2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)考點(diǎn)及題型 專題22 圖形的旋轉(zhuǎn)（含解析）

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1、專題22 圖形的旋轉(zhuǎn) 考點(diǎn)總結(jié) 【思維導(dǎo)圖】 【知識(shí)要點(diǎn)】 知識(shí)點(diǎn)一 旋轉(zhuǎn)的基礎(chǔ) 旋轉(zhuǎn)的概念：把一個(gè)平面圖形繞著平面內(nèi)某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)一個(gè)角度，叫作圖形的旋轉(zhuǎn).點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動(dòng)的角叫作旋轉(zhuǎn)角.如圖形上的點(diǎn)經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變化點(diǎn)，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫作這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn). 如圖所示，是繞定點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到的，其中點(diǎn)與點(diǎn)叫作對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線段與線段叫作對(duì)應(yīng)線段，與叫作對(duì)應(yīng)角，點(diǎn)叫作旋轉(zhuǎn)中心，（或）的度數(shù)叫作旋轉(zhuǎn)的角度. 【注意】 1.圖形的旋轉(zhuǎn)由旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向與旋轉(zhuǎn)的角度所決定. 2.旋轉(zhuǎn)中心可以是圖形內(nèi)，也可以是圖形外。 【圖形旋轉(zhuǎn)的三要素】旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角. 旋

2、轉(zhuǎn)的特征： ? 對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等； ? 對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角； ? 旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等. 旋轉(zhuǎn)作圖的步驟方法： ? 確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向、旋轉(zhuǎn)角； ? 找出圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)； ? 連接圖形上的關(guān)鍵點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心，然后按旋轉(zhuǎn)方向分別將它們旋轉(zhuǎn)一定的角度，得到關(guān)鍵點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)； ? 按原圖的順序連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，即得旋轉(zhuǎn)后的圖形. 平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱之間的聯(lián)系： 變化后不改變圖形的大小和形狀，對(duì)應(yīng)線段相等、對(duì)應(yīng)角相等。 平移、旋轉(zhuǎn)、軸對(duì)稱之間的區(qū)別： 1） 變化方式不同： 平移：將一個(gè)圖形沿某個(gè)方向移動(dòng)一定距離。 旋轉(zhuǎn)：將一個(gè)圖形繞一個(gè)頂點(diǎn)沿某

3、個(gè)方向轉(zhuǎn)一定角度。 軸對(duì)稱：將一個(gè)圖形沿一條直線對(duì)折。 2） 對(duì)應(yīng)線段、對(duì)應(yīng)角之間的關(guān)系不同 平移： 變化前后對(duì)應(yīng)線段平行（或在一條直線上），對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線平行（或在一條直線上），對(duì)應(yīng)角的兩邊平行（或在一條直線上）、方向一致。 旋轉(zhuǎn)： 變化前后任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心的連線所稱的角都是旋轉(zhuǎn)角。 軸對(duì)稱：對(duì)應(yīng)線段或延長線如果相交，那么交點(diǎn)在對(duì)稱軸上。 3）確定條件不同 平移：距離與方向 旋轉(zhuǎn)：旋轉(zhuǎn)的三要素。 軸對(duì)稱：對(duì)稱軸 1．（2018·湖南中考模擬）如圖，將正方形ABCD中的陰影三角形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到的圖形為（　?。? A． B． C． D． 【答案】A

4、 【解析】 順時(shí)針90°后，AD轉(zhuǎn)到AB邊上，所以，選A。 2．（2018·沭陽縣馬廠實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考模擬）將數(shù)字“6”旋轉(zhuǎn) 180°，得到數(shù)字“9”；將數(shù)字“9”旋轉(zhuǎn) 180°，得到數(shù)字 “6”．現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn) 180°，得到的數(shù)字是（ ） A．96 B．69 C．66 D．99 【答案】B 【詳解】 解：現(xiàn)將數(shù)字“69”旋轉(zhuǎn)180°，得到的數(shù)字是：69． 故選B． 3．（2014·湖南中考真題）下列四個(gè)圓形圖案中，分別以它們所在圓的圓心為旋轉(zhuǎn)中心，順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合的是（ ） A． B． C．D． 【答案】A 【解析】 試題分析：

