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2020中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練11 三角形(含解析)

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2020中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專練11 三角形(含解析)

熱點(diǎn)11 三角形【命題趨勢】首先說明三角形是中考必考內(nèi)容,而且也是熱點(diǎn)內(nèi)容,無論是小題還是大題因?yàn)槿切伟ǖ膬?nèi)容很多,例如三角形的基本知識(shí)(內(nèi)角和定理推論、三邊關(guān)系)、三角形的三線(角平分線、中線、高線)五心(內(nèi)心,外心,重心,垂心,旁心),特殊的三角形(等腰三角形,直角三角形,等腰直角三角形,等邊三角形)的性質(zhì)及判定方法,全等三角形的性質(zhì)與判定,相似三角形的性質(zhì)與判定,最后在此要特別強(qiáng)調(diào)的是直角三角形的勾股定理及逆定理、三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)是重中之重,它是我們計(jì)算線段長度的最重要的工具,所以這是考查的重點(diǎn)中的重點(diǎn)?!緷M分技巧】一、利用思維導(dǎo)圖的方式整理有關(guān)三角形的相關(guān)內(nèi)容有關(guān)三角形的內(nèi)容非常多,利用思維導(dǎo)圖的方式可以很好地整理和歸納本部分內(nèi)容,讓這部分知識(shí)在我們的大腦中能形成一個(gè)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò),這可以讓我們?cè)谧鲱}時(shí)可以快速地在大腦中搜索這部分知識(shí)二、總結(jié)與三角形有關(guān)的基本模型 (1)有關(guān)三角形全等模型(2)有關(guān)三角形相似的模型:A字型,反A字型,8字型,反8字型,母子型,一線三等角型,一線三直角型,【限時(shí)檢測】(建議用時(shí):30分鐘)一、選擇題1.如圖,在ABC中,B=90°,tanC=,AB=6cm動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開始沿邊AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng),動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開始沿邊BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)若P,Q兩點(diǎn)分別從A,B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),在運(yùn)動(dòng)過程中,PBQ的最大面積是()A18cm2B12cm2C9cm2D3cm2【答案】C【解析】tanC=,AB=6cm,=,BC=8,由題意得:AP=t,BP=6t,BQ=2t,設(shè)PBQ的面積為S,則S=×BP×BQ=×2t×(6t),S=t2+6t=(t26t+99)=(t3)2+9,P:0t6,Q:0t4,當(dāng)t=3時(shí),S有最大值為9,即當(dāng)t=3時(shí),PBQ的最大面積為9cm2;故選C2.如圖,D,E分別是ABC的邊AB,AC上的中點(diǎn),如果ADE的周長是6,則ABC的周長是( ) A6 B12 C18 D24【答案】B【解析】因?yàn)镈E/BC,所以ADEABC,k=,所以ABC的周長為123.如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以點(diǎn)B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點(diǎn)E,則下列結(jié)論一定正確的是()AAE=ECBAE=BECEBC=BACDEBC=ABE【答案】C【解析】AB=AC,ABC=ACB,以點(diǎn)B為圓心,BC長為半徑畫弧,交腰AC于點(diǎn)E,BE=BC,ACB=BEC,BEC=ABC=ACB,A=EBC,故選C4.我國古代偉大的數(shù)學(xué)家劉徽將勾股形(古人稱直角三角形為勾股形)分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形,得到一個(gè)恒等式后人借助這種分割方法所得的圖形證明了勾股定理,如圖所示的矩形由兩個(gè)這樣的圖形拼成,若a=3,b=4,則該矩形的面積為()A20B24CD【答案】B【解析】設(shè)小正方形的邊長為x,a=3,b=4,AB=3+4=7,在RtABC中,AC2+BC2=AB2,即(3+x)2+(x+4)2=72,整理得,x2+7x12=0,解得x=或x=(舍去),該矩形的面積=(+3)(+4)=24,故選:B5.