因?yàn)榉桨?中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水平”，所以方案1不適合作為最后得分的方案；又因?yàn)榉桨?中的眾數(shù)有兩個(gè)，從而使眾數(shù)失去了實(shí)際意義，所以方案4不適合作為最后得分

15、的方案． 例2　方案一獲利：4×2000＋6×500＝11000(元)．方案二：設(shè)制奶粉x天，則1×x＋(4－x)×3＝10，解得x＝1天．故1×1×2000＋3×3×1200＝12800(元)．故方案二獲利最多． 　例3　(1)設(shè)A型污水處理設(shè)備的單價(jià)為x萬元，B型污水處理設(shè)備的單價(jià)為y萬元，根據(jù)題意可得：，解得：.答：A型污水處理設(shè)備的單價(jià)為12萬元，B型污水處理設(shè)備的單價(jià)為10萬元； (2)設(shè)購(gòu)進(jìn)a臺(tái)A型污水處理器，根據(jù)題意可得：220a＋190(8－a)≥1565，解得：a≥1.5，∵A型污水處理設(shè)備單價(jià)比B型污水處理設(shè)備單價(jià)高，∴A型污水處理設(shè)備買越少，越省錢，∴購(gòu)進(jìn)2臺(tái)A型污

16、水處理設(shè)備，購(gòu)進(jìn)6臺(tái)B型污水處理設(shè)備最省錢．　 例4　(1)w＝(x－20)(250－10x＋250)＝－10x2＋700x－10000；　(2)w＝－10x2＋700x－10000＝－10(x－35)2＋2250所以，當(dāng)x＝35時(shí)，w有最大值2250，即銷售單價(jià)為35元時(shí)，該文具每天的銷售利潤(rùn)最大；(3)方案A：由題可得20＜x≤30，因?yàn)閍＝－10＜0，對(duì)稱軸為x＝35，拋物線開口向下，在對(duì)稱軸左側(cè)，w隨x的增大而增大，所以，當(dāng)x＝30時(shí)，w取最大值為2000元，方案B：由題意得解得：45≤x≤49，在對(duì)稱軸右側(cè)，w隨x的增大而減小，所以，當(dāng)x＝45時(shí)，w取最大值為1250元，因?yàn)?00

17、0元＞1250元，所以選擇方案A.　 例5　(1)測(cè)量方案設(shè)計(jì)如下：①測(cè)量繩子比旗桿多出的部分BC＝am；②把繩子ABC拉緊到地面D處如圖1，測(cè)量B到D的距離BD＝bm.推算過程：設(shè)旗桿的高度為xm，則AD是(x＋a)m.在直角△ABD中，根據(jù)AB2＋BD2＝AD2得x2＋b2＝(x＋a)2，x2＋b2＝x2＋a2＋2ax，解得x＝. (2)這個(gè)數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)小組原來制定的測(cè)量旗桿的方案可能有以下幾個(gè)： 【變式拓展】 1． B　 2. (1)根據(jù)題意得：2x＋y＝15，∴y與x之間的關(guān)系式為y＝15－2x. (2)購(gòu)買方案：x＝1，y＝13；x＝2，y＝11；x＝3，y＝9

18、；x＝4，y＝7；x＝5，y＝5；x＝6，y＝3，x＝7，y＝1，∴共有7種購(gòu)買方案． (3)∵買到的中性筆與筆記本數(shù)量相等的只有1種情況，∴買到的中性筆與筆記本數(shù)量相等的概率為：.　3.(1)設(shè)A、B兩種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為x元、y元，得：解得：答：A、B兩種型號(hào)電風(fēng)扇的銷售單價(jià)分別為250元、210元； (2)設(shè)采購(gòu)A種型號(hào)電風(fēng)扇a臺(tái)，依題意得：200a＋170(30－a)≤5400，得：a≤10.答：超市最多采購(gòu)A種型號(hào)電風(fēng)扇10臺(tái)時(shí)，采購(gòu)金額不多于5400元；(3)依題意有：(250－200)a＋(210－170)(30－a)＝1400，解得：a＝20，∵a＞10，∴在(2)

