2020中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練05 一元二次方程（含解析）

熱點(diǎn)05 一元二次方程【命題趨勢(shì)】1用直接開平方法、配方法、公式法或因式分解法解一元二次方程2一元二次方程根的判別式，有兩種考查方式：給出一元二次方程，求方程的根的情況；給出帶有參數(shù)的一元二次方程和根的情況，求參數(shù)的取值范圍3一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，主要考查方式：不解方程，判斷兩個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的兩個(gè)根；已知方程及方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根及未知數(shù)；不解方程求關(guān)于根的式子的值，如求等等；判斷兩根的符號(hào)求作新方程；由給出的兩根滿足的條件，確定字母的取值4列一元二次方程解決實(shí)際問題，以實(shí)際生活為背景，命題比較廣泛（常見的題型是增長率問題）【滿分技巧】一、一元二次方程根的情況1一元二次方程有實(shí)數(shù)根的前提是b24ac0利用一元二次方程根的判別式（=b24ac）判斷方程的根的情況一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的根與=b24ac有如下關(guān)系：當(dāng)>0時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)=0時(shí)，方程有兩個(gè)相等的兩個(gè)實(shí)數(shù)根；當(dāng)<0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根2一元二次方程根與系數(shù)的特點(diǎn)：（1）若二次項(xiàng)系數(shù)為1，常用以下關(guān)系：x1，x2是方程x2+px+q=0的兩根時(shí)，x1+x2=p，x1x2=q，反過來可得p=（x1+x2），q=x1x2，前者是已知系數(shù)確定根的相關(guān)問題，后者是已知兩根確定方程中未知系數(shù)（2）若二次項(xiàng)系數(shù)不為1，則常用以下關(guān)系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a0）的兩根時(shí)，x1+x2=，x1x2=，反過來也成立，即=（x1+x2），=x1x2二、一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題的“六字訣”:1審：理解題意，明確未知量、已知量以及它們之間的數(shù)量關(guān)系2設(shè)：根據(jù)題意，可以直接設(shè)未知數(shù)，也可以間接設(shè)未知數(shù)3列：根據(jù)題中的等量關(guān)系，用含所設(shè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量，從而列出方程4解：準(zhǔn)確求出方程的解5驗(yàn)：檢驗(yàn)所求出的根是否符合所列方程和實(shí)際問題6答：寫出答案列一元二次方程解應(yīng)用題中常見問題：（1）數(shù)字問題：個(gè)位數(shù)為a，十位數(shù)是b，則這個(gè)兩位數(shù)表示為10b+a（2）增長率問題：增長率增長數(shù)量/原數(shù)量×100%如：若原數(shù)是a，每次增長的百分率為x，則第一次增長后為a（1+x）；第二次增長后為a（1+x）2，即 原數(shù)×（1+增長百分率）2=后來數(shù)（3）形積問題：利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的邊長利用三角形、矩形、菱形、梯形和圓的面積，以及柱體體積公式建立等量關(guān)系列一元二次方程利用相似三角形的對(duì)應(yīng)比例關(guān)系，列比例式，通過兩內(nèi)項(xiàng)之積等于兩外項(xiàng)之積，得到一元二次方程（4）運(yùn)動(dòng)點(diǎn)問題：物體運(yùn)動(dòng)將會(huì)沿著一條路線或形成一條痕跡，運(yùn)行的路線與其他條件會(huì)構(gòu)成直角三角形，可運(yùn)用直角三角形的性質(zhì)列方程求解【限時(shí)檢測(cè)】（建議用時(shí)：30分鐘）一、選擇題1（天津市濱海區(qū)2019屆九年級(jí)中考二模數(shù)學(xué)試卷）一元二次方程的根為ABC，D，【答案】D【解析】，x（x+1）=0，即x=0或x+1=0，解得：x=0或x=1故選D2 （2019河南）一元二次方程（x+1）（x1）=2x+3的根的情況是A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C只有一個(gè)實(shí)數(shù)根D沒有實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】原方程可化為：x22x4=0，a=1，b=2，c=4，=（2）24×1×（4）=200，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故選A3（山東省濟(jì)南歷下區(qū)2019屆九年級(jí)第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題）已知關(guān)于x的一元二次方程（m1）x22x+1=0有實(shí)數(shù)根，則m的取值范圍是Am2Bm2Cm2且m1Dm2且m1【答案】C【解析】關(guān)于x的一元二次方程（m1）x22x+1=0有實(shí)數(shù)根，解得：m2且m1故選C4（2019廣東）已知x1，x2是一元二次方程x22x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