（河南專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 圖形的認(rèn)識(shí) 4.2 三角形及其全等（試卷部分）課件.ppt

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第四章圖形的認(rèn)識(shí) 4 2三角形及其全等 中考數(shù)學(xué) 河南專用 2016河南 22 10分 1 發(fā)現(xiàn)如圖1 點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn) 且BC a AB b 填空 當(dāng)點(diǎn)A位于時(shí) 線段AC的長(zhǎng)取得最大值 且最大值為 用含a b的式子表示 圖1 2 應(yīng)用點(diǎn)A為線段BC外一動(dòng)點(diǎn) 且BC 3 AB 1 如圖2所示 分別以AB AC為邊 作等邊三角形ABD和等 五年中考 A組2014 2018年河南中考題組 五年中考 邊三角形ACE 連接CD BE 請(qǐng)找出圖中與BE相等的線段 并說明理由 直接寫出線段BE長(zhǎng)的最大值 圖2 3 拓展如圖3 在平面直角坐標(biāo)系中 點(diǎn)A的坐標(biāo)為 2 0 點(diǎn)B的坐標(biāo)為 5 0 點(diǎn)P為線段AB外一動(dòng)點(diǎn) 且PA 2 PM PB BPM 90 請(qǐng)直接寫出線段AM長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo) 解析 1 CB延長(zhǎng)線上 a b 2分 2 DC BE 理由如下 ABD和 ACE為等邊三角形 AD AB AC AE BAD CAE 60 BAD BAC CAE BAC 即 CAD EAB 5分 CAD EAB DC BE 6分 BE長(zhǎng)的最大值是4 8分 3 AM的最大值為3 2 點(diǎn)P的坐標(biāo)為 2 10分 提示 如圖a 構(gòu)造 BNP MAP 則NB AM 由 1 知 當(dāng)點(diǎn)N在BA的延長(zhǎng)線上時(shí) NB取得最大值 如圖b 易得AN 2 AM NB 3 2 過點(diǎn)P作PE x軸于E PE AE P 2 思路分析 1 當(dāng)AC為線段AB與BC的和時(shí) 線段AC的長(zhǎng)取得最大值 2 依據(jù)條件判定 CAD EAB 得出DC BE 當(dāng)CD的長(zhǎng)度等于BD BC時(shí) 線段BE取得最大值 3 類比第 2 問的圖形 構(gòu)造出全等三角形 結(jié)合等腰直角三角形的有關(guān)性質(zhì)求解 評(píng)析本題屬類比探究題 主要考查三角形的全等 等邊三角形的性質(zhì) 考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念 B組2014 2018年全國(guó)中考題組 1 2018河北 1 3分 下列圖形具有穩(wěn)定性的是 答案A三角形具有穩(wěn)定性 故選A 2 2017吉林 5 2分 如圖 在 ABC中 以點(diǎn)B為圓心 以BA長(zhǎng)為半徑畫弧交邊BC于點(diǎn)D 連接AD 若 B 40 C 36 則 DAC的度數(shù)是 A 70 B 44 C 34 D 24 答案C由作圖知BA BD BAD BDA 70 BDA C DAC DAC BDA C 34 故選C 3 2016江蘇南京 4 2分 下列長(zhǎng)度的三條線段能組成鈍角三角形的是 A 3 4 4B 3 4 5C 3 4 6D 3 4 7 答案C由三角形的三邊關(guān)系知A B C能構(gòu)成三角形 D不能構(gòu)成三角形 設(shè)一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別為a b c 且ac2 則三角形為銳角三角形 若a2 b2 c2 則三角形為鈍角三角形 32 42 62 長(zhǎng)為3 4 6的三條線段可組成鈍角三角形 故選C 4 2015四川綿陽 5 3分 如圖 在 ABC中 B C的平分線BE CD相交于點(diǎn)F ABC 42 A 60 則 BFC A 118 B 119 C 120 D 121 答案C在 ABC中 ACB 180 A ABC 180 60 42 78 BE CD分別平分 ABC ACB FBC ABC 21 FCB ACB 39 BFC 180 FBC FCB 180 21 39 120 故選C 評(píng)析本題主要考查三角形內(nèi)角和定理 角平分線的概念 屬容易題 5 2017福建 12 4分 如圖 ABC中 D E分別是邊AB AC的中點(diǎn) 連接DE 若DE 3 則線段BC的長(zhǎng)等于 答案6 解析 D E分別是邊AB AC的中點(diǎn) DE是 ABC的中位線 BC 2DE DE 3 BC 6 6 2016江蘇南京 21 8分 用兩種方法證明 三角形的外角和等于360 如圖 BAE CBF ACD是 ABC的三個(gè)外角 求證 BAE CBF ACD 360 證法1 BAE 1 CBF 2 ACD 3 180 3 540 BAE CBF ACD 540 1 2 3 BAE CBF ACD 540 180 360 請(qǐng)把證法1補(bǔ)充完整 并用不同的方法完成證法2 解析 BAE 1 CBF 2 ACD 3 180 1 2 3 180 證法2 如圖 過點(diǎn)A作射線AP 使AP BD AP BD CBF