浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第40講 實(shí)驗(yàn)與動(dòng)態(tài)型問題講解篇

《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第40講 實(shí)驗(yàn)與動(dòng)態(tài)型問題講解篇》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第40講 實(shí)驗(yàn)與動(dòng)態(tài)型問題講解篇（11頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第40講　實(shí)驗(yàn)與動(dòng)態(tài)型問題 內(nèi)容 特性 動(dòng)態(tài)型問題是指以三角形、四邊形、圓等幾何圖形或函數(shù)圖象為載體，設(shè)計(jì)動(dòng)態(tài)變化，并對(duì)變化過程中伴隨著的等量關(guān)系、變量關(guān)系、圖形的特殊狀態(tài)、圖形間的特殊關(guān)系等進(jìn)行實(shí)驗(yàn)、觀察、猜想和歸納，進(jìn)行推理的一類問題，這類問題信息量大，靈活多變，出現(xiàn)的結(jié)果往往有多種情況．涉及到平行線、相似三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，方程、不等式及函數(shù)的知識(shí)，以及幾何變換，數(shù)形結(jié)合，分類討論，函數(shù)與方程，特殊與一般的思想. 解題 策略 解決此類問題需要運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，把握運(yùn)動(dòng)和變化的全過程，動(dòng)中取靜，靜中求動(dòng)，抓住運(yùn)動(dòng)中的某一瞬間，抓住變化過程中的特殊情形

2、，確定運(yùn)動(dòng)變化過程中的數(shù)量關(guān)系、圖形位置關(guān)系，從而建立方程、不等式、函數(shù)、幾何模型，找到解決問題的途徑. 基本 思想 解題時(shí)利用方程與函數(shù)的思想、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想，恰當(dāng)?shù)厥褂梅治鼍C合法，挖掘題目的隱含條件，將復(fù)雜問題分解為基本問題，逐個(gè)擊破，進(jìn)一步得到新的結(jié)論. 類型一　由點(diǎn)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的問題 　(2017·麗水)如圖1，在△ABC中，∠A＝30°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2cm/s的速度沿折線A－C－B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以a(cm/s)的速度沿AB運(yùn)動(dòng)，P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)某一點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s)，△APQ的面積為y(c

3、m2)，y關(guān)于x的函數(shù)圖象由C1，C2兩段組成，如圖2所示． (1)求a的值； (2)求圖2中圖象C2段的函數(shù)表達(dá)式； (3)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BC上某一段時(shí)△APQ的面積大于當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上任意一點(diǎn)時(shí)△APQ的面積，求x的取值范圍． 　　　 　　　　　　　　 　　　 【解后感悟】解題的關(guān)鍵是從運(yùn)動(dòng)圖與描述圖中獲取信息，根據(jù)圖象確定x的運(yùn)動(dòng)時(shí)間與面積的關(guān)系，同時(shí)關(guān)注圖象不同情況的討論．這類問題往往探究點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)變化過程中的變化規(guī)律，如等量關(guān)系、圖形的特殊位置、圖形間的特殊關(guān)系等，且體現(xiàn)分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想． 1． (2016·白銀)如圖，△ABC是等腰直角三角

4、形，∠A＝90°，BC＝4，點(diǎn)P是△ABC邊上一動(dòng)點(diǎn)，沿B→A→C的路徑移動(dòng)，過點(diǎn)P作PD⊥BC于點(diǎn)D，設(shè)BD＝x，△BDP的面積為y，則下列能大致反映y與x函數(shù)關(guān)系的圖象是(　　) 2．(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在拋物線y＝x2－2x＋2上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)A作AC⊥x軸于點(diǎn)C，以AC為對(duì)角線作矩形ABCD，連結(jié)BD，則對(duì)角線BD的最小值為　　　　　　　　　. (2) (2016·舟山)如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B分別在x軸，y軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－1，0)，∠ABO＝30°，線段PQ的端點(diǎn)P從點(diǎn)O出發(fā)，沿△OBA的邊按O→B→A→O運(yùn)動(dòng)一周，同時(shí)另一端點(diǎn)Q隨之在x軸的非