19、的條件下超市不能實(shí)現(xiàn)利潤(rùn)1400元的目標(biāo)．　 4. (1)設(shè)y1＝k1x＋80，把點(diǎn)(1，95)代入，可得95＝k1＋80，解得k1＝15，∴y1＝15x＋80(x≥0)；設(shè)y2＝k2x，把(1，30)代入，可得30＝k2，即k2＝30，∴y2＝30x(x≥0)； (2)當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，15x＋80＝30x，解得x＝；當(dāng)y1＞y2時(shí)，15x＋80＞30x，解得x＜；當(dāng)y1＜y2時(shí)，15x＋80＜30x，解得x＞；∴當(dāng)租車時(shí)間為小時(shí)，選擇甲乙公司一樣合算；當(dāng)租車時(shí)間小于小時(shí)，選擇乙公司合算；當(dāng)租車時(shí)間大于小時(shí)，選擇甲公司合算．　 5. (1)設(shè)A種花草每棵的價(jià)格x元，B種花草每棵的價(jià)格y元

20、，根據(jù)題意得：，解得：，∴A種花草每棵的價(jià)格是20元，B種花草每棵的價(jià)格是5元． (2)設(shè)A種花草的數(shù)量為m株，則B種花草的數(shù)量為(31－m)株，∵B種花草的數(shù)量少于A種花草的數(shù)量的2倍，∴31－m＜2m，解得：m＞，∵m是正整數(shù)，∴m最小值＝11，設(shè)購(gòu)買樹苗總費(fèi)用為W＝20m＋5(31－m)＝15m＋155，∵k＞0，∴W隨m的減小而減小，當(dāng)m＝11時(shí)，W最小值＝15×11＋155＝320(元)．答：購(gòu)進(jìn)A種花草的數(shù)量為11株、B種20株，費(fèi)用最省；最省費(fèi)用是320元．　 6.(1)如圖，答案不唯一；　(2)(2，1)，(0，－1)． 7．如圖1所示：S△ABD＝×8×12＝48(

21、m2)；如圖2所示：S△ABD＝×8×10＝40(m2)；如圖3所示：在Rt△ACD中，AC2＋DC2＝AD2，即82＋x2＝(x＋6)2，解得：x＝，故S△ABD＝×8×＝(m2)． 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】(1)根據(jù)小亮的方案表示出矩形的長(zhǎng)和寬，利用矩形的面積公式列出方程求解即可．根據(jù)小亮的設(shè)計(jì)方案列方程得：(52－x)(48－x)＝2300，解得：x＝2或x＝98(舍去)，∴小亮設(shè)計(jì)方案中甬道的寬度為2m； (2)求得甬道的寬后利用平行四邊形的面積計(jì)算方法求得兩個(gè)陰影部分面積的和即可．作AI⊥CD，HJ⊥EF，垂足分別為I，J，∵AB∥CD，∠1＝60°，∴∠ADI＝60°，

22、∵BC∥AD，∴四邊形ADCB為平行四邊形，∴BC＝AD，由(1)得x＝2，∴BC＝HE＝2＝AD，在Rt△ADI中，AI＝2sin60°＝.∴小穎設(shè)計(jì)方案中四塊綠地的總面積為52×48－52×2－48×2＋()2＝2299平方米． 【錯(cuò)誤警示】(1)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種服裝x件，則乙種服裝是(200－x)件，根據(jù)題意得：180x＋150(200－x)＝32400，解得：x＝80，200－x＝200－80＝120(件)，則購(gòu)進(jìn)甲、乙兩種服裝分別為80件、120件； (2)設(shè)購(gòu)進(jìn)甲種服裝y件，則乙種服裝是(200－y)件，根據(jù)題意得：(320－180)y＋(280－150)(200－y)≥26700，解得：y≥70，而y≤80，∴70≤y≤80，又∵y是正整數(shù)，∴共有11種方案； (3)設(shè)總利潤(rùn)為W元，W＝(140－a)y＋130(200－y)，即w＝(10－a)y＋26000.①當(dāng)0＜a＜10時(shí)，10－a＞0，W隨y增大而增大，∴當(dāng)y＝80時(shí)，W有最大值，即此時(shí)購(gòu)進(jìn)甲種服裝80件，乙種服裝120件；②當(dāng)a＝10時(shí)，(2)中所有方案獲利相同，所以按哪種方案進(jìn)貨都可以；③當(dāng)10＜a＜20時(shí)，10－a＜0，W隨y增大而減?。?dāng)y＝70時(shí)，W有最大值，即此時(shí)購(gòu)進(jìn)甲種服裝70件，乙種服裝130件． 11