5、A、最小旋轉(zhuǎn)角度==120°； B、最小旋轉(zhuǎn)角度==90°； C、最小旋轉(zhuǎn)角度==180°； D、最小旋轉(zhuǎn)角度==72°； 綜上可得：順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120°后，能與原圖形完全重合的是A． 故選A． 考查題型一 圖形旋轉(zhuǎn)的概念與性質(zhì)的應(yīng)用方法 1．（2018·甘肅中考真題）如圖，點(diǎn)E是正方形ABCD的邊DC上一點(diǎn)，把△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°到△ABF的位置，若四邊形AECF的面積為25，DE=2，則AE的長為（　?。? A．5 B． C．7 D． 【答案】D 【詳解】 ∵把△ADE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)△ABF的位置， ∴四邊形AECF的面積等于正方形ABCD的面積等于25，

6、∴AD=DC=5， ∵DE=2， ∴Rt△ADE中， 故選D． 2．（2019·天津中考模擬）如圖，將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC．若點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，∠ACB=20°，則∠ADC的度數(shù)是　　 A．55° B．60° C．65° D．70° 【答案】C 【詳解】 ∵將△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△EDC． ∴∠DCE=∠ACB=20°，∠BCD=∠ACE=90°，AC=CE， ∴∠ACD=90°-20°=70°， ∵點(diǎn)A，D，E在同一條直線上， ∴∠ADC+∠EDC=180°， ∵∠EDC+∠E+∠DCE=180°， ∴∠ADC

7、=∠E+20°， ∵∠ACE=90°，AC=CE ∴∠DAC+∠E=90°，∠E=∠DAC=45° 在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA=180°， 即45°+70°+∠ADC=180°， 解得：∠ADC=65°， 故選C． 3．（2018·天津中考模擬）如圖，將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)100°，得到△ADE．若點(diǎn)D在線段BC的延長線上，則∠B的大小為（　?。? A．30° B．40° C．50° D．60° 【答案】B 【解析】 ∵△ADE是由△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)100°得到的， ∴∠BAD=100°，AD=AB， ∵點(diǎn)D在BC的延長線上， ∴∠B=∠ADB

8、=. 故選B. 4．（2019·天津中考真題）如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)恰好落在邊上，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，連接．下列結(jié)論一定正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 解：∵繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到， ∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE， ∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=, ∴選項(xiàng)A、C不一定正確 ∴∠A =∠EBC ∴選項(xiàng)D正確． ∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于， ∴選項(xiàng)B不一定正確； 故選：D． 5．（2011·浙江中考真題）如圖，已知△AOB是正三角形，OC⊥OB，OC=O

9、B，將△OAB繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得OA與OC重合，得到△OCD，則旋轉(zhuǎn)的角度是（ ） A．150° B．120° C．90° D．60° 【答案】A 【解析】 ∠AOC就是旋轉(zhuǎn)角，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，即可求解． 解：旋轉(zhuǎn)角∠AOC=∠AOB+∠BOC=60°+90°=150°． 故選A． 考查題型二 確定旋轉(zhuǎn)中心 1．（2019·江蘇中考模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，其中一個(gè)三角形是由另一個(gè)三角形繞某點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定的角度得到的，則其旋轉(zhuǎn)中心是（　?。? A．（1，0） B．（﹣1，2） C．（0，0） D．（﹣1，1） 【答案】B 【詳解】 解：作線段

10、AB，線段CD，作線段AB的垂直平分線MN，線段CD的垂直平分線EF，直線MN交直線EF于點(diǎn)K，點(diǎn)K即為旋轉(zhuǎn)中心． 觀察圖象可知旋轉(zhuǎn)中心， 故選：B． 考查題型三 通過圖形旋轉(zhuǎn)相關(guān)知識(shí)作圖 1．（2018·江蘇中考真題）如圖，方格紙中的每個(gè)小方格都是邊長為1個(gè)單位的正方形，在建立平面直角坐標(biāo)系后，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0） （1）畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1； （2）畫出將△ABC繞原點(diǎn)O按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°所得的△A2B2C2； （3）△A1B1C1與△A2B2C2成軸對(duì)稱圖形嗎？若成軸對(duì)稱圖形，畫出所有的對(duì)稱軸； （4）△A1B1C1與△

