重慶市2018年中考數(shù)學題型復習 題型七 幾何圖形的相關證明及計算 類型三 向角兩邊作垂線練習

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1、 類型三 向角兩邊作垂線 1. 如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E是BC邊上的一點，且AF平分∠DAE. (1)若正方形ABCD的邊長是4，BE＝3, 求EF的長； (2)求證：AE＝EC＋CD. 第1題圖 2. (2017重慶育才一模)已知，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，E為邊AC任意一點，連接BE. (1)如圖①，若∠ABE＝15°，O為BE中點，連接AO，且AO＝1，求BC的長； (2)如圖②，F(xiàn)也為AC上一點，且滿足AE＝CF，過A作AD⊥BE交BE于點H，交BC于點D，連接DF

2、交BE于點G，連接AG.若AG平分∠CAD，求證：AH＝AC. 第2題圖 答案 1. (1)解：∵正方形ABCD， ∴AD＝CD＝BC, ∠D＝∠C＝90°. ∵BE＝3， ∴EC＝1. ∵F是CD的中點， ∴DF＝CF＝2. 在Rt△EFC中，由勾股定理得EF＝＝＝. (2)證明：如解圖，過點F作FG⊥AE于點G， ∵AF平分∠DAE，∠D＝90°， ∴FG＝DF. 在Rt△ADF和△AGF中， ∵AF＝AF，DF＝GF， ∴△ADF≌△AGF(HL)， ∴AG＝AD. ∵DF＝FC＝FG，EF＝EF，

3、∠C＝∠FGE＝90°， ∴△FCE≌△FGE(HL)， ∴CE＝GE. ∵AE＝AG＋GE，AG＝AD＝CD，GE＝CE， ∴AE＝EC＋CD. 第1題解圖 2. (1)解：如解圖①，在AB上取一點M，使得BM＝ME，連接ME. 在Rt△ABE中， ∵OB＝OE， ∴BE＝2OA＝2， ∵MB＝ME， ∴∠MBE＝∠MEB＝15°， ∴∠AME＝∠MBE＋∠MEB＝30°，設AE＝x，則ME＝BM＝2x，AM＝x， ∵AB2＋AE2＝BE2， ∴(2x＋x)2＋x2＝22， ∴x＝或(舍)， ∴AB＝AC＝(2＋)·， ∴BC＝AB＝＋1. 第2題

4、解圖① (2)證明：如解圖②， 過點G作GM⊥AC于M. ∵AG平分∠CAD, GH⊥AD， ∴GH＝GM. 在Rt△GAH和Rt△GAM中，， ∴△GAH≌△GAM(HL), ∴AH＝AM. 過點C作CP⊥AC，交AD的延長線于P， ∵BE⊥AP，∴∠AHB＝90°，∴∠ABH＋∠BAH＝90°， ∵∠BAH＋∠PAC＝90°，∴∠ABE＝∠PAC， 在△ABE和△CAP中，， ∴△ABE≌△CAP(ASA)， ∴AE＝CP＝CF，∠AEB＝∠P, 在△DCF和△DCP中，， ∴△DCF≌△DCP(SAS)，∴∠DFC＝∠P，∴∠GFE＝∠GEF， ∴GE＝GF， ∵GM⊥EF，∴FM＝ME， ∵AE＝CF，∴AF＝CE， ∴AM＝CM， ∴AH＝AM＝CM＝AC. 第2題解圖② 5