（北京專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 空間與圖形 5.2 圖形的相似（試卷部分）課件.ppt

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5 2圖形的相似 中考數(shù)學(xué) 北京專用 2014 2018年北京中考題組 五年中考 1 2013北京 5 4分 如圖 為估算某河的寬度 在河對岸邊選定一個(gè)目標(biāo)點(diǎn)A 在近岸取點(diǎn)B C D 使得AB BC CD BC 點(diǎn)E在BC上 并且點(diǎn)A E D在同一條直線上 若測得BE 20m EC 10m CD 20m 則河的寬度AB等于 A 60mB 40mC 30mD 20m 答案B ABE ECD 90 AEB DEC ABE DCE AB 40m 故選B 2 2011北京 4 4分 如圖 在梯形ABCD中 AD BC 對角線AC BD相交于點(diǎn)O 若AD 1 BC 3 則的值為 A B C D 答案B AD BC AOD COB 故選B 3 2018北京 13 2分 如圖 在矩形ABCD中 E是邊AB的中點(diǎn) 連接DE交對角線AC于點(diǎn)F 若AB 4 AD 3 則CF的長為 答案 解析 四邊形ABCD是矩形 AB CD CD AB 4 BC AD 3 DCA CAB 又 DFC AFE CDF AEF E是邊AB的中點(diǎn) AB 4 AE 2 BC 3 AB 4 ABC 90 AC 5 CF 4 2017北京 13 3分 如圖 在 ABC中 M N分別為AC BC的中點(diǎn) 若S CMN 1 則S四邊形ABNM 答案3 解析 M N分別為AC BC的中點(diǎn) MN AB 且MN AB CMN CAB 且相似比為1 2 S CMN 1 S CAB 4 S四邊形ABNM S CAB S CMN 4 1 3 5 2014北京 10 4分 在某一時(shí)刻 測得一根高為1 8m的竹竿的影長為3m 同時(shí)測得一根旗桿的影長為25m 那么這根旗桿的高度為m 答案15 解析如圖 竹竿為CD 其影子為C D 旗桿為AB 其影子為A B 易得 AA B CC D 即 AB 15m 6 2012北京 11 4分 如圖 小明同學(xué)用自制的直角三角形紙板DEF測量樹的高度AB 他調(diào)整自己的位置 設(shè)法使斜邊DF保持水平 并且邊DE與點(diǎn)B在同一直線上 已知紙板的兩條直角邊DE 40cm EF 20cm 測得邊DF離地面的高度AC 1 5m CD 8m 則樹高AB m 答案5 5 解析由已知得 DEF DCB DE 40cm 0 4m EF 20cm 0 2m BC 4m AB 4 1 5 5 5 m 教師專用題組 考點(diǎn)一相似與位似的有關(guān)概念 1 2017四川成都 8 3分 如圖 四邊形ABCD和A B C D 是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形 若OA OA 2 3 則四邊形ABCD與四邊形A B C D 的面積比為 A 4 9B 2 5C 2 3D 答案A由位似圖形的性質(zhì)知 所以 故選A 2 2017黑龍江哈爾濱 9 3分 如圖 在 ABC中 D E分別為AB AC邊上的點(diǎn) DE BC 點(diǎn)F為BC邊上一點(diǎn) 連接AF交DE于點(diǎn)G 則下列結(jié)論中一定正確的是 A B C D 答案C根據(jù)平行線分線段成比例定理可知 所以選項(xiàng)A B D錯(cuò)誤 選項(xiàng)C正確 故選C 3 2015甘肅蘭州 5 4分 如圖 線段CD兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為C 1 2 D 2 0 以原點(diǎn)為位似中心 將線段CD放大得到線段AB 若點(diǎn)B的坐標(biāo)為 5 0 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 A 2 5 B 2 5 5 C 3 5 D 3 6 答案B設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 x y 由位似圖形的性質(zhì)知 得x 2 5 y 5 則點(diǎn)A的坐標(biāo)為 2 5 5 故選B 4 2014河北 13 3分 在研究相似問題時(shí) 甲 乙同學(xué)的觀點(diǎn)如下 對于兩人的觀點(diǎn) 下列說法正確的是 A 兩人都對B 兩人都不對C 甲對 乙不對D 甲不對 乙對 答案A由題意知新三角形與原三角形的對應(yīng)角相等 所以兩個(gè)三角形相似 甲的觀點(diǎn)正確 新矩形與原矩形的對應(yīng)角相等 但對應(yīng)邊的比并不相等 所以新矩形與原矩形不相似 乙的觀點(diǎn)也正確 故選A 5 