廣西柳州市2019年中考數(shù)學 專題訓練04 與圓有關(guān)的計算和證明

專題訓練(四)與圓有關(guān)的計算和證明1.2017·慶陽如圖ZT4-1,AN是M的直徑,NBx軸,AB交M于點C.點A(0,6),N(0,2),ABN=30°.圖ZT4-1 (1)求點B的坐標;(2)若D為線段NB的中點,求證:直線CD是M的切線.2.2017·巴中如圖ZT4-2,AH是O的直徑,AE平分FAH,交O于點E,過點E的直線FGAF,垂足為F,B為半徑OH上一點,點E,F分別在矩形ABCD的邊BC和CD上.圖ZT4-2 (1)求證:直線FG是O的切線.(2)若AF=12,BE=6,求FCAD的值.3.2018·貴港如圖ZT4-3,已知O是ABC的外接圓,且AB=BC=CD,ABCD,連接BD.圖ZT4-3 (1)求證:BD是O的切線;(2)若AB=10,cosBAC=35,求BD的長及O的半徑.4.2018·曲靖如圖ZT4-4,AB為O的直徑,點C為O上一點,將BC沿直線BC翻折,使BC的中點D恰好與圓心O重合,連接OC,CD,BD,過點C的切線與線段BA的延長線交于點P,連接AD,在PB的另一側(cè)作MPB=ADC.圖ZT4-4 (1)判斷PM與O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)若PC=3,求四邊形OCDB的面積.5.2017·內(nèi)江如圖ZT4-5,在O中,直徑CD垂直于不過圓心O的弦AB,垂足為點N,連接AC,點E在AB上,且AE=CE.(1)求證:AC2=AE·AB;(2)過點B作O的切線交EC的延長線于點P,試判斷PB與PE是否相等,并說明理由;(3)設(shè)O的半徑為4,點N為OC中點,點Q在O上,求線段PQ的最小值.圖ZT4-56.2018·廣東如圖ZT4-6,四邊形ABCD中,AB=AD=CD,以AB為直徑的O經(jīng)過點C,連接AC,OD交于點E.圖ZT4-6 (1)證明:ODBC;(2)若tanABC=2,證明:DA與O相切;(3)在(2)的條件下,連接BD交O于點F,連接EF,若BC=1,求EF的長.參考答案1.解:(1)A的坐標為(0,6),N(0,2),AN=4.ABN=30°,ANB=90°,AB=2AN=8,由勾股定理可知NB=43,B(43,2).(2)證明:連接MC,NC.AN是M的直徑,ACN=90°,NCB=90°.在RtNCB中,D為NB的中點,CD=12NB=ND,CND=NCD,MC=MN,MCN=MNC.MNC+CND=90°,MCN+NCD=90°,即MCCD.直線CD是M的切線.2.解:(1)證明:連接OE.OA=OE,OAE=OEA.AE平分FAH,HAE=EAF,FAE=OEA,OEAF,OEG=AFG.又AFFG,AFG=90°,OEG=AFG=90°,OEFG,直線FG是O的切線.(2)四邊形ABCD為矩形,BEAB.EFAF,又AE平分FAB,EF=BE=6.又四邊形ABCD為矩形,D=C=90°.D=90°,DAF+AFD=90°.又AFFG,AFG=90°,AFD+CFE=90°,DAF=CFE.又D=C,ADFFCE,FCAD=EFAF.FCAD=612=12.3.解:(1)連接BO并延長交AC于H,由于O是ABC的外接圓,AB=BC,則BHAC且AH=CH,又AB=CD,ABCD,四邊形ABDC是平行四邊形,ACBD,BHBD,即OBBD,BD是O的切線.(2)由(1)知,BD=AC,而AC=2AH=2AB·cosBAC=2×10×35=12.BD=12.設(shè)圓的半徑為r,OH=x,則有r+x=BH,連接AO,在RtOAH中,AH2+x2=r2,又BH=AB2-AH2=102-62=8,r+x=8.又由AH2+x2=r2得,(r+x)(r-x)=AH2=36,r-x=92.,聯(lián)立,解得r=254,O的半徑為254.4.