11、A2B2C2成中心對(duì)稱圖形嗎？若成中心對(duì)稱圖形，寫出所有的對(duì)稱中心的坐標(biāo)． 【答案】（1）作圖見解析；（2）作圖見解析；（3）作圖見解析；（4）（， ） 【詳解】 解：（1）根據(jù)題意，作圖如下圖所示： （2）根據(jù)題意，作圖如下圖所示： （3）成軸對(duì)稱圖形，根據(jù)軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)畫出對(duì)稱軸即連接兩對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段，作它的垂直平分線，或連接A1C1，A2C2的中點(diǎn)的連線為對(duì)稱軸． （4）成中心對(duì)稱，對(duì)稱中心為線段BB2的中點(diǎn)P，坐標(biāo)是（，）． 2．（2012·江蘇中考模擬）如圖，已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（﹣2，3）、B（﹣6，0）、C（﹣1，0）． （1）畫出△A

12、BC關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的三角形△A′B′C′； （2）將△ABC繞坐標(biāo)原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，畫出圖形，直接寫出點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B″的坐標(biāo)； （3）請(qǐng)直接寫出：以A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo)． 【答案】（1）圖略；（2）圖略，點(diǎn)B″的坐標(biāo)為（0，﹣6）；（3）點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣7，3）或（3，3）或（﹣5，﹣3）． 【詳解】 解：（1）如圖所示△A′B′C′即為所求； （2）如圖所示，△A''B''C' '即為所求； （3）D（-7，3）或（-5，-3）或（3，3）． 當(dāng)以BC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D3的坐標(biāo)為（-5，-3）； 當(dāng)以AB為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D2的坐標(biāo)

13、為（-7，3）； 當(dāng)以AC為對(duì)角線時(shí)，點(diǎn)D1坐標(biāo)為（3，3）． 考查題型四 旋轉(zhuǎn)與全等三角形相結(jié)合解題 1．（2019·珠海市前山中學(xué)中考模擬）如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是 AB邊上一點(diǎn)，連接CD，將線段CD繞點(diǎn)C按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°后得到CE，連接AE．求證：AE∥BC． 【答案】見解析 【解析】 ∵△ABC是等邊三角形, ∴AC=BC,∠B=∠ACB=60°, ∵線段CD繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CE, ∴CD=CE,∠DCE=60°, ∴∠DCE=∠ACB,即∠BCD+∠DCA=∠DCA+∠ACE, ∴∠BCD=∠ACE, 在△BCD與△ACE中, ,

14、 ∴△BCD≌△ACE, ∴∠EAC=∠B=60°, ∴∠EAC=∠ACB, ∴AE∥BC. 2．（2013·湖南中考真題）某校九年級(jí)學(xué)習(xí)小組在探究學(xué)習(xí)過程中，用兩塊完全相同的且含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖 （1）所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°），如圖（2），AE與BC交于點(diǎn)M，AC與EF交于點(diǎn)N，BC與EF交于點(diǎn)P． （1）求證：AM=AN； （2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí)，四邊形ABPF是什么樣的特殊四邊形？并說明理由． 【答案】（1）見解析. （2）見解析. 【詳解】 解：（1）證明：∵用兩塊完全相同的且

15、含60°角的直角三角板ABC與AFE按如圖（1）所示位置放置放置，現(xiàn)將Rt△AEF繞A點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角α（0°＜α＜90°）， ∴AB=AF，∠BAM=∠FAN. ∵在△ABM和△AFN中，， ∴△ABM≌△AFN（ASA）. ∴AM=AN. （2）當(dāng)旋轉(zhuǎn)角α=30°時(shí)，四邊形ABPF是菱形.理由如下： 連接AP， ∵∠α=30°，∴∠FAN=30°.∴∠FAB=120°. ∵∠B=60°，∴AF∥BP.∴∠F=∠FPC=60°. ∴∠FPC=∠B=60°.∴AB∥FP. ∴四邊形ABPF是平行四邊形. ∵AB=AF，∴平行四邊形ABPF是菱形. 3．（2019

16、·山東中考模擬）如圖，已知△ABC中，AB＝AC，把△ABC繞A點(diǎn)沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△ADE，連接BD，CE交于點(diǎn)F． （1）求證：△AEC≌△ADB；（2）若AB＝2，∠BAC＝45°，當(dāng)四邊形ADFC是菱形時(shí)，求BF的長． 【答案】（1）見解析；（2）BF＝． 【詳解】 解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：△ABC≌△ADE，且AB＝AC， ∴AE＝AD，AC＝AB，∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠BAE＝∠DAE+∠BAE，即∠CAE＝∠DAB， 在△AEC和△ADB中， ， ∴△AEC≌△ADB（SAS）； （2）∵四邊形ADFC是菱形，且∠BAC＝45°， ∴∠