2014湖北武漢 6 3分 如圖 線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A 6 6 B 8 2 以原點(diǎn)O為位似中心 在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD 則端點(diǎn)C的坐標(biāo)為 A 3 3 B 4 3 C 3 1 D 4 1 答案A 線段AB兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A 6 6 B 8 2 以原點(diǎn)O為位似中心 在第一象限內(nèi)將線段AB縮小為原來的后得到線段CD 端點(diǎn)C的坐標(biāo)為 3 3 故選A 6 2017甘肅蘭州 17 4分 如圖 四邊形ABCD與四邊形EFGH位似 位似中心是點(diǎn)O 則 答案 解析 四邊形ABCD與四邊形EFGH位似 OEF OAB OFG OBC 7 2015甘肅蘭州 17 4分 如果 k b d f 0 且a c e 3 b d f 那么k 答案3 解析由題意得a bk c dk e fk 則a c e k b d f 3 b d f 故k 3 8 2015遼寧沈陽 14 4分 如圖 ABC與 DEF位似 位似中心為點(diǎn)O 且 ABC的面積等于 DEF面積的 則AB DE 答案2 3 解析 ABC與 DEF位似 ABC DEF S ABC S DEF 舍負(fù) 即AB DE 2 3 9 2018安徽 17 8分 如圖 在由邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的10 10網(wǎng)格中 已知點(diǎn)O A B均為網(wǎng)格線的交點(diǎn) 1 在給定的網(wǎng)格中 以點(diǎn)O為位似中心 將線段AB放大為原來的2倍 得到線段A1B1 點(diǎn)A B的對應(yīng)點(diǎn)分別為A1 B1 畫出線段A1B1 2 將線段A1B1繞點(diǎn)B1逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 得到線段A2B1 畫出線段A2B1 3 以A A1 B1 A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積是個(gè)平方單位 解析 1 線段A1B1如圖所示 3分 2 線段A2B1如圖所示 6分 3 20 8分 提示 根據(jù) 1 2 可知四邊形AA1B1A2是正方形 邊長為 2 以A A1 B1 A2為頂點(diǎn)的四邊形AA1B1A2的面積為 2 2 20 個(gè)平方單位 10 2015寧夏 20 6分 在平面直角坐標(biāo)系中 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A 2 4 B 3 2 C 6 3 1 畫出 ABC關(guān)于x軸對稱的 A1B1C1 2 以M點(diǎn)為位似中心 在網(wǎng)格中畫出 A1B1C1的位似圖形 A2B2C2 使 A2B2C2與 A1B1C1的相似比為2 1 解析 1 如圖所示 3分 2 如圖所示 6分 考點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)與判定 1 2018湖北黃岡 5 3分 如圖 在Rt ABC中 ACB 90 CD為AB邊上的高 CE為AB邊上的中線 AD 2 CE 5 則CD A 2B 3C 4D 2 答案C在Rt ABC中 因?yàn)镃E為AB邊上的中線 所以AB 2CE 2 5 10 又AD 2 所以BD 8 易證 ACD CBD 則CD2 AD DB 2 8 16 所以CD 4 故選C 2 2018內(nèi)蒙古包頭 12 3分 如圖 在四邊形ABCD中 BD平分 ABC BAD BDC 90 E為BC的中點(diǎn) AE與BD相交于點(diǎn)F 若BC 4 CBD 30 則DF的長為 A B C D 答案D如圖 連接DE BD平分 ABC CBD 30 1 2 30 在Rt BCD中 BD BC cos30 2 在Rt ABD中 AB BD cos30 3 E為BC的中點(diǎn) ED BE 2 3 2 1 DE AB AFB EFD 即 DF 故選D 解題關(guān)鍵本題考查了含30 角的直角三角形的性質(zhì) 三角形相似的判定和性質(zhì) 解答本題的關(guān)鍵是作出Rt BCD斜邊上的中線 思路分析根據(jù)題意得 在Rt ABD和Rt BCD中 ABD CBD 30 由BC 4 求得BD 2 進(jìn)而求得AB 3 由E是BC的中點(diǎn) 得ED BE 進(jìn)而可得DE AB 所以 AFB EFD 進(jìn)而求出DF的長 3 2018內(nèi)蒙古包頭 11 3分 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 