PAB ACD EAP BAE PAB EAP 360 BAE CBF ACD 360 8分 1 2015浙江紹興 7 4分 如圖 小敏做了一個(gè)角平分儀ABCD 其中AB AD BC DC 將儀器上的點(diǎn)A與 PRQ的頂點(diǎn)R重合 調(diào)整AB和AD 使它們分別落在角的兩邊上 過點(diǎn)A C畫一條射線AE AE就是 PRQ的平分線 此角平分儀的畫圖原理是 根據(jù)儀器結(jié)構(gòu) 可得 ABC ADC 這樣就有 QAE PAE 則說明這兩個(gè)三角形全等的依據(jù)是 A SASB ASAC AASD SSS 考點(diǎn)二三角形全等 答案D因?yàn)樵?ABC和 ADC中 AB AD BC CD AC AC 所以 ABC ADC SSS 故選D 2 2016江蘇南京 14 2分 如圖 四邊形ABCD的對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)O ABO ADO 下列結(jié)論 AC BD CB CD ABC ADC DA DC 其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是 答案 解析 ABO ADO BAC DAC AOB AOD AB AD AOB AOD 180 AOB 90 AC BD 正確 AB AD BAC DAC AC AC ABC ADC 正確 ABC ADC CB CD 正確 DA與DC不一定相等 不正確 3 2015江西南昌 9 3分 如圖 OP平分 MON PE OM于E PF ON于F OA OB 則圖中有對(duì)全等三角形 答案3 解析根據(jù)題圖的特征以及角平分線的性質(zhì)可以得到 AOP BOP EOP FOP AEP BFP 所以題圖中有3對(duì)全等三角形 4 2018陜西 18 5分 如圖 AB CD E F分別為AB CD上的點(diǎn) 且EC BF 連接AD 分別與EC BF相交于點(diǎn)G H 若AB CD 求證 AG DH 證明 AB CD A D EC BF BHA CGD 2分 AB CD ABH DCG AH DG AG DH 5分 思路分析首先利用平行線的性質(zhì)得出 A D BHA CGD 進(jìn)而判定 ABH DCG 最后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)及等量減等量差相等 得出結(jié)果 歸納總結(jié)全等三角形的判定定理有SSS SAS ASA AAS和HL 要根據(jù)已知條件恰當(dāng)選擇判定定理 當(dāng)已知兩邊對(duì)應(yīng)相等時(shí) 可考慮證夾角相等或第三邊相等 當(dāng)已知兩角對(duì)應(yīng)相等時(shí)可考慮證夾邊相等或一角對(duì)邊相等 當(dāng)已知角及鄰邊對(duì)應(yīng)相等時(shí)可選用SAS ASA或AAS 5 2017黑龍江哈爾濱 24 8分 已知 ACB和 DCE都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 連接AE BD交于點(diǎn)O AE與DC交于點(diǎn)M BD與AC交于點(diǎn)N 1 如圖1 求證 AE BD 2 如圖2 若AC DC 在不添加任何輔助線的情況下 請(qǐng)直接寫出圖2中四對(duì)全等的直角三角形 圖1 圖2 解析 1 證明 ACB和 DCE都是等腰直角三角形 ACB DCE 90 AC BC DC EC ACB ACD DCE ACD 即 BCD ACE ACE BCD AE BD 2 ACB DCE AON DOM AOB DOE NCB MCE 6 2016河北 21 9分 如圖 點(diǎn)B F C E在直線l上 F C之間不能直接測(cè)量 點(diǎn)A D在l異側(cè) 測(cè)得AB DE AC DF BF EC 1 求證 ABC DEF 2 指出圖中所有平行的線段 并說明理由 解析 1 證明 BF EC BF FC EC CF 即BC EF 3分 又 AB DE AC DF ABC DEF 5分 2 AB DE AC DF 7分 理由 ABC DEF ABC DEF ACB DFE AB DE AC DF 9分 評(píng)析本題考查全等三角形的判定與性質(zhì) 根據(jù)條件用 SSS 判定三角形全等 再由全等三角形的性質(zhì)得到對(duì)應(yīng)角相等 然后由角相等得到邊之間的位置關(guān)系 7 2014江蘇南京 27 11分 問題提出 學(xué)習(xí)了三角形全等的判定方法 即 SAS ASA AAS SSS 和直角三角形全等的判定方法 即 HL 后 我們繼續(xù)對(duì) 兩個(gè)三角形滿足兩邊和其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等 的情形進(jìn)行研究 初步思考 我們不妨將問題用符號(hào)語言表示為 在 ABC和 DEF中 AC DF BC EF B E 然后 對(duì) B進(jìn)行分類 可分為 B是直角 鈍角 銳角 三種情況進(jìn)行探究 深入探究 第一種情況 當(dāng) B是直角時(shí) ABC DEF 1 如圖 在 ABC和 DEF中 AC DF BC EF B E 90 根據(jù) 可以知道Rt ABC Rt DEF 第二種情況 當(dāng) B是鈍角時(shí) ABC DEF 2 如圖 在 ABC和 DEF中 AC DF BC EF B E 且 B E都是鈍角 求證 ABC DEF 第三種情況 