17、DBA＝∠BAC＝45°， 由（1）得：AB＝AD， ∴∠DBA＝∠BDA＝45°， ∴△ABD為直角邊為2的等腰直角三角形， ∴BD2＝2AB2，即BD＝2， ∴AD＝DF＝FC＝AC＝AB＝2， ∴BF＝BD﹣DF＝2﹣2． 考查題型五 圖形旋轉(zhuǎn)綜合題 1．（2015·湖北中考真題）如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接BE，CF相交于點(diǎn)D。 （1）求證：BE＝CF ； （2）當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長。 【答案】（1）證明見解析（2）-1 【詳解】 （1）∵△AEF是由△ABC繞

18、點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到的， ∴AE=AB，AF=AC，∠EAF=∠BAC， ∴∠EAF+∠BAF=∠BAC+∠BAF， 即∠EAB=∠FAC， 在△ACF和△ABE中， △ACF≌△ABE BE=CF. （2）∵四邊形ACDE為菱形，AB=AC=1， ∴DE=AE=AC=AB=1，AC∥DE， ∴∠AEB=∠ABE，∠ABE=∠BAC=45°， ∴∠AEB=∠ABE=45°， ∴△ABE為等腰直角三角形， ∴BE=AC=， ∴BD=BE﹣DE=． 2．（2016·山東中考真題）如圖，在正方形ABCD中，E、F是對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且∠EAF=45°，將△ADF繞點(diǎn)A

19、順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，連接EQ，求證： （1）EA是∠QED的平分線； （2）EF2=BE2+DF2． 【答案】詳見解析. 【解析】 (1)、∵將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ， ∴QB=DF，AQ=AF，∠ABQ=∠ADF=45°， ∴△AQE≌△AFE（SAS）， ∴∠AEQ=∠AEF， ∴EA是∠QED的平分線； (2)、由（1）得△AQE≌△AFE， ∴QE=EF， 在Rt△QBE中， QB2+BE2=QE2， 則EF2=BE2+DF2． 考查題型六 圖形旋轉(zhuǎn)在開放性問題的應(yīng)用 1．（2019·遼寧中考真題）思維

20、啟迪：（1）如圖1，A，B兩點(diǎn)分別位于一個(gè)池塘的兩端，小亮想用繩子測(cè)量A，B間的距離，但繩子不夠長，聰明的小亮想出一個(gè)辦法：先在地上取一個(gè)可以直接到達(dá)B點(diǎn)的點(diǎn)C，連接BC，取BC的中點(diǎn)P（點(diǎn)P可以直接到達(dá)A點(diǎn)），利用工具過點(diǎn)C作CD∥AB交AP的延長線于點(diǎn)D，此時(shí)測(cè)得CD＝200米，那么A，B間的距離是　 　米． 思維探索：（2）在△ABC和△ADE中，AC＝BC，AE＝DE，且AE＜AC，∠ACB＝∠AED＝90°，將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，把點(diǎn)E在AC邊上時(shí)△ADE的位置作為起始位置（此時(shí)點(diǎn)B和點(diǎn)D位于AC的兩側(cè)），設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，連接BD，點(diǎn)P是線段BD的中點(diǎn)，連接PC，P

21、E． ①如圖2，當(dāng)△ADE在起始位置時(shí)，猜想：PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是　 ??； ②如圖3，當(dāng)α＝90°時(shí)，點(diǎn)D落在AB邊上，請(qǐng)判斷PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； ③當(dāng)α＝150°時(shí)，若BC＝3，DE＝l，請(qǐng)直接寫出PC2的值． 【答案】（1）200；（2）①PC＝PE，PC⊥PE；②PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝PE，PC⊥PE，見解析；③PC2＝. 【分析】 （1）由CD∥AB，可得∠C＝∠B，根據(jù)∠APB＝∠DPC即可證明△ABP≌△DCP，即可得AB＝CD，即可解題． （2）①延長EP交BC于F，易證△FBP≌△EDP（SAS）