如圖,在ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),若ADE的面積為4,則ABC的面積為()A8B12C14D16【答案】D【解析】在ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),DEBC,DE=BC,ADEABC,=,=,ADE的面積為4,ABC的面積為:16,故選:D6.如圖,點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上,ABED,ACFD,那么添加下列一個(gè)條件后,仍無法判定ABCDEF的是()AADBACDFCABEDDBFEC【答案】A【解析】選項(xiàng)A、添加AD不能判定ABCDEF,故本選項(xiàng)正確;選項(xiàng)B、添加ACDF可用AAS進(jìn)行判定,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)C、添加ABDE可用AAS進(jìn)行判定,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;選項(xiàng)D、添加BFEC可得出BCEF,然后可用ASA進(jìn)行判定,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤故選:A7.已知M、N是線段AB上的兩點(diǎn),AMMN2,NB1,以點(diǎn)A為圓心,AN長為半徑畫弧;再以點(diǎn)B為圓心,BM長為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn)C,連接AC,BC,則ABC一定是()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D等腰三角形【答案】B【解析】如圖所示,ACAN4,BCBM3,AB2+2+15,AC2+BC2AB2,ABC是直角三角形,且ACB90°,故選:B8.下列長度的3根小木棒不能搭成三角形的是()A2cm,3cm,4cmB1cm,2cm,3cmC3cm,4cm,5cmD4cm,5cm,6cm【答案】B【解析】A、2+34,能構(gòu)成三角形,不合題意;B、1+23,不能構(gòu)成三角形,符合題意;C、4+35,能構(gòu)成三角形,不合題意;D、4+56,能構(gòu)成三角形,不合題意故選:B9.已知n是正整數(shù),若一個(gè)三角形的3邊長分別是n+2、n+8、3n,則滿足條件的n的值有()A4個(gè)B5個(gè)C6個(gè)D7個(gè)【答案】D【解析】若n+2n+83n,則,解得,即4n10,正整數(shù)n有6個(gè):4,5,6,7,8,9;若n+23nn+8,則,解得,即2n4,正整數(shù)n有2個(gè):3和4;綜上所述,滿足條件的n的值有7個(gè),故選:D10.如圖,在中,以點(diǎn)為圓心,適當(dāng)長為半徑畫弧,分別交、于點(diǎn),再分別以點(diǎn)、為圓心,大于為半徑畫弧,兩弧交于點(diǎn),作射線交邊于點(diǎn),若,則的面積是A1BC2D【答案】C【解析】由作法得平分,點(diǎn)到的距離等于的長,即點(diǎn)到的距離為1,所以的面積故選:11.滿足下列條件時(shí),ABC不是直角三角形的為()AAB,BC4,AC5BAB:BC:AC3:4:5CA:B:C3:4:5D|cosA|+(tanB)20【答案】C【解析】A、,ABC是直角三角形,錯(cuò)誤;B、(3x)2+(4x)29x2+16x225x2(5x)2,ABC是直角三角形,錯(cuò)誤;C、A:B:C3:4:5,C,ABC不是直角三角形,正確;D、|cosA|+(tanB)20,A60°,B30°,C90°,ABC是直角三角形,錯(cuò)誤;故選:C12.如圖,在ABC中,AB的垂直平分線交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,若BC=6,AC=5,則ACE的周長為( )A.8 B.11 C.16 D.17【答案】B【解析】因?yàn)镈E垂直平分AB,所以BE=AE,所以BC=BE+CE=AE+CE=6又AC=5所以ACE的周長為5+6=11故選B13.勾股定理是人類最偉大的科學(xué)發(fā)現(xiàn)之一,在我國古算書周髀算經(jīng)中早有記載如圖1,以直角三角形的各邊為邊分別向外作正方形,再把較小的兩張正方形紙片按圖2的方式放置在最大正方形內(nèi)若知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出()A直角三角形的面積B最大正方形的面積C較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積D最大正方形與直角三角形的面積和【答案】C【解析】設(shè)直角三角形的斜邊長為c,較長直角邊為b,較短直角邊為a,由勾股定理得,c2a2+b2,陰影部分的面積c2b2a(cb)a2ac+aba(a+bc),較小兩個(gè)正方形重疊部分的長a(cb),寬a,則較小兩個(gè)正方形重疊部分底面積a(a+bc),知道圖中陰影部分的面積,則一定能求出較小兩個(gè)正方形重疊部分的面積,故選:C14.