當(dāng) B是銳角時(shí) ABC和 DEF不一定全等 3 在 ABC和 DEF中 AC DF BC EF B E 且 B E都是銳角 請(qǐng)你用尺規(guī)在圖中作出 DEF 使 DEF和 ABC不全等 不寫作法 保留作圖痕跡 4 B還要滿足什么條件 就可以使 ABC DEF 請(qǐng)直接填寫結(jié)論 在 ABC和 DEF中 AC DF BC EF B E 且 B E都是銳角 若 則 ABC DEF 解析 1 HL 2分 2 證明 如圖 分別過點(diǎn)C F作對(duì)邊AB DE上的高CG FH 其中G H為垂足 ABC DEF都是鈍角 G H分別在AB DE的延長(zhǎng)線上 CG AG FH DH CGA FHD 90 CBG 180 ABC FEH 180 DEF ABC DEF CBG FEH 在 BCG和 EFH中 CGB FHE CBG FEH BC EF BCG EFH CG FH 又 AC DF Rt ACG Rt DFH A D 在 ABC和 DEF中 ABC DEF A D AC DF ABC DEF 6分 圖 3 如圖 DEF就是所求作的三角形 圖 9分 4 本題答案不唯一 下列解法供參考 B A 11分 考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念 C組教師專用題組 1 2018福建 3 4分 下列各組數(shù)中 能作為一個(gè)三角形三邊邊長(zhǎng)的是 A 1 1 2B 1 2 4C 2 3 4D 2 3 5 答案C三角形的三邊邊長(zhǎng)要滿足 任意兩邊之和大于第三邊 任意兩邊之差小于第三邊 選項(xiàng)A B D均不符合 故選C 2 2016湖南長(zhǎng)沙 7 3分 若一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和7 則第三邊長(zhǎng)可能是 A 6B 3C 2D 11 答案A設(shè)第三邊長(zhǎng)為x 根據(jù)三角形的三邊關(guān)系 可得7 3 x 7 3 即4 x 10 故選A 3 2016河北 10 3分 如圖 已知鈍角 ABC 依下列步驟尺規(guī)作圖 并保留作圖痕跡 步驟1 以C為圓心 CA為半徑畫弧 步驟2 以B為圓心 BA為半徑畫弧 交弧 于點(diǎn)D 步驟3 連接AD 交BC延長(zhǎng)線于點(diǎn)H 下列敘述正確的是 A BH垂直平分線段ADB AC平分 BADC S ABC BC AHD AB AD 答案A由作圖可知點(diǎn)B C到線段AD的兩個(gè)端點(diǎn)的距離分別相等 點(diǎn)B C都在線段AD的垂直平分線上 即直線BC垂直平分線段AD 故選A 4 2015廣東廣州 10 3分 已知2是關(guān)于x的方程x2 2mx 3m 0的一個(gè)根 并且這個(gè)方程的兩個(gè)根恰好是等腰三角形ABC的兩條邊長(zhǎng) 則三角形ABC的周長(zhǎng)為 A 10B 14C 10或14D 8或10 答案B把2代入方程得m 4 解方程x2 8x 12 0得另外一個(gè)根是6 根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系可知 當(dāng)6是腰 2是底邊時(shí) 周長(zhǎng)是6 6 2 14 當(dāng)2是腰 6是底邊時(shí) 2 2 6 不能構(gòu)成三角形 ABC的周長(zhǎng)是14 故選B 評(píng)析本題考查了一元二次方程的解法 三角形三邊之間的關(guān)系 等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí) 屬于容易題 5 2014江蘇連云港 6 3分 如圖 若 ABC和 DEF的面積分別為S1 S2 則 A S1 S2B S1 S2C S1 S2D S1 S2 答案C過點(diǎn)A作AM BC于點(diǎn)M 過點(diǎn)D作DN EF交FE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N S1 BC AM 8 5 sin40 S2 EF DN 5 8 sin40 所以S1 S2 故選C 6 2014河北 12 3分 如圖 已知 ABC AC BC 用尺規(guī)在BC上確定一點(diǎn)P 使PA PC BC 則符合要求的作圖痕跡是 答案D由選項(xiàng)A可得PB AB 所以BC AB PC 由選項(xiàng)B可得PA PC 所以BC PB PA 由選項(xiàng)C可得PC AC 所以BC PB AC 由選項(xiàng)D可得PB PA 所以BC PA PC 故選D 7 2018湖北黃岡 12 3分 一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和6 第三邊長(zhǎng)是方程x2 10 x 21 0的根 則三角形的周長(zhǎng)為 答案16 解析 x2 10 x 21 x 3 x 7 0 x1 3 x2 7 3 3 6 3不能作為該三角形的第三邊長(zhǎng) 三角形的第三邊長(zhǎng)為7 三角形的周長(zhǎng)為3 6 7 16 8 2018四川成都 11 4分 等腰三角形的一個(gè)底角為50 則它的頂角的度數(shù)為 答案80 解析 等腰三角形的兩底角相等 180 50 2 80 頂角為80 9 2018湖北武漢 16 3分 如圖 在 ABC中 ACB 60 AC 1 D是邊AB的中點(diǎn) E是邊BC上一點(diǎn) 若DE平分 ABC的周長(zhǎng) 