22、可得△EFC是等腰直角三角形，即可證明PC＝PE，PC⊥PE． ②作BF∥DE，交EP延長線于點(diǎn)F，連接CE、CF，易證△FBP≌△EDP（SAS），結(jié)合已知得BF＝DE＝AE，再證明△FBC≌△EAC（SAS），可得△EFC是等腰直角三角形，即可證明PC＝PE，PC⊥PE． ③作BF∥DE，交EP延長線于點(diǎn)F，連接CE、CF，過E點(diǎn)作EH⊥AC交CA延長線于H點(diǎn)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，∠CAE＝150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°，得∠FBC＝∠EAC，同②可證可得PC＝PE，PC⊥PE，再由已知解三角形得∴EC2＝CH2+HE2＝，即可求出 【詳解】 （1）解：∵CD∥AB，∴∠C

23、＝∠B， 在△ABP和△DCP中， ， ∴△ABP≌△DCP（SAS）， ∴DC＝AB． ∵AB＝200米． ∴CD＝200米， 故答案為：200． （2）①PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝PE，PC⊥PE． 理由如下：如解圖1，延長EP交BC于F， 同（1）理，可知∴△FBP≌△EDP（SAS）， ∴PF＝PE，BF＝DE， 又∵AC＝BC，AE＝DE， ∴FC＝EC， 又∵∠ACB＝90°， ∴△EFC是等腰直角三角形， ∵EP＝FP， ∴PC＝PE，PC⊥PE． ②PC與PE的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別是PC＝PE，PC⊥PE． 理由如下：如解

24、圖2，作BF∥DE，交EP延長線于點(diǎn)F，連接CE、CF， 同①理，可知△FBP≌△EDP（SAS）， ∴BF＝DE，PE＝PF＝， ∵DE＝AE， ∴BF＝AE， ∵當(dāng)α＝90°時(shí)，∠EAC＝90°， ∴ED∥AC，EA∥BC ∵FB∥AC，∠FBC＝90， ∴∠CBF＝∠CAE， 在△FBC和△EAC中， ， ∴△FBC≌△EAC（SAS）， ∴CF＝CE，∠FCB＝∠ECA， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FCE＝90°， ∴△FCE是等腰直角三角形， ∵EP＝FP， ∴CP⊥EP，CP＝EP＝． ③如解圖3，作BF∥DE，交EP延長線于點(diǎn)F，連接CE、CF

25、，過E點(diǎn)作EH⊥AC交CA延長線于H點(diǎn)， 當(dāng)α＝150°時(shí)，由旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)可知，∠CAE＝150°，DE與BC所成夾角的銳角為30°， ∴∠FBC＝∠EAC＝α＝150° 同②可得△FBP≌△EDP（SAS）， 同②△FCE是等腰直角三角形，CP⊥EP，CP＝EP＝， 在Rt△AHE中，∠EAH＝30°，AE＝DE＝1， ∴HE＝，AH＝， 又∵AC＝AB＝3， ∴CH＝3+， ∴EC2＝CH2+HE2＝ ∴PC2＝ 2．（2013·湖南中考真題）小明在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，將邊長為2和3的兩個(gè)正方形放置在直線l上，如圖a,他連接AD、CF，經(jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)AD=CF． （1）他將正

26、方形ODEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針針旋轉(zhuǎn)一定的角度，如圖b，試判斷AD與CF還相等嗎？說明理由． （2）他將正方形ODEF繞O點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)E旋轉(zhuǎn)至直線l上，如圖c，請(qǐng)求出CF的長． 【答案】（1）詳見解析（2）CF=17 【分析】 （1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF，再利用“邊角邊”證明△AOD和△COF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證。 （2）與（1）同理求出CF=AD，連接DF交OE于G，根據(jù)正方形的對(duì)角線互相垂直平分可得DF⊥OE，DG=OG12OE，再求出AG，然后利用勾股定理列式計(jì)算即可求出AD

27、。 【詳解】 解：（1）AD=CF。理由如下： 在正方形ABCO和正方形ODEF中，∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD，即∠AOD=∠COF。 在△AOD和△COF中，∵AO=CO，∠AOD=∠COF，OD=OF， ∴△AOD≌△COF（SAS）。 ∴AD=CF。 （2）與（1）同理求出CF=AD， 如圖，連接DF交OE于G，則DF⊥OE，DG=OG=12OE， ∵正方形ODEF的邊長為2，∴OE=2×2=2。 ∴DG=OG=12OE=12×2=1。 ∴AG=AO+OG=3+1=4， 在Rt△ADG中，