解:(1)過點O作OHPM,連接OD交BC于點E,由于點D為BC中點,且沿BC折疊與O重合,所以O(shè)D垂直平分BC,OE=12OD=12OB,所以O(shè)BC=30°,所以ADC=MPB=30°,則POH=60°,又因為POC=2OBC=60°,所以POH=POC,又因為PHO=PCO,PO=PO,所以PHOPCO,所以O(shè)H=OC,直線PM到圓心的距離等于半徑,且OHPM,因此PM是O的切線.(2)由于D是BC中點,且沿BC折疊與點O重合,所以O(shè)B=DB,OC=CD,又因為OC=OB,所以O(shè)C=CD=DB=BO,所以COD是等邊三角形,四邊形OCDB是菱形,由(1)得出CPO=HPO=30°,所以O(shè)C=PC×tan30°=3×33=1,則四邊形OCDB的面積為2×12×1×1×32=32,因此四邊形OCDB的面積為32.5.解:(1)證明:如圖,連接BC,CDAB,CB=CA,CAB=CBA.又AE=CE,CAE=ACE.ACE=ABC.CAE=BAC,CAEBAC.ACAB=AEAC,即AC2=AE·AB.(2)PB=PE.理由如下:如圖,連接BD,OB.CD是直徑,CBD=90°.BP是O的切線,OBP=90°.BCD+D=PBC+OBC=90°.OB=OC,OBC=OCB.PBC=D.A=D,PBC=A.ACE=ABC,PEB=A+ACE,PBN=PBC+ABC,PEB=PBN.PE=PB.(3)如圖,連接PO交O于點Q,則此時線段PQ有最小值.N是OC的中點,ON=2.OB=4,OBN=30°,PBE=60°.PE=PB,PEB是等邊三角形.PEB=60°,PB=BE.在RtBON中,BN=OB2-ON2=42-22=23.在RtCEN中,EN=CNtan60°=23=233.BE=BN+EN=833.PB=BE=833.PQ=PO-OQ=OB2+PB2-OQ=42+(833) 2-4=4321-4.6.解析 (1)連接OC,由SSS可證得OADOCD,得ADO=CDO,由AD=CD可證DEAC,再由AB為直徑證得BCAC,從而得ODBC;(2)根據(jù)tanABC=2,可設(shè)BC=a,則AC=2a,AD=AB=AC2+BC2=5a,由OE為中位線知OE=12a,AE=CE=12AC=a,進一步求得DE=AD2-AE2=2a,在AOD中利用勾股定理的逆定理證OAD=90°即可;(3)先證AFDBAD,得DF·BD=AD2,再證AEDOAD,得OD·DE=AD2,從而可得DF·BD=OD·DE,即DFOD=DEBD,結(jié)合EDF=BDO知EDFBDO,據(jù)此可得EFOB=DEBD,結(jié)合(2)所得相關(guān)線段的長,代入計算可得.解:(1)證明:連接OC,在OAD和OCD中,OA=OC,AD=CD,OD=OD,OADOCD(SSS),ADO=CDO.AD=CD,DEAC,AEO=90°.AB為O的直徑,ACB=90°,AEO=ACB,ODBC.(2)證明:tanABC=ACBC=2,設(shè)BC=a,則AC=2a,AD=AB=AC2+BC2=5a.OEBC,且AO=BO,OE=12BC=12a,AE=CE=12AC=a.在AED中,DE=AD2-AE2=2a.在AOD中,AO2+AD2=52a2+(5a)2=254a2,OD2=(OE+DE)2=12a+2a2=254a2,AO2+AD2=OD2,OAD=90°,則DA與O相切.(3)連接AF,AB是O的直徑,AFD=BAD=90°,又ADF=BDA,AFDBAD,DFAD=ADBD,即DF·BD=AD2.AED=OAD=90°,ADE=ODA,AEDOAD,ADOD=DEAD,即OD·DE=AD2.由可得DF·BD=OD·DE,即DFOD=DEBD,又EDF=BDO,EDFBDO,BC=1,AB=AD=5,OD=52,ED=2,BD=10,OB=52,EFOB=DEBD,即EF52=210,解得EF=22.12