如圖,在中,觀察圖中尺規(guī)作圖的痕跡,可知的度數(shù)為ABCD【答案】C【解析】由作法得,平分,故選:15.如圖,點(diǎn)D在BC的延長線上,DEAB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F若A35°,D15°,則ACB的度數(shù)為()A65°B70°C75°D85°【答案】B【解析】DEAB,A35°AFECFD55°,ACBD+CFD15°+55°70°故選:B二、填空題16.腰長為5,高為4的等腰三角形的底邊長為【答案】6或或【解析】如圖1當(dāng),則,底邊長為6;如圖2當(dāng),時(shí),則,此時(shí)底邊長為;如圖當(dāng),時(shí),則,此時(shí)底邊長為故答案為:6或或17.如圖,在RtABC中,ACB90°,B60°,DE為ABC的中位線,延長BC至F,使CFBC,連接FE并延長交AB于點(diǎn)M若BCa,則FMB的周長為 【答案】【解析】在RtABC中,B60°,A30°,AB2a,ACaDE是中位線,CEa在RtFEC中,利用勾股定理求出FEa,F(xiàn)EC30°AAEM30°,EMAMFMB周長BF+FE+EM+BMBF+FE+AM+MBBF+FE+AB故答案為18.如圖,在ABC中,ACB120°,BC4,D為AB的中點(diǎn),DCBC,則ABC的面積是 【答案】8【解析】DCBC,BCD90°,ACB120°,ACD30°,延長CD到H使DHCD,D為AB的中點(diǎn),ADBD,在ADH與BCD中,ADHBCD(SAS),AHBC4,HBCD90°,ACH30°,CHAH4,CD2,ABC的面積2SBCD2××4×28,故答案為:819.如圖,已知直線,含角的三角板的直角頂點(diǎn)在上,角的頂點(diǎn)在上,如果邊與的交點(diǎn)是的中點(diǎn),那么度【答案】120【解析】是斜邊的中點(diǎn),故答案為12020.等腰三角形的兩邊長分別為6cm,13cm,其周長為 cm由題意知,應(yīng)分兩種情況:【答案】32【解析】(1)當(dāng)腰長為6cm時(shí),三角形三邊長為6,6,13,6+613,不能構(gòu)成三角形;(2)當(dāng)腰長為13cm時(shí),三角形三邊長為6,13,13,周長2×13+632cm故答案為32三、證明題21.已知:如圖,ABC是任意一個(gè)三角形,求證:A+B+C=180°【證明】:過點(diǎn)A作EFBC,EFBC,1=B,2=C,1+2+BAC=180°,BAC+B+C=180°,即A+B+C=180°22.如圖,在ABC中,內(nèi)角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c(1)若a6,b8,c12,請(qǐng)直接寫出A與B的和與C的大小關(guān)系;(2)求證:ABC的內(nèi)角和等于180°;(3)若,求證:ABC是直角三角形【解】:(1)在ABC中,a6,b8,c12,A+BC;(2)如圖,過點(diǎn)A作MNBC,MNBC,MABB,NACC(兩直線平行,同位角相等),MAB+BAC+NAC180°(平角的定義),B+BAC+C180°(等量代換),即:三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°;(3),ac(a+b+c)(ab+c)(a2+2ac+c2)b2,2aca2+2ac+c2b2,a2+c2b2,ABC是直角三角形23.已知,在如圖所示的“風(fēng)箏”圖案中,求證:【證明】:,且,24.如圖,等腰直角三角板如圖放置直角頂點(diǎn)C在直線m上,分別過點(diǎn)A、B作AE直線m于點(diǎn)E,BD直線m于點(diǎn)D求證:ECBD;若設(shè)AEC三邊分別為a、b、c,利用此圖證明勾股定理【證明】:ACB90°,ACE+BCD90°ACE+CAE90°,CAEBCD在AEC與BCD中,CAEBCD(AAS)ECBD;解:由知:BDCEaCDAEbS梯形AEDB(a+b)(a+b)a2+ab+b2又S梯形AEDBSAEC+SBCD+SABCab+ab+c2ab+c2a2+ab+b2ab+c2整理,得a2+b2c225.如圖,已知:在ABC中,BAC90°,延長BA到點(diǎn)D,使ADAB,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AC的中點(diǎn)求證:DFBE【證明】:BAC90°,DAF90°,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊BC,AC的中點(diǎn),AFFC,BEEC,F(xiàn)E是ABC的中位線,F(xiàn)EAB,F(xiàn)EAB,EFCBAC90°,DAFEFC,ADAB,ADFE,在ADF和FEC中,ADFFEC(SAS),DFEC,DFBE四、作圖題26.