直線l1 y x 1與x軸 y軸分別交于點(diǎn)A和點(diǎn)B 直線l2 y kx k 0 與直線l1在第一象限交于點(diǎn)C 若 BOC BCO 則k的值為 A B C D 2 答案B如圖 作CD OA于點(diǎn)D 則CD BO 易得直線l1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A 2 0 B 0 1 在Rt AOB中 AB 3 BOC BCO BC BO 1 AC 2 CD BO AOB ADC CD AD C 代入y kx中 得 k 解得k 故選B 思路分析求出直線l1與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)A B的坐標(biāo) 由勾股定理求得AB 由CD BO得 AOB ADC 進(jìn)而求得C點(diǎn)坐標(biāo) 將C點(diǎn)坐標(biāo)代入y kx 即可求出k值 解后反思本題考查了一次函數(shù)的圖象 勾股定理 相似三角形的判定與性質(zhì) 根據(jù)題意求得直線l與坐標(biāo)軸所構(gòu)成的三角形的邊長 利用數(shù)形結(jié)合的方法 由三角形相似得出點(diǎn)C的坐標(biāo) 再求k值 4 2017甘肅蘭州 13 4分 如圖 小明為了測量一涼亭的高度AB 頂端A到水平地面BD的距離 在涼亭的旁邊放置一個(gè)與涼亭臺(tái)階BC等高的平臺(tái)DE DE BC 0 5米 A C B三點(diǎn)共線 把一面鏡子水平放置在平臺(tái)上的點(diǎn)G處 測得CG 15米 然后沿著直線CG后退到點(diǎn)E處 這時(shí)恰好在鏡子里看到?jīng)鐾さ捻敹薃 測得GE 3米 小明身高EF 1 6米 則涼亭的高度AB約為 A 8 5米B 9米C 9 5米D 10米 答案A由光線反射可知 AGC FGE 又 FEG ACG 90 FEG ACG FE AC EG CG 1 6 AC 3 15 AC 8米 BC 0 5米 AB AC BC 8 5米 解題關(guān)鍵本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì) 解答本題的關(guān)鍵是判定 FEG與 ACG相似 5 2017河北 7 3分 若 ABC的每條邊長增加各自的10 得 A B C 則 B 的度數(shù)與其對應(yīng)角 B的度數(shù)相比 A 增加了10 B 減少了10 C 增加了 1 10 D 沒有改變 答案D ABC的每條邊長增加各自的10 即變?yōu)樵瓉淼? 1倍 得到 A B C 根據(jù)相似三角形的判定方法可得 ABC A B C 所以 B B 故選D 6 2017陜西 8 3分 如圖 在矩形ABCD中 AB 2 BC 3 若點(diǎn)E是邊CD的中點(diǎn) 連接AE 過點(diǎn)B作BF AE交AE于點(diǎn)F 則BF的長為 A B C D 答案B由題意得 AFB D BAD 90 FAB DAE 90 FAB ABF 90 ABF DAE ADE BFA 則 即 3 設(shè)AF x x 0 則BF 3x 在Rt ABF中 由勾股定理得AF2 BF2 AB2 即x2 3x 2 22 解得x 負(fù)值舍去 所以3x 即BF 故選B 思路分析先通過證明 ADE BFA得到AF與BF的數(shù)量關(guān)系 再在Rt ABF中 由勾股定理建立方程求解 7 2016重慶 8 4分 ABC與 DEF的相似比為1 4 則 ABC與 DEF的周長比為 A 1 2B 1 3C 1 4D 1 16 答案C因?yàn)?ABC與 DEF的相似比為1 4 所以由相似三角形周長的比等于相似比 得 ABC與 DEF的周長比為1 4 故選C 8 2016河北 15 2分 如圖 ABC中 A 78 AB 4 AC 6 將 ABC沿圖示中的虛線剪下 剪下的陰影三角形與原三角形的是 答案C選項(xiàng)A與B中剪下的陰影三角形分別與原三角形有兩組角對應(yīng)相等 可得陰影三角形與原三角形相似 選項(xiàng)D中剪下的陰影三角形與原三角形有兩邊之比都是2 3 且兩邊的夾角相等 所以兩個(gè)三角形也是相似的 故選C 思路分析本題應(yīng)借助相似三角形的判定來解決 解題關(guān)鍵本題考查相似三角形的判定 熟練掌握三角形相似的判定方法是解決問題的關(guān)鍵 9 2015江蘇南京 3 2分 如圖 在 ABC中 DE BC 則下列結(jié)論中正確的是 A B C D 答案C DE BC ADE ABC 故選項(xiàng)A B錯(cuò)誤 根據(jù) 相似三角形的周長比等于相似比 面積比等于相似比的平方 可知選項(xiàng)C正確 選項(xiàng)D錯(cuò)誤 故選C 10 2015內(nèi)蒙古呼和浩特 7 3分 如圖 有一塊矩形紙片ABCD AB 8 AD 6 將紙片折疊 使得AD邊落在AB邊上 折痕為AE 再將 AED沿DE向右翻折 