是Ax1x2Bx122x1=0Cx1+x2=2Dx1x2=2【答案】D【解析】=（2）24×1×0=40，x1x2，選項(xiàng)A不符合題意；x1是一元二次方程x22x=0的實(shí)數(shù)根，x122x1=0，選項(xiàng)B不符合題意；x1，x2是一元二次方程x22x=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x1+x2=2，x1x2=0，選項(xiàng)C不符合題意，選項(xiàng)D符合題意故選D5（2019年廣西梧州市中考數(shù)學(xué)二模試卷）一元二次方程2x25x4=0根的情況是A有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C沒有實(shí)數(shù)根D無法判定該方程根的情況【答案】A【解析】=（5）24×2×（4）=57>0，所以方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根故選A6（2019河北）小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a0）時(shí)，只抄對(duì)了a=1，b=4，解出其中一個(gè)根是x=1他核對(duì)時(shí)發(fā)現(xiàn)所抄的c比原方程的c值小2，則原方程的根的情況是A不存在實(shí)數(shù)根B有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C有一個(gè)根是x=1D有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根【答案】A【解析】小剛在解關(guān)于x的方程ax2+bx+c=0（a0）時(shí)，只抄對(duì)了a=1，b=4，解出其中一個(gè)根是x=1，（1）24+c=0，解得：c=3，故原方程中c=5，則b24ac=164×1×5=4<0，則原方程的根的情況是不存在實(shí)數(shù)根故選A7（2019廣西）揚(yáng)帆中學(xué)有一塊長30 m，寬20 m的矩形空地，計(jì)劃在這塊空地上劃出四分之一的區(qū)域種花，小禹同學(xué)設(shè)計(jì)方案如圖所示，求花帶的寬度設(shè)花帶的寬度為x m，則可列方程為A（30x）（20x）=×20×30B（302x）（20x）=×20×30C30x+2×20x=×20×30D（302x）（20x）=×20×30【答案】D【解析】設(shè)花帶的寬度為x m，則可列方程為（302x）（20x）=×20×30，故選D8（江蘇省蘇州市部分學(xué)校中考2019年5月份數(shù)學(xué)模擬試卷）若a、b是關(guān)于x的一元二次方程x26x+n+1=0的兩根，且等腰三角形三邊長分別為a、b、4，則n的值為A8B7C8或7D9或8【答案】C【解析】等腰三角形三邊長分別為a、b、4，a=b，或a、b中有一個(gè)數(shù)為4當(dāng)a=b時(shí)，有b24ac=（6）24（n+1）=0，解得：n=8；當(dāng)a、b中有一個(gè)數(shù)為4時(shí)，有426×4+n+1=0，解得：n=7，故選C9（安徽省池州市貴池區(qū)2019年中考數(shù)學(xué)三模試卷）據(jù)池州市統(tǒng)計(jì)局發(fā)布，2018年我市全年生產(chǎn)總值684.9億元，比上年增長5.7%，若今、明兩年年增長率保持不變，則2020年全年生產(chǎn)總值為A（1+5.7%×2）×684.9億元B（1+5.7%）2×684.9億元C2×（1+5.7%）×684.9億元D2×5.7%（1+5.7%）×684.9億元【答案】B【解析】2018年我市全年生產(chǎn)總值684.9億元，比上年增長5.7%，且今、明兩年年增長率保持不變，2020年的生產(chǎn)總值為（1+5.7%）2×684.9億元，故選B10（2019年天津市南開區(qū)九年級(jí)第二學(xué)期基礎(chǔ)訓(xùn)練數(shù)學(xué)試題）某校羽毛球隊(duì)有若干名隊(duì)員，任意兩名隊(duì)員之間進(jìn)行一場(chǎng)友誼賽，共進(jìn)行了36場(chǎng)比賽如果全隊(duì)有名隊(duì)員，根據(jù)題意下列方程正確的是ABCD【答案】C【解析】設(shè)有x名隊(duì)員，每個(gè)隊(duì)員都要賽（x1）場(chǎng)，但兩人之間只有一場(chǎng)比賽，故，故選C二、填空題11（2019年浙江省紹興市越城區(qū)中考數(shù)學(xué)一模試卷）一元二次方程x（x+5）=x+5的解為_【答案】x1=5，x2=1【解析】方程整理得：x（x+5）（x+5）=0，分解因式得：（x+5）（x1）=0，解得：x1=5，x2=1，故答案為：x1=5，x2=112（河南省安陽市2019屆九年級(jí)中考一模數(shù)學(xué)試題）一元二次方程x2+2x4=0的解是_【答案】【解析】x2+2x=4，x2+2x+1=4+1，即（x+1）2=5，則x+1=，即x=1，故答案為：113（2019年山東省濰坊市中考數(shù)學(xué)一模試卷）已知關(guān)于x的方程x2+（k24）x+k1=0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，則k=_【答案】2【解析】設(shè)方程的兩根分別為x1，x2，x2+（k24）x+k1=0的兩實(shí)數(shù)根互為相反數(shù)，x1+x2，=（k24）=0，解得k=±2，當(dāng)k=2，方程變?yōu)椋簒2+1=0，=4<0，方程沒有實(shí)數(shù)根，所以k=2舍去；當(dāng)k=2，方程變?yōu)椋簒23=0，=12>0，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；k=2故答案為：214（山東省德州市齊河縣2019年中考數(shù)學(xué)二模試卷）若x1，x2分別是一