如圖,已知等腰頂角(1)在上作一點(diǎn),使(要求:尺規(guī)作圖,保留作圖痕跡,不必寫作法和證明,最后用黑色墨水筆加墨);(2)求證:是等腰三角形(1)解:如圖,點(diǎn)為所作;(2)證明:,是等腰三角形五、應(yīng)用題27.如圖,小東在教學(xué)樓距地面9米高的窗口C處,測得正前方旗桿頂部A點(diǎn)的仰角為37°,旗桿底部B點(diǎn)的俯角為45°,升旗時(shí),國旗上端懸掛在距地面2.25米處,若國旗隨國歌聲冉冉升起,并在國歌播放45秒結(jié)束時(shí)到達(dá)旗桿頂端,則國旗應(yīng)以多少米/秒的速度勻速上升?(參考數(shù)據(jù):sin37°0.60,cos37°0.80,tan37°0.75)解:在RtBCD中,BD=9米,BCD=45°,則BD=CD=9米在RtACD中,CD=9米,ACD=37°,則AD=CDtan37°9×0.75=6.75(米)所以,AB=AD+BD=15.75米,整個(gè)過程中旗子上升高度是:15.752.25=13.5(米),因?yàn)楹臅r(shí)45s,所以上升速度v=0.3(米/秒)答:國旗應(yīng)以0.3米/秒的速度勻速上升28.在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,求ABC的面積根據(jù)勾股定理,利用AD作為“橋梁”,建立方程模型求出x作ADBC于D,設(shè)BD = x,用含x的代數(shù)式表示CD利用勾股定理求出AD的長,再計(jì)算三角形面積某學(xué)習(xí)小組經(jīng)過合作交流,給出了下面的解題思路,請(qǐng)你按照他們的解題思路完成解答過程 【解】:如圖,在ABC中,AB=15,BC=14,AC=13,設(shè),由勾股定理得:, ,解之得: 六探究題29.如圖,ABC與CDE是等腰直角三角形,直角邊AC、CD在同一條直線上,點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),連接AE、BD(1)猜想PM與PN的數(shù)量關(guān)系及位置關(guān)系,請(qǐng)直接寫出結(jié)論;(2)現(xiàn)將圖中的CDE繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)(0°90°),得到圖,AE與MP、BD分別交于點(diǎn)G、H請(qǐng)判斷(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)證明;若不成立,請(qǐng)說明理由;(3)若圖中的等腰直角三角形變成直角三角形,使BC=kAC,CD=kCE,如圖,寫出PM與PN的數(shù)量關(guān)系,并加以證明【解析】(1)PM=PN,PMPN,理由如下:ACB和ECD是等腰直角三角形,AC=BC,EC=CD,ACB=ECD=90°在ACE和BCD中,ACEBCD(SAS),AE=BD,EAC=CBD,點(diǎn)M、N分別是斜邊AB、DE的中點(diǎn),點(diǎn)P為AD的中點(diǎn),PM=BD,PN=AE,PM=PM,NPD=EAC,MPN=BDC,EAC+BDC=90°,MPA+NPC=90°,MPN=90°,即PMPN;(2)ACB和ECD是等腰直角三角形,AC=BC,EC=CD,ACB=ECD=90°ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDACEBCDAE=BD,CAE=CBD 又AOC=BOE,CAE=CBD,BHO=ACO=90°點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn),PM=BD,PMBD;PN=AE,PNAEPM=PNMGE+BHA=180°MGE=90°MPN=90°PMPN (3)PM=kPN ACB和ECD是直角三角形,ACB=ECD=90°ACB+BCE=ECD+BCEACE=BCDBC=kAC,CD=kCE,=kBCDACEBD=kAE 點(diǎn)P、M、N分別為AD、AB、DE的中點(diǎn),PM=BD,PN=AEPM=kPN30.已知:如圖,ABC,射線BC上一點(diǎn)D求作:等腰PBD,使線段BD為等腰PBD的底邊,點(diǎn)P在ABC內(nèi)部,且點(diǎn)P到ABC兩邊的距離相等【解析】:點(diǎn)P在ABC的平分線上,點(diǎn)P到ABC兩邊的距離相等(角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等),點(diǎn)P在線段BD的垂直平分線上,PB=PD(線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等),如圖所示:25

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