AE與BC的交點(diǎn)為F 則 CEF的面積為 A B C 2D 4 答案C在題中的第三個(gè)圖中 AD 6 AB 4 DE 6 因?yàn)锽F DE 所以 ABF ADE 所以 即 解得BF 4 所以CF 2 S CEF CE CF 2 11 2015四川綿陽 12 3分 如圖 D是等邊 ABC邊AB上的一點(diǎn) 且AD DB 1 2 現(xiàn)將 ABC折疊 使點(diǎn)C與D重合 折痕為EF 點(diǎn)E F分別在AC和BC上 則CE CF A B C D 答案B設(shè)等邊 ABC的邊長為3 則AD 1 BD 2 由折疊的性質(zhì)可知 C EDF 60 EDA FDB 120 在 AED中 A 60 AED ADE 120 AED BDF 又 A B AED BDF 又 CE DE CF DF 可得2CE 3CF CE CF CF 3CE CE CF 2CE 3CF CF 3CE 故選B 12 2014貴州貴陽 7 3分 如圖 在方格紙中 ABC和 EPD的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上 要使 ABC EPD 則點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為 A P1B P2C P3D P4 答案C由題圖可知 E A 90 要使 ABC EPD 則 2 所以EP 2AB 6 點(diǎn)P所在的格點(diǎn)為P3 故選C 13 2018云南 5 3分 如圖 已知AB CD 若 則 答案 解析 AB CD A C B D AOB COD 14 2018安徽 14 5分 矩形ABCD中 AB 6 BC 8 點(diǎn)P在矩形ABCD的內(nèi)部 點(diǎn)E在邊BC上 滿足 PBE DBC 若 APD是等腰三角形 則PE的長為 答案3或 解析在矩形ABCD中 AD BC 8 在 ABD中 由勾股定理可得BD 10 AB AD 根據(jù) PBE DBC可知P點(diǎn)在線段BD上 當(dāng)AD PD 8時(shí) 由相似可得 PE 當(dāng)AP PD時(shí) P點(diǎn)為BD的中點(diǎn) PE CD 3 故答案為3或 思路分析根據(jù)AB AD及已知條件先判斷P點(diǎn)在線段BD上 再根據(jù)等腰三角形腰的情況分兩種情況 AD PD 8 AP PD 再由相似三角形中對應(yīng)邊的比相等求解即可 難點(diǎn)突破判斷P點(diǎn)在線段BD上是解答本題的突破口 15 2017吉林 12 3分 如圖 數(shù)學(xué)活動(dòng)小組為了測量學(xué)校旗桿AB的高度 使用長為2m的竹竿CD作為測量工具 移動(dòng)竹竿 使竹竿頂端的影子與旗桿頂端的影子在地面O處重合 測得OD 4m BD 14m 則旗桿AB的高為m 答案9 解析 OD 4m BD 14m OB 18m 由題意知 ODC OBA 即 得AB 9m 16 2016江蘇南京 15 2分 如圖 AB CD相交于點(diǎn)O OC 2 OD 3 AC BD EF是 ODB的中位線 且EF 2 則AC的長為 答案 解析 EF是 ODB的中位線 OE OD EF BD AC BD EF BD AC EF AC 17 2016湖北武漢 16 3分 如圖 在四邊形ABCD中 ABC 90 AB 3 BC 4 CD 10 DA 5 則BD長為 答案2 解析如圖 連接AC 過點(diǎn)D作DE BC 交BC的延長線于E ABC 90 AB 3 BC 4 AC 5 CD 10 DA 5 AC2 CD2 AD2 ACD 90 ACB DCE 90 ACB BAC 90 BAC DCE 又 ABC DEC 90 ABC CED 即 CE 6 DE 8 在Rt BED中 BD 2 18 2015山東臨沂 18 3分 如圖 在 ABC中 BD CE分別是邊AC AB上的中線 BD與CE相交于點(diǎn)O 則 答案2 解析連接DE BD CE是AC AB邊上的中線 DE為 ABC的中位線 DE BC DE BC OBC ODE 2 19 2015江蘇鎮(zhèn)江 8 2分 如圖 在 ABCD中 E為AD的中點(diǎn) BE CD的延長線相交于點(diǎn)F 若 DEF的面積為1 則 ABCD的面積等于 答案4 解析在 ABCD中 AB DC AE DE AD BC 易證 AEB DEF FED FBC 所以S AEB S DEF 1 FD FC 所以S CBF 4 所以S ABCD 4 20 2014黑龍江哈爾濱 20 3分 如圖 在 ABC中 4AB 5AC AD為 ABC的角平分線 點(diǎn)E在BC的延長線上 EF AD于點(diǎn)F 點(diǎn)G在AF上 FG FD 連接EG交AC于點(diǎn)H 若點(diǎn)H是AC的中點(diǎn) 則的值為 答案 解析 EF AD FG FD EF垂直平分GD EG ED EGD EDG AGH ADB 又 