元二次方程x2+2x1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則的值是_【答案】2【解析】x1，x2分別是一元二次方程x2+2x1=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，x1+x2=2，x1x2=1，=2故答案為：215（江蘇省南京市高淳區(qū)2019年中考二模數(shù)學(xué)試卷）已知關(guān)于x的方程x2+mx3=0的兩個(gè)根為x1、x2，若x1+x2=2x1x2，則m=_【答案】6【解析】x1，x2是方程x2+mx3=0的兩根，x1+x2=m，x1x2=3，則m=2×（3），解得：m=6，故答案為：616（黑龍江省哈爾濱市平房區(qū)2019屆中考第三次模擬考試數(shù)學(xué)試題）某商品每件元，經(jīng)過兩次降價(jià)后，售價(jià)為元，若每次降價(jià)的百分比相同，則第一次降價(jià)后的售價(jià)為每件_元【答案】【解析】設(shè)每次降價(jià)的百分率為x，根據(jù)題意得：300（1x）=243，解得：x=0.1=10%，x=1.9（不合題意，舍去）每次降價(jià)的百分率為10%第一次降價(jià)后的售價(jià)為300（300×0.1）=270（元），故答案為：270三、解答題17（江蘇省南京市高淳區(qū)第一中學(xué)2019屆中考三模數(shù)學(xué)試題）解下列一元二次方程：（1）x24x5=0；（2）（x3）2=2（x3）【解析】（1）x24x5=0，x24x=5，則x24x+4=5+4，即（x2）2=9，所以x1=5，x2=1（2）（x3）22（x3）=0，（x3）（x32）=0，x3=0或x32=0，所以x1=3，x2=518（2019十堰）已知于x的元二次方程x26x+2a+50有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2（1）求a的取值范圍；（2）若x12+x22x1x230，且a為整數(shù)，求a的值【解析】（1）關(guān)于x的一元二次方程x26x+2a+50有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x1，x2，0，即（6）24（2a+5）0，解得a2（2）由根與系數(shù)的關(guān)系知：x1+x26，x1x22a+5，x1，x2滿足x12+x22x1x230，（x1+x2）23x1x230，363（2a+5）30，a，a為整數(shù)，a的值為1，0，119（河北省保定市高陽縣宏潤中學(xué)2019屆九年級(jí)上學(xué)期期末調(diào)研考數(shù)學(xué)試題）對(duì)于實(shí)數(shù)m、n，定義一種運(yùn)算“”為：mn=mn+n（1）求25與2（5）的值；（2）如果關(guān)于x的方程x（ax）=有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的值【解析】（1）25=2×5+5=152（5）=2×（5）+（5）=15（2）x（ax）=x（a+1）x=x（x+1）（a+1）=，整理得：4（a+1）x2+4（a+1）x+1=0關(guān)于x的方程x（ax）=有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，a=020（2019南京）某地計(jì)劃對(duì)矩形廣場(chǎng)進(jìn)行擴(kuò)建改造如圖，原廣場(chǎng)長50m，寬40m，要求擴(kuò)充后的矩形廣場(chǎng)長與寬的比為3：2擴(kuò)充區(qū)域的擴(kuò)建費(fèi)用每平方米30元，擴(kuò)建后在原廣場(chǎng)和擴(kuò)充區(qū)域都鋪設(shè)地磚，鋪設(shè)地磚費(fèi)用每平方米100元如果計(jì)劃總費(fèi)用642000元，擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長和寬應(yīng)分別是多少米？【解析】設(shè)擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長為3xm，寬為2xm，依題意得：3x2x100+30（3x2x50×40）=642000，解得x1=30，x2=30（舍去）所以3x=90，2x=60答：擴(kuò)充后廣場(chǎng)的長為90m，寬為60m21（2019山東德州）習(xí)近平總書記說：“讀書可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣”某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開放學(xué)校圖書館據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館128人次，進(jìn)館人次逐月增加，到第三個(gè)月末累計(jì)進(jìn)館608人次，若進(jìn)館人次的月平均增長率相同（1）求進(jìn)館人次的月平均增長率；（2）因條件限制，學(xué)校圖書館每月接納能力不超過500人次，在進(jìn)館人次的月平均增長率不變的條件下，校圖書館能否接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次，并說明理由【解析】（1）設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長率為x，根據(jù)題意得：128+128（1+x）+128（1+x）2=608，化簡(jiǎn)得：4x2+12x7=0，（2x1）（2x+7）=0，x=0.5=50%或x=3.5（舍）答：進(jìn)館人次的月平均增長率為50%（2）進(jìn)館人次的月平均增長率為50%，第四個(gè)月的進(jìn)館人次為：128（1+50%）3=128×=432<500答：校圖書館能接納第四個(gè)月的進(jìn)館人次9