則DE的長(zhǎng)是 答案 解析延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F 使CF AC 連接AF D是AB的中點(diǎn) AD DB DE平分 ABC的周長(zhǎng) AC CE AD DB BE AC CE BE BE CF CE EF DE是 ABF的中位線 DE AF ACB 60 ACF 120 又AC CF 1 FAC AFC 30 作CH AF 則AH AC AF AC DE AF 思路分析延長(zhǎng)BC至點(diǎn)F 使CF AC 利用已知條件證明DE為 ABF的中位線 由已知條件求得AF的長(zhǎng) 從而求得DE的長(zhǎng) 解題技巧對(duì)于求線段長(zhǎng)度的問題 若條件涉及三角形邊的中點(diǎn) 可以考慮運(yùn)用中位線性質(zhì)來解答 10 2017河北 17 3分 如圖 A B兩點(diǎn)被池塘隔開 不能直接測(cè)量其距離 于是 小明在岸邊選一點(diǎn)C 連接CA CB 分別延長(zhǎng)到點(diǎn)M N 使AM AC BN BC 測(cè)得MN 200m 則A B間的距離為m 答案100 解析 AM AC BN BC AB是 CMN的中位線 AB MN MN 200m AB 100m 11 2017陜西 12A 3分 如圖 在 ABC中 BD和CE是 ABC的兩條角平分線 若 A 52 則 1 2的度數(shù)為 答案64 解析 BD平分 ABC CE平分 ACB 1 ABC 2 ACB 又 ABC ACB 180 A 2 1 2 2 180 A 128 1 2 64 12 2014江西 14 3分 在Rt ABC中 A 90 有一個(gè)銳角為60 BC 6 若點(diǎn)P在直線AC上 不與點(diǎn)A C重合 且 ABP 30 則CP的長(zhǎng)為 答案2或4或6 解析圖1中 ABC 60 BC 6 則AB 3 AC 3 又 ABP 30 則AP 所以CP 2或CP 4 圖2中 ACB 60 ABP 30 CBP是等邊三角形 CP CB 6 圖1圖2 13 2015天津 18 3分 在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中 點(diǎn)A B C D均在格點(diǎn)上 點(diǎn)E F分別為線段BC DB上的動(dòng)點(diǎn) 且BE DF 1 如圖 當(dāng)BE 時(shí) 計(jì)算AE AF的值等于 2 當(dāng)AE AF取得最小值時(shí) 請(qǐng)?jiān)谌鐖D 所示的網(wǎng)格中 用的直尺 畫出線段AE AF 并簡(jiǎn)要說明點(diǎn)E和點(diǎn)F的位置是如何找到的 不要求證明 答案 1 2 如圖 取格點(diǎn)H K 連接BH CK 相交于點(diǎn)P 連接AP 與BC相交于點(diǎn)E 取格點(diǎn)M N 連接DM CN 相交于點(diǎn)G 連接AG 與BD相交于點(diǎn)F 線段AE AF即為所求 解析 1 由題圖 可知 AD 4 AB 3 則DB 5 因?yàn)锽E BE DF 所以DF 所以F是Rt ABD斜邊BD的中點(diǎn) 所以AF BD 因?yàn)锳E 所以AE AF 2 如圖 取格點(diǎn)H K 連接BH CK 相交于點(diǎn)P 連接AP 與BC相交于點(diǎn)E 取格點(diǎn)M N 連接DM CN 相交于點(diǎn)G 連接AG 與BD相交于點(diǎn)F 線段AE AF即為所求 思路提示在求兩條線段長(zhǎng)度之和的最小值時(shí) 常用方法是利用兩點(diǎn)之間線段最短 題中E F均為動(dòng)點(diǎn) 不能直接應(yīng)用兩點(diǎn)之間線段最短這一結(jié)論 可考慮利用三角形全等把AE AF轉(zhuǎn)化為兩個(gè)定點(diǎn)到一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的距離之和 先考慮一條邊為AF的 AFD 因?yàn)锳D BC 所以 FDA DBC 設(shè)D點(diǎn)關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)為H 則有 HBC DBC FDA 因?yàn)锳D 4 為了在BH上找一點(diǎn)P到B的距離也等于4 可取格點(diǎn)K 連接CK 設(shè)BH與CK相交于P 則有BP 4 在 AFD與 PEB中 所以 AFD PEB 所以AF PE 故AF AE PE AE 要使PE AE有最小值 則連接AP AP與BC的交點(diǎn)就是要求的點(diǎn)E 與找E點(diǎn)類似 要找到符合條件的點(diǎn)F 考慮一條邊為AE的 ABE 想法構(gòu)造一個(gè)與 ABE全等的三角形 取格點(diǎn)M 連接DM 易知DM DF 為了在DM上找一點(diǎn)G 使DG AB 3 取格點(diǎn)N 連接CN 設(shè)DM與CN相交于G 則DG AB 3 在 ABE與 GDF中 所以 ABE GDF 所以GF AE 故AE AF GF AF 要使GF AF最小 只要連接AG AG與BD交于F 則F就是所求使得AE AF最小的點(diǎn)F 14 2017福建 19 8分 如圖 ABC中 BAC 90 AD BC 垂足為D 求作 ABC的平分線 分別交AD AC于P Q兩點(diǎn) 并證明AP AQ 要求 尺規(guī)作圖 保留作圖痕跡 不寫作法 解析如圖 BQ是所求作的 ABC的平分線 P Q是所求作的點(diǎn) 