BAD HAG ABD AHG 4AB 5AC AH AC 21 2018江西 14 6分 如圖 在 ABC中 AB 8 BC 4 CA 6 CD AB BD是 ABC的平分線 BD交AC于點(diǎn)E 求AE的長 解析 BD平分 ABC ABD CBD AB CD ABD D ABE CDE CBD D BC CD AB 8 CA 6 CD BC 4 AE 4 思路分析根據(jù)角平分線性質(zhì)和平行線的性質(zhì)求出 D CBD 進(jìn)而可得BC CD 4 通過 ABE CDE 得出含AE的比例式 求出AE的值 方法總結(jié)證明三角形相似的常見方法 平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊或其延長線相交 所構(gòu)成的三角形與原三角形相似 相似的基本圖形可分別記為 A 型和 X 型 如圖所示 在應(yīng)用時(shí)要善于從復(fù)雜的圖形中抽象出這些基本圖形 22 2018陜西 20 7分 周末 小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)測量家門前小河的寬 測量時(shí) 他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹 將其底部作為點(diǎn)A 在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B 使得AB與河岸垂直 并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC 再在AB的延長線上選擇點(diǎn)D 豎起標(biāo)桿DE 使得點(diǎn)E與點(diǎn)C A共線 已知 CB AD ED AD 測得BC 1m DE 1 5m BD 8 5m 測量示意圖如圖所示 請根據(jù)相關(guān)測量信息 求河寬AB 解析 CB AD ED AD ABC ADE 90 BAC DAE ABC ADE 3分 5分 BC 1m DE 1 5m BD 8 5m AB 17m 河寬AB為17m 7分 思路分析首先根據(jù) ABC ADE BAC DAE判定 ABC ADE 再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出 進(jìn)而可求得AB的值 方法指導(dǎo)解與三角形有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用題時(shí)應(yīng)注意的事項(xiàng) 審題 結(jié)合圖形通讀題干 第一時(shí)間鎖定采用的知識(shí)點(diǎn) 如 觀察題圖是否含有已知度數(shù)的角 如果含有 考慮利用銳角三角函數(shù)解題 如果僅涉及三角形的邊長 則采用相似三角形的性質(zhì)解題 篩選信息 由于實(shí)際問題文字閱讀量較大 因此篩選有效信息尤為關(guān)鍵 構(gòu)造圖形 只要是與三角形有關(guān)的實(shí)際問題都會(huì)涉及圖形的構(gòu)造 如果題干中給出了相應(yīng)的圖形 則可直接利用所給圖形進(jìn)行計(jì)算 必要時(shí)可添加輔助線 若未給出圖形 則需要通過 中獲取的信息構(gòu)造幾何圖形進(jìn)行解題 23 2017安徽 23 14分 已知正方形ABCD 點(diǎn)M為邊AB的中點(diǎn) 1 如圖1 點(diǎn)G為線段CM上的一點(diǎn) 且 AGB 90 延長AG BG分別與邊BC CD交于點(diǎn)E F 求證 BE CF 求證 BE2 BC CE 2 如圖2 在邊BC上取一點(diǎn)E 滿足BE2 BC CE 連接AE交CM于點(diǎn)G 連接BG并延長交CD于點(diǎn)F 求tan CBF的值 圖1圖2 解析 1 證明 四邊形ABCD為正方形 AB BC ABC BCF 90 又 AGB 90 BAE ABG 90 又 ABG CBF 90 BAE CBF ABE BCF ASA BE CF 4分 證明 AGB 90 點(diǎn)M為AB的中點(diǎn) MG MA MB GAM AGM 又 CGE AGM 從而 CGE CBG 又 ECG GCB CGE CBG 即CG2 BC CE 由 CFG GBM BGM CGF 得CF CG 由 知 BE CF BE CG BE2 BC CE 9分 2 解法一 延長AE DC交于點(diǎn)N 如圖1 圖1 四邊形ABCD是正方形 AB CD N EAB 又 CEN BEA CEN BEA 故 即BE CN AB CE AB BC BE2 BC CE CN BE 由AB DN知 又AM MB FC CN BE 不妨令正方形的邊長為1 設(shè)BE x 則由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 于是tan CBF 14分 解法二 不妨令正方形的邊長為1 