28、AD=AG2+DG2=42+12=17， ∴CF=AD=17。 知識(shí)點(diǎn)二 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形 中心對(duì)稱概念：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如圖它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)對(duì)稱或中心對(duì)稱，這個(gè)點(diǎn)叫作對(duì)稱中心（簡稱中心）.這兩個(gè)圖形再旋轉(zhuǎn)后能重合的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫作關(guān)于對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn). 如圖，繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)后，與完全重合，則稱和關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn). 中心對(duì)稱圖形概念：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫作中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)就是它的對(duì)稱中心. 中心對(duì)稱與中心對(duì)稱圖形的區(qū)別與聯(lián)系： 中心對(duì)稱 中心對(duì)稱圖形

29、 區(qū)別 （1）是針對(duì)兩個(gè)圖形而言的. （2）是指兩個(gè)圖形的（位置）關(guān)系. （3）對(duì)稱點(diǎn)在兩個(gè)圖形上. （4）對(duì)稱中心在兩個(gè)圖形之間. （1）是針對(duì)一個(gè)圖形而言的. （2）是指具有某種性質(zhì)的一個(gè)圖形. （3）對(duì)稱點(diǎn)在一個(gè)圖形上. （4）對(duì)稱中心在圖形上. 聯(lián)系 （1）都是通過把圖形旋轉(zhuǎn)重合來定義的.（2）兩者可以相互轉(zhuǎn)化，如果把中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體（一個(gè)圖形），那么這“一個(gè)圖形”就是中心對(duì)稱圖形；反過來，如果把一個(gè)中心對(duì)稱圖形相互對(duì)稱的兩部分看成兩個(gè)圖形，那么這“兩個(gè)圖形”中心對(duì)稱 中心對(duì)稱的性質(zhì)： ? 中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形，對(duì)稱點(diǎn)所連線段都經(jīng)過對(duì)稱中心，而

30、且被對(duì)稱中心所平分； ? 中心對(duì)稱的兩個(gè)圖形是全等圖形. 作中心對(duì)稱圖形的一般步驟（重點(diǎn)）： ? 作出已知圖形各頂點(diǎn)（或決定圖形形狀的關(guān)鍵點(diǎn)）關(guān)于中心的對(duì)稱點(diǎn)——連接關(guān)鍵點(diǎn)和中心，并延長一倍確定關(guān)鍵的對(duì)稱點(diǎn). ? 把各對(duì)稱點(diǎn)按已知圖形的連接方式依次連接起來，則所得到的圖形就是已知圖形關(guān)于對(duì)稱中心對(duì)稱的圖形. 找對(duì)稱中心的方法和步驟： 對(duì)于中心對(duì)稱圖形和關(guān)于某一點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)圖形，它們的對(duì)稱中心非常重要，找不對(duì)稱中心是解決先關(guān)問題的關(guān)鍵.由中心對(duì)稱的特征可知，對(duì)稱中心為對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)或兩組相對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)，因此找對(duì)稱中心的步驟如下： 方法1：連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，取對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的中點(diǎn)，則

31、中點(diǎn)為對(duì)稱中心. 方法2：連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)連線的交點(diǎn)為對(duì)稱中心. 關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律 兩個(gè)點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱時(shí)，它們的坐標(biāo)符號(hào)相反，即點(diǎn)P（x，y）關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn) P’(-x，-y) 1．（2019·山東中考模擬）以下是回收、綠色包裝、節(jié)水、低碳四個(gè)標(biāo)志，其中是中心對(duì)稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 根據(jù)中心對(duì)稱圖形的概念，中心對(duì)稱圖形是圖形沿對(duì)稱中心旋轉(zhuǎn)180度后與原圖重合。因此，只有選項(xiàng)B符合條件。故選B。 2．（2015·湖南中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ）．

32、 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 試題解析：∵點(diǎn)A坐標(biāo)為（-2，1），且點(diǎn)B與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，-1）． 故選B． 3．（2019·四川中考真題）不考慮顏色，對(duì)如圖的對(duì)稱性表述，正確的是( ) A．軸對(duì)稱圖形 B．中心對(duì)稱圖形 C．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形 D．既不是軸對(duì)稱圖形又不是中心對(duì)稱圖形 【答案】B 【詳解】 解：如圖所示：是中心對(duì)稱圖形．故選：B． 4．（2017·河南中考模擬）下列四個(gè)手機(jī)應(yīng)用圖標(biāo)中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【詳解】