證明如下 AD BC ADB 90 BPD PBD 90 BAC 90 AQP ABQ 90 ABQ PBD BPD AQP BPD APQ APQ AQP AP AQ 15 2016廣東 19 6分 如圖 已知 ABC中 D為AB的中點(diǎn) 1 請(qǐng)用尺規(guī)作圖法作邊AC的中點(diǎn)E 并連接DE 保留作圖痕跡 不要求寫作法 2 在 1 的條件下 若DE 4 求BC的長(zhǎng) 解析 1 如圖 2分 E點(diǎn) DE即為所求 3分 2 DE是 ABC的中位線 且DE 4 BC 2DE 2 4 8 6分 評(píng)析本題主要考查平面幾何中尺規(guī)作圖的基本方法 中點(diǎn)的作法 以及三角形中位線的性質(zhì) 1 2016河北 16 2分 如圖 AOB 120 OP平分 AOB 且OP 2 若點(diǎn)M N分別在OA OB上 且 PMN為等邊三角形 則滿足上述條件的 PMN有 A 1個(gè)B 2個(gè)C 3個(gè)D 3個(gè)以上 考點(diǎn)二三角形全等 答案D如圖所示 過點(diǎn)P分別作OA OB的垂線 垂足分別為C D 連接CD 則 PCD為等邊三角形 在OC DB上分別取M N 使CM DN 則 PCM PDN 所以 CPM DPN PM PN MPN 60 則 PMN為等邊三角形 因?yàn)闈M足CM DN的M N有無數(shù)個(gè) 所以滿足題意的三角形有無數(shù)個(gè) 2 2018湖北武漢 18 8分 如圖 點(diǎn)E F在BC上 BE CF AB DC B C AF與DE交于點(diǎn)G 求證 GE GF 證明 BE CF BF CE 在 ABF和 DCE中 ABF DCE AFB DEC GF GE 3 2018云南昆明 15 6分 如圖 在 ABC和 ADE中 AB AD B D 1 2 求證 BC DE 證明 1 2 1 DAC 2 DAC 即 BAC DAE 1分 在 ABC和 ADE中 3分 ABC ADE ASA 5分 BC DE 6分 其他證法參照此標(biāo)準(zhǔn)給分 4 2018河北 23 9分 如圖 A B 50 P為AB中點(diǎn) 點(diǎn)M為射線AC上 不與點(diǎn)A重合 的任意一點(diǎn) 連接MP 并使MP的延長(zhǎng)線交射線BD于點(diǎn)N 設(shè) BPN 1 求證 APM BPN 2 當(dāng)MN 2BN時(shí) 求 的度數(shù) 3 若 BPN的外心在該三角形的內(nèi)部 直接寫出 的取值范圍 解析 1 證明 P為AB中點(diǎn) PA PB 又 A B MPA NPB APM BPN 2 由 1 得PM PN MN 2PN MN 2BN PN BN B 50 3 40 90 詳解 BPN的外心在該三角形的內(nèi)部 BPN是銳角三角形 BPN和 BNP都為銳角 又 B 50 40 BPN 90 即40 90 思路分析 1 根據(jù)ASA可證明 APM BPN 2 根據(jù) APM BPN得MN 2PN 結(jié)合MN 2BN得出PN BN 由等邊對(duì)等角可得結(jié)果 3 只有銳角三角形的外心在三角形的內(nèi)部 根據(jù) BPN和 BNP都為銳角及 B 50 可得 的取值范圍 1 如果已知兩邊 1 找夾角 利用SAS求解 2 找直角 利用HL或SAS求解 3 找另一條邊 利用SSS求解 方法歸納證明三角形全等的一般思路 2 已知一邊和一角 1 邊為角的對(duì)邊 則找任一角 利用AAS求解 2 邊為角的一條邊 找角的另一邊 利用SAS求解 找邊的另一角 利用ASA求解 找邊的對(duì)角 利用AAS求解 3 已知兩角 1 找夾邊 利用ASA求解 2 找兩角中任意一角的對(duì)邊 利用AAS求解 5 2017云南 15 6分 如圖 點(diǎn)E C在線段BF上 BE CF AB DE AC DF 求證 ABC DEF 證明 BE CF BE EC CF EC 即BC EF 在 ABC與 DEF中 ABC DEF ABC DEF 6 2017吉林 18 5分 如圖 點(diǎn)E F在BC上 BE CF AB DC B C 求證 A D 證明 BE CF BE EF CF EF BF CE 2分 又 B C AB DC ABF DCE 4分 A D 5分 7 2017湖北武漢 18 8分 如圖 點(diǎn)C F E B在一條直線上 CFD BEA CE BF DF AE 寫出CD與AB之間的關(guān)系 并證明你的結(jié)論 解析CD與AB之間的關(guān)系為CD AB 且CD AB 證明 CE BF CF BE 在 CDF和 BAE中 CDF BAE CD BA C B CD BA 思路分析先證明 CDF BAE 再利用全等三角形的性質(zhì)得到CD與AB之間的關(guān)系 易錯(cuò)警示CD與AB之間的位置關(guān)系是平行 數(shù)量關(guān)系是相等 本題容易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是只得到CD與AB之間的一種關(guān)系 8 2016重慶 19 7分 如圖 點(diǎn)A B C D在同一條直線上 CE DF EC BD AC FD 求證 AE FB 證明 CE DF ACE D 3分 在 ACE和 FDB中 EC BD ACE D AC FD 5分 ACE FDB 6分 AE FB 7分 9 2016福建福州 21 8分 一個(gè)平分角的儀器如圖所示 其中AB AD BC DC 求證 BAC DAC 證明在 ABC與 ADC中 ABC ADC