設(shè)BE x 則由BE2 BC CE 得x2 1 1 x 解得x1 x2 舍去 即BE 作GN BC交AB于N 如圖2 圖2則 MNG MBC 設(shè)MN y 則GN 2y GM y 即 解得y GM 從而GM MA MB 此時(shí)點(diǎn)G在以AB為直徑的圓上 AGB是直角三角形 且 AGB 90 由 1 知BE CF 于是tan CBF 14分 24 2017浙江杭州 19 8分 如圖 在銳角三角形ABC中 點(diǎn)D E分別在邊AC AB上 AG BC于點(diǎn)G AF DE于點(diǎn)F EAF GAC 1 求證 ADE ABC 2 若AD 3 AB 5 求的值 解析 1 證明 因?yàn)锳F DE AG BC 所以 AFE 90 AGC 90 所以 AEF 90 EAF C 90 GAC 又因?yàn)?EAF GAC 所以 AEF C 又因?yàn)?DAE BAC 所以 ADE ABC 2 因?yàn)?ADE ABC 所以 ADE B 又因?yàn)?AFD AGB 90 所以 AFD AGB 所以 又因?yàn)锳D 3 AB 5 所以 25 2016湖北武漢 23 10分 在 ABC中 P為邊AB上一點(diǎn) 1 如圖1 若 ACP B 求證 AC2 AP AB 2 若M為CP的中點(diǎn) AC 2 如圖2 若 PBM ACP AB 3 求BP的長 如圖3 若 ABC 45 A BMP 60 直接寫出BP的長 圖1 圖2圖3 解析 1 證明 ACP B A A ACP ABC 2分 AC2 AP AB 3分 2 解法一 延長PB至點(diǎn)D 使BD PB 連接CD M為CP中點(diǎn) CD MB D PBM 4分 PBM ACP D PBM ACP 由 1 得AC2 AP AD 5分 設(shè)BP x 則22 3 x 3 x 解得x 舍去負(fù)根 即BP 7分 解法二 取AP的中點(diǎn)E 連接EM M為CP中點(diǎn) ME AC EM AC 1 4分 PME ACP PBM ACP PME PBM 由 1 得EM2 EP EB 5分 設(shè)BP x 則12 解得x 舍去負(fù)根 即BP 7分 BP 1 10分 26 2016陜西 17 5分 如圖 已知 ABC BAC 90 請用尺規(guī)過點(diǎn)A作一條直線 使其將 ABC分成兩個(gè)相似的三角形 保留作圖痕跡 不寫作法 解析如圖 直線AD即為所作 5分 27 2015江蘇南京 20 8分 如圖 ABC中 CD是邊AB上的高 且 1 求證 ACD CBD 2 求 ACB的大小 解析 1 證明 CD是邊AB上的高 ADC CDB 90 又 ACD CBD 4分 2 ACD CBD A BCD 在 ACD中 ADC 90 A ACD 90 BCD ACD 90 即 ACB 90 8分 28 2015江蘇連云港 25 10分 如圖 在 ABC中 ABC 90 BC 3 D為AC延長線上一點(diǎn) AC3CD 過點(diǎn)D作DH AB 交BC的延長線于點(diǎn)H 1 求BD cos HBD的值 2 若 CBD A 求AB的長 解析 1 DH AB BHD ABC 90 ACB DCH ABC DHC AC 3CD BC 3 CH 1 BH BC CH 4 在Rt BHD中 cos HBD BDcos HBD BH 4 4分 2 解法一 A CBD ABC BHD ABC BHD 6分 ABC DHC AB 3DH DH 2 AB 6 10分 解法二 CBD A BDC ADB CDB BDA BD2 CD AD BD2 CD 4CD 4CD2 BD 2CD 6分 CDB BDA AB 6 10分 29 2015上海 23 12分 已知 如圖 平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O 點(diǎn)E在邊BC的延長線上 且OE OB 連接DE 1 求證 DE BE 2 如果OE CD 求證 BD CE CD DE 證明 1 OE OB OBE OEB 平行四邊形ABCD的對角線相交于點(diǎn)O OB OD OE OD ODE OED 在 BDE中 OBE OEB OED ODE 180 BED 90 即DE BE 2 OE CD CDE DEO 90 又 CEO DEO 90 CDE CEO OBE OEB OBE CDE BED DEC DBE CDE BD CE CD DE 30 2014陜西 20 8分 某一天 小明和小亮來到一河邊 想用遮陽帽和皮尺測量這條河的大致寬度 兩人在確保無安全隱患的情況下 先在河岸邊選擇了一點(diǎn)B 點(diǎn)B與河對岸岸邊上的一棵樹的底部點(diǎn)D所確定的直線垂直于河岸 小明在B點(diǎn)面向樹的方向站好 調(diào)整帽檐 使視線通過帽檐正好落在樹的底部點(diǎn)D處 如圖所示 這時(shí)小亮測得小明眼睛距地面的距離AB 1 7米 小明站在原地轉(zhuǎn)動(dòng)180 