5、負(fù)半軸上運(yùn)動(dòng)，如果PQ＝，那么當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)一周時(shí)，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的總路程為　　　　　　　　. 類型二　由線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的問題 　(2015·無錫)如圖，C為∠AOB的邊OA上一點(diǎn)，OC＝6，N為邊OB上異于點(diǎn)O的一動(dòng)點(diǎn)，P是線段CN上一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PQ∥OA交OB于點(diǎn)Q，PM∥OB交OA于點(diǎn)M. (1)若∠AOB＝60°，OM＝4，OQ＝1，求證：CN⊥OB； (2)當(dāng)點(diǎn)N在邊OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形OMPQ始終保持為菱形． ①問：－的值是否發(fā)生變化？如果變化，求出其取值范圍；如果不變，請(qǐng)說明理由； ②設(shè)菱形OMPQ的面積為S1，△NOC的面積為S2，求的取值范圍． 【解后感悟】

6、解答這類問題時(shí)要用運(yùn)動(dòng)與變化的觀點(diǎn)去觀察和研究圖形，把握直線或曲線變化的全過程，本題中PQ∥OA，PM∥OB，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)，抓住等量關(guān)系，特別注意一些不變量、不變關(guān)系或特殊關(guān)系． 3． (1)(2016·長(zhǎng)春市南關(guān)區(qū)模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABCD的邊BC在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在點(diǎn)C的左側(cè)，直線y＝kx經(jīng)過點(diǎn)A(3，3)和點(diǎn)P，且OP＝6.將直線y＝kx沿y軸向下平移得到直線y＝kx＋b，若點(diǎn)P落在矩形ABCD的內(nèi)部，則b的取值范圍是(　　) A．0

7、0)與此正方形的邊有交點(diǎn)，則a的取值范圍是　　　　　　　　. (3) (2016·新昌模擬)已知Rt△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1，2)，B(2，2)，C(2，1)，若拋物線y＝ax2與該直角三角形無公共點(diǎn)，則a的取值范圍是　　　　　　　　. (4) (2016·海陵模擬)如圖，等腰直角三角形的斜邊長(zhǎng)AB＝8，一直線l繞頂點(diǎn)B任意旋轉(zhuǎn)，過A向l作垂線，垂足為H，則線段CH長(zhǎng)的取值范圍是　　　　　　　　. 類型三　由圖形運(yùn)

8、動(dòng)產(chǎn)生的問題 　(2016·金華)由6根鋼管首尾順次鉸接而成六邊形鋼架ABCDEF，相鄰兩鋼管可以轉(zhuǎn)動(dòng)．已知各鋼管的長(zhǎng)度為AB＝DE＝1米，BC＝CD＝EF＝FA＝2米．(鉸接點(diǎn)長(zhǎng)度忽略不計(jì)) (1)轉(zhuǎn)動(dòng)鋼管得到三角形鋼架，如圖1，則點(diǎn)A，E之間的距離是　　　　　　　　米； (2)轉(zhuǎn)動(dòng)鋼管得到如圖2所示的六邊形鋼架，有∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝120°，現(xiàn)用三根鋼條連接頂點(diǎn)使該鋼架不能活動(dòng)，則所用三根鋼條總長(zhǎng)度的最小值是　　　　　　　米． 【解后感悟】由圖形變化產(chǎn)生的問題包括由點(diǎn)引起的圖形變化，圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻轉(zhuǎn)等；圖形在變化過程中，抓住不變的圖形和量；以三角形、四邊形和圓的變化

9、為常見的一種題型．本題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造特殊三角形以及平行四邊形． 4． (2016·金華)如圖，Rt△ABC紙片中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，點(diǎn)D在邊BC上，以AD為折痕折疊△ABD得到△AB′D，AB′與邊BC交于點(diǎn)E.若△DEB′為直角三角形，則BD的長(zhǎng)是　　　　 . 5．(2016·寧波)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(5，0)，菱形OABC的頂點(diǎn)B，C都在第一象限，tan∠AOC＝，將菱形繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α(0°＜∠α＜∠AOC)得到菱形FADE(點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)F)，EF與OC交于點(diǎn)G，連結(jié)AG. (1)求點(diǎn)B的坐標(biāo)； (2)

10、當(dāng)OG＝4時(shí)，求AG的長(zhǎng)； (3)求證：GA平分∠OGE； (4)連結(jié)BD并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(12，0)時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)． 【動(dòng)點(diǎn)實(shí)驗(yàn)題】 用如圖1，2所示的兩個(gè)直角三角形(部分邊長(zhǎng)及角的度數(shù)在圖中已標(biāo)出)，完成以下兩個(gè)探究問題： 探究一：將以上兩個(gè)三角形如圖3拼接(BC和ED重合)，在BC邊上有一動(dòng)點(diǎn)P. (1)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到∠CFB的角平分線上時(shí)，連結(jié)AP，求線段AP的長(zhǎng)； (2)當(dāng)點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過程中出現(xiàn)PA＝FC時(shí)，求∠PAB的度數(shù)． 探究二：如圖4，將△DEF的頂點(diǎn)D放在△ABC的BC邊上的中點(diǎn)處，并以點(diǎn)D為旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)△DEF，使△DEF的兩