SSS BAC DAC 10 2016湖北武漢 18 8分 如圖 點(diǎn)B E C F在同一條直線上 AB DE AC DF BE CF 求證AB DE 證明 BE CF BC EF 2分 在 ABC和 DEF中 5分 ABC DEF SSS 6分 B DEF AB DE 8分 11 2016四川南充 19 8分 已知 ABN和 ACM位置如圖所示 AB AC AD AE 1 2 1 求證 BD CE 2 求證 M N 證明 1 在 ABD和 ACE中 ABD ACE SAS 3分 BD CE 4分 2 ABD ACE ADB AEC 5分 又 MDO ADB NEO AEC MDO NEO 6分 MOD NOE 7分 180 MDO MOD 180 NEO NOE 即 M N 8分 評(píng)析本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì) 要根據(jù)題意選擇合適的判定方法 12 2015福建福州 19 8分 如圖 1 2 3 4 求證 AC AD 證明 3 4 ABC ABD 在 ABC和 ABD中 ABC ABD ASA AC AD 13 2015重慶 20 7分 如圖 在 ABD和 FEC中 點(diǎn)B C D E在同一直線上 且AB FE BC DE B E 求證 ADB FCE 證明 BC DE BC CD DE CD 即DB CE 3分 又 AB FE B E ABD FEC 6分 ADB FCE 7分 14 2015陜西 19 7分 如圖 在 ABC中 AB AC 作AD AB交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D 作AE BD CE AC 且AE CE相交于點(diǎn)E 求證 AD CE 證明 AE BD EAC ACB AB AC B ACB EAC B 4分 又 BAD ACE 90 ABD CAE 6分 AD CE 7分 15 2015江蘇蘇州 24 8分 如圖 在 ABC中 AB AC 分別以B C為圓心 BC長(zhǎng)為半徑在BC下方畫弧 設(shè)兩弧交于點(diǎn)D 與AB AC的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)E F 連接AD BD CD 1 求證 AD平分 BAC 2 若BC 6 BAC 50 求 的長(zhǎng)度之和 結(jié)果保留 解析 1 證明 由題意可知BD CD 在 ABD和 ACD中 ABD ACD SSS BAD CAD 即AD平分 BAC 2 AB AC BAC 50 ABC ACB 65 BD CD BC BDC為等邊三角形 DBC DCB 60 DBE DCF 55 BC 6 BD CD 6 的長(zhǎng)度 的長(zhǎng)度 的長(zhǎng)度之和為 16 2014陜西 18 6分 如圖 在Rt ABC中 ABC 90 點(diǎn)D在邊AB上 使DB BC 過點(diǎn)D作EF AC 分別交AC于點(diǎn)E CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F 求證 AB BF 證明 EF AC F C 90 A C 90 F A 3分 又 FBD ABC DB BC FBD ABC AB BF 6分 17 2014江蘇蘇州 23 6分 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 點(diǎn)D F分別在AB AC上 CF CB 連接CD 將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90 后得CE 連接EF 1 求證 BCD FCE 2 若EF CD 求 BDC的度數(shù) 解析 1 證明 CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90 后得CE CD CE DCE 90 ACB 90 BCD 90 ACD FCE 在 BCD和 FCE中 BCD FCE 2 由 BCD FCE得 BDC E EF CD E 180 DCE 90 BDC 90 評(píng)析本題考查全等三角形的判定及性質(zhì) 平行線的性質(zhì) 屬容易題 考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念 2017江蘇無錫一模 9 如圖 用四條線段首尾相接連成一個(gè)框架 其中AB 12 BC 14 CD 18 DA 24 則A B C D任意兩點(diǎn)之間的最長(zhǎng)距離為 A 24B 26C 32D 36 三年模擬 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組 答案C已知AB 12 BC 14 CD 18 DA 24 選12 14 18 24作為三角形 則三邊長(zhǎng)分別為26 18 24 26 24 18 26 24 能構(gòu)成三角形 此時(shí)兩個(gè)端點(diǎn)間的最長(zhǎng)距離為26 選12 14 18 24作為三角形 則三邊長(zhǎng)分別為12 32 24 32 24 12 32 24 能構(gòu)成三角形 此時(shí)兩個(gè)端點(diǎn)間的最大距離為32 選12 14 18 24作為三角形 則三邊長(zhǎng)分別為12 14 42 12 42 14 不能構(gòu)成三角形 故選C 1 2016新鄉(xiāng)二模 4 用直尺和圓規(guī)作一個(gè)角等于已知角 如圖 能得出 A O B