33、 A既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形; B是軸對(duì)稱圖形，不是中心對(duì)稱圖形; C既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形; D既不是軸對(duì)稱圖形，也不是中心對(duì)稱圖形; 5．（2019·深圳市龍崗區(qū)實(shí)驗(yàn)學(xué)校中考模擬）下列“數(shù)字圖形”中，既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形的有(　　) A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】B 【詳解】 2是中心對(duì)稱圖形，不是軸對(duì)稱圖形，9既不是軸對(duì)稱圖形，也不是是中心對(duì)稱圖形； 0和1既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形. 故選B. 考查題型七 對(duì)稱中心確定方法 1.（2019·河北中考模擬）如圖是一個(gè)中心對(duì)稱圖形，則此圖形的對(duì)稱中心為（　

34、?。? A．A點(diǎn) B．B點(diǎn) C．C點(diǎn) D．D點(diǎn) 【答案】B 【詳解】 解：如圖所示： 點(diǎn)A與點(diǎn)C是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)E是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，線段AC與DE相交于點(diǎn)B， 所以點(diǎn)B是對(duì)稱中心． 故選：B． 考查題型八 中心對(duì)稱性質(zhì)的運(yùn)用 1．（2019·福建中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)P（－20，a）與點(diǎn)Q（b，13）關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則a+b的值為（） A．33 B．－33 C．－7 D．7 【答案】D 【解析】 試題分析：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)．根據(jù)性質(zhì)可得：a=－13，b=20，則a+b=－13+20=7． 2．（2019·廣

35、西中考真題）若點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱，則的值是（　?。? A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【詳解】 解：∵點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴，， 解得：，， 則 故選C. 3．（2018·全國中考模擬）若在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A(m-1,6),B(-2,n)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則m+n的值為(　　) A．9 B．-3 C．3 D．5 【答案】B 【解析】 ∵在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)A(m-1，6)，B(-2，n)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱， ∴m-1+(-2)=0，6+n=0， ∴m=3，n=-6， ∴m+n=3+(-6)=-3. 故選B. 4．（2015·四川中考模擬）

36、已知點(diǎn)A（a，2015）與點(diǎn)A′（－2016，b）是關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)，則的值為（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解析】 當(dāng)兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)分別互為相反數(shù)，則a=2016，b=－2015，則a+b=1． 考查題型九 利用中心對(duì)稱等分面積 1．（2018春 平原區(qū)期末）有一塊方角形鋼板如圖所示，如何用一條直線將其分為面積相等的兩部分． 【答案】答案見解析 【分析】 思路1：先將圖形分割成兩個(gè)矩形，找出各自的對(duì)稱中心，過兩個(gè)對(duì)稱中心做直線即可； 思路2：先將圖形補(bǔ)充成一個(gè)大矩形，分別找出圖中兩個(gè)矩形各自的對(duì)稱中心，過兩個(gè)對(duì)稱中心做直線即

37、可． 【詳解】 如圖所示，有三種思路： 考查題型十 平面直角坐標(biāo)系利用中心對(duì)稱作圖 1．（2018·安徽中考模擬）在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系△ABC是格點(diǎn)三角形（頂點(diǎn)在網(wǎng)格線的交點(diǎn)上） （1）先作△ABC關(guān)于原點(diǎn)O成中心對(duì)稱的△A1B1C1，再把△A1B1C1向上平移4個(gè)單位長度得到△A2B2C2； （2）△A2B2C2與△ABC是否關(guān)于某點(diǎn)成中心對(duì)稱？若是，直接寫出對(duì)稱中心的坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說明理由. 【答案】（1）畫圖見解析；（2）（0，2）. 【解析】 （1）如圖所示，△A1B1C1和△A2B2C2即為所求； ?（2）由圖可知，△A2B2C2與△ABC關(guān)于點(diǎn)（0，2）成中心對(duì)稱． 30．（2018·廣東省珠海市文園中學(xué)初二期中）△ABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示．A、B、C三點(diǎn)在格點(diǎn)上． （1）作出△ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的△A1B1C1，并寫出點(diǎn)C1的坐標(biāo)； （2）求△ABC的面積. 【答案】（1）（－3，2）；（2）2.5 【解析】 （1）如圖，C1坐標(biāo)為（－3，2）； （2） . 26