11、直角邊與△ABC的兩直角邊分別交于M、N兩點(diǎn)，連結(jié)MN.在旋轉(zhuǎn)△DEF的過程中，△AMN的周長(zhǎng)是否存在有最小值？若存在，求出它的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由． 【方法與對(duì)策】本題是幾何綜合題，運(yùn)用了解直角三角形、勾股定理、全等三角形、二次函數(shù)最值等知識(shí)點(diǎn)．第(3)問，由發(fā)現(xiàn)并證明△AMD≌△CND取得解題的突破點(diǎn)，再利用勾股定理和二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．這種題型要注意問題的前后關(guān)系，要利用前面方法來指導(dǎo)后面的問題，要利用特殊到一般的思想，這是中考常見題型． 【沒有畫圖和動(dòng)態(tài)分析，致使問題分析不全】 如圖，已知△ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(1，4

12、)，B(4，1)，C(1，1)，若雙曲線y＝(x＞0)與△ABC有公共點(diǎn)，則k的取值范圍是________． 第40講　實(shí)驗(yàn)與動(dòng)態(tài)型問題 【例題精析】 例1　(1)如圖1，作PD⊥AB于D，∵∠A＝30°，∴PD＝AP＝x，∴y＝AQ·PD＝ax2，由圖象可知，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝，∴×a×12＝，解得a＝1； (2)如圖2，作PD⊥AB于D，由圖象可知，PB＝5×2－2x＝10－2x，PD＝PB·sinB＝(10－2x)·sinB，∴y＝×AQ×PD＝x×(10－2x)·sinB，∵當(dāng)x＝4時(shí)，y＝，

13、∴×4×(10－2×4)·sinB＝，解得，sinB＝，∴y＝x×(10－2x)×＝－x2＋x；(3)x2＝－x2＋x，解得，x1＝0，x2＝2，由圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝x2有最大值，最大值是×22＝2，－x2＋x＝2，解得，x1＝3，x2＝2，∴當(dāng)2＜x＜3時(shí)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段BC上某一段時(shí)△APQ的面積大于當(dāng)點(diǎn)P在線段AC上任意一點(diǎn)時(shí)△APQ的面積． 例2　(1)過P作PE⊥OA于E，∵PQ∥OA，PM∥OB，∴四邊形OMPQ為平行四邊形．∴PM＝OQ＝1，∠PME＝∠AOB＝60°，∴PE＝PM·sin60°＝，ME＝，∴CE＝OC－OM－ME＝，∴tan∠PCE＝＝，∴∠PCE

14、＝30°，∴∠CPM＝90°，又∵PM∥OB，∴∠CNO＝∠CPM＝90°，即CN⊥OB. (2)①－的值不發(fā)生變化．理由如下：設(shè)OM＝x，ON＝y(tǒng).∵四邊形OMPQ為菱形，∴OQ＝QP＝OM＝x，NQ＝y(tǒng)－x.∵PQ∥OA，∴∠NQP＝∠O.又∵∠QNP＝∠ONC，∴△NQP∽△NOC，∴＝，即＝，∴6y－6x＝xy.兩邊都除以6xy，得－＝，即－＝. ②過P作PE⊥OA于E，過N作NF⊥OA于F，則S1＝OM·PE，S2＝OC·NF，∴＝.∵PM∥OB，∴∠PMC＝∠O.又∵∠PCM＝∠NCO，∴△CPM∽△CNO.∴＝＝.∴＝＝－(x－3)2＋.∵0＜x＜6，由這個(gè)二次函數(shù)的圖

15、象可知，0＜≤.　 例3　(1)如圖1中，∵FB＝DF，F(xiàn)A＝FE，∴∠FAE＝∠FEA，∠B＝∠D，∴∠FAE＝∠B，∴AE∥BD，∴＝，∴＝，∴AE＝，故答案為. (2)如圖2中，作BN⊥FA于N，延長(zhǎng)AB、DC交于點(diǎn)M，連結(jié)BD、AD、BF、CF.在Rt△BFN中，∵∠BNF＝90°，BN＝，F(xiàn)N＝AN＋AF＝＋2＝，∴BF＝＝，同理得到AC＝DF＝，∵∠ABC＝∠BCD＝120°，∴∠MBC＝∠MCB＝60°，∴∠M＝60°，∴CM＝BC＝BM，∵∠M＋∠MAF＝180°，∴AF∥DM，∵AF＝CM，∴四邊形AMCF是平行四邊形，∴CF＝AM＝3，∵∠BCM＝∠CBD＋∠C