AOB的依據(jù)是 A SSSB SASC AASD ASA 考點(diǎn)二三角形全等 答案A由題意知 OC OD O C O D CD C D 所以 OCD O C D 依據(jù)是SSS 故 A O B AOB 故選A 2 2016鄭州一模 8 已知 如圖 在矩形ABCD中 AB 4 AD 6 延長(zhǎng)BC到E 使CE 2 連接DE 動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā) 以每秒2個(gè)單位的速度沿BC CD DA向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng) 設(shè)點(diǎn)F的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒 當(dāng)t為秒時(shí) ABF和 DCE全等 A 1B 1或3C 1或7D 3或7 答案C 當(dāng)點(diǎn)F在BC上 且滿足BF CE 2時(shí) 在 ABF和 DCE中 BF CE ABF DCE 90 AB DC ABF DCE SAS 此時(shí)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程BF 2 t 2 2 1 見圖1 圖1 當(dāng)點(diǎn)F在AD上 且滿足AF CE 2時(shí) 在 BAF和 DCE中 AB CD BAF DCE 90 AF CE BAF DCE SAS 此時(shí)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)的路程為BC CD DF 6 4 4 14 t 14 2 7 見圖2 圖2 當(dāng)點(diǎn)F在CD上時(shí) 不存在全等 t 1或7 故選C 3 2018安陽一模 22 如圖 點(diǎn)A是直線PQ上一動(dòng)點(diǎn) BC PQ 垂足為C 線段AB的垂直平分線DE交 PCB的角平分線于點(diǎn)E 交AB于點(diǎn)D 連接AE BE 1 如圖1 AE與BE的數(shù)量關(guān)系是 過點(diǎn)E作EM PQ于點(diǎn)M 作EN BC于點(diǎn)N 通過證明 AEM BEN 可知AE與BE的位置關(guān)系是 2 當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)C的下方如圖2所示的位置時(shí) 1 中的結(jié)論還成立嗎 請(qǐng)說明理由 3 當(dāng)點(diǎn)A位于如圖3的位置時(shí) 過點(diǎn)A作AF CB交 PCB的平分線于點(diǎn)F 設(shè)AC a CB b 請(qǐng)直接寫出EF的長(zhǎng) 用含a b的式子表示 圖2 圖1 圖3 解析 1 相等 垂直 2 成立 理由如下 過點(diǎn)E作EM PQ于點(diǎn)M 作EN BC于點(diǎn)N 如圖所示 PQ BC 四邊形MCNE是矩形 MEN 90 CE是 PCB的平分線 ME EN 又 ED是AB的垂直平分線 AE BE AME BNE MEA NEB MEA AEN 90 NEB AEN 90 AE BE 綜上 AE BE AE BE 3 EF b a 4 2017河北邯鄲一模 21 已知 如圖 ABC和 EFC都是等腰直角三角形 ACB ECF 90 點(diǎn)E在AB邊上 1 求證 ACE BCF 2 若 BFE 60 求 AEC的度數(shù) 解析 1 證明 ABC和 EFC都是等腰直角三角形 CA CB CE CF ACB ECF 90 ACE ECB ECB BCF ACE BCF ACE BCF SAS 2 ECF是等腰直角三角形 ECF 90 CEF CFE 45 BFE 60 BFC BFE CFE 105 ACE BCF AEC BFC 105 B組2016 2018年模擬 提升題組 時(shí)間 25分鐘分值 30分 一 選擇題 每題3分 共6分 1 2018商丘一模 5 如圖 將一副三角板疊放在一起 使直角的頂點(diǎn)重合于點(diǎn)O AB OC DC與OB交于點(diǎn)E 則 DEO的度數(shù)為 A 85 B 70 C 75 D 60 答案C由題意得 B 30 C 45 因?yàn)锳B OC 所以 BOC B 30 所以 DEO BOC C 30 45 75 故選C 思路分析本題考查角的性質(zhì) 平行線的性質(zhì) 三角形外角定理 屬基礎(chǔ)題 2 2017安陽一模 8 如圖 已知 ABC 按如下步驟作圖 先分別以A B兩點(diǎn)為圓心 以大于AB的長(zhǎng)為半徑作弧 兩弧相交于M N兩點(diǎn) 作直線MN 再分別以B C兩點(diǎn)為圓心 以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧 兩弧相交于G H兩點(diǎn) 作直線GH GH與MN交于點(diǎn)P 若 BAC 66 則 BPC等于 A 66 B 99 C 132 D 114 答案C由作圖知MN GH分別是AB BC邊的垂直平分線 連接PA 則PA PB PC PAB PAC為等腰三角形 PAB PBA PAC PCA APB 180 2 PAB APC 180 2 PAC APB APC 360 2 BAC 228 BPC 360 APB APC 132 故選C 3 2018安陽一模 12 如圖 ABC中 B 35 BCA 75 請(qǐng)依據(jù)尺規(guī)作圖的作圖痕跡 計(jì)算 二 填空題 共3分 答案75 解析 B 35 BCA 75 BAC 70 由作圖痕跡可知 AD是 BAC的角平分線 CAD BAC 35 由作圖痕跡可知 EF是線段BC的垂直平分線 BCF B 35 ACF ACB BCF 40 CAD ACF 75 思路分析根據(jù)三角形的內(nèi)角和得出 BAC 70 由角平分線的定義求出 CAD的度數(shù) 再由EF是線段AC的垂直平分線得出 B BCF 最后得出 的度數(shù) 4 2018濮陽一模 22 如圖1 在四邊形ABCD中 AB AD B ADC 180 點(diǎn)E F分別在四邊形ABCD的邊BC CD上 EAF BAD 連接EF 試猜想EF BE DF之間的數(shù)量關(guān)系 1 思路梳理將 ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ADG 使AB與AD重合 由 B ADC 180 得 FDG 180 即點(diǎn)F D G三點(diǎn)共線 易證 AFG 故EF BE DF之間的數(shù)量關(guān)系為 2 類比引申如圖2 在圖1的條件下 若點(diǎn)E F由原來的位置分別變到四邊形ABCD的邊CB DC延長(zhǎng)線上 EAF BAD 連接EF 試猜想EF BE DF之間的數(shù)量關(guān)系 并給出證明 3 聯(lián)想拓展如圖3 在 ABC中 BAC 90 AB AC 點(diǎn)D E均在邊BC上 且 DAE 45 若BD 1 EC 2 則DE的長(zhǎng)為 三 解答題 共21分 解析 1 AFE EF BE DF 2 EF BE DF之間的數(shù)量關(guān)系是EF DF BE 證明 將 ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 使AB與AD重合 得到 ADE 如圖 1 所示 則 ABE ADE DAE BAE AE AE DE BE ADE ABE ABC ADC 180 ABC ABE 180 ADE ADC 即E D F三點(diǎn)共線 又 EAF BAD E AF BAD BAF DAE BAD BAF BAE BAD EAF BAD EAF E AF 在 AEF和 AE F中 AEF AE F SAS FE FE 又 FE DF DE EF DF BE 3 提示 將 ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ACD 使AB與AC重合 連接ED 如圖 2 所示 由 1 得 AED AED DE D E ACB B ACD 45 ECD 90 在Rt ECD 中 ED 即DE 思路分析本題以旋轉(zhuǎn)變換為背景考查全等三角形的判定和性質(zhì) 1 由題意得 AFG AFE 易得EF BE DF 2 將 ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 使AB與AD重合 得到 ADE 證明 AEF AE F 根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答 3 將 ABD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至 ACD 使AB與AC重合 連接ED 根據(jù)全等三角形的性質(zhì) 勾股定理計(jì)算得解 5 2016安陽二模 22 數(shù)學(xué)課上老師提出了如下問題 如圖1 ABC是等邊三角形 點(diǎn)D在AC的延長(zhǎng)線上 且CD DE EC BC EC BC 連接BE 點(diǎn)F是BE的中點(diǎn) 連接AF DF 試問 AF與DF有怎樣的位置關(guān)系 DAF的度數(shù)是多少 1 嘗試探究小明解決上述問題時(shí) 嘗試探索的思路是 延長(zhǎng)DF到點(diǎn)G 使GF DF 連接BG 如圖2 然后證明 DEF GBF 再證明AG AD 從而得出結(jié)論 根據(jù)小明的思路和你的探索 你認(rèn)為 AF與DF的位置關(guān)系是 DAF的度數(shù)為 2 解決問題若將圖1中的 CDE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 使點(diǎn)E落在BC邊上 其他條件不變 如圖3 請(qǐng)判斷 1 中你得到的結(jié)論是否仍然成立 若成立 請(qǐng)說明理由 若不成立 請(qǐng)給出新的結(jié)論 并加以證明 解析 1 AF DF 30 4分 2 1 中的結(jié)論仍然成立 理由如下 延長(zhǎng)DF到點(diǎn)G 使GF DF 連接BG AG 如圖 點(diǎn)F是BE的中點(diǎn) BF EF 在 BFG和 EFD中 BFG EFD 6分 GB DE GBF DEF DE DC GB DC ABC是等邊三角形 AB AC BAC ABC ACB 60 由 1 知 DEC DCE 30 GBF DEF 150 ABG GBF ABC 150 60 90 ACD ACB DCE 60 30 90 GBA ACD 在 ABG和 ACD中 ABG ACD 8分 AG AD GAB DAC GAD 60 ADG為等邊三角形 又GF DF AF DF DAF 30 10分 思路分析 1 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)和F是BE的中點(diǎn) 構(gòu)造全等三角形 得出結(jié)論 2 類比 1 中的證明方法 構(gòu)造 BFG EFD 再證 ABG ACD 得出 AGD為等邊三角形 從而解決問題