后蹲下 并保持原來的觀察姿態(tài) 除身體重心下移外 其他姿態(tài)均不變 這時(shí)視線通過帽檐落在了DB延長線上的點(diǎn)E處 此時(shí)小亮測得BE 9 6米 小明的眼睛距地面的距離CB 1 2米 根據(jù)以上測量過程及測量數(shù)據(jù) 請你求出河寬BD是多少米 解析由題意知 BAD BCE 2分 ABD ABE 90 BAD BCE 4分 BD 13 6米 河寬BD是13 6米 8分 考點(diǎn)一相似與位似的有關(guān)概念 三年模擬 A組2016 2018年模擬 基礎(chǔ)題組 1 2016北京西城二模 5 利用復(fù)印機(jī)的縮放功能 將原圖中邊長為5cm的一個(gè)等邊三角形放大成邊長為20cm的等邊三角形 則放大前后的兩個(gè)三角形的面積比為 A 1 2B 1 4C 1 8D 1 16 答案D相似三角形面積比等于相似比的平方 所以面積比為 故選D 2 2018北京海淀二模 12 如圖 四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1是以O(shè)為位似中心的位似圖形 滿足OA1 A1A E F E1 F1分別是AD BC A1D1 B1C1的中點(diǎn) 則 答案 解析因?yàn)镺A1 A1A 所以 因?yàn)镋 F E1 F1分別是AD BC A1D1 B1C1的中點(diǎn) 所以 考點(diǎn)二相似三角形的性質(zhì)與判定 1 2017北京豐臺(tái)一模 7 如圖 比例規(guī)是一種畫圖工具 它由長度相等的兩腳AC和BD交叉構(gòu)成 利用它可以把線段按一定的比例伸長或縮短 如果把比例規(guī)的兩腳合上 使螺絲釘固定在刻度3的地方 即同時(shí)使OA 3OC OB 3OD 然后張開兩腳 使A B兩個(gè)尖端分別在線段a的兩個(gè)端點(diǎn)上 當(dāng)CD 1 8cm時(shí) AB的長為 A 7 2cmB 5 4cmC 3 6cmD 0 6cm 答案B由OA 3OC OB 3OD AOB COD 可知 AOB COD AB 3CD 5 4cm 故選B 2 2018北京西城一模 11 如圖 在 ABC中 DE AB DE分別與AC BC交于D E兩點(diǎn) 若 AC 3 則DC 答案2 解析 DE AB ABC DEC AC 3 DC 2 3 2018北京海淀一模 11 如圖 AB DE 若AC 4 BC 2 DC 1 則EC 答案2 解析 AB DE ABC EDC EC 2 4 2018北京朝陽一模 12 如圖 AB CD AB CD 則S ABO S CDO 答案1 4 解析 AB CD ABO CDO S ABO S CDO 1 4 5 2018北京石景山一模 14 如圖 在 ABC中 D E分別是AB AC邊上的點(diǎn) DE BC 若AD 6 BD 2 DE 3 則BC 答案4 解析 DE BC ADE ABC BC 4 6 2017北京海淀一模 12 如圖 AB CD相交于O點(diǎn) AOC BOD OC OD 1 2 AC 5 則BD的長為 答案10 解析 AOC BOD AC BD OC OD 1 2 BD 2AC 10 7 2017北京海淀二模 15 下圖是測量玻璃管內(nèi)徑的示意圖 點(diǎn)D正對 10mm 刻度線 點(diǎn)A正對 30mm 刻度線 DE AB 若量得AB的長為6mm 則內(nèi)徑DE的長為mm 答案2 解析 DE AB DE 2mm 8 2017北京順義一模 14 小剛身高180cm 他站立在陽光下的影子長為90cm 他把手臂豎直舉起 此時(shí)影子長為115cm 那么小剛的手臂超出頭頂cm 答案50 解析設(shè)小剛的手臂超出頭頂xcm 由題意可知 解得x 50 9 2017北京石景山一模 13 為了測量校園里水平地面上的一棵大樹的高度 數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)們開展如下活動(dòng) 某一時(shí)刻 測得身高1 6m的小明在陽光下的影長是1 2m 在同一時(shí)刻測得這棵大樹的影長是3 6m 則此樹的高度是m 答案4 8 解析設(shè)樹的高度為xm 由題意可得 解得x 4 8 10 2016北京海淀二模 13 據(jù)傳說 古希臘數(shù)學(xué)家 天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理 在金字塔影子的頂部立一根木桿 借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形 來測量金字塔的高度 如圖所示 木桿EF的長為2m 它的影長FD為3m 測得OA為201m 則金字塔的高度BO為m 答案134 解析由題意可知 BOA EFD BO 134m 11 2016北京昌平二模 12 如圖 小慧與小聰玩蹺蹺板 蹺蹺板支架EF的高為0 4米 E是AB的中點(diǎn) 那么小慧能將小聰翹起的最大高度BC等于米 