16、DB＝60°，∠CBD＝∠CDB，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∵∠M＝60°，∴∠MBD＝90°，∴BD＝＝2，BE＝＝，∵<3<2＜，∴用三根鋼條連接頂點(diǎn)使該鋼架不能活動(dòng)，∴連結(jié)AC、BF、DF即可，∴所用三根鋼條總長(zhǎng)度的最小值為3，故答案為3. 【變式拓展】 1． B　 2. (1)1　(2)4　 3.(1)C　(2)2≤a≤3　(3)a<0或a>2或0

17、直角△BAH中，AB＝5，∴BH＝AB＝4，AH＝AB＝3，∴OH＝OA＋AH＝5＋3＝8，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(8，4)； (2)如圖1，過點(diǎn)A作AM⊥OC于點(diǎn)M，在直角△AOM中，∵tan∠AOC＝，OA＝5，∴AM＝OA＝4，OM＝OA＝3，∵OG＝4，∴GM＝OG－OM＝4－3＝1，∴AG＝＝＝； (3)如圖1，過點(diǎn)A作AN⊥EF于點(diǎn)N，∵在△AOM與△AFN中，∴△AOM≌△AFN(AAS)，∴AM＝AN，∴GA平分∠OGE. (4)如圖2，過點(diǎn)G作GQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由旋轉(zhuǎn)可知：∠OAF＝∠BAD＝α.∵AB＝AD，∴∠ABP＝，∵∠AOT＝∠F，∠OTA＝∠GTF，∴∠OGF＝∠O

18、AF＝α，∴∠OGA＝∠EGA＝，∴∠OGA＝∠ABP，又∵∠GOA＝∠BAP，∴△GOA∽△BAP，∴＝，∴GQ＝×4＝.∵tan∠AOC＝，∴OQ＝×＝，∴G. 【熱點(diǎn)題型】 【分析與解】探究一：(1)依題意畫出圖形，如圖1所示：由題意，得∠CFB＝60°，F(xiàn)P為角平分線，則∠CFP＝30°.∴CF＝BC·tan30°＝3×＝.∴CP＝CF·tan∠CFP＝×＝1.過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，則AG＝BC＝，∴PG＝CG－CP＝－1＝.在Rt△APG中，由勾股定理得：AP＝＝＝. 　(2)由(1)可知，F(xiàn)C＝，如圖2所示，以點(diǎn)A為圓心，以FC＝長(zhǎng)為半徑畫弧，與BC交于點(diǎn)P1、P

19、2，則AP1＝AP2＝.過點(diǎn)A作AG⊥BC于點(diǎn)G，則AG＝BC＝，在Rt△AGP1中，cos∠P1AG＝＝＝，∴∠P1AG＝30°.∴∠P1AB＝45°－30°＝15°.同理求得，∠P2AG＝30°，∠P2AB＝45°＋30°＝75°.∴∠PAB的度數(shù)為15°或75°. 探究二：△AMN的周長(zhǎng)存在最小值．如圖3所示，連結(jié)AD，∵△ABC為等腰直角三角形，點(diǎn)D為斜邊BC的中點(diǎn)，∴AD＝CD，∠C＝∠MAD＝45°.∵∠EDF＝90°，∠ADC＝90°，∠MDA＝∠NDC.∵在△AMD與△CND中，∴△AMD≌△CND(ASA)．∴AM＝CN.設(shè)AM＝x，則CN＝x，AN＝AC－CN＝BC－CN＝－x，在Rt△AMN中，由勾股定理得：MN＝＝＝＝，∴△AMN的周長(zhǎng)為：AM＋AN＋MN＝＋.當(dāng)x＝時(shí)，有最小值，最小值為＋＝.∴△AMN周長(zhǎng)的最小值為. 【錯(cuò)誤警示】 如圖2，若雙曲線與△ABC有公共點(diǎn)，則雙曲線向下最多到點(diǎn)C，向上最多到與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)過點(diǎn)C時(shí)，解得k＝1；當(dāng)雙曲線與直線AB只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB解析式為y＝ax＋b，∵A(1，4)，B(4，1)，∴解得∴直線AB的解析式為y＝－x＋5，∴∴x2－5x＋k＝0，則該方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，∴Δ＝0，即(－5)2－4k＝0，解得k＝，∴k的取值范圍為：1≤k≤. 11