答案0 8 解析由題意可知 AEF ABC 2 BC 2 0 4 0 8米 12 2018北京東城二模 19 如圖 在Rt ABC中 C 90 線段AB的垂直平分線交AC于點(diǎn)D 交AB于點(diǎn)E 1 求證 ADE ABC 2 當(dāng)AC 8 BC 6時(shí) 求DE的長 解析 1 證明 DE垂直平分線段AB AED 90 AED C A A ADE ABC 2 Rt ABC中 AC 8 BC 6 AB 10 DE平分AB AE 5 ADE ABC DE 一 填空題 每小題3分 共24分 B組2016 2018年模擬 提升題組 時(shí)間 30分鐘分值 40分 1 2018北京延慶一模 12 如圖 在 ABC中 D E分別是AB AC上的點(diǎn) DE BC 若AD 1 BD 3 則的值為 答案 解析 DE BC ADE ABC 2 2018北京豐臺(tái)一模 9 在某一時(shí)刻 測得身高為1 8m的小明的影長為3m 同時(shí)測得一建筑物的影長為10m 那么這個(gè)建筑物的高度為m 答案6 解析設(shè)這個(gè)建筑物的高度為xm 由題意可知 解得x 6 3 2018北京門頭溝一模 9 如圖 ABC AED AD 2 AE 3 EC 1 則BD 答案4 解析由相似可知 AB 6 BD 4 4 2017北京昌平二模 14 如圖 陽光通過窗口AB照射到室內(nèi) 在地面上留下4米寬的亮區(qū)DE 已知亮區(qū)DE到窗口下的墻角距離CE 5米 窗口高AB 2米 那么窗口底邊離地面的高BC 米 答案2 5 解析 陽光是平行光線 AD BE BC 2 5米 5 2017北京通州一模 14 如圖所示 某地三條互相平行的街道a b c與兩條公路相交 有六個(gè)路口 分別為A B C D E F 路段EF正在封閉施工 若已知路段AB約為270 1米 路段BC約為539 8米 路段DE約為282 0米 則封閉施工的路段EF的長約為米 答案563 6 解析由a b c可知 EF 563 6米 6 2017北京平谷一模 15 如圖 圓桌面正上方的燈泡發(fā)出的光線照射桌面后 在地面上形成陰影 圓形 已知燈泡距離地面2 4m 桌面距離地面0 8m 桌面厚度不計(jì)算 若桌面的面積是1 2m2 則地面上的陰影面積是m2 答案2 7 解析由題意可知 FG 0 8m AG 2 4m 易知 ADE ABC 地面上的陰影面積 1 2 2 7m2 7 2017北京順義一模 15 如圖 一張三角形紙片ABC 其中 C 90 AC 6 BC 8 小靜同學(xué)將紙片折疊兩次 第一次使點(diǎn)A落在C處 折痕記為m 然后將紙片展平進(jìn)行第二次折疊 使點(diǎn)A落在B處 折痕記為n 則m n的大小關(guān)系是 答案m n 解析由中位線定理可知m的長為4 由相似三角形的性質(zhì)可知 所以n的長為 所以m n 8 2016北京平谷一模 13 如圖 在 ABC中 D是AB邊上一點(diǎn) 連接CD 要使 ADC與 ABC相似 應(yīng)添加的條件是 答案 ACD ABC或 ADC ACB或 答案不唯一 解析已知 A A 要想證明 ADC與 ABC相似 可以要添加一組角相等 或 A的夾邊的比相等 答案不唯一 二 解答題 共16分 9 2018北京石景山二模 19 如圖 在等邊三角形ABC中 點(diǎn)D E分別在BC AB上 且 ADE 60 求證 ADC DEB 證明 ABC是等邊三角形 B C 60 ADB 1 C 1 60 ADE 60 ADB 2 60 1 2 ADC DEB 10 2016北京房山二模 20 已知 如圖 在 ABC中 點(diǎn)D E分別在邊AB AC上 且 AED ABC DE 3 BC 5 AC 12 求AD的長 解析 AED ABC A A AED ABC DE 3 BC 5 AC 12 AD 11 2016北京懷柔二模 28 在 ABC中 ABC 90 D為 ABC內(nèi)一動(dòng)點(diǎn) BD a CD b 其中a b為常數(shù) 且a b 將 CDB沿CB翻折 得到 CEB 連接AE 1 請?jiān)趫D1中補(bǔ)全圖形 2 若 ACB AE CE 則 AEB 3 在 2 的條件下 用含a b 的式子表示AE的長 解析 1 如圖 2 AEB 3 AE CE AEC 90 AEB BEC 90 過點(diǎn)B作BF BE 交AE于點(diǎn)F 則有 FBE 90 即 EBC CBF 90 ABC FBA CBF 90 EBC FBA BFA AEB EBF 90 BEC BFA EBC FBA tan BD a CD b BE a EC b AF btan 在Rt EBF中 EF AE EF AF btan 思路分析 1 依題意補(bǔ)圖 2 設(shè)AE與BC的交點(diǎn)為O 易證 COE AOB 再證 AOC BOE 對應(yīng)角相等 3 構(gòu)造相似三角形 將AE